Preliminares sobre funciones de varias variables

Transcripción

1 Capítulo 1 Preliminares sobre funciones de varias variables Diversas formas de describir analíticamente curvas y superficies. Curvas y superficies de nivel. Introducción a los sistemas de coordenadas curvilíneas. En este capítulo se hace una breve introducción a la geometría analítica tridimensional con el fin de dar interpretaciones geométricas y físicas de las funciones de varias variables. Se consideran las diversas formas (explícita, implícita y parametrizada) de describir curvas y superficies, nociones que de momento se manejan en un sentido intuitivo, y también se introducen los sistemas de coordenadas curvilíneas usuales (polares en el plano; cilíndricas y esféricas en el espacio). Esta introducción permitirá presentar desde un punto de vista geométrico algunos de los problemas que se abordan con el cálculo diferencial y el cálculo integral de funciones de varias variables: Existencia de planos tangentes a superficies, problemas de optimización (con y sin restricciones), existencia de inversas locales, definición implícita de funciones, cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de curvas. Para este capítulo introductorio se recomienda el manejo del programa DpGraph especialmente diseñado para ilustrar los diversos aspectos teóricos y prácticos de la materia: Visualización de curvas planas y alabeadas, curvas y superficies de nivel, recintos de integración, extremos relativos o absolutos de funciones sometidas a ligaduras, uso de parámetros en fórmulas, etc Introducción El objetivo del curso es el estudio de las funciones vectoriales de varias variables reales, es decir, funciones f : Ω R m definidas en un abierto Ω R n. En lo que sigue x denotará siempre un elemento genérico de R n de componentes (x 1, x 2, x n ). En bastantes cuestiones el hecho de que sea m > 1 no involucra dificultades realmente significativas pues frecuentemente el estudio de la función f(x) = (f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ), f m (x 1, x 2,, x n )) 1

2 se reduce al de sus componentes f 1 (x), f 2 (x),, f m (x). Si n = 2, (resp. n = 3) en lugar de f(x 1, x 2 ) (resp. f(x 1, x 2, x 3 )) se suele escribir f(x, y) (resp. f(x, y, z)). Con el fin de motivar el estudio de las funciones vectoriales de varias variables conviene empezar comentando los diferentes tipos de representación geométrica que admiten estas funciones, según los valores de n y m, lo que permitirá interpretaciones geométricas ilustrativas de los conceptos que se vayan introduciendo. Con este fin conviene comenzar utilizando las nociones de curva y superficie en un sentido intuitivo, mostrando ejemplos concretos de estos objetos geométricos que más adelante se definirán de manera precisa. Uno de los objetivos de este curso es el de dar definiciones matemáticamente rigurosas de estas nociones. Mientras tanto utilizaremos los términos curva y superficie entre comillas para indicar que estamos considerando estos conceptos desde un punto de vista intuitivo completamente informal. Comenzamos con el caso n = 1 donde las interpretaciones geométricas son de distinta naturaleza que en el caso n Funciones de una variable En el curso de Análisis I, que se refiere al caso n = 1, m = 1, al efectuar la representación gráfica de una función aparecen curvas planas de un tipo muy especial pues cada recta paralela al eje OY sólo las puede cortar a lo más en un punto. Estas curvas, que vienen dadas como la gráfica de una función real de una variable real G(f) = {(x, y) R 2 : y = f(x)} diremos que admiten la representación explícita y = f(x). Más general es el caso de las curvas planas en forma paramétrica que corresponden al caso n = 1, m = 2. En este caso hay una interpretación geométrica y física natural: Si f(t) = (f 1 (t), f 2 (t)) se dice que x = f 1 (t), y = f 2 (t) son las ecuaciones paramétricas de una curva en el plano. Ahora la curva se puede interpretar físicamente como la trayectoria de una partícula que se mueve de modo que en el instante t se encuentra en la posición f(t) = (f 1 (t), f 2 (t)). Esta clase de curvas incluye a las anteriores ya que toda curva dada en la forma explícita y = f(x) admite la parametrización canónica f(t) = (t, f(t)). Un ejemplo muy sencillo lo proporciona la parametrización canónica de la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1: f(t) = (cost, sen t), 0 t 2π. Análogamente, el caso n = 1, m = 3, se considerará a la hora de estudiar curvas parametrizadas en el espacio euclídeo ordinario f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)). Interpretando que el parámetro t es el tiempo, con una función de este tipo se describe la trayectoria de una partícula que se mueve en el espacio Funciones de varias variables Para estudiar las funciones de varias variables se utilizan con frecuencia los recursos del cálculo con funciones de una variable, considerando las funciones parciales que se obtienen fijando todas las variables menos una. Para estudiar una función f 2

3 de n variables cerca de un punto a = (a 1, a 2, a n ) Ω es natural considerar las funciones parciales determinadas por ese punto, es decir, las funciones de variable real x 1 f(x 1, a 2,, a n ), x 2 f(a 1, x 2,, a n ), x n f(a 1, a 2,, a n 1, x n ) donde la primera función está definida en Ω 1 = {x 1 : (x 1, a 2, a n ) Ω} la segunda en Ω 2 = {x 2 : (a 1, x 2, a n ) Ω} etc. Funciones de dos variables Comencemos con el caso n = 2, m = 1. Para una función f : Ω R de dos variables reales (x, y) definida en un recinto Ω R, su gráfica G(f) = {(x, y, z) : (x, y) Ω, z = f(x, y)} suele ser una superficie con la que se pueden dar interpretaciones geométricas de los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral análogas a las del caso n = 1, m = 1. La noción de función diferenciable en un punto (a, b) Ω significará que la superficie G(f) tiene plano tangente en p = (a, b, f(a, b)). Por otra parte, la noción de integral para funciones de dos variables permitirá definir y calcular volúmenes de recintos tridimensionales del tipo R(f, Ω) = {(x, y, z) : (x, y) Ω, 0 z f(x, y)}. Una superficie de este tipo, que es la gráfica G(f) de una función real de dos variables reales, diremos que admite la representación explícita z = f(x, y). Las superficies que admiten una representación explícita son muy particulares pues cada recta paralela al eje OZ sólo las corta, a lo más, en un punto. Las funciones reales de dos variables también intervienen al considerar curvas planas definidas mediante una ecuación implícita de la forma g(x, y) = c, como ocurre con la circunferencia x 2 + y 2 = 1. Toda curva dada en forma explícita y = f(x) se puede representar en forma implícita g(x, y) = 0, usando la función g(x, y) = f(x) y. Con la circunferencia se pone de manifiesto que hay curvas planas que admiten una ecuación implícita pero no admiten una representación explícita global. (El teorema de la función implícita servirá para estudiar cuando una curva dada en forma implícita admite representaciones explícitas locales). En el caso de las funciones reales de dos variables reales, aunque es posible visualizar la gráfica de la función, también suele ser útil acudir a la técnica de las curvas de nivel que proporciona una representación gráfica bidimensional de la superficie tridimensional G(f). Proyectando sobre el plano XY la intersección de la gráfica G(f) con los planos z = c se obtienen los conjuntos de nivel N c = {(x, y) Ω : f(x, y) = c} Estos conjuntos, si no son vacíos, son curvas definidas implícitamente. Dibujando estas curvas para distintos valores de c (variando en progresión aritmética) se obtiene un mapa topográfico de la superficie G(f). 3

4 Gráfica y curvas de nivel de z = (x 2 + 3y 2 )e 1 x2 y 2 Figura 1 Para motivar el estudio de funciones de dos variables con valores en R 3 (caso n = 2, m = 3) se puede considerar la representación paramétrica de una superficie. Si f(u, v) = (f 1 (u, v), f 2 (u, v), f 3 (u, v)), se dice que x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), z = f 3 (u, v) son las ecuaciones paramétricas de una superficie en el espacio ordinario. Cuando (u, v) recorre el dominio Ω R 2 la imagen f(u, v) recorre una superficie S = f(ω) que se puede visualizar trazando en el espacio (x, y, z) las curvas imágenes de las rectas u = cte, v = cte. Obsérvese que toda superficie dada en forma explícita z = f(x, y) admite la parametrización canónica f(u, v) = (u, v, f(u, v)). Un ejemplo estandar lo proporciona la parametrización usual de la esfera de centro (0, 0, 0) y radio R, usando los parámetros habituales, latitud ϕ, y longitud θ: x = R cosϕcosθ, y = R cosϕsen θ, z = R sen ϕ Según sea el dominio Ω donde varían los parámetros se obtendrá como imagen un trozo de esfera, o toda la esfera. Así por ejemplo, el trozo de esfera que queda en {(x, y, z) : y > 0, z > 0} se parametriza con Ω = {(ϕ, θ) : 0 < ϕ < π/2, 0 < θ < π}. Funciones de tres variables Una motivación geométrica para el estudio de las funciones reales de tres variables reales es el de las superficies definidas mediante una ecuación de la forma g(x, y, z) = c, como es el caso de la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 1. Estas superficies se dice que admiten una representación implícita mediante la ecuación g(x, y, z) = c. Es claro que cualquier superficie dada en forma explícita z = f(x, y) se puede representar implícitamente usando la ecuación g(x, y, z) = 0 donde g(x, y, z) = f(x, y) z. Con la esfera se pone de manifiesto que la clase de las superficies que admiten una ecuación implícita es estrictamente más amplia que la clase de las que admiten una representación explícita. (El teorema de la función implícita permitirá estudiar cuando una superficie dada en forma implícita admite representaciones explícitas locales). La gráfica de una función real de tres variables reales (caso n = 3, m = 1) es un subconjunto de R 4 y es imposible visualizarla. Una alternativa para visualizar 4

5 geométricamente la función y dar interpretaciones físicas de su comportamiento es considerar sus superficies de nivel N c = {(x, y, z) Ω : f(x, y, z) = c} Estas superficies, dadas en forma implícita, se pueden visualizar en el espacio ordinario usando un programa de ordenador como DpGraph. Cuando se interpreta que la función t = f(x, y, z) proporciona la temperatura t del punto (x, y, z) Ω, entonces las superficies de nivel se llaman isotermas y su distribución en el espacio permite apreciar como varía la temperatura en el recinto Ω R 3. Una curva en el espacio tridimensional R 3 puede venir dada como intersección de dos superficies expresadas en forma implícita g 1 (x, y, z) = 0, g 2 (x, y, z) = 0 En el estudio de una curva de esta clase interviene una función de tres variables reales con valores en R 2, g(x, y, z) = (g 1 (x, y, z), g 2 (x, y, z). El teorema de la función implícita servirá para decidir cuando una curva de este tipo admite una representación paramétrica local Coordenadas curvilíneas En el caso n = 2 y m = 2, una función f(u, v) = (f 1 (u, v), f 2 (u, v)) se puede interpretar como una transformación entre dos planos: El plano (u, v) donde varían las variables independientes y el plano (x, y) donde toman valores las variables dependientes x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v). La transformación se puede visualizar considerando las curvas, en el plano (x, y), imágenes de las rectas u = cte, v = cte. Estas transformaciones intervienen en los problemas de cambio de variable en cálculo diferencial e integral. En este asunto, un problema expresado en términos de las variables originales (x, y) mediante la sustitución x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v) se transforma en otro problema en términos de las nuevas variables (u, v). Un ejemplo notable lo proporciona el cambio de variable a coordenadas polares, asociado a la transformación g(r, θ) = (r cosθ, r sen θ) En este caso, si (x, y) = (r cosθ, r sen θ), con r 0, se dice que (r, θ) son las coordenadas polares del punto (x, y). Las coordenadas polares de un punto (x, y) (0, 0) son únicas cuando se exige que θ varíe en un intervalo (α, β) con β α 2π. En el caso n = 3, m = 3, una función f(t, u, v) = (f 1 (t, u, v), f 2 (t, u, v), f 3 (t, u, v)) se puede interpretar como una transformación en el espacio R 3. En una copia del espacio varían las variables independientes (t, u, v) y en la otra copia toman valores 5

6 las variables dependientes x = f 1 (t, u, v), y = f 2 (t, u, v), z = f 2 (t, u, v). Se puede visualizar considerando las superficies paramétricas que se obtienen manteniendo constante uno de los parámetros (t, u, v) y haciendo que varíen los otros dos. Igual que en el caso n = 2, m = 2 estas transformaciones intervendrán en los problemas de cambio de variable, donde un problema expresado en términos de las variables originales (x, y, z) mediante la sustitución x = f 1 (t, u, v), y = f 2 (t, u, v), z = f 2 (t, u, v) se transforma en otro problema en términos de las nuevas variables (t, u, v). Un ejemplo importante es el cambio de variable a coordenadas esféricas. Estas coordenadas son las asociadas a la transformación g(ρ, ϕ, θ) = (ρ cosϕcosθ, ρ cosϕsen θ, ρ sen ϕ) En este caso, si (x, y, z) = (ρ cosϕcosθ, ρ cosϕsen θ, ρ sen ϕ) con ρ 0, se dice que (ρ, ϕ, θ) son las coordenadas esféricas del punto (x, y, z), a las variables ϕ, θ se les llama latitud y longitud por su interpretación obvia como coordenadas geográficas). Las coordenadas esféricas de un punto (x, y, z), con (x, y) (0, 0), son únicas cuando se exige que θ varíe en un intervalo (θ 0, θ 1 ) con θ 1 θ 0 2π y que ϕ varíe en un intervalo (ϕ 0, ϕ 1 ) ( π/2, π/2). Otro ejemplo notable lo proporcionan las coordenadas cilíndricas, asociadas a la transformación g(r, θ, t) = (r cosθ, r sen θ, t) Si (x, y, z) = (r cosθ, r sen θ, t) con r 0, se dice que (r, θ, t) son las coordenadas cilíndricas del punto (x, y, z). Si (x, y) (0, 0) las coordenadas cilíndricas de (x, y, z) son únicas cuando se exige que θ varíe en un intervalo (θ 0, θ 1 ) con θ 1 θ 0 2π. Cierto tipo de conjuntos M R 3 se describen fácilmente usando coordenadas esféricas o cilíndricas. Como esta descripción se utilizará con frecuencia al efectuar cambios de variable en integrales triples, conviene adquirir destreza en el problema geométrico de describir subconjuntos de R 3 usando este tipo de coordenadas. 6

7 1.5. Ejercicios propuestos Sea f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f n (t)), t [a, b], una trayectoria de clase C 1, que describe la curva C = f([a, b]) y cumple la condición (f 1 (t), f 1 (t),, f n (t)) (0, 0,, 0) para cada t [a, b] Demuestre que la trayectoria sólo pasa un número finito de veces por cada punto de la curva C Se sabe que la longitud de una trayectoria de clase C 1, f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f n (t)), t [a, b], se calcula mediante la integral: L = b a x 1 (t) 2 + x 2 (t)2 + + x n (t)2 dt Obtenga la interpretación física del número x 1 (t)2 + x 2 (t)2 + + x n (t) La cicloide es la curva plana que describe un punto de un aro circular que rueda sin deslizarse sobre una recta. Escriba sus ecuaciones paramétricas considerando una circunferencia de radio R que rueda sobre el eje de abscisas de modo que en instante inicial t = 0 el punto toca el suelo en (0, 0). Calcule la longitud del arco de cicloide entre dos pasos consecutivos por el suelo Escriba las ecuaciones paramétricas de la curva del espacio tridimensional que sigue el pasamanos de una escalera de caracol de radio R. Se sabe que la escalera sube tres pisos de altura h, y que emplea dos vueltas completas para subir desde un piso al siguiente. Utilice la fórmula dada en el problema para calcular la longitud del pasamanos. (La curva que sigue el pasamanos, que tiene la forma de un muelle, se llama hélice.) Utilice DpGraph para visualizar la superficie de ecuaciones parmétricas x = r cost, y = r sen t, z = t, 0 < r < 2 0 < t < 4π Sea considera la transformación f : R 2 R 2 definida por f(s, t) = (s 2 + t 2, 2st) Compruebe que f(r 2 ) = {(x, y) : 0 < x, y < x} y que la restricción f U al abierto U = {(x, y) : y < x} es inyectiva. Calcule V = f(u) y obtenga las ecuaciones de la inversa g = f 1 : V U. Visualize la transformación con DpGraph. (Indic: f(r cosϕ, r sen ϕ) = (r 2, r 2 sen 2ϕ)) En U = {(s, t) : 0 < t < s} se define f(s, t) = (log st, 1/(s 2 + t 2 )). Calcule V = f(u) y compruebe que f establece una biyección entre U y V. Visualize la transformación con DpGraph. 7

8 1.5.8 Sea U = {(s, t) : s > 0} y A = {(s, t) : 0 < s, 0 < t < 2π}. Se considera la transformación f : U R 2 definida por f(s, t) = (ch s cost, sh s sen t). Obtenga f(u), f(a). (Indic: Determine las imágenes de las rectas I α = {(α, t) : t R}, α > 0, o las imágenes de las semirrectas L β = {(s, β) : s > 0}) Demuestre que cada una de las siguientes aplicaciones establece una biyección entre su dominio y su imagen. Obtenga la imagen en cada caso. a) f : R 3 R 3, f(x, y, x) = (e 2y + e 2z, e 2x e 2z, x y). b) g : R 2 R 2, g(x, y) = (e x + e y, e x e y ) La temperatura de un punto (x, y, z) de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 3 viene dada por la función t = x 2 +y 2 +8xy+10z. Utilice DpGraph para visualizar el punto más caliente y el punto más frío de la esfera En cada uno de los siguientes casos considere las curvas de nivel N t = {(x, y) : f(x, y) = t} y utilice DpGraph para visualizar los puntos de la curva C = {(x, y) : g(x, y) = 0} donde f C presenta extremos absolutos o relativos. a) f(x, y) = x + y 2 g(x, y) = 2x 2 + y 2 1 b) f(x, y) = x 2 + y 2 4xy + 20x + 20y g(x, y) = x 2 + y 2 + xy Se considera el polinomio Q(x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2, donde A, B, C R. Utilice DpGrapg para visualizar las curvas de nivel Q(x, y) = cte en los casos i) AC B 2 < 0; ii) AC B 2 > 0, A > 0; iii) AC B 2 > 0; A < 0. Estudie cuando estas curvas son elipses, hipérbolas o rectas Utilice DpGraph para visualizar los siguientes subconjuntos de R 3 i) A = {(x, y, z) : 0 x, 0 y, 0 z, x + y + z 1}. ii) B = {(x, y, z) : 0 x, 0 y, 0 z, x + y + z a, az xy}; (a > 0). iii) C = {(x, y, z) : 2z 2 x 2 + y z 2 }. iv) D = {(x, y, z) : x 2 + z 2 R 2, y 2 + z 2 R 2 }. v) E = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 a 2, x 2 + y 2 z 2 }. vi) F = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 a 2, x 2 + y 2 ax; 0 z}. vii) G = {(x, y, z) : x 2 /a 2 + y 2 /b z 2 /c 2, 0 z 1}. viii) H = {(x, y, z) : x 2 + y 2 2y; x 2 + y 2 1; 0 x; 0 z x 2 + y 2 }. 8