Matrices de Proyección

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1 Matrices de Proyección Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 4 de abril de 8 Índice.. Proyección ortogonal Proyección de un vector en R m Matriz de Proyección Proyección ortogonal Teorema. Sea Y una matriz m n y un espacio lineal V de dimensión r, ambos dentro de un espacio lineal U. Entonces, existe una única matriz Z en V tal que (Y Z) V. Si r = entonces Z =, y si r > entonces Z se puede expresar como Z = c X c r X r, donde {X,...,X r } forman una base ortonormal de V y c i = Y X i para i =,...,r. Además, Z = Y si y sólo si Y V. La matriz Z se llamará la proyección ortogonal de Y sobre V. Si r = entonces dim(v ) =, y por tanto V = {}. Para Z = se tiene (Y Z) V. Y es claramente la única matriz en V que cumple esto. Si r > sea {X,...,X r } una base ortonormal de V y definamos c i = Y X i para i =,...,r y Z = r i= c ix i. Claramente, Z V y ( ) r Y c i X i X j = Y X j c j = para cada j =,...,r. Y por tanto (Y Z) V. Si X V y (Y X) V : i= (X Z) (X Z) = (X Y + Y Z) (X Z) = (Y X) (X Z) + (Y Z) (X Z) = + = Como X Z V, (Y Z) (X Z) =. Por tanto, X Z = y de allí que X = Z, haciendo que Z sea el único vector en V que cumple (Y Z) V Ejercicio

2 Considere el espacio lineal formado por todas las soluciones al sistema homogéneo: y el vector d =<, 3,, >. x + y + z w = x y z + w = Usando el orden primero x, luego y, luego z, y por último w, encuentre una base para el espacio solución. Ortogonolice la base encontrada. Usando la base encontrada, determine la proyección ortogonal de d sobre tal espacio. Usando el orden primero y, luego w, luego y, y por último z, encuentre una base para el espacio solución. Ortogonolice la base nueva base. Usando la nueva base encontrada, determine la proyección ortogonal de d sobre tal espacio. Lema. Sean A una matriz m n. Si X es invertible n n entonces C(AX) = C(A) y en particular, rank (A X) = rank(a). Claramente C(A X) C(A). Como A = A (XX ) = (AX)X entonces, C(A) C(AX). De estas dos contenciones tenemos la igualdad de los conjuntos Lema.3 Para cualquier matriz A: rank(a A) = rank(a ) = rank(a) Sea A una matriz m n con rango r. Sea A = QR la factorización QR de A. Por tanto, Q Q = I n y R es una matriz cuadrada triangular superior con rango r. Así A A = (QR) (QR) = R Q QR = R R Si r = n, entonces R es invertible y R también y por consiguiente también R R, indicando que A A = R R tiene rango n el mismo rango que A y que A. Si r < n, entonces [ ] Z B R =

3 con Z matriz r r invertible. Así R R = [ Z Z Z B B Z B B Haciendo operaciones elementales sobre esta matriz se puede reducir a: [ I Z ] B Indicando que A A = R R tiene rango r Ejercicio A = [ ] A = A 3 = repita los cálculos presentes en la demostración del lema.3. ] Lema.4 Para cualquier matriz A m n y cualquier vector b en R m el sistema de ecuaciones: A Ax = A b es consistente. Del lema anterior se deduce que C(A A) = C(A). Como el vector A b está en C(A ), entonces también está en C(A A). Por consiguiente, el sistema formulado es consistente Ejercicio 3 A = A = y vectores b =<,, > y b =<,, >, vea que los sistemas Ax = b con inconsistentes pero los sistemas A Ax = A b son consistentes. 3

4 .. Proyección de un vector en R m Teorema.5 Sea z la proyección de b sobre C(A), A m n. Entonces, z = Ax para cuaquier solución x al sistema A Ax = A b Suponga que x es la solución al sistema A Ax = A b. Por el lema anterior, estos sistemas siempre son consistentes. Por tanto, A (Ax b) =, es decir que b Ax es ortogonal C(A). Como Ax está en C(A), por el resultado anterior Ax es la proyeccción ortogonal de b sobre C(A) Ejercicio 4 A = A = y los vectores b =<,, > y b =<,, >, determine las proyecciones de cada b a los espacios columnas de cada A y compruebe que da lo mismo que se obtiene resolviendo los sistemas A Ax = A b. Si uno dispone de una inversa generalizada de A A entonces es simple el cálculo del vector proyección sobre un espacio. El siguiente resultado indica cómo y es una consecuencia inmediante del anterior y de las propiedades de la inversa generalizada: Corolario.6 Sea z la proyección del b sobre C(A), entonces z = A(A A) A b Ejercicio 5 A = A = 4

5 y los vectores b =<,, > y b =<,, >, en cada caso determine una inversa generalizada para A A y compruebe que la proyección de b sobre C(A) coinde con el resultado que da la fórmula del colorario.6. Ejercicio 6 Encuentre la proyección del vector <,, > sobre el plano x + 3y z =. Sugerencia De acuerdo al resultado anterior se debe encontrar una matriz A tal que C(A) sea el plano. Para ello hay que encontrar los vectores que general tal plano: Resolviendo la ecuación del plano: x y z = 3 y + z y z = y Así el plano es el espacio generado por los vectores: 3, Tome A = z Ahora aplique la fórmula del vector de proyección: A (A A) A b..3. Matriz de Proyección El corolario anterior motiva la siguiente definición: Definición Sea A una matriz cualquiera, la matriz P A se definirá como: P A = A ( A T A ) A T () se conoce como la matriz de proyección ortogonal sobre A. Nuestra meta ahora es probar que esta matriz no depende de la elección de la inversa generalizada de ( A T A ). Teorema.7 Sean matrices X m n, Y q n, y X m q. Si R(Y) R(X) y C(Z) C(X), entonces la matriz YX Z es independiente de la elección de X. Suponga que R(Y) R(X) y C(Z) C(X) entonces existen matrices L y R tales que Y = LX y Z = XR. Así: YX Z = (RX)X (XR) = R(XX X)R = LXR el segundo miembro no depende de X Teorema.8 5

6 Sea A una matriz cualquiera, entonces la matriz proyección de A es independiente de la matriz (A A). Por lema previo, rank ( A A ) = rank(a ) = rank(a) En particular, C(A ) C(A A) y R(A) R(A A). Por tanto, se cumplen las condiciones del teorema anterior para X = A A, Y = A y Z = A : Por tanto, Y X Z = A ( A A ) A es independiente de (A A) Ejercicio 7 A = A = 3 3 determine dos matrices determine dos matrices inversas generalizadas de A A y vea que las matrices de proyección arrojan el mismo resultado. En la determinación de las inversas generalizadas, utilice la inversa de Moore-Penrose y otra obtenida del algoritmo visto en clase. 6