TEOREMA DE HAHN-BANACH.

Transcripción

1 TEOREMA DE HAHN-BANACH. Sea E un e.v y M un s.v. de E. Toda aplicación lineal T 0 : M F de M en otro e.v. F se extiende a una aplicación lineal T : E F. Por ejemplo, basta considerar un suplementario algebraico N de M; si P M : E M es la proyección sobre M asociada a la descomposición E = M N, la fórmula T := T 0 P M define una extensión de T 0. Sin embargo, si E, F son espacios normados y T 0 es lineal y continua, en general no es posible encontrar una extensión lineal y continua de T. Por ejemplo, puede probarse que la identidad I : c 0 c 0 no admite una extensión lineal continua a todo l! El objeto de esta sección es probar que el problema de extensión tiene solución cuando se trata de formas lineales, esto es, cuando el espacio imagen es el cuerpo base K. Comencemos con un lema, de interés en sí mismo: 1. Lema. (Extensión lineal inmediata). Sea M un s.v. propio de un espacio vectorial real E, p una subnorma (1) sobre E y T o M tal que T o (m) p(m), m M. Si x E\M, existe una extensión lineal T de T o a M [x] que cumple T (m + rx) p(m + rx), r R. Demostración: Toda posible extensión lineal de T o a M [x] será de la forma T (m + rx) = T o (m) + rµ(µ = T (x)), r R. Se trata, pues, de probar que se puede elegir µ verificando T o (m) + rµ p(m + rx), r R. ( ) Pero si m, n M, resulta T o (m) + T 0 (n) = T 0 (m + n) p(m + n) p(m + x) + p(n x), (1) es decir, un funcional p : E R, no necesariamente positivo, tal que p(x + y) p(x) + p(y) y p(rx) = rp(x) r 0 1

2 luego T o (n) p(n x) p(m + x) T o (m), m, n M. Por tanto Sup {T o (n) p(n x) : n M} = α β = Inf {p(m + x) T o (m) : m M}. Tomemos α µ β. Entonces r R\{0} y m M se tiene T o (m/r) + µ p( m r + x) y T o ( m/r) µ p( m r x) Multiplicando por r la primera expresión, si r > 0, o por r la segunda, si r < 0, obtenemos (*). 2. Nota. De la demostración resulta que la extensión es única si y sólo si α = β. 3. Teorema. (Hahn-Banach, forma analítica real) Sea E un e.v. real, M un s.v., p una subnorma sobre E y T o M tal que T o (m) p(m), m M. Entonces existe una extensión T E de T o que cumple T (x) p(x), x E. Demostración: Sea P la familia de todos los pares ordenados (N, S), donde N es un s.v. que contiene a M, S N extiende a T y satisface S(n) p(n), n N. Definamos (N 1, S 1 ) (N 2, S 2 ) si N 1 N 2 y S 2 N1 = S 1. Es inmediato ver que P es parcialmente ordenado e inductivo, luego por el lema de Zorn, posee un elemento maximal (F, T ). Si F E, existiría x E\F y, por el lema anterior, una T extensión de T (y por tanto de T o ) a N = F [x], verificando T (y) p(y), y N. Esto significa que (N, T ) P y mayora estrictamente a (F, T ), lo que contradice la maximalidad. Así pues, F = E y T es la extensión buscada. 4. Observación. En las condiciones anteriores, si p es una seminorma, la condición T (x) p(x) equivale a la T (x) p(x). En efecto, por linealidad y la hipótesis T (x) = T ( x) p( x) = p(x) por ser p una seminorma, lo que proporciona la implicación no trivial. 2

3 5. Teorema (Hahn-Banach; caso general). Sea E un e.v. sobre K, M un s.v., p una seminorma sobre E y T o M tal que T o (m) p(m), m M. Entonces existe una extensión T E de T o que cumple T (x) p(x), x E. Demostración: a) Caso K = R. Por el teorema anterior, existe T E, extensión de T o, tal que T (x) p(x), x E. Entonces T ( x) = T (x) p( x) = p(x), luego p(x) T (x) p(x), x E. b) Caso K = C. Notemos que si z C, se tiene z = Rz i R(iz). por tanto, si S es una forma C-lineal sobre un e.v. y U = R(S), resulta que S(x) = U(x) iu(ix). Recíprocamente, si U es una forma R-lineal sobre un e.v. complejo la fórmula S(x) = U(x) iu(ix) define una aplicación obviamente R-lineal y como S(ix) = is(x), resulta que S es también C-lineal. Con estos prolegómenos, pasemos a la demostración del teorema: Sea U o la parte real de T o M. Es evidente que U o (m) T o (m) p(m), m M, luego por el caso (a), existe una extensión R-lineal U de U o, cumpliendo U(x) p(x), x E. Definamos T (x) = U(x) iu(ix) que, por la discusión anterior, es C-lineal y una extensión de T o. Finalmente, si T (x) = re iθ, entonces T (e iθ x) = r = T (x) = U(e iθ x) p(e iθ x) = p(x). 6. Corolario. Sea E un espacio normado y M un s.v. de E. a) Si T o M, existe una extensión T E de T o de modo que T = T o. b) Para todo x 0 0 existe un x E con x = 1 y x (x 0 ) = x 0. En particular, se tiene x 0 = sup{ x (x 0 ) : x 1} = sup{ x (x 0 ) : x = 1} Demostración: a) Basta considerar la seminorma p(x) := T 0 x y aplicar el Teorema. b) Claramente x 0 sup{ x (x 0 ) : x 1} sup{ x (x 0 ) : x = 1}. Por otro lado, consideremos M := x 0 y T 0 (λx 0 ) := λ x 0. T 0 es obviamente lineal sobre M y de norma 1. Por (a) existe una extensión x E de T 0 de norma 1 que claramente cumple x (x 0 ) = x 0. 3

4 7. Corolario. Sea E un espaciio normado. Si {x 1,..., x n } E son linealmente independientes y α 1,..., α n K, existe x E tal que x (x i )) = α 1, 1 i n. En particular, i) E distingue puntos de E ii) Si E tiene dimensión infinita, E también. Demostración: Sea M = [x 1,..., x n ] y T 0 : M K la aplicación lineal que cumple T 0 (x i ) = α i (1 i n). Como M dimensión finita, T 0 M. Basta entonces aplicar el corolario 6 (a). En particular, i) Si x 0, por (a) existe x E tal que x (x) = 1. ii) Consideremos para cada n un conjunto {x 1,..., x n } E de vectores linealmente independientes. Por (a), existen {x i : 1 i n} tales que x i (x j) = δ ij. Es evidente que los {x i : 1 i n} son linealmente independientes, luego dim(e ) n. 8. Corolario. Sea E un espacio normado y M un s.v. de E. a) Si x / M, existe x E con x = 1 tal que x M = 0 y x (x 0 ) = dist(x 0, M). b) x 0 M si y sólo si toda forma lineal continua que se anula en M, se anula en x 0. c) En particular, M es denso si y sólo si la única forma lineal continua que se anula sobre M es la 0. Demostración. a) Si x 0 M, consideremos el espacio normado F = E/M, y π : E F la aplicación canónica. Entonces π(x 0 ) 0, por hipótesis, luego por el corolario 6 (b), existe ϕ F tal que ϕ = 1 y ϕ(π(x 0 )) = π(x 0 ) = dis(x 0, M). Es claro que x = ϕ π E, se anula sobre M y cumple x (x o ) = 1. Se comprueba fácilmetne que x = 1. (b) y (c) se deducen fácilmente de (a). 9. Corolario (Lema de Riesz). Sea M un subespacio vectorial cerrado y propio de un espacio normado E. Para cada 0 < ɛ < 1 existe x 0 E, x = 1 tal que x o m 1 ɛ, m M. Demostración. Sea x E con x = 1 y x M = 0. Entonces existe x 0 E de norma 1, tal que x (x 0 ) 1 ɛ. Pero entonces, para todo m M, 1 ɛ x (x 0 ) = x (x 0 m) x 0 m. 10 Corolario (Caracterización de los espacios normados de dimensión finita) 4

5 En un espacio normado E son equivalentes: a) E tiene dimensión finita. b) Todo cerrado y acotado de E es compacto. c) La bola unidad cerrada B(E) es compacta. d) La esfera unidad S(E) de E es compacta. Demostración. Ya hemos visto que (a) (b) y, obviamente, (b) (c) (d). Probemos que (d) (a): Si E tuviera dimensión infinita, sea un x 1 S(E) y tomemos M 1 := x 1, que es un subespacio cerrado y propio de E. Por el lema de Riesz, existe x 2 S(E) con x 2 λx 1 1 2, λ jk. En general, construidos {x 1,..., x k } S(E), sea M k := x 1,..., x k, subespacio cerrado y propio de E por hipótesis. De nuevo el lema de Riesz permite obtener un x k+1 S(E) tal que x k+1 m 1 2, m M k. De esta forma, por inducción, obtenemos una sucesión {x n } S(E) que cumple x n x m 1 2, n m, luego esta sucesión no posee ninguna subsxucesión de Cauchy ni, por tanto, convergente. Esto implica que S(E) no es compacto. 11. Observaciones y ejemplos. 1) El conjunto de extensiones de una forma lineal continua que conservan la norma puede ser de dimensión infinita: Considérese E = (C[0, 1],. ), M el s.v. formado por las funciones constantes y T o : M K definida por T o (m) = m(0), m M. Para Cada t [0, 1], δ t es una extensión de T o a E, con la misma norma (=1). 2.- Mientras que la existencia de prolongaciones continuas de formas lineales depende exclusivamente de la topología, en el caso de espacios normados la condición de que la extensión conserve la norma, depende claramente de la norma original considerada. De ahí que al variar la norma por otra equivalente, una misma forma lineal puede tener una única extensión o varias, conservando la norma. 5