Notas de Análisis Funcional

Transcripción

1 Notas de Análisis Funcional Ventura Echandía Liendo. Carlos E. Finol Caracas, Octubre 2002.

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3 Contenido 1 Nociones de espacios normados Espacios métricos y espacios vectoriales Espacios métricos Espacio vectorial Espacios Normados Ejemplos de espacios normados Propiedades de la función norma Norma en los espacios L p Espacios de Banach Espacios cocientes Ejercicios Aplicaciones lineales Condiciones equivalentes de continuidad Norma en L(X, Y ) Norma de un operador Condición para que L(X, Y ) sea un espacio de Banach Equivalencia de normas en espacios normados Espacios normados de dimensión finita El teorema de F. Riesz Ejercicios El Dual de un espacio normado El Teorema de Hahn-Banach Ejemplos de espacios duales Ejercicios

4 4 CONTENIDO 4 Series en espacios de Banach Ejemplos y aplicaciones Caracterización de espacios de Banach El Teorema de Baire y aplicaciones El Teorema de Baire Acotación uniforme y Banach-Steinhaus El Teorema de aplicación abierta El Teorema del Gráfico Cerrado Ejercicios Topología débil Convergencia débil y débil estrella en espacios normados Espacio producto y Topología débil Espacios productos Topologías débiles Ejercicios Espacios de funciones continuas Espacios de funciones continuas El Teorema de Stone-Weierstrass El Teorema de Arzela -Ascoli Ejercicios Espacios de Hilbert Formas hermíticas Producto interno Complemento y Proyección Ortogonal Teorema de Representación de Riesz Desigualdad de Bessel e igualdad de Parseval Operadores acotados sobre espacios de Hilbert Operador adjunto Operadores hermíticos Operadores normales y unitarios Ejercicios

5 Introducción Las presentes notas, que no están realizadas para ser consideradas un libro de texto, están basadas en apuntes de diferentes cursos de Análisis Funcional dictados por los autores en el Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela. El Análisis Funcional constituye una importante rama de la Matemática moderna y su surgimiento puede ser asociado al desarrollo de la teoría de Operadores en los espacios de Hilbert de dimensión infinita y al estudio de los espacios normados. La intención principal de publicar el presente trabajo, ha sido dotar a los estudiantes de la Licenciatura en Matemática de la U.C.V. de un material que se adapte estrictamente al programa de la asignatura Análisis Funcional de dicha Licenciatura, lo cual consideramos será de gran utilidad para que los estudiantes logren los objetivos planteados en dicho curso. El trabajo está dividido en capítulos, cada capítulo está dividido en secciones en los que aparecerán algunos ejercicios. Los capítulos finalizan con una sección de ejercicios. La resolución de los ejercicios servirá para comprobar el grado de dominio alcanzado por el lector de las ideas y las técnicas presentadas en el capítulo correspondiente. Cada capítulo contiene problemas de diferentes grados de complejidad. Además de los ejercicios de cálculo existen aquellos que permiten demostrar y comprender ciertos resultados. Estamos seguros de que a pesar de los esfuerzos que hemos realizados en la revisión de estas notas existirán algunos errores, los que agradeceríamos a los lectores nos los comunicaran, así como cualquier sugerencia sobre los defectos que puedan presentar estas notas. Queremos agradecer a la Señora Mildred Graterol por el tipeo en Latex de estas notas y a la profesora María D. Morán por la acuciosa revisión y sus valiosos comentarios. Los autores. 5

6 6 CONTENIDO

7 Capítulo 1 Nociones de espacios normados 1.1 Espacios métricos y espacios vectoriales Espacios métricos Definición 1.1 Una métrica sobre un conjunto S es una función ρ : SxS R que satisface las siguientes condiciones: (M 1 ) ρ(x, y) 0 para todo x, y en S ρ(x, y) = 0 si, y sólo si, x = y. (M 2 ) ρ(x, y) = ρ(y, x) para todo x, y en S. (M 3 ) ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z) para todo x, y, z en S. M 1 es llamada la condición de positividad. M 2 es llamada la condición de simetría. M 3 es llamada la desigualdad triangular. El par (S, ρ) es denominado un espacio métrico. Ejemplo 1.1 En R, definimos ρ (x, y) = x y x, y R. Ejercicio 1.1 Demuestre que ρ es una métrica sobre R. Ejercicio 1.2 Definamos ρ : RxR R, por ρ(x, y) = inf(1, x y ) Demuestre que esta ρ es una métrica sobre R y que ρ es acotada. 7

8 8 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS Ejemplo 1.2 Para cada conjunto S definamos ρ : SxS R por ρ(x, y) = { 1 si x y 0 si x = y. Ejercicio 1.3 Demuestre que ρ es una métrica sobre S. Observación 1.1 Si (S, ρ) es un espacio métrico la topología ζ determinada por ρ esta dada de la siguiente manera: Un subconjunto 0 de S se dice abierto si para cada x en 0 hay un ε > 0 tal que B(x, ε) 0. Acá B(x, ε) = {y, s : ρ (x, y) < ε}. Observación 1.2 Notese que para definir espacios métricos no se exige en S ninguna estructura algebraica. Vamos a extender los conceptos de algebra lineal a dimensión infinita y por lo tanto necesitamos la estructura de espacio vectorial, cuya definición escribiremos con detalle Espacio vectorial Definición 1.2 Un espacio vectorial X sobre un cuerpo K consta de dos funciones, una de XxX X denotada por + y otra de KxX X denotada por., las cuales satisfacen las siguientes condiciones: (A 1 ) x + (y + z) = (x + y) + z, para todo x, y, z en X. (A 2 ) (x + y) = y + x, para todo x, y en X. (A 3 ) Hay un 0 en X tal que x + 0 = x, para todo x en X. (A 4 ) Para todo x en X hay un ( x) en X tal que x + ( x) = 0. (P 1 ) Para todo a, b en K y x en X; a.(b.x) = (a.b).x (P 2 ) Para todo a, b en K y x en X; (a + b).x = a.x + b.x (P 3 ) Para todo a en K y x, y en X; a.(x + y) = ax + ay. (P 4 ) Para todo x en X; 1.x = x. En estas notas K será restringido a ser K = R o K = C.

9 1.1. ESPACIOS MÉTRICOS Y ESPACIOS VECTORIALES 9 Ejemplos de espacios vectoriales: Ejemplo 1.3 R n = {(x 1, x 2, x 3,... x n ) ; x i R, i = 1, 2,... n} con adición + definida por: (x 1, x 2, x 3,... x n ) + (y 1, y 2, y 3,... y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3,... x n + y n ) y producto por un escalar definido por: λ(x 1, x 2,... x n ) = (λx 1, λx 2,... λx n ), es un espacio vectorial. Ejemplo 1.4 Si S es un conjunto cualquiera y definimos Ω(S) = {f funciones definidas en S a valores reales}, entonces Ω(s) con adición + definida por : (f + g)(x) = f(x) + g(x), x S. y multiplicación por un escalar (.) definido por: (λ.f) (x) = λ.f(x), λ R, x S, es un espacio vectorial. Nos referiremos a esta suma y multiplicación como la suma y la multiplicación usuales. Si S = N, entonces Ω(N ) es el espacio de todas las sucesiones a valores reales. Ejemplo 1.5 Si S es un subconjunto de la recta real; C(S) denotará el espacio de todas las funciones continuas con valores en R. C(S) estará dotado de la suma y multiplicación por un escalar usuales. Ejemplo 1.6 Sea l el conjunto de las sucesiones que solo tienen finitos terminos diferentes de cero. El conjunto l es un espacio vectorial con la suma y multiplicación usuales.

10 10 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS Definición 1.3 Si Y es un subconjunto del espacio vectorial X y Y es un espacio vectorial con respecto a las operaciones definidas en X, entonces diremos que Y es un subespacio vectorial de X. Ejercicio 1.4 Si denotamos por c al conjunto de todas las sucesiones convergentes, por c al conjunto de todas las sucesiones que convergen a cero, y por l 1 al conjunto de todas las sucesiones (x n ) para las cuales x n <.Verifique que l l 1 c c Ω(N), y que cada uno de estos conjuntos es subespacio vectorial del que lo contiene. 1.2 Espacios Normados Definición 1.4 Supongase que X es un espacio sobre el cuerpo K. Una norma sobre X es una función. de X en los reales no negativos, que tiene las siguientes propiedades: (N 1 ) Para x en X, x = 0 si, y sólo si,x = 0. (N 2 ) Para x X y a en K, ax = a x. (N 3 ) Para x, y X, x + y x + y. La propiedad N 2 es llamada Homogeneidad. La propiedad N 3 es llamada desigualdad triangular. Ejercicio 1.5 Verifique que si. es una norma sobre un espacio vectorial X, entonces la función ρ(x, y) = x y define una métrica sobre X. Al espacio X dotado de la topología definida por la metrica ρ(x, y) = x y se le denomina espacio normado Ejemplos de espacios normados Espacios de dimensión finita Ejemplo 1.7 X = R n, x = (x 1, x 2,...x n ) ( n ) 1/2 x = x k 2 (norma Euclidea) k=1

11 1.2. ESPACIOS NORMADOS 11 Ejercicio 1.6 Use la desigualdad de Cauchy-Schwartz ( n ) x.y x y k=1 para demostrar que x + y x + y. Ejercicio 1.7 Verifique que la norma Euclidea es una norma en R n. Observación 1.3 Un argumento similar se usa para probar que la norma Euclidea es una norma en C n. Ejemplo 1.8 Si 1 p <, entonces la función. p sobre R n o C n definida por: { n x p = x i p } 1/p es una norma (daremos la demostración en paginas posteriores). Ejercicio 1.8 Verifique que la función. definida por: es una norma en R n o C n. x = max { x i : 1 i n}, En páginas posteriores demostraremos que todas las normas definidas anteriormente, determinan la misma topología sobre R n. { } Ejercicio 1.9 Dibuje los conjuntos A p = x R 2 : x p = 1, para p = 5; 4 p = 2; p = 5 2 y p = 3 Espacios de sucesiones Ejemplo 1.9 El espacio de sucesiones acotadas es denotado por l, es decir l = {x = (x k ) k=1 : M R x k < M, para todo k 1}. La norma uniforme. es definida sobre l por x = sup x k. k 1

12 12 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS Ejemplo 1.10 El espacio c es definido por { c := x = (x k ) k=1 : lim x k k Ejemplo 1.11 El espacio c = { x = (x k ) k=1 : } existe } lim x k = 0. k Ejercicio 1.10 Demuestre que c y c son espacios normados dotados con la norma.. Además se tiene que c c l. Ejemplo 1.12 El espacio l p, 1 p <, consiste de todas las sucesiones x = {x k } k=1 reales o complejas tales que { } 1/p x p := x k p <. k=1 l p es un espacio normado dotado de la norma. p. Espacios de funciones Ejemplo 1.13 Sea (X, Σ, µ) un espacio de medida totalmente σ finito, es decir, existe una sucesión {A n } Σ tales que µ(a n) < y X = A n. Denotaremos por L p (X, µ); 1 p, al espacio de las funciones f : X K, µ - medibles tales que ( 1/p f p = f(x) dµ(x)) p <. X Ejemplo 1.14 El espacio L (X, µ) consiste de aquellas funciones f, µ - medibles y esencialmente acotadas. Esto significa que existe A R tal que f(x) A µ casi siempre. La más pequeña constante A para la cual esto es cierto es denominada el supremo esencial y esta será la norma infinita de f; es decir { } f = inf sup f(t) : S Σ ; µ(x S) = 0 t S.

13 1.3. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN NORMA 13 Ejemplo 1.15 Sea X un espacio metrico compacto. El espacio vectorial de todas las funciones continuas definidas en X con valores en K = R ó K = C lo denotaremos por C K (X). Este espacio dotado de la norma. definida por f := sup { f(x) ; x X}, es un espacio normado. 1.3 Propiedades de la función norma Supongamos que (X,. ) es un espacio normado, entonces se tiene que 1.) Para todo x en X x = x 2.) Para todo x, y en X se tiene que de lo cual se tiene que x = x + y + y x y + y, x y x y. De forma analoga podemos obtener que y x x y, por lo tanto se tiene que x y x y. En un espacio normado (X,. ) es inducida una métrica por d(x, y) = x y.

14 14 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS Esta métrica tiene las siguientes propiedades: 1. d(λx, λy) = λ (x y) = λ x y = λ d(x, y), para todo x, y X ; λ K. 2. d(x, 0) = x, y como x = x, entonces d( x, 0) = x. 3. d(x + z, y + z) = d(x, y). Ejercicio 1.11 Dado X un espacio normado y x X, definamos la función f : [0, ) [0, ), por f(x, t) = d (tx, 0) = tx. Verifique que para cada x en X, f es una función creciente. Observación 1.4 La norma es una función continua sobre X. En efecto, sea {x n } X una sucesión que converge a x X en la topología de la norma. ; es decir lim x n x 0 = 0, se deduce entonces que x n x 0 x n x 0, es decir lim x n x 0 = 0. Ejercicio 1.12 Demuestre que en general no es cierto que: si lim x n = x 0, entonces lim x n x 0 = 0. Proposición 1.1 En un espacio normado (X,. ) la adición de vectores y el producto por un escalar son funciones continuas. Demostración: por La adición en X es la función S : XxX X, definida S(x, y) = x + y, (x, y) XxX. Vamos a considerar en XxX la topología producto. Supongamos que la sucesión {x n } X converge al elemento x 0 en X, y que la sucesión

15 1.3. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN NORMA 15 {y n } converge a y 0 en Y. Sea ε > 0 y δ = ε 2 ; entonces existe n 0 tal que max { x n x 0, y n y 0 } < δ, n n 0. En consecuencia (x n + y n ) (x 0 + y 0 ) x n x 0 + y n y 0 < ε. Demostremos ahora que la multiplicación por un escalar es continua. Sea {λ n } una sucesión de escalares que converge a λ 0, y {x n } una sucesión que converge a x 0 en X, entonces λ n x n λ 0 x 0 = λ n x n λ 0 x n + λ 0 x n λ 0 x 0 λ n λ 0 x n + λ 0 x n x 0, n N. Lo cual tiende a cero cuando n tiende a infinito, ya que lim λ 0 x n x 0 = 0 ; y como {x n } es acotada en norma por ser convergente, se tiene que lim λ n λ 0 x n = 0 Observación 1.5 Si tenemos dos espacios topologicos (X, τ 1 ), (Y, τ 2 ), un conjunto V es abierto en la topología producto τ = τ 1 xτ 2 de XxX si, y sólo si, para cada punto (x, y) en V, existe u 1 τ 1 y u 2 τ 2 tales que x u 1 ; y u 2 y u 1 x u 2 V. En el caso que (X, τ 1 ), (Y, τ 2 ) son espacios métricos se tiene que τ = τ 1 x τ 2 es una topología métrica dada por la métrica τ [(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )] = max {τ 1 (x 1, x 2 ), τ 2 (y 2, y 2 )} Norma en los espacios L p En esta parte vamos a demostrar que las funcionales. p, 1 p <, definidas anteriormente sobre L p (X, µ) son en realidad normas. Para esto vamos a demostrar el siguiente resultado que será utilizado en la demostración de la asi denominada desigualdad de Holder.

16 16 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS Lema 1.1 Si a, b son reales no negativos entonces se tiene que a 1/p.b 1/q a p + b q ; 1 < p, q <. Demostración: Consideremos la función h(t) = t α αt + α 1 con 0 < α < 1. Se tiene entonces que h (t) = αt α 1 α = α(t α 1 1). por lo tanto h (1) = h(1) = 0 y h (t) > 0 si 0 < t < 1, lo cual implica que h es creciente en (0, 1). Además se tiene que h (t) < 0 si 1 < t <, lo cual implica que h es decreciente en (1, ) Por lo tanto se tiene que h(t) 0 para todo t R. Si b = 0 la desigualdad es cierta. Supongamos que b > 0 y tomemos t = a, α = 1, entonces se tiene que b p ( a ) ( a ) ( ) 1/p 1 (a ) h = + 1 b b p b p 1 0. Multiplicando ambos lados por b tenemos que ( ) 1 (a) 1/p.b 1/q a + 1 p p b b = a1/p.b 1/q a p + b(1 p 1) 0 a 1/p.b 1/q a p b q 0 ; es decir a 1/p.b 1/q a p + b q. Teorema 1.1 (Desigualdad de Holder) Supongase que p y q son números reales no negativos tales que = 1 y (X, Σ, µ) es un espacio de medida p q σ finita. Si f L p (X, Σ, µ) y g L q (X, Σ, µ), entonces se tiene que fg L 1 (X, Σ, µ) y fg dµ f p g q. X

17 1.3. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN NORMA 17 Demostración: Supongamos que f p = g q = 1. Aplicando el lema anterior con a = f(x) p, b = g(x) q, se obtiene que f(x)g(x) f(x) p p + g(x) q q, x X. Integrando a ambos lados se obtiene que f(x) p f(x)g(x) dµ(x) dµ(x) + p X X = 1 p + 1 q = 1. X g(x) q dµ q Para el caso general podemos suponer que f p 0 y g q 0, ya que en otro caso la desigualdad de Holder es cierta, aplicando lo demostrado anteriormente a f g,, concluímos que f p g q f(x)g(x) dµ(x) 1 f p g q de lo cual se obtiene que X X f(x)g(x) dµ(x) f p g q En los casos p = 1, q =, ó p =, q = 1 ; la demostración es inmediata ya que f(x)g(x) f(x) (sup ess g ), casi siempre. Entonces se tiene que f(x)g(x) dµ(x) f(x) dµ (sup ess g ) = f 1 g. X X Ejercicio 1.13 Verifique que la igualdad es cierta en la desigualdad de Holder si, y sólo si, g q f(x) p = f p g(x) q, casi siempre. Aplicando desigualdad de Holder obtendremos la asi llamada desigualdad de Minkowski. Teorema 1.2 (Desigualdad de Minkowski) Si f 1 y f 2 son funciones de L p (X, Σ, µ) donde 1 p, entonces (f 1 + f 2 ) L P (X, Σ, µ) y f 1 + f 2 p f 1 p + f 2 p.

18 18 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS Demostración: La demostración en los casos p = 1 ; p = la dejamos al lector. Si f 1, f 2 estan en L p (X, Σ, µ) se tiene que f 1 (x) + f 2 (x) p 2 p (max { f 1 (x) p, f 2 (x) p } casi siempre, lo cual indica que (f 1 + f 2 ) está en L p (X, Σ, µ). Ademas se tiene que f 1 (x) + f 2 (x) p = f 1 (x) + f 2 (x) p 1 f 1 (x) + f 1 (x) + f 2 (x) p 1 f 2 (x) integrando a ambos lados se tiene que f 1 + f 2 P p = X f 1 (x) + f 2 (x) p 1 f 1 (x) dµ(x)+ f 1 (x) + f 2 (x) p 1 f 2 (x) dµ(x) X Usando desigualdad de Holder en el miembro derecho de la igualdad obtenemos f 1 (x) + f 2 (x) p 1 f 1 (x) dµ f 1 f1 p + f 2 p 1 q y X f 1 (x) + f 2 (x) p 1 f 2 (x) dµ f 2 p f 1 + f 2 p 1 q y como X f 1 + f 2 p 1 ( ) 1/q q = f 1 + f 2 (p 1)q dµ = f 1 + f 2 p/q q. X Combinando las desigualdades anteriores se obtiene que ( ) ( f1 f 1 + f 2 p p f 1 p + f 2 p + f 2 p 1 ) ) ( q = ( f 1 p + f 2 p ( Dividiendo ambos lados entre f 1 + f 2 p/q p ), obtenemos f 1 + f p p/q p f 1 p + f 2 p, f 1 + f 2 p/q p ). es decir f 1 + f 2 p f 1 p + f 2 p Ejercicio 1.14 Demuestre directamente la desigualdad de Holder para {x n } en l p y {h n } en l q con 1 p + 1 q = 1.

19 1.4. ESPACIOS DE BANACH Espacios de Banach Definición 1.5 Un espacio normado (X,. ) se denomina un espacio de Banach si es completo con respecto a la topología inducida por la norma. Ejercicio 1.15 Demuestre que todos los espacios de dimensión finita que hemos definidos anteriormente son espacios de Banach. Lema 1.2 l p es un espacio de Banach. Demostración: Sea {x n } = ((xn i ) ) una sucesión de Cauchy en l p, entonces dado ε > 0, existe N 0 (ε) N tal que en particular para cada i se tiene que y en consecuencia el límite x n x m p < ε, m, n N 0 (ε) ; x n i x m i < ε p, m, n N 0 (ε) lim xn i = x 0 i, existe para cada i. Definamos ahora x (0) = (x (0) i ) y veamos que lim x n = x 0. Dado ε > 0, existe N 0 (ε) tal que ( ) 1/p x m x n p = x m i x n i p < ε, n, m N 0 (ε). Por lo tanto se tiene que de lo cual obtenemos que lim m x m i x n i p ε p, lim m (xm i x n i ) p ε p,

20 20 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS es decir De lo que se concluye que x 0 i x n p i ε p. lim x 0 x n p = 0. Además se tiene que x 0 p x 0 x n p + x n p ε + x n p <. Usaremos el siguiente lema en la demostración de resultados posteriores. Lema 1.3 Si {x n } una sucesión de Cauchy en un espacio normado, entonces existe una subsucesión { } x Φ(n) de la sucesión dada, tal que xφ(n) x Φ(n+1) < 1 2 n, n N. Demostración: Dado ε = 1 2 n, existe N(n) N tal que x m x p < 1 2 n, m, p N(n). El conjunto A n = {x p {x k } k=1 ; p > N(n)} es no vacio y para cada n N se tiene que A n+1 A n. Sea x p1 un elemento en A 1 y escribamos x p1 = x Φ(1),elijamos x p2 en A 1 de modo que p 2 > p 1 y pongamos x Φ(2) = x p2. Continuando de esta manera obtenemos una subsucesión { x Φ(n) } de la sucesión dada que satisface xφ(n) x Φ(n+1) < 1 2 n ; n N.

21 1.4. ESPACIOS DE BANACH 21 Teorema 1.3 El espacio L p (Ω, A, µ) es un espacio de Banach para cada p; 1 p. Demostración: Supongamos p. Sea {f n } una sucesión de Cauchy en L p, entonces existe una subsucesión { } f Φ(n) tal que f Φ(n+1) f Φ(n) p < 1 2 n, para todo n en N. Sea se tiene que g n p n g n (x) = (fφ(i+1) f Φ(i) (x), n fφ(i+1) f p Φ(i) < 1 ; para todo n en N. Sea Definamos g por A = entonces se tiene que g(x) p dµ = Ω g(x) = Ω { } x Ω : lim g n (x) existe. { lim g n (x) ; si x A 0 ; si x / A, lim g n(x) p dµ lim inf Ω g n (x) p dµ 1. Por lo tanto g es finita salvo en un conjunto de medida nula. Esto a su vez implica que la serie ( ) f Φ(1) + fφ(i+1) f Φ(i) converge fuera de un conjunto de medida nula a una función f, es decir [ ] n f(x) = lim f Φ(1) (x) + (f Φ(i+1) f Φ(i) )(x) = lim f Φ(n) (x), para cada x donde la serie converge.

22 22 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS Definamos f(x) = 0, para todo x tal que f Φ(1) (x) + ( ) fφ(i+1) f Φ(i) (x) diverge, entonces tenemos que f(x) f Φ (n)(x) p dµ = Ω de lo cual se deduce que Ω m lim inf m lim inf m lim inf m lim Ω lim (fφ(m) f Φ(n) )(x) p dµ (fφ(m) f Φ(n) )(x) p dµ m 1 Ω i=n m 1 i=n m 1 m i=n Ω (fφ(i+1) f Φ(i) )(x) p dµ (fφ(i+1) f Φ(i) )(x) p dµ 1 2 = 1 i 2 i i=n lim f n f p = 0 y f L p. 0, En el caso p =, sea {f n } una sucesión de Cauchy en L Ω, Σ, µ), entonces para cada n N existe un conjunto A n de medida cero tal que. f n (x) f n ; x / A n. Se tiene así que existe un conjunto A de medida cero tal que f n (x) f m (x) f n f m, n, m, x / A. En consecuencia, la sucesión {f n } converge uniformemente fuera de A a una función acotada f. Poniendo f(x) = 0 si x A, se tiene que f L (Ω, A, µ) y que lim f n f = 0. Ejercicio 1.16 Demuestre que los conjuntos l, c 0, C K (X) son espacios de Banach. Que puede decir acerca de c?. A continuación vamos a describir métodos para construir espacios Y normados a partir de espacios normados X.

23 1.5. ESPACIOS COCIENTES Espacios cocientes Dado X un espacio vectorial, sea X 0 un subespacio de X y definamos sobre X la siguiente relación R. x 1 Rx 2 x 1 x 2 X 0 Ejercicio 1.17 Demuestre que R es una relación de equivalencia sobre X. Definición 1.6 El espacio cociente X/X 0 se define como X/X 0 := {[x], x X} ; donde [x] = [x] R := x + X 0 := { x + y : y X 0} Ejemplo 1.16 Sea X = R 2, X 0 := {(x, ax) ; a 0; x R}, entonces z + X 0 es la recta paralela a X 0 que pasa por z. Ejemplo 1.17 Sea (Ω, µ) un espacio de medidas, si X y X o son definidos por X = { f : Ω R : Ω f(x) p dµ(x) < }, y X 0 = {f : Ω R ; f = 0 casi siempre}, entonces L P (Ω, µ) = X/X 0. Ejercicio 1.18 Demuestre que X/X 0 dotado de las operaciones i.) [x 1 ] + [x 2 ] := [x 1 + x 2 ] ; x 1, x 2 X. ii.) λ [x] : = [λx] ; x X, λ K es un espacio vectorial. Para estos espacios cocientes tenemos el siguiente resultado. Teorema 1.4 Sea X un espacio normado, sea X 0 un subespacio cerrado de X. El funcional. definido sobre X/X 0 por [x] = inf { x + y ; y X 0} es una norma en X/X 0. Además si X es de Banach, entonces X/X 0 es de Banach.

24 24 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS Demostración: [x] x, para todo x en X. Si [x] = 0, entonces podemos encontrar una sucesión {y n } X0 tal que se tiene entonces que x + y n < 1 n ; n N, lim (x + y n) = 0, y en consecuencia x = lim y n está en X 0, por lo tanto [x] = 0. La demostración de las otras propiedades de la norma se dejan como ejercicio para el lector. Supongamos ahora que X es de Banach. La demostración de que X/X 0 es de Banach depende del siguiente hecho, si x X no está en X 0, entonces existe y X 0 tal que 1 x + y [x]. 2 Sea {[x n ]} X/X0 una sucesión de Cauchy en X/X 0. En virtud del Lema (1.2), se tiene una subsucesión {[ ]} x Φ(n) de la sucesión dada, tal que [xφ(n) ] [ x Φ(n+1) ] < 1 2 n, n N y por lo anterior tenemos que existe y n X 0 tal que 1 [ ] [ ] xφ(n) x Φ(n+1) + y n xφ(n) xφ(n+1) n para cada n N. Vamos a definir ahora una sucesión { } y Φ(n) de la siguiente manera: sea y Φ(1) un elemento cualquiera en X 0, definamos y Φ(2) de modo que Definamos y Φ(3) por y así sucesivamente. Se tiene entonces que y 1 = y Φ(2) y Φ(1) y 2 = y Φ(3) y Φ(2) xφ(n+1) + y Φ(n+1) x Φ(n) y Φ(n) 1 ; para todo n en N 2n 1

25 1.5. ESPACIOS COCIENTES 25 en consecuencia, la sucesión {z n } donde z n = x Φ(n) +y Φ(n) es una sucesión de Cauchy en X. Por tanto existe z 0 X tal que z 0 = lim ( xφ(n) + y Φ(n) ). Finalmente como[x] Φ(n) = [z n ] ; se tiene que [x]φ(n) [z 0 ] = [zn ] [z 0 ] z n z 0 0 es decir lim [x] Φ(n) = [z 0 ] de lo cual se deduce que lim [x n] = [z 0 ] Otro método para construír espacios normados Z a partir de espacios normados X, Y dados, consiste en normar el producto cartesiano de dichos espacios. Más precisamente, sean X, Y espacios normados, XxY es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma y producto por un escalar. Las funcionales y (x, y) s = max { x X, y Y } (x, y) + = x X + y Y, definen normas en XxY. Además si X y Y son espacios de Banach, entonces XxY es un espacio de Banach con cualquiera de las dos normas definidas anteriormente y la relación (x, y) s (x, y) + 2 (x, y) s es satisfecha para todo par (x, y) en XxY. Sean X, Y espacios normados contenidos en un espacio topológico Haussdorff U, entonces los espacios X Y, X +Y son normados, con las normas x X Y = max { x X, x y } x X+Y = inf { x X, y Y donde x = x + y, x X; y Y }, respectivamente. Más aún, si X, Y son espacios de Banach, entonces X Y, X + Y son espacios de Banach. Otros espacios importantes, yo diría los más importantes, son los espacios de funciones lineales continuas de un espacio normado X en otro espacio normado Y.

26 26 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS 1.6 Ejercicios Ejercicio 1.19 Sea X un espacio de Banach sobre el cuerpo K. Sea {f n } una sucesion en X de vectores linealmente independientes. Demuestre que el espacio { } X 1 = {a n } K; a n f n converge, es un espacio de Banach con la norma {a n } m = sup a i f i m Ejercicio 1.20 Demostrar que si 1 p < q, entonces l p l q y la inclusion es propia Ejercicio 1.21 Dar un ejemplo de una sucesion que converge a cero y que no pertenece a ningun l p, (1 p < ) Ejercicio 1.22 Demostrar que si 1 p <,entonces l p es separable. Ejercicio 1.23 Demuestre que l no es separable

27 Capítulo 2 Aplicaciones lineales 2.1 Condiciones equivalentes de continuidad Definición 2.1 Sean X, Y dos espacios normados. Una aplicación lineal T : X Y se dirá continua en x 0 si lim T (x n ) = T (x 0 ) para toda {x n } tal que x n tiende a x 0 en la norma de X. Denotaremos el espacio de todos las aplicaciones lineales y continuas T : X Y por L(X, Y ). En este espacio la suma y el producto por un escalar son las operaciones usuales. Ejemplo 2.1 Sea T : C [0, 1] C [0, 1], definida por T (x)(s) = 1 donde k(s, t) es continua en [0, 1] x [0, 1]. Ejercicio 2.1 Verifique que T es lineal. 0 k(s, t)x(t)dt ; Ejercicio 2.2 Verifique que una sucesión {x n } C [0, 1], converge en norma infinito si, y sólo si, {x n } converge uniformemente. Observación 2.1 Sea {x n } C [0, 1] tal que lim x n = x 0, como convergencia en la norma. de C [0, 1] es equivalente a convergencia uniforme, se puede intercambiar limite con integral y entonces se tiene que lim T (x n) = lim 1 0 k(s, t)x n (t)dt = k(s, t)x(t)dt,

28 28 CAPÍTULO 2. APLICACIONES LINEALES de lo cual se deduce que T es continua en x 0. Para aplicaciones lineales tenemos el siguiente resultado: Teorema 2.1 Sea T : X Y una aplicación lineal. Si T es continua en un punto x 0 de X, entonces T es continua en D T =Dominio de T. Demostración: Sea x un punto arbitrario en D T y {x n } X tal que x n converge a x, entonces se tiene que (x n x + x 0 ) converge a x 0. Por continuidad de T en x 0 tendremos que lim T (x n x + x 0 ) = T (x 0 ), es decir lim (T (x n ) T (x) + T (x 0 )) = T (x 0 ). De lo cual se deduce que lim T (x n) = T (x). Ejercicio 2.3 Demuestre que si T : X Y es aditivo y continuo, entonces para cada número real λ se tiene que T (λx) = λt (x). Definición 2.2 Una aplicación lineal T : X Y se dirá acotada si existe M > 0 tal que T (x) Y M x X, x X. Ejemplo 2.2 El operador T definido anteriormente por es acotado. En efecto, T (x) = sup T (x)(s) = s [0,1] 1 sup s [0,1] 1 0 T (x)(s) = sup 0 k(s, t)x(t)dt. s [0,1] K (s, t) x(t) dt 1 0 K (s, t) x(t)dt max K (s, t) max x(t) = M x 0 s,t 1 0 t 1

29 2.1. CONDICIONES EQUIVALENTES DE CONTINUIDAD 29 Ejemplo 2.3 por Consideremos la aplicación T : C 1 [0, 1] C[0, 1]; definida T (x) = x Veamos que T no es acotada. Tomemos x n (s) = sen(nπs), se tiene que x n = 1 para todo n y por lo tanto T (x n ) = (sen(nπs)) = nπ cos(nπs) T (x n ) = nπ Como x n = 1 y T (x n ) crece indefinidamente se tiene que no existe M > 0 tal que T (x n ) M x n = M De lo cual se deduce que T no es acotado. Se tiene la siguiente relación entre aplicaciones acotadas y aplicaciones continuas Teorema 2.2 Sean X, Y, espacio normados. Una aplicación lineal T : X Y, es acotada si, y sólo si, T es es continua Demostración: X, tal que Definamos la sucesión se tiene que x n X = 1 n Por lo tanto Supongamos que T no es acotada, entonces existe {x n } T (x n ) Y n x n X { x 0 n } = { xn lim n x n X } x 0 X n = 0. Pero T (x 0 n) Y = 1 n x n X T (x n ) Y n xn X n x n X lim T (x0 n) T (0), X, = 1, de lo cual se deduce que por lo tanto T no es contínua en cero y por ende T no es contínua en X.

30 30 CAPÍTULO 2. APLICACIONES LINEALES Supongamos que T sea acotada,es decir existe M tal que Si lim x n x X = 0, entonces T x M x ; x X De lo cual se concluye que T (x n x) Y M x n x X lim T (x n x) Y = Norma en L(X, Y ) Norma de un operador Dada T : X Y una aplicación lineal y acotada se tiene que existe M > 0 tal que T (x) Y M x X, x X. Definición 2.3 Llamaremos Norma de T y lo notaremos por T al siguiente número. T = inf {M > 0 : T (x) M x X, x X} Observación 2.2 Por propiedades del infimo, T tiene las siguientes propiedades i) T (x) T x ; x X ii) Para cada ε > 0, existe x ε tal que T (x ε ) > ( T ε) x ε.

31 2.2. NORMA EN L(X, Y ) 31 Observación 2.3 Usando las propiedades anteriores se tiene que En efecto, si x 1, se tiene que y por lo tanto T = sup T (x) x 1 T (x) T x T sup T (x) T. x 1 Por otra parte dado ε > 0, existe x ε tal que poniendo x = T (x ε ) > ( T ε) x ε, xε x ε, se tiene que x = 1 y además T (x) = 1 x ε T (x ε) > de lo cual se deduce que sup T (x) T. x 1 ( T ε) x ε = T ε, x ε Ejercicio 2.4 Sea T : C [0, 1] C [0, 1] definido por (T f)(t) = t 0 f(s)ds. Calcule T. Observación 2.4 El espacio L(X, Y ) puede ser dotado de una norma definiendo, T = sup T (x) ; T L(X, Y ) x 1 Ejercicio 2.5 Verifique que el funcional así definido es una norma sobre L(X, Y ) Ejercicio 2.6 Verifique que T = sup T (x) = sup x 1 x =1 = sup x 0 T (x) x T (x)

32 32 CAPÍTULO 2. APLICACIONES LINEALES Condición para que L(X, Y ) sea un espacio de Banach Definición 2.4 Si la sucesión {T n } L(X, Y ) converge en la norma definida anteriormente sobre L(X, Y ), es decir lim T n T = lim sup T n (x) T (x) = 0, x 1 diremos que {T n } converge fuertemente a T. Tenemos el siguiente resultado para L(X, Y ). Teorema 2.3 Si Y es un espacio de Banach entonces L(X, Y ), dotado de la norma de la definición (2.3) es un espacio de Banach. Demostración: Sea {T n } una sucesión de Cauchy en L(X, Y ), es decir lim T n T m = 0, se tiene entonces que para cada x en X n,m T m (x) T n (x) = (T m T n )(x) T n T m x 0, n,m de lo cual se deduce que la sucesión {T n (x)} Y es de Cauchy para cada x en X. Por lo tanto lim T n (x) existe en Y para cada x en X. Definamos el operador T : X Y por T (x) = lim T n (x). Veamos que T L(X, Y ); T es lineal por ser límite de aplicaciones lineales y como T n T m T n T m 0, n,m se tiene que T n es acotada, es decir existe K > 0 tal que T n K, para todo n N. Por lo tanto entonces T n (x) T n x K x, x X, T (x) = lim T n (x) lim K x = K x ; x X,

33 2.2. NORMA EN L(X, Y ) 33 lo cual significa que T es acotado, es decir T L(X, Y ). Veamos ahora que T = lim T n en L(X, Y ). Del hecho que {T n } es de Cauchy en L(X, Y ) se tiene que dado ε > 0, existe N ε tal que T n+p T n = sup T n+p (x) T n (x) ε, n N ε, x 1 de lo cual se deduce que T n+p (x) T n (x) ε; n N ε, y para todo x tal que x 1. Tomando lim p T n+p (x) T n (x), se tiene que T (x) T n (x) ε, para todo n N ε y para todo x tal que x 1, es decir lo cual significa que T T n = sup T (x) T n (x) ε, n N ε, x 1 T = lim T n Equivalencia de normas en espacios normados Recordemos que una transformación T del espacio topológico S en el espacio topológico Ω es un homeomorfismo si T es biyectiva y bicontinua, es decir T es continua y T 1 existe y es continua. En el caso de espacios normados por homeomorfismo entenderemos homeomorfismo lineal; en la bibliografía se puede encontrar el término isomorfismo. Definición 2.5 Sea X un espacio vectorial. Supongamos que en X están definidas dos normas. 1,. 2. Si existen constantes positivas a, b tales que a x 1 x 2 b x 1, x X, se dice que las dos normas. 1,. 2 son equivalentes. Ejercicio 2.7 Verifique quedos normas. 1,. 2,definidas sobre el espacio vectorial X, son equivalentes si, y sólo si,la aplicación identidad es un homeomorfismo (isomorfismo). I : (X,. 1 ) (X,. 2 )

34 34 CAPÍTULO 2. APLICACIONES LINEALES 2.3 Espacios normados de dimensión finita Para espacios de dimensión finita X tenemos el siguiente resultado Teorema 2.4 Supongamos que X es un espacio de dimensión finita n. Se tiene entonces que todas las normas sobre X son equivalentes. Demostración: Sea {v i } n i=n una base de X. Supongamos que sobre X está definida una norma., y definamos sobre X la funcional. 2 de la ( n n ) 1/2. siguiente manera. Para todo x = x i v i ; x 2 = x i 2 Veamos que I : (X,. ) (X,. 2 ) es un isomorfismo, lo cual demostraría que. y. 2 son equivalentes en X. Aplicando desigualdad de Cauchy-Schwartz se tiene que ( n ) 1/2 ( n ) 1/2 x = x i v i x i v i x i 2 v i 2. ( n = v i 2 ) x 2 = M x 2, lo cual significa que I : (X, ) (X, 2 ) es continua. Sea ahora B 2 = {x X : x 2 = 1}, como B 2 es la imagen del conjunto ( n ) 1/2 x = (x 1, x 2,..., x n ) : x i 2 = 1 = B a través de la isometría T : R n (X, 2 ) definida por T (x) = n x i v i, y B es compacto en R n, entonces B 2 es compacto en (X,. 2 ). De lo demostrado anteriormente se tiene que existe M > 0 tal que x y x y 2, para todo x, y en X.

35 2.3. ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSIÓN FINITA 35 Por lo tanto concluímos que la función G : (X,. 2 ) [0, ] definida por G(x) = x, es continua sobre (X,. 2 ) y por ende G toma un mínimo, digamos K 0, sobre B 2. Supongamos que x < K 0, se tendría entonces que x 2 1. En efecto, x si x 2 fuera mayor que 1, tendríamos que x 2 está en B 2 y x x 2 = x x 2 < K 0, lo que contradice el hecho que K 0 es el ínfimo de G en B 2. Dado ε > 0, para todo x en X tal que x 0 se tiene que K 0 x (1 + ε) x = K ε < K 0, entonces K 0x < 1, de lo cual se deduce que 2 (1+ε) x x 2 (1 + ε) K 0 x, para todo x en X tal que x 0, lo cual demuestra que la función identidad I : (X,. 2 ) (X,. ) es continua y por lo tanto. y. 2 son equivalentes.. Corolario 2.1 Supongase que X, Y son espacios normados sobre el mismo campo escalar. Si X tiene dimensión finita, entonces cada operador lineal T : X Y es continuo. Demostración: Si {v i } n es una base de X, entonces la función definida por x 1 = n x i, para x = n x i v i es una norma en X y por tanto equivalente a. X. Si T es un operador lineal de X en Y se tiene que si x = ( n T j v j) j=1x Y n j=1 x j T (v j ) Y max 1 j n { T (v j) } n x i v i, entonces n x j = M x 1, j=1

36 36 CAPÍTULO 2. APLICACIONES LINEALES lo cual demuestra que T es continuo en (X,. 1 ) y por ende en (X,. ) Ejercicio 2.8 Demuestre que cada espacio X finito dimensional es completo. Ejercicio 2.9 Demuestre que cada subespacio Y finito dimensional de un espacio normado X es cerrado. 2.4 El teorema de F. Riesz En R n y C n, la bola unitaria cerrada es un conjunto compacto. El siguiente Teorema de Riesz demuestra que esto caracteriza a los espacios de dimensión finita. Vamos a comenzar con un lema que utilizaremos en la demostración del Teorema de Riesz. Lema 2.1 Sea X un espacio normado y Y un subespacio cerrado propio de X. Entonces se tiene que, para cada δ en el intervalo (0,1), existe un punto x δ en X tal que x δ = 1 y d(x δ, Y ) > δ. Demostración: Sea x 1 en X tal que d(x 1, Y ) > 0 pongamos K = d(x 1, Y ). Como K > K, se tiene que existe x δ 2 en Y tal que x 1 x 2 K es decir δ δ 1. K x 1 x 2 Tomando x δ = x 1 x 2 x 1 x 2, se tiene que para todo x en Y x x δ = x 1 x 2 x x 1 x 2 = x 1 x 2 x 1 x 2 x x 1 x 2 = x 1 (x 2 + x 1 x 2 x) x 1 x 2 K x 1 x 2 K δ K = δ Teorema 2.5 (F. Riesz) La Bola Unitaria cerrada U = B X (0, 1) de un espacio normado X es compacta en la topología de la norma de X si, y sólo si, X es de dimensión finita.

37 2.5. EJERCICIOS 37 Demostración: {y i } n tal que Supongamos que B X (0, 1) es compacta, entonces existen B X (0, 1) n B(y i, 1/3). Sea Y = [{y i } n ] el espacio generado por {y i } n, entonces Y es de dimensión finita y por lo tanto cerrado. Supongamos que Y X, por el lema (2.1) se tiene que existe x 0 en (X Y ) B X (0, 1) tal que d(x 0, Y ) > 1. Por lo 3 tanto d(x 0, y i ) > 1, para todo i = 1, 2,.., n. Lo cual contradice el hecho que 3 B X (0, 1) n B(y i, 1/3), de lo cual se obtiene que Y = X. 2.5 Ejercicios Ejercicio 2.10 Considere el espacio C[0, 1] con las normas Sea f α (x) = f := sup f(x), f 1 := x [0,1] 1 0 f(x) dx 2αx, 0 x 1, 0 < α < 1. Calcular f (1+α 2 x 2 ) α, f α 1. Son equivalentes las dos normas?. Ejercicio 2.11 Considere el espacio { } C 1 [ 1, 1] = f : [ 1, 1] R; f existe y es continua, con las normas f C 1 = f + f y f. Sea f n (x) = (x 2 + n 2 ) 1/2. Demostrar que {f n } a f(x) = x y que {f n } no converge en. C 1 converge en. Ejercicio 2.12 Ejercicio 2.13 Verificar que: La clausura de l 0 en. p es l p para todo p tal que 1 p <. b.) La clausura de l 0 en. es c 0.

38 38 CAPÍTULO 2. APLICACIONES LINEALES Ejercicio 2.14 Demostrar que un espacio de Banach X es de dimensión finita si, y sólo si, todo subespacio Y de X es cerrado Ejercicio 2.15 Sea T un conjunto cualquiera. Sea X = B(T ) el espacio de las funciones a valores complejos, acotadas y definidas sobre T con la norma f = supf(x) x T a.) Demostrar que X es un espacio de Banach b.) Como debe ser T para que X sea separable? c.) Sea U:= {f X : f 1}. Demostrar que U es compacto si, y sólo si, T es finito. Ejercicio 2.16 Demuestre que una funcional lineal no nula f : X K es continua si, y sólo si, Nucleo(f) no es denso en X. Ejercicio 2.17 Sea f : X K una funcional lineal no continua. Demuestre que {f X : f 1} = K. Ejercicio 2.18 Sea X un espacio normado. Demuestre que para cada r > 0 el espacio X y la bola B X (0, r) son homeomorfos. Ejercicio 2.19 Dado un espacio normado X. Sea S un subespacio de X de dimension finita y x 0 / S. Definamos D x0 por D x0 := {z S : z x 0 = d(x 0, S)} a.) Demostrar que D x0 es no vacio, convexo y compacto b.) Dar un ejemplo en el cual D x0 contiene mas de un punto. Ejercicio 2.20 Demostrar que si X y E son dos espacios normados isomorfos y X es de Banach, entonces E es de Banach. Ejercicio 2.21 Demuestre que si X, Y son espacios normados y L(X, Y ) es de Banach, entonces Y es de Banach.

39 Capítulo 3 El Dual de un espacio normado 3.1 El Teorema de Hahn-Banach Definición 3.1 Si A es una familia de conjuntos. Una subfamilia B de A es denominada una cadena si para cada par de conjuntos A, B en B, A B ó B A. Definición 3.2 Un conjunto A en A es denominado maximal si no hay conjunto B en A que lo contenga propiamente. Es decir si A B, entonces A = B. Definición 3.3 A A es denominado minimal si no hay B en A que esté contenido propiamente en A. Para familias de conjuntos tenemos el siguiente resultado importante que daremos sin demostración Lema 3.1 ( Zorn )Supongase que A es una familia de conjuntos. a) Si para cada cadena B en A el conjunto A tiene un elemento maximal. B α B b) Si para cada cadena B en A el conjunto A tiene un elemento minimal. 39 B α B B α está en A, entonces B α está en A, entonces

40 40 CAPÍTULO 3. EL DUAL DE UN ESPACIO NORMADO Definición 3.4 Una forma sublineal sobre un espacio vectorial real X es una función p : X R tal que i) p(ax) = ap(x), si a > 0 ii) p(x + y) p(x) + p(y); x, y X El siguiente resultado es conocido como la forma analítica del Teorema de Hahn-Banach. Teorema 3.1 Supongase que p es una forma sublineal sobre un espacio vectorial real X y f es un funcional lineal definido sobre un subespacio F de X tal que f(x) p(x), x F. Entonces existe un funcional lineal T f : X R, tal que: (1) T f es una extensión de f, es decir T f (x) = f(x), x F (2) T f (x) p(x), x X Demostración: Sea A la familia de subconjuntos de X R definida de la siguiente manera: A=[G, g] = {gráficos de las extensiones de f} = {{(x, g(x)) : x G} : F G X; g lineal; g/ F = f; g(x) p(x), x G} A no es vacío ya que [F, f] A. Supongase que B es una cadena de A, si [G α, g α ], [G β, g β ] pertenecen a B entonces uno contiene al otro. Supongamos que [G α, g α ] [G β, g β ], entonces (x, g α (x)) [G β, g β ] para cada x en G α ; por lo tanto x G β y g α (x) = g β (x), de lo cual se tiene que G α G β y g β es una extensión de g α a G β. Sea G = G α ; G es un subespacio de X. Si x G, existe α tal G α B que x G α ; si x G β tambien sabemos que g α (x) = g β (x). Definamos g : G R como el funcional que a cada x en G le asocia el valor común g α (x). se tiene que : i.) g está bien definido sobre G ii.) g es lineal iii) g satisface (1) y (2) iv) [G, g] = [G α, g α ]). G α B

41 3.1. EL TEOREMA DE HAHN-BANACH 41 De esto se deduce que A satisface las hipótesis del Lema de Zorn y por lo tanto A tiene un elemento maximal que denotaremos por [X 1, T f ]. Veamos ahora que X 1 = X, supongamos que X X 1, entonces existe un vector y 0 (X X 1 ). Para cada s > 0 y x en X se tiene que ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 2T f < 2p p s s s + y 0 + p s y 0 ; así que ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) T f p s s y 0 p s + y 0 T f, s por lo tanto si tomamos A = inf s>0 a = sup s>0 { ( x ( x )} P 0) s + y T f ; { ( s x ) ( x T f P 0)} s s y, se tiene que a A. Sea un número real c tal que a c A, definamos f # sobre el espacio X 2 generado por X 1 y y 0, de la siguiente manera f # (x + ty 0 ) = T f (x) + ct; para t en R y x en X 1. f # es lineal y extiende a T f. Veamos que f # satisface la propiedad (2). Supongamos que t > 0, como c p(x/t + y 0 ) T f (x/t), tenemos que f # (x + ty 0 ) = T f (x) + ct T f (x) + t[p(x/t + y 0 ) T f (x/t)] = p(x + ty 0 ). Si t < 0, sea s = t, como c p(x/s y 0 ) T f (x/s) se tiene que f # (x+ty 0 ) = f # (x sy 0 ) = T f (x) sc T f (x)+s[p(x/s y 0 ) T f (x/s)] = p(x sy 0 ). De todo lo anterior se concluye que [ X 2, f #] contiene estrictamente a [X 1, T f ], lo cual es contradice al hecho que [X 1, T f ] es maximal, por lo que concluímos que X 1 = X Definición 3.5 Sea X un espacio normado sobre el cuerpo K. Al espacio L(X, K) lo notaremos por X. El espacio X se denomina el dual topológico de X ó simplemente el dual de X.

42 42 CAPÍTULO 3. EL DUAL DE UN ESPACIO NORMADO Observación 3.1 X es un espacio de Banach con la norma f = sup{ f(x) : x = 1}. X no es vacío ya que por lo menos la funcional nula pertenece a X. Vamos a usar el teorema de Hahn-Banach para verificar que X no es el cero solamente. En general muchos resultados dependen del hecho de ser X un espacio vectorial real o complejo, esto es particularmente cierto para aquellas propiedades que dependen del hecho de que C es algebraicamente cerrado, mientras que R no lo es. En muchos casos se desarrollan métodos para demostrar qué propiedades de los espacios normados complejos tambien son válidos para los espacios reales y viceversa. Un caso particular en esta situación la constituye el estudio de las funcionales lineales. Observación 3.2 A continuación vamos a ver que el estudio de los funcionales lineales complejos se reduce a estudiar las funciones lineales reales. Sea f : X C una funcional lineal, entonces f(x) = u(x) + iv(x) donde u, v lineales y u, v : X R. En particular f(ix) = u(ix) + iv(ix) = iu(x) v(x) = if(x) y de las propiedades de los complejos se obtiene que u(ix) = v(x); x X. El siguiente resultado es la versión del teorema de Hahn-Banach, para espacios normados. Teorema 3.2 Supóngase que F es un subespacio de un espacio normado X y f es un funcional lineal acotado definido sobre F. Entonces existe un funcional lineal T f sobre f tal que T f = f y T f (x) = f(x); x F. Demostración: Caso 1. X es un espacio normado real. Sea M = f, como P (x) = M x es una forma sublineal sobre X y f(x) M x ; x F, se tiene que existe una extensión T f de f a X tal que T f (x) M x, x X, de lo cual se tiene que T f M = f y T f f porque T f es una extensión de f.

43 3.1. EL TEOREMA DE HAHN-BANACH 43 Caso 2. X es un espacio normado complejo. En este caso se tiene que f(x) = f 1 (x) if 1 (ix), con f 1 : X R. Sea M = f, para cada x en F se tiene que f 1 (x) = Real (f(x)) f(x) M x así que f 1 M. Sea T f1 la extensión de f 1 a X tal que T f1 M y definamos T f (x) = T f1 (x) it f1 (ix). Si x 1, sea c un número complejo tal que ct f (x) = T f (x) y c = 1, entonces se tiene que T f (x) = ct f (x) = T f (cx) = T f 1 (cx) M cx = M x ya que T f (cx) es real. La otra desigualdad sigue por ser T f extensión de f. Corolario 3.1 Para cada x 0 0 en un espacio normado X hay un funcional lineal continuo f tal que f = 1 y f(x 0 ) = x 0 Demostración: Sea F el espacio generado por x 0, es decir, F = {ax 0 : a K}. Definamos f 1 : F K por f 1 (ax 0 ) = a x 0, como ax 0 = f 1 (ax 0 ) para todo ax 0 en F se tiene que f 1 = 1. Aplicando Hahn-Banach, construímos una extensión f de f 1 tal que f X, f = 1 y f(x 0 ) = x 0 Corolario 3.2 Sea F es un subespacio cerrado de un espacio normado X y x 0 un punto en (X F ). Entonces hay un f X tal que f = 1, f(y) = 0 para todo y en F y f(x 0 ) = dist(x 0, F ) = inf{ x x 0, x F }.

44 44 CAPÍTULO 3. EL DUAL DE UN ESPACIO NORMADO Demostración: Definamos f 1 sobre el espacio generado por F y x 0 como f 1 (tx 0 + y) = td donde d = dist(x 0, F ) Si tx 0 + y 1 y t 0, entonces d x 0 + y/t 1, así que t f 1 (tx 0 + y) = d t 1. Veamos que f 1 = 1. Sea ε > 0; sea y F tal que x 0 y < d + ε, si u = x 0 y se tiene que u = 1 y f x 0 y 1(u) = d d x 0. Por lo tanto y d+ε f 1 d, de lo cual se deduce que f d+ε 1 1. Aplicando Hahn-Banach, encontramos f X con las condiciones deseadas. Definición 3.6 Sea X un conjunto, V un espacio vectorial y F un conjunto no vacío de funciones f de X en V. Se dice que F separa los puntos de X, si dados x, y X, x y, existe un elemento f F tal que f(x) f(y). Ejercicio 3.1 Demuestre que si X es un espacio normado (no trivial) entonces X separa los puntos de X. Corolario 3.3 Para cada vector x de un espacio vectorial normado X, se tiene que x = sup { f(x) : f X y f 1} Demostración: Para toda f X tal que f 1; se tiene que f(x) f x x, entonces sup { f(x) : f X y f 1} x. Como existe f X tal que f = 1 y f(x) = x se tiene que x = sup { f(x) : f X y f 1} Observación 3.3 El proceso de formar espacios duales de un espacio normado X se puede continuar y formar el espacio X, el doble dual de X que sería X = {f : X K : f lineal y acotadas}.

45 3.2. EJEMPLOS DE ESPACIOS DUALES 45 Observación 3.4 A cada x en X le podemos asociar un elemento ˆx de X de la siguiente manera ˆx(f) = f(x), para todo f X. Se tiene que ˆx(f) = f(x) f x, por lo tanto ˆx X ˆx x. y además Definición 3.7 Al operador J : X X definido por J(x) = ˆx lo llamaremos la inyección canónica. Definición 3.8 Si el rango de J es X, X se dice reflexivo Se tiene que J(x) = sup f 1 f X ˆx(f) x ; x X Además tenemos el siguiente resultado: Teorema 3.3 J : X X es una isometría lineal. Demostración: Veamos que J(x) = ˆx = x, x X. De un corolario anterior se tiene que dado x X existe f X tal que f(x) = x y f = 1. Por lo tanto J(x) = ˆx sup ˆx(f) = sup f(x) f 1 f Ejemplos de espacios duales Lema 3.2 El dual de l (n) p 1, 1 p <. = (R n,. p ) es l (n) q = (R n,. q ) donde 1 p + 1 q = Demostración: Sea {v i } n una base de R n, se tiene que cada x de R n n se puede escribir como x = x i v i. Si f l (n) p entonces f se puede escribir como f(x) = n x i f(x i ), x R n,

46 46 CAPÍTULO 3. EL DUAL DE UN ESPACIO NORMADO definamos T : (l (n) p ) l q (n) de la siguiente manera T (f) = (f(x i )) n, f (l (n) p ). Veamos que T es una isometría lineal. T es lineal obviamente. Veamos que. Por una parte tenemos que ( n n f (x) x i f(v i ) T f q = f, f (l (n) p ) (x i ) p)1/p ( n de lo cual se deduce que ( n ) 1/q f (f(v i )) q = T f q. f(v i ) q ) 1/q, x R n, Sea x 0 = (x i ) n el elemento de l p (n) definido de la siguiente manera 0; si f(v i ) = 0 se tiene entonces que f(x 0 ) = x i = n f(v i ) q f(v i ) ; si f(v i) 0, f(v i ) q f(v i ) f(v i) = n f(v i ) q = T f q q. Por lo tanto T (f) q q = f(x 0 ) ( n ( ) ) f x 0 f(vi ) q p 1/p p = f f(v i ) ( n = f entonces T (f) q q/p q ( f(v i ) ) pq p ) 1/p ( n ) 1/p = f ( f(v i ) ) q = f T (f) q/p q, f y como q q/p = 1, se tiene que T f q f.

47 3.3. EJERCICIOS 47 Ejercicio 3.2 Usando el mismo razonamiento demuestre que (l (n) p ) = (l n q ) = l n p; es decir l (n) p es reflexivo. Ejercicio 3.3 Demuestre que (l (n) ) = l (n) Ejercicios Ejercicio 3.4 Sea X un espacio normado. Demuestre que si X es separable, entonces X es separable. De- Ejercicio 3.5 Sea Y un subespacio cerrado del espacio normado X. muestre que Y = {Nucleo(x ); Y Nucleo(x )}. Ejercicio 3.6 Demuestre que cada espacio normado X de dimension finita es reflexivo. Ejercicio 3.7 Sea M un subespacio no denso del espacio normado X. Demuestre que hay una sucesion {x n } X tal que x n = 1y lim d(x n, M) = 1 Ejercicio 3.8 Sea X es un espacio normado y f X. Demuestre que existe un x 0 X tal que todo elemento x X puede ser expresado de la forma x = αx 0 + x 1, donde α K y x 1 Nucleo(f). Ejercicio 3.9 Sea X un espacio normado. Sea {x n } una sucesión en X y x 0 un elemento de X tal que para cada x X se tiene que lim x (x n ) = x (x 0 ). Demuestre que x 0 esta en la clausura del espacio generado por {x n }.

48 48 CAPÍTULO 3. EL DUAL DE UN ESPACIO NORMADO Ejercicio 3.10 Sea X un espacio de Banach separable y {x n } un subconjunto denso numerable de S X (0, 1) = {x X : x = 1}. Para cada x n sea f n X tal que f n (x n ) = x n y f n = 1. Demuestre que ( ) 1/2 si definimos p(x) = 2 n [f n (x)] 2, entonces p es una norma sobre X y además p(x) x ; para todo x X.

49 Capítulo 4 Series en espacios de Banach 4.1 Ejemplos y aplicaciones Definición 4.1 Una sucesión {x n } de elementos de un espacio normado X de dimensión infinita, se dirá una base de Schauder de X si {x n } satisface las siguientes condiciones: 1. Cada x en X tiene una única expansión x = que a k x k, lo cual significa k=1 n lim a k x k x = 0 X 2. Para cada n 1, la función f n : X K, definida por f n (x) = a n es continua. Definición 4.2 Diremos que la serie a n x n converge incondicionalmente a x en X, si para cada ε > 0, existe un conjunto finito B N con la condición de que para todo conjunto A finito tal que B A N, se tiene que x a n x n < ε, n A 49

50 50 CAPÍTULO 4. SERIES EN ESPACIOS DE BANACH Definición 4.3 Una base de Schauder {x n } X se dirá incondicional si la convergencia en la representación es incondicional. y n es absolutamente conver- Definición 4.4 Diremos que una serie gente en X si y n converge en K. Observación 4.1 Nótese que si f X y x = a k x k converge incondicionalmente en X, entonces f(x) = en K y por lo tanto k=1 a k f(x k ) converge incondicionalmente k=1 a k f(x k ) converge absolutamente en K. k=1 Una definición equivalente de convergencia incondicional de una serie X es que para cada función p : N N, biyectiva se tenga que x n la serie x p(n) sea convergente. Ejemplo 4.1 Dada e n = (δ in ), entonces se tiene que{e n } es una base incondicional para c 0. En efecto sea x = (x n ) un elemento de c 0, entonces x = x n e n. Sea ε > 0, entonces existe N ε N tal que x n < ε; n N ε. Dado B = {1, 2, 3,..., N ε }, entonces se tiene que si B A (A finito) x x n e n = n e n A c0 n N Ax n < ε c 0 ya que todo n N A es mayor que N ε. Por lo tanto {e n } es una base incondicional para c 0.

51 4.1. EJEMPLOS Y APLICACIONES 51 Veamos que c 0 es isométrico a l 1. Si f c 0 se tiene que f(e n )x n < para toda x = x n e n c 0. n N Sea u k = {u k i } definida de la siguiente manera { f(e i ) u k i =, si i k y f(e i ) f(ei ) 0 0, en otro caso. cada u k está en c 0 y u k c0 1,se tiene entonces que k f(e i ) = f(u k ) f u k f, para todo k en N, por lo tanto f(e n ) f, para todo f en c 0. Si definimos T : c 0 l 1 por T (f) = (f(e n )), se tiene que T (f) l 1 = f(e n ) f para todo x = x n e n en c 0 y f c 0 se tiene que f(x) = x n f(e n ) x n f(e n ) sup x n n N f en c 0. Para cada f(e n ) = x c0 T (f) l 1, de lo cual se deduce que T (f) l 1 f, es decir T (f) l 1 = f. Se tiene entonces que c 0 es isométrico a l 1. Ejercicio 4.1 Verifique que si y = (y i ) pertenece a l, entonces la aplicación f y definida por f y (x) = x n y n, pertenece a (l 1 ) y f y = y. Concluya que (l 1 ) es isométrico a l.

52 52 CAPÍTULO 4. SERIES EN ESPACIOS DE BANACH 4.2 Caracterización de espacios de Banach Teorema 4.1 Un espacio normado X es un espacio de Banach si, y sólo si, toda serie absolutamente convergente en X converge a un punto en X. Demostración: Si j=1 x j es absolutamente convergente, entonces la sucesión de las sumas parciales forman una sucesión de Cauchy. En efecto, dado ε > 0, N(ε) tal que x j < ε. n N ε Sean p, q N(ε), entonces se tiene que p q p p S p S q = x n x n = x n x n x n < ε. Como X es completo {S n } es convergente a un elemento x de X, es decir la serie x n converge en X. Supongamos que cada serie absolutamente convergente es convergente en X. Sea {x n } una sucesión de Cauchy en X. En virtud de lema(1.2), se tiene que existe una subsucesión {x φ(n) } tal que x φ(n) x φ(n+1) 1 y 2 n 1 por lo tanto x φ(n) x φ(n+1) <. 2 n De la hipótesis se tiene que la serie q=n q=n q=n [x φ(n) x φ(n+1) ] converge en X. Es decir, existe x 0 en X tal que lim φ(k) x φ(k+1) ) x 0 = 0, k=1(x X pero S n = x φ(n+1), para todo n, entonces se tiene que: lim xφ(n+1) x X 0 = 0, y por lo tanto lim x n x 0 = 0.

53 Capítulo 5 El Teorema de Baire y aplicaciones 5.1 El Teorema de Baire Definición 5.1 Sea X un espacio topológico un subconjunto A de X se dice nunca denso si su clausura tiene interior vacío es decir A = φ. De esta definición se tiene que A X es nunca denso si, y sólo si, el complemento de su clausura es denso en X. En efecto y esta unión es disjunta. X = A (A) c Definición 5.2 un subconjunto A de un espacio topológico X se dice de primera categoría si es la unión numerable de conjuntos nunca densos. Un conjunto A se dice de segunda categoría si no es de primera categoría. Teorema 5.1 Si X es un espacio métrico completo, entonces la intersección de cada colección numerable {A n } de conjuntos abiertos y densos en X es denso en X. 53

54 54 CAPÍTULO 5. EL TEOREMA DE BAIRE Y APLICACIONES Demostración: Si la colección {A n } es finita el resultado es cierto. Sea {A n } una colección de conjuntos abiertos y densos en X entonces [ ] V A n φ como A 1 es abierto y denso en X, entonces V A 1 es abierto y no vacío. Sea x 1 en V A 1, entonces existe ε > 0 tal que ( B 1 = B x 1, ε ) B(x 1 ε) A 1 V. 2 Similarmente, dado x 2 B 1 A 2, existe k 2 > 2 tal que ( ε ) B 2 = B x 2, B 1 A 2, continuando con este procesos, construímos una sucesión de bolas { ε } B n := B(x n, 2 ); k kn n > n, k 1 = 1 tales que 2 k 2 B 1 B 2 B n B n+1 Además se tiene que {x n } es de Cauchy y en consecuencia x 0 = lim x n X y x 0 = lim x n B n, es decir B n φ. Como B n V y B n A n se tiene que [ ] B n V A n, es decir [ ] V A n φ Corolario 5.1 Si {A n } es una sucesión de conjuntos nunca densos en un espacio metrico completo X, entonces existe un punto x de X que no está en A n.

55 5.1. EL TEOREMA DE BAIRE 55 Demostración: Si X = A n, se tendría que φ = (X) c = (A n ) c lo cual contradice el teorema de Baire ya que (A n ) es denso en X para cada n N. Observación 5.1 De este corolario se deduce en particular que X no puede estar constituído por un número finito de elementos. Sin embargo la unión numerable de conjuntos nunca densos puede ser denso en X, por ejemplo los racionales en R Corolario 5.2 Si un espacio métrico completo X es la unión de una colección numerable {V n } de conjuntos cerrados, entonces al menos uno de ellos tiene interior no vacío. Demostración: Si para todo n en N, V n = φ, entonces X es la unión de una colección numerable de conjuntos nunca densos, esto contradice el corolario anterior. Observación 5.2 El teorema de categoría de Baire puede ser usado para demostrar la existencia, de una manera no constructiva, de un objeto que tiene propiedad P y pertenece a un espacio metrico completo X. i)demuestre que los objetos sin propiedad P forman un subconjunto B X de primera categoría ii) Entonces el complemento de B debe ser no vacio (Baire); por tanto un objeto con propiedad P debe existir.

56 56 CAPÍTULO 5. EL TEOREMA DE BAIRE Y APLICACIONES 5.2 Acotación uniforme y Banach-Steinhaus El siguiente resultado es conocido como el Principio de acotación uniforme Teorema 5.2 Sea X un espacio de Banach. Sea Y un espacio normado. Si B es un subconjunto de L(X, Y ) tal que para cada x en X el conjunto {T (x) : T B} es acotado en Y, entonces B es acotado en L(X, Y ). Demostración: Sea V n el conjunto definido por es claro que V n = {x X : T (x) n, para todo T en B}, V n = T α B {x X : T α (x) n} y como cada uno de los conjuntos de esta intersección es cerrado, se tiene que V n es cerrado. Además como para cada x en X, se tiene que {T (x) : T B} es acotado, entonces X = V n. Por el teorema de Baire existe V n0 tal que V n0 φ, es decir existe x 0 en X y γ > 0 tal que B(x 0, γ) V n0, es decir x 0 + γb(0, 1) V n0. Para todo x en X, se tiene que x = 1 γ (x 0+γx x 0 ), supongamos que x 1, entonces se tiene que T (x) = 1 γ T (x 0 + γx x 0 ) 1 γ ( T (x 0 + γx) + T (x 0 ) ) 1 γ (n 0 + n 0 ) = 2 ; para todo T en B, γ por lo tanto para todo T en B se tiene que T = sup T (x) 2n 0, lo γ x 1 cual significa que B es acotado en L(X, Y ). El siguiente resultado, Corolario del Teorema 5.2, es conocido como el Teorema de Banach-Steinhauss.

57 5.2. ACOTACIÓN UNIFORME Y BANACH-STEINHAUS 57 Corolario 5.3 Sea X un espacio de Banach. Si {T n } es una sucesión de aplicaciones lineales continuas, definidas en X con valores en el espacio normado Y que converge puntualmente, entonces {T n } es acotada fuertemente. Además la aplicación T definida para cada x en X por T (x) = lim T n (x), es lineal y continua. Demostración: Como para cada x en X, la sucesión {T n (x)} K es convergente, entonces {T n (x)} es acotada. Se deduce del Teorema 5.2 que la sucesión {T n } es acotada fuertemente, es decir sup T n = M <. n Es claro que la aplicación T definida por T (x) = lim T n (x), está bien definida y es lineal. Veamos que T es continua. Como para x en X se tiene que ( ) T (x) = lim T n (x) sup T n x = M x, n N entonces T es continua y T M

58 58 CAPÍTULO 5. EL TEOREMA DE BAIRE Y APLICACIONES 5.3 El Teorema de aplicación abierta Vamos a comenzar con algunas definiciones Definición 5.3 Sea X un espacio normado. Diremos que un subconjunto A X es convexo si para cada subconjunto finito {x j } n j=1 A, se tiene n n que si α j = 1, entonces el elemento x = α j x j A. j=1 Definición 5.4 Sea X un espacio normado. Diremos que un subconjunto A X es simétrico si x A implica que ( x) A. Se tiene el siguiente resultado Lema 5.1 Sean X, Y espacios normados. Sea T : X Y una aplicación lineal. Si A es un subconjunto convexo y simétrico en X, entonces T (A) es convexo y simétrico en Y. Ejercicio 5.1 Demuestre el Lema 5.1 Lema 5.2 Sean X, Y espacios normados definidos sobre el mismo cuerpo K. Si Y es de Banach y T : X Y es lineal y sobreyectiva, entonces existe un γ > 0 tal que j=1 B Y (0, 1) T (B X (0, γ)) Demostración: Como T es sobreyectiva, se tiene que Y = T (B X (0, n)) = T (B X (0, n)). Por el teorema de Baire existe m 0 N, y 0 Y y δ en (0, 1) tal que B Y (y 0, δ) T (B X (0, m 0 )). Vamos a demostrar que B Y (0, 1) ( B X ( 0, m 0 δ )). En efecto, si y está en B Y (0, δ), entonces (y + y 0 ); (y y 0 ) están en T (B X (0, m 0 )).

59 5.3. EL TEOREMA DE APLICACIÓN ABIERTA 59 Como T (B X (0, m 0 )) es convexo, se tiene que y = 1(y + y 2 0) + 1(y y 2 0) está en T (B X (0, m 0 )), por lo tanto B Y (0, 1) = 1 δ B Y (0, δ) 1 ( δ T (B x(0, m 0 )) = T (B X 0, m )) 0. δ Demostremos ahora el teorema de la aplicación abierta. Teorema 5.3 ( de aplicación abierta) Sean X, Y espacios de Banach. Si T : X Y es lineal, sobreyectiva y continua, entonces para cada A abierto en X, se tiene que T (A) es abierto en Y. Demostración: Sea A un subconjunto abierto y no vacío en X. Sea y 0 en T (A), entonces existe x 0 en A tal que T (x 0 ) = y 0. Además existe δ > 0 tal que B X (x 0, δ) A, y por lo tanto B x (0, δ) A x 0. Del lema 5.2 se tiene que existe γ 1 > 0 tal que B Y (0, 1) T (B X (0, γ 1 )). Veamos que B Y (0, 1) T (B X (0, 2γ 1 )). Sea y un elemento en B Y (0, 1). Definamos inductivamente una sucesión {y n } tal que y n T (B(0, γ 1 )) para cada n N, y n y y k < 1 n N. 2 n Del hecho que 2 k 1 k=1 B Y (0, 1) T (B X (0, γ 1 )) T (B X (0, γ 1 )), se tiene que existe y 1 T (B X (0, γ 1 )) tal que y y Supongamos que hemos definido elementos y 1, y 2,..., y n, tales que n y y k < 1 2 ; n entonces 2n ( y 2 k 1 k=1 n y k 2 k 1 k=1 ) < 1,

60 60 CAPÍTULO 5. EL TEOREMA DE BAIRE Y APLICACIONES y en consecuencia, existe y n+1 en T (B X (0, γ 1 )) tal que ( ) n y k y y n+1 < 1 2, 2n 2 k 1 k=1 es decir y n y k 2 k 1 k=1 < 1 2. n+1 Se tiene de esa manera construída la sucesión {y n } además se tiene que y = lim n y k n 2 = k 1 k=1 k=1 y k 2 k 1. que queríamos, y Elijamos x n en B X (0, γ 1 ) tal que Del hecho que lim n T (x n ) = y n, n N. x n 2 k 1 k=1 k=1 γ 1 2 k 1 = 2γ 1, se tiene que la serie x n 2 n 1 converge absolutamente y como X es de Banach, se tiene que existe x X tal que n y k x = 2. k 1 Del hecho que n x k 2 k 1 k=1 n k=1 k=1 se tiene que x pertenece a B X (0, 2γ 1 ). Como T es lineal y continua, se tiene que T (x ) = 1 2 k 1 T (x k) = k=1 x k 2 k 1 < 2γ 1, n N, 1 2 k 1 y k = y, k=1 es decir y pertenece a T (B X (0, 2γ 1 )), en consecuencia B y (0, 1) T (B x (0, 2γ 1 )).

61 5.3. EL TEOREMA DE APLICACIÓN ABIERTA 61 Del hecho que se tiene que es decir y en consecuencia B Y (0, 1) T (B X (0, 2γ 1 )), ) δ B Y (0, T (B X (0, δ)) T (A x 0 ), 2γ 1 ) δ B Y (0, T (A) T (x 0 ) 2γ 1 ) δ B Y (T (x 0 ), T (A) 2γ 1 lo cual demuestra que T (A) es abierto. Los siguientes corolarios del teorema 5.3 se aplican directamente a muchas situaciones concretas. Corolario 5.4 Sean X, Y espacios de Banach. Si T : X Y es una biyección lineal y continua, entonces su inversa T 1 también es continua. Demostración: Sea A un abierto en X, entonces se tiene que (T 1 ) 1 (A) = T (A) es abierto por el teorema de la aplicación abierta, lo cual significa que T 1 es continua ya que la imagen inversa mediante T 1 de cualquier abierto es abierta. Corolario 5.5 Sea X un espacio vectorial. Sean. 1,. 2 dos normas sobre X, tales que X 1 = (X,. 1 ) y X 2 = (X,. 2 ) son espacios de Banach. Si existe un números real K > 0 tal que x 1 K x 2 ; para todo x en X, entonces. 1 y. 2 son equivalentes. Demostración: De la comparación de normas se tiene que el operador identidad I : X 2 X 1 es una biyección lineal y continua y por el corolario 5.4 se tiene que I : X 1 X 2 es continua, es decir existe K 1 > 0 tal que x 2 K 1 x 1 ; para todo x en X

62 62 CAPÍTULO 5. EL TEOREMA DE BAIRE Y APLICACIONES 5.4 El Teorema del Gráfico Cerrado Definición 5.5 Sea T una aplicación lineal definida en su dominio D T, subespacio del espacio normado X con valores en el espacio normado Y. El gráfico G T de T es el subconjunto del producto X Y definido por G T = {(x, T (x)) : x D T }. Definición 5.6 Dados dos espacios normados X, Y. Diremos que una aplicación lineal T : X Y es cerrada, si su gráfico G T es cerrado en X Y con respecto a la topología producto. Observación 5.3 En el caso que X, Y son espacios normados la topología producto de X Y, coincide con la topología generada por la norma (x, y) = max{ x X, y Y }. El resultado siguiente da una condición necesaria y suficiente para que una aplicación lineal T sea cerrada. Teorema 5.4 Sean X, Y espacios normados. Sea T una aplicación lineal definida en el subespacio D T de X con valores en Y. La aplicación T es cerrada si, y sólo si, la siguiente condición es satisfecha: Si {x n } es una sucesión en D T convergente al elemento x 0 de X tal que la sucesión {T (x n )} converge al elemento y 0 de Y, entonces se tiene que x 0 está en D T y T (x 0 ) = y 0. Demostración: Supongamos que T es cerrada. Sea {x n } una sucesión en D T que converge a x 0 en X y tal que {T (x n )} converge a y 0, entonces (x n, T (x n )) (x 0, y 0 ) = max{ x n x 0, T (x n ) y 0 } converge a cero cuando n tiende a infinito y como G T es cerrado, entonces debe tenerse que (x 0, y 0 ) G T y esto ocurre si, y sólo si, T (x 0 ) = y 0. En particular x 0 D T. Supongamos ahora que la condición del teorema es satisfecha. Sea {(x n, T (x n ))} una sucesión en G T que converge a (x 0, y 0 ), Entonces se tiene que (x n, T (x n )) x 0, y 0 ) = max{ x n x 0, T (x n ) y 0 } converge a cero y en consecuencia lim x n = x 0 y lim T (x n ) = y 0,

63 5.4. EL TEOREMA DEL GRÁFICO CERRADO 63 y de acuerdo con las hipótesis x 0 D T y T (x 0 ) = y 0 ; es decir G T es cerrado en X Y y en consecuencia T es cerrada. Corolario 5.6 Sea T una aplicación lineal definida en el espacio normado X con valores en el espacio normado Y. Si T es continua entonces T es cerrada. Ejercicio 5.2 Demuestre el corolario 5.6 El recíproco de este corolario no es cierto en general. Ejercicio 5.3 Pruebe que el operador lineal D : C 1 [0, 1] C[0, 1], definido por D(g) = g, g C 1 [0, 1], es un operador cerrado y no es continuo. Sin embargo, si X e Y son espacios de Banach, entonces toda aplicación lineal cerrada T : X Y, es continua como lo afirma el siguiente resultado. Teorema 5.5 (Teorema del gráfico cerrado). Sean X, Y espacios de Banach. Si una aplicación lineal T : X Y es cerrada, entonces T es continua. Demostración: Como el gráfico G T de T es cerrado, entonces G T es un espacio de Banach. Por otra parte, la aplicación P X : G T X definida por P X (x, T (x)) = x, es una biyección, y como para todo x en X P X (x, T (x)) = x max{ x, T (x) } = (x, T (x), se tiene que P X es continua. Se deduce entonces del teorema de la aplicación abierta que la inversa P 1 X de P X es continua. Por lo tanto se tiene que T (x) max{ x, T (x) } = (x, T (x)) = P X 1(x) P X 1 x, x X, es decir T es continua.

64 64 CAPÍTULO 5. EL TEOREMA DE BAIRE Y APLICACIONES 5.5 Ejercicios Ejercicio 5.4 Sea S un subconjunto del espacio normado X tal que para cada x en X el conjunto x (S) es acotado. Demuestre que S es acotado. Ejercicio 5.5 Construya una sucesión de funcionales lineales y acotadas {x n} sobre (l 0,. l 1) tales que sup x n(x) <, para cada x en l 0, pero n 1 lim x n =. Que relación tiene este hecho con el principio de acotación uniforme?. Ejercicio 5.6 Dada {a n } en l1 tal que a n > 0, para todo n 1. Demostrar que existe una sucesión {b n } tal que lim b n = y a n b n converge. Ejercicio 5.7 Sea X un espacio vectorial. Sean. 1,. 2 dos normas en X con respecto a las cuales X es de Banach. Supongamos que X tiene la siguiente propiedad : Si {x n } X es una sucesión que converge en ambas normas a x1 y x 2 respectivamente, entonces x 1 y x 2 son iguales. Demuestre que en este caso las normas son equivalentes. Ejercicio 5.8 Sean X, Y espacios normados, Y de Banach y {T n } L (X, Y ). Demuestre que si para cada x en X se tiene que {T n (x)} es de Cauchy en Y, entonces existe M > 0 tal que T n M, para todo n 1. Ejercicio 5.9 Demuestre que el teorema de Banach-Steinhauss falla si X no es completo. Ejercicio 5.10 Sea X un espacio normado y A una transformación lineal de X en X. Demostrar que si A es cerrada, entonces A λi es cerrada para todo λ en el cuerpo K. Ejercicio 5.11 Sean X, Y espacios normados. Supongase que A : X Y es una transformación lineal cerrada. Sea F un subconjunto compacto de X. Demostrar que A(F ) es un subconjunto cerrado de X.

65 5.5. EJERCICIOS 65 Ejercicio 5.12 Sea X un espacio de Banach y A una transformación lineal cerrada de X en Y. Demostrar que si A 1 existe y es continua sobre R A = Rango de A, entonces R A es cerrado. Ejercicio 5.13 Sea A una transformacion lineal cerrada del espacio normado X en el espacio normado Y. Sea H un subconjunto compacto de Y. Demostrar que A 1 (H) es un subconjunto cerrado de X. Definición 5.7 Diremos que un operador A : X Y no cerrado admite clausura si existe un operador A : X Y cerrado tal que la clausura del gráfico de A es igual al grafico de A. Llamaremos al operador A la clausura de A. Ejercicio 5.14 Verifique que si A : X Y admite clausura A entonces A es una extensión de A; es decir A(x) = A(x) para todo x en D A =Dominio de A. Ejercicio 5.15 Demostrar que un operador A : X Y admite clausura si, y sólo si, para toda sucesión {x n } D A tal que x n 0 y Ax n y, se tiene que y = 0. Ejercicio 5.16 Demostrar que si la transformación A : X Y extensión cerrada B, entonces A admite clausura. tiene una

66 66 CAPÍTULO 5. EL TEOREMA DE BAIRE Y APLICACIONES

67 Capítulo 6 Topología débil 6.1 Convergencia débil y débil estrella en espacios normados Definición 6.1 Una sucesión {x k } k=1 de elementos de un espacio normado X se dice que converge débilmente a un elemento x en X si lim x (x k ) = x (x), para cada x en X. Vamos a comparar esta convergencia con la convergencia en norma. Lema 6.1 Si la sucesión {x k } k=1 X converge débilmente, entonces {x k} k=1 es acotada en norma. Demostración: Para cada k 1, sea J(x k ) = ˆx k X. Para cada x en X se tiene que la sucesión {ˆx k (x )} k=1 es acotada ya que x k converge débilmente. Del Teorema de Acotación Uniforme se tiene que sup k 1 es decir {x k } k=1 es acotada en norma. x k = sup ˆx k M <, k 1 Para espacios finito dimensionales tenemos el siguiente resultado. Teorema 6.1 Si X es un espacio finito dimensional normado, entonces una sucesión {x k } k=1 converge débilmente a x 0 si, y sólo si,{x k } k=1 converge en norma a x 0. 67

68 68 CAPÍTULO 6. TOPOLOGÍA DÉBIL Demostración: Supongamos dim(x) = n. Entonces se tiene que dim(x ) = n. Sea {yi } n una base de X entonces cada x en X se puede escribir como x = n a i yi. Como todas las normas en X son equivalentes tenemos x = n a i. Por convergencia débil de {x k } se tiene que dado ε > 0, existe un N(ε) tal que y i (x k x 0 ) < ε, para 1 i n y para todo k N(ε). Entonces para cada x en X se tiene que x (x k x 0 ) n a i yi (x k x 0 ) < ε x, k N(ε), es decir ( x k x 0 )(x ) ε x, k N(ε), de lo cual se deduce que x k x 0 ε, k N(ε). Lo cual significa que lim k x k x 0 = 0 Ejercicio 6.1 Demuestre que en l 1 la convergencia débil y la convergencia fuerte son equivalentes. Esto demuestra que el recíproco del teorema 6.1 no es cierto. Definición 6.2 Una sucesión {x k } k=1 X se dice ser débil -convergente a un elemento x 0 en X si, para todo x en X se tiene que lim k x k(x) = x 0(x). Ejercicio 6.2 Demuestre que una sucesión {x k } k=1 siempre acotada. débil -convergente es

69 6.2. ESPACIO PRODUCTO Y TOPOLOGÍA DÉBIL Espacio producto y Topología débil Espacios productos Definición 6.3 Dada una colección de conjuntos {A α, α I}, el producto cartesiano Π α I A α se define como el conjunto de todas las funciones f, f : I α I A α tales que f(α) A α para cada α I. Si para cada α en I se tiene que A α es un espacio topológico podemos definir una topología τ π sobre α I A x de la siguiente manera. Diremos que V es un abierto en α I A x, si para cada función f en V existe un conjunto de funciones con f V tal que = α I α, cada α es un entorno de f(α) y u α = A α salvo un número finito de indices. Esta Topología es denominada la Topología Producto sobre α I A α. Para esta topología se tiene el siguiente resultado. Teorema 6.2 ( Tychonoff ) Supongase que {Aα, α I} es una colección de espacios topológicos compactos para cada α en I, entonces se tiene que A = α I A x es compacto en la topología producto Topologías débiles Vamos a tratar de poner una topología τ en un espacio normado X de manera que la bola unitaria cerrrada B(0, 1) sea compacta en (X, τ). Definición 6.4 Dadas dos topologías τ 1 y τ 2 sobre un conjunto X si τ 1 τ 2 diremos que τ 1 es más débil que τ 2. Observación 6.1 Sean X un conjunto y F una familia no vacía de funciones f : X Y f donde cada Y f es un espacio topológico. Si definimos τ como la colección de todas las uniones de intersecciones finitas de conjuntos del tipo f 1 (V ) con f en F y V abierto en Y f, se tiene que τ es una topología sobre X. La topologia τ definida sobre X de la manera anterior, es la más débil topología sobre X en la cual cada f en F es continua.

70 70 CAPÍTULO 6. TOPOLOGÍA DÉBIL Definición 6.5 La topología τ definida sobre X en la observación anterior denominada la topología débil sobre X inducida por F ó la F -topología de X. A dicha Topología la denotaremos por σ(f, X). El más conocido ejemplo de esta situación es sin dudas la manera usual como se le da una topología al producto cartesiano X = α I X α donde X α es un espacio topologico para cada X en I. Si π α (x) denota la coordenada α de un punto x de X entonces π α : X X α, y la topología producto es por definición la {π α, α I} -topología. 6.3 Ejercicios Ejercicio 6.3 Sean {x n } una sucesión en lp, (1 < p < ); x = {x j } j=1 en l p. Demostrar que {x n } converge a x débilmente si, y sólo si, x n p < y lim x n j x j = 0, para cada j 1. sup n 1 Ejercicio 6.4 Demuestre que la sucesión {f n } en Lp [a, b], (1 < p < ) converge débilmente a f si, y sólo si, a.)sup f n p <, y n 1 b.) lim y a f n (t)dt = y a x(t)dt; para todo y en [a, b]. Ejercicio 6.5 Sean X, Y espacios normados y {A n }, {B n} sucesiones en L (X, Y ). Demostrar que si {A n } converge fuertemente a A y {B n} converge fuertemente a B, entonces {A n + B n } converge fuertemente a A + B. Ademas si {A n } converge fuertemente a C entonces A = C. Demuestre resultados análogos para convergencia débil. Ejercicio 6.6 Sea X un espacio de Banach y {f n } una sucesión en X. Demostrar que f n f débilmente si, y sólo si, la sucesión { f n } es acotada y f n (x) f (x) para todo x en un subconjunto A denso en X. Ejercicio 6.7 Sea X un espacio normado. Sean B = {f X tal que f 1}, S = {f X tal que f = 1}. Demuestre que la clausura de S en la topología débil estrella es B.

71 6.3. EJERCICIOS 71 Ejercicio 6.8 Si para cada t en [0, 1] definimos δ t en (C [0, 1]) por δ t (f) = f (t) para cada f en C [0, 1]. Demostrar que si U n = 1 n débil. Determinar lim U n. n k=0 δ kk, entonces {U n } converge en la topología Ejercicio 6.9 Dada la sucesion {e n },donde en = {δ in }.Demuestre que: a.){e n } converge a cero en la topología débil de c 0 b.) {e n } converge a cero en la topología débil de l 1 c.) {e n } no converge a cero en la topología débil de l1. Ejercicio 6.10 Demuestre que un funcional lineal F sobre un espacio dual X es débil continua si, y sólo si, existe x en X tal que F (f) = f(x) para toda f en X Ejercicio 6.11 Demuestre que la topología débil y la topología débil coinciden en X si, y sólo si, X es reflexivo.

72 72 CAPÍTULO 6. TOPOLOGÍA DÉBIL

73 Capítulo 7 Espacios de funciones continuas 7.1 Espacios de funciones continuas En esta sección X denotará un espacio topológico compacto. El espacio C K (X) es un espacio de Banach con la norma del supremo, vamos a estudiar algunas propiedades extras de este espacio. Comenzaremos con el siguiente resultado de Dini. Lema 7.1 (Dini) Sea {f n } una sucesión monótona de C R (X) que converge puntualmente a una función continua f, entonces {f n } converge uniformemente a f. Demostración: Supongamos que la sucesión {f n } es creciente. Definamos la sucesión {g n } por g n := f f n, entonces se tiene que g n C R (X) y {g n } es monótona decreciente. Dado ε > 0, definamos para cada n N, el conjunto G n por G n = gn 1 (0, ε) G n es abierto. Como la sucesión {g n } converge a cero puntualmente, se tiene que X = G n. Sea {G 1, G 2,..., G N } un subcubrimiento finito de X. Es claro que G 1 G 2 G N 73

74 74 CAPÍTULO 7. ESPACIOS DE FUNCIONES CONTINUAS y en consecuencia X = G N. Esto demuestra que 0 g n (x) < ε, n > N y todo x en X; es decir f f n = g n = max{g n (x); x X} < ε, para todo n > N. Es decir lim f n f = 0 Ejercicio 7.1 Demuestre el lema 7.1 en el caso en que la sucesión {f n } es decreciente. La condición de que {f n } sea monótona no puede omitirse, como muestra el siguiente ejemplo: Ejemplo 7.1 Definamos f n : [0, 1] R por 2nx; si 0 x 1 2n 1 f n (x) = 2 2nx; si x 1 2n n 1 0; si x 1 n Esta sucesión está en C R [0, 1], converge a cero puntualmente y sin embargo f n = 1 para todo n. Definición 7.1 Un espacio vectorial A es un álgebra lineal si en A está definido un producto (.) con las siguientes propiedades. 1) x (y z) = (x y) z; x, y, z A. 2) (α x) (β y) = (α β) (x y); α, β K; x, y A 3) x (y + z) = x y + x z; x, y, z A. Si además se tiene que x y = y x; x, y A, entonces se dice que A es un álgebra conmutativa. Si en el álgebra conmutativa A existe un elemento e tal que x e = e x = x, x A, se dice que el álgebra A tiene una identidad. Definición 7.2 Un subespacio B de un álgebra A es una subálgebra de A si x, y en B implica x y en B. Ejercicio 7.2 Dado X un espacio topológico, Demuestre que el espacio vectorial de todas las funciones f : X K es un álgebra con identidad.

75 7.2. EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS El Teorema de Stone-Weierstrass Vamos a prepararnos ahora para demostrar una versión general del teorema de Stone-Weierstrass. Para eso necesitaremos los siguientes resultados: Lema 7.2 La clausura Ā de una subálgebra A de C K(X) es una subálgebra de C K (X) Ejercicio 7.3 Demuestre el Lema 7.2 Lema 7.3 La función f(x) = x es el límite uniforme de una sucesión de polinomios en C R [ 1, 1]. Definamos inductivamente la siguiente sucesión de poli- P 0 (x) = 0; x [ 1, 1] P n+1 (x) = P n (x) (x2 Pn(x)). 2 0 P 1 (x) = 1 2 x2 x ; x [ 1, 1]. 0 P k (x) x, x [ 1, 1], Demostración: nomios si n > 0 Se tiene que Supongamos que entonces x P k+1 (x) = ( x P k (x)) 1 2 (x2 P 2 k (x)) = ( x P k (x)) 1( x + P 2 k(x))( x P k (x)) = ( x P k (x)) [ 1 1( x + P 2 k(x)) ] ( x P k (x))(1 x ) 0. De lo cual se deduce que x P k+1 (x) 0

76 76 CAPÍTULO 7. ESPACIOS DE FUNCIONES CONTINUAS y además como {P k } k=0 es monótona y acotada se tiene que {P k} converge puntualmente. Sea q(x) = lim P n (x), entonces q(x) = lim [ Pn 1 (x) (x2 P 2 n 1(x)) ] = q(x) (x2 q 2 (x)), de lo cual se deduce que q(x) = x. Del Lema 7.1 se deduce que la convergencia de P n (x) a x es uniforme Lema 7.4 Sea A una subálgebra cerrada de C R (X) si f A, entonces f A. Demostración: El lema es obvio si f 0. Supongamos entonces que f no es identicamente nula. Dado ε > 0 existe un polinomio P en [ 1, 1] tal que x P (x) ε, x [ 1, 1]. f En particular, f(x) f P ( ) f(x) ε f f. Si P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, se tiene que f(x) a (f(x)) 2 (f(x)) n 0 a 1 (f(x)) a 2 a n f f n 1 < ε, y como la función a 0 + a 1 f(x) + a 2 (f(x)) 2 f está en A, se tiene que f(x) está en Ā = A. + + a n (f(x)) n f n 1 Ejercicio 7.4 Verifique que si A es un subálgebra cerrada de C R (X) se tiene que si f, g A entonces las funciones pertenecen a A. f g := max{f, g} f g := min{f, g}

77 7.2. EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS 77 Lema 7.5 Sea A una subálgebra cerrada de C R (X) y f en C R (X). Si para cada par de puntos x, y en X existe una función g en A tal que g(x) = f(x); g(y) = f(y), entonces f A. Demostración: Dado ε > 0, vamos a construír una función g ε A tal que g ε f < ε. Sea x un elemento de X. Para cada y en X sea g x,y en A tal que g x,y (x) = f(x); g x,y (y) = f(y). Definamos G x,y es abierto, y G x,y y además G x,y = [f g x,y ] 1 (0, ε). X = G x,y, y X entonces existe una sucesión finita {y i } n en X tal que n X = G x,yi. Tomemos g x = max{g x,y1,..., g x,yn }, entonces g x A y f(z) < g x (z) + ε para todo z en X, ya que z G x,yk para algún k y en este caso f(z) < g x,yk (z) + ε q x (z) + ε. Además f(x) = g x (x) ya que f(x) = g x,yk (x). Definamos ahora, para cada x, el conjunto H x = {z X; g x (z) < f(z) + ε} H x es abierto, x H x y X = H x. Por tanto existe una sucesión finita x X {x i } m tal que X = m H xj. Definiendo g ε = min{g xi } m se tiene que g ε A y j=1 f(z) > g ε (z) ε, z X. Además f(z) < g ε (z) + ε, z X. De lo cual se deduce que y por lo tanto f Ā = A sup f(z) g ε (z) = f g ε < ε

78 78 CAPÍTULO 7. ESPACIOS DE FUNCIONES CONTINUAS Teorema 7.1 (Stone-Weierstrass, versión real) Sea A una subálgebra de C R (X). Si A separa los puntos de X y para cada punto x de X existe un elemento g de A que no se anula en ese punto, entonces se tiene que A es densa en C R (X). Demostración: Si X consiste de un solo punto entonces C R (X) tiene dimensión uno y en este caso A coincide con C R (X). Supongamos que X contiene al menos dos puntos. Vamos a usar el lema 7.5 para concluir la demostración. Sea f en C R (X), dados dos puntos x 1, x 2 en X vamos a construír una función F en A tal que F (x 1 ) = f(x 1 ), F (x 2 ) = f(x 2 ) y del lema 7.5 concluíremos que f Ā, es decir A es denso en C R(X). Dados x 1, x 2 en X, existe una función g en A tal que g(x 1 ) g(x 2 ) y además g(x 1 ) 0. Definamos la función f 1 por f 1 (x) = g(x) ( ) g(x 1 ) g(x2 ) g(x) ; g(x 2 ) g(x 1 ) esta función satisface que f 1 (x 1 ) = 1 y f 1 (x 2 ) = 0. Si g(x 2 ) 0, entonces la función f 2 definida por f 2 (x) = g(x) g(x 1) g(x), g(x 2 ) g(x 1 ) g(x 2 ) satisface que f 2 (x 1 ) = 0, f 2 (x 2 ) = 1. Por otra parte si g(x 2 ) = 0, entonces existe g en A tal que g(x 2 ) 0 y la función f 2 definida por satisface que f 2 (x) = g(x) g(x 2 ) g(x) g(x) g(x 2 )g(x 1 ) f 2 (x 1 ) = 0, f 2 (x 2 ) = 1. Todas las funciones definidas anteriormente cuando existen pertenecen a A. Dado f en C R (X), definamos F en A de la siguiente manera F (x) = f(x 1 )f 1 (x) + f(x 2 )f 2 (x). Se tiene que F (x 1 ) = f(x 1 ), F (x 2 ) = f(x 2 ), se deduce del lema 7.5 que f Ā y en consecuencia Ā = C R(X)

79 7.2. EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS 79 Ejercicio 7.5 Verifique que P [a, b] la subálgebra de polinomios de C R [a, b], verifica todas las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass y por lo tanto P [a, b] = C R [a, b], lo cual es el teorema clásico de Weierstrass. Teorema 7.2 (Stone-Weierstrass, versión compleja) Sea A una subálgebra de C C (X). Si A separa puntos de X, para cada punto x de X existe una función g en A tal que g(x) 0 y si f A siempre que f A, entonces Ā = C C(X). Demostración: C R (X) es una subálgebra cerrada de C C (X), además C C (X) = C C (X) + ic C (X)). Supongamos que Ā C R(X) = C R (X). Dada f en C C (X) se tiene que f = h + ig donde h = f + f, g = f = f f 2 2i y cada una de estas funciones estan en C R (X) y por ende en Ā. Por lo tanto h + ig Ā, de lo cual se deduce que Veamos que, en efecto, Ā = C C (X). Ā C R (X) = C R (X). Para esto vamos a ver que la subálgebra cerrada B = Ā C R(X), satisface las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass versión real. f+ f (f+ f) Si f = h + ig = + i es un elemento de A, se tiene entonces que 2 2i h y g están en A, ya que f está en A. De esto se deduce que h, g están en Ā C R (X). Veamos que Ā C R(X) separa puntos de X. Dados x, y en X, existe f en A con f(x) f(y).como f se puede escribir f = h + ig; con h, g en C R (X), entonces debe tenerse que h(x) h(y) ó g(x) g(y), de lo cual se deduce que Ā C R(X) separa puntos de X. Veamos que si x 0 X, existe f 0 en Ā C R(X) tal que f 0 (x 0 ) 0. Sea x 0 en X, entonces existe f en A tal que f(x 0 ) 0 y f = h + ig; con h, g en C R (X). Se deduce entonces que g(x) 0 ó h(x) 0; y tomamos f 0 = g ó f 0 = h dependiendo de cual sea diferente de cero en x 0.

80 80 CAPÍTULO 7. ESPACIOS DE FUNCIONES CONTINUAS Usando ahora la versión real de Stone-Weierstrass obtenemos que Ā C R (X) = C R (X). Otro enfoque para demostrar el teorema de Stone, es usando el así llamado Teorema de Korovkin, del cual daremos una versión sin demostración. Vamos a restringirnos a C[0, 1] pero el teorema es cierto en general para C[a, b]; a, b R. Definición 7.3 Un operador T : C[0, 1] C[0, 1] es llamado positivo si f(t) 0 para cada t en [0, 1]; entonces (T f)(t) 0 para todo t en [0, 1]. Definamos las funciones f 0, f 1, f 2 sobre [0, 1] como se tiene el siguiente resultado f 0 (t) 1, f 1 (t) = t, f 2 (t) = t 2, Teorema 7.3 Sea (T n ) una sucesión de operadores positivos de C[0, 1] en C[0, 1] tal que lim T n (f j ) = f j ; j = 0, 1, 2. Entonces se tiene que lim T n(f) = f, para todo f en C[0, 1]. Si f es una función real sobre [0, 1] el enésimo polinomio de Berstein de f es definido por B n (f)(t) = n k=0 Se tiene el siguiente resultado ( n k ) f ( ) k t k (1 t) n k n Teorema 7.4 Para cada f en C[0, 1] la sucesión {B n (f)} converge uniformemente a f. Para demostrar este teorema se verifica que {B n } es una sucesión de operadores positivo y que lim B n (f j ) = f j ; j = 0, 1, 2 y luego se aplica el teorema de Korovkin para concluír que lim B n(f) = f.

81 7.3. EL TEOREMA DE ARZELA -ASCOLI El Teorema de Arzela -Ascoli Definición 7.4 Un espacio métrico X es totalmente acotado si dado ε > 0 existe una colección finita de bolas abiertas B(x 1, ε),..., B(x n, ε) tales que n X B(x i, ε). Observación 7.1 A una tal colección de bolas se le llama ε-red, algunas veces también se llama ε-red a los puntos {x i } m. Observación 7.2 En un espacio métrico completo, un conjunto X es relativamente compacto si, y sólo si, es totalmente acotado. Definición 7.5 Sea X un espacio métrico compacto. Un subconjunto no vacío A de C K (X) es equicontinuo en el punto x 0 de X si para cada ε > 0, existe un número real δ(x 0, ε) tal que f(x 0 ) f(x) < ε para todo x en B(x 0, δ) y todo f en A. Definición 7.6 Un conjunto A de C K (X) se dice equicontinuo en X si A es equicontinuo en cada punto de X. Teorema 7.5 ( Arzela - Ascoli). Sea X un espacio métrico compacto. Un subconjunto A no vacío de C K (X) es relativamente compacto si, y sólo si, A es acotado y equicontinuo. Demostración: Sea A un subconjunto relativamente compacto de C K (X); entonces A es totalmente acotado. Sea ε > 0 y {f i } n una ε-red de A, por ser f i uniformemente continua para cada i = 1, 2,..., n, existen δ i > 0, 1 i n, tales que si d(x, y) < δ i, entonces f i (x) f i (y) < ε. Tomemos δ = min{δ i } n, si f está en A, entonces existe k tal que f B(f k, ε), por lo tanto si d(x, y) < δ, entonces f(x) f(y) f(x) f k (x) + f k (x) f k (y) + f k (x) f(y) < 3ε, de lo cual se concluye que A es equicontinuo.

82 82 CAPÍTULO 7. ESPACIOS DE FUNCIONES CONTINUAS Supongamos que A es acotado y equicontinuo, como C K (X) es completo solo nos queda demostrar que A es totalmente acotado. Dado ε > 0, existe para cada x en X, un número δ(x) > 0 tal que si d(x, y) < δ(x), entonces f(x) f(y) < ε, f A. La colección {B(x, δ(x)), x X} es un cubrimiento abierto de X y por lo tanto existe una subcolección finita {B(x i, δ(x i )} n que cubre a X. Para cada x i el conjunto ˆx i (A) = {f(x i ); f A} K, es acotado ya que A es acotado. Sea {yi 1, yi 2,..., y k i i } una ε-red en ˆx i(a), para cada n-upla {m 1, m 2,..., m n } N n tales que 1 m i k i definamos el conjunto (m 1, m 2,..., m n )(A) := {f A : f(x j ) y m j j < ε; j = 1, 2,..., n.}. Vamos a demostrar que el conjunto que resulta de elegir un elemento en cada uno de estos conjuntos es una ε-red en A. Denominaremos f m1,m 2,...,m n un elemento en (m 1,..., m n )(A). Sea f un elemento en A; como {yj 1, yj 2,..., y k j j } es una ε-red en ˆx j (A), entonces para cada x j existe un elemento y m j j tal que f(x j ) y m j j < ε. Sea x un elemento de X, entonces existe x i ; 1 i n, tal que d(x, x i ) < (δ(x i ) y en consecuencia f m1,..., m n (x) f m1,..., m n (x i ) < ε y f(x) f(x i ) < ε, se tiene entonces que f(x) f m1,..., m n (x) f(x) f(x i ) + y m i i f m1,..., m i,..., m n (x i ) + f(x i ) y m i i + f m1,..., m i,..., m n (x i ) f m1,..., m i,..., m n (x) < 4ε 7.4 Ejercicios Ejercicio 7.6 Demuestre que si f está en C [0, 1] y 1 0 f(t)tn dt = 0, para todo n, entonces f es idénticamente nula. Ejercicio 7.7 Dado M > 0, sea U M el conjunto de todas las f en C [0, 1] tales que f(x) f(y) M x y para todo x, y en [0, 1]. Demuestre que U M, es cerrado y equicontinuo pero no acotado.

83 7.4. EJERCICIOS 83 Ejercicio 7.8 Si definimos V M como el conjunto de todas las f en U M tales que f M, demuestre que V M es compacto en C [0, 1]. Ejercicio 7.9 Sean f j (t) = t j ; j = 0, 1, 2. elementos de C [0, 1]. Suponga que T es un operador lineal positivo de C [0, 1] en C [0, 1] tal que T f j = f j ; j = 0, 1, 2. Demuestre que T es el operador identidad. Dar un ejemplo de un operador positivo tal que T f 0 = f 0 ; T f 1 = f 1 ; T f 2 f 2. Ejercicio 7.10 Demuestre que cada operador positivo T : C [0, 1] C [0, 1] es continuo.

84 84 CAPÍTULO 7. ESPACIOS DE FUNCIONES CONTINUAS

85 Capítulo 8 Espacios de Hilbert 8.1 Formas hermíticas Definición 8.1 Una forma hermítica sobre un espacio vectorial X es una aplicación Φ : X X C, tal que: i) Φ(λx + βy, z) = λφ(x,z)+βφ(y,z); λ, β C; x, y, z X ii) Φ(z, λx + βy) = λ Φ(z,x)+βΦ(z, y) iii) Φ(x,y)=Φ(y, x) λ denota el conjugado de λ. Ejemplo 8.1 La aplicación Φ definida por Φ(x, y) = n a ij x i y j ; donde i,j=1 x = (x i ) n, y = (y j ) n j=1 y a ij = a ji, para i = 1, 2,..., n es una forma hermítica sobre C n. Definición 8.2 Dada Φ una forma hermítica sobre X. A la función Φ : X C definida por Φ(x) = Φ(x, x) se le denomina la forma cuadrática correspondiente a la forma hermítica Φ. Observación 8.1 Toda forma hermítica está unívocamente determinada por su forma cuadrática. Más precisamente vale la igualdad de polarización Φ(x, y) = 1 4i 3 i k+1 Φ(x + i k y) k=0 85

86 86 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT En efecto, se tiene que 1. Φ(x + iy) = Φ(x)+ Φ(y) iφ(x, y) + iφ(y, x) 2. Φ(x iy) = Φ(x)+ Φ(y) + iφ(x, y) iφ(y, x) 3. Φ(x+ y) = Φ(x)+ Φ( y) + Φ(x, y) + Φ(y, x) 4. Φ(x y) = Φ(x) + Φ( y) Φ(x, y) Φ(y, x). Sumando 1 + i4 obtenemos que 5. Φ(x + i y) + i Φ(x y) = (1 + i) Φ(x) + (1 + i) Φ( y) 2iΦ(x, y), Sumando 2 + 3i obtenemos 6. Φ(x iy) + i Φ(x+ y) = (1 + i) Φ(x) + (1 + i) Φ( y) + 2iΦ(x, y). Sumando 6 5 se obtiene que 4iΦ(x, y) = Φ(x iy) + i Φ(x + y) Φ(x + iy) i Φ(x y). Por lo tanto Φ(x, y) = 1 4i [ Φ(x iy) Φ(x + iy) + i Φ(x + y) i Φ(x y)] Definición 8.3 Dos vectores x, y en X se dicen ortogonales con respecto a Φ, si Φ(x, y) = 0. Definición 8.4 La forma hermítica Φ se dice degenerada si existe un vector x en X tal que x 0 y Φ(x, y) = 0, para todo y en X. Definición 8.5 La forma hermítica Φ se dice positiva si Φ(x) 0; x X y se dice estrictamente positiva si Φ(x) > 0 para todo x 0. Teorema 8.1 (Cauchy-Schwarz) Sea Φ una forma hermítica positiva sobre X. Entonces se tiene que Φ(x, y) ( Φ(x)) 1/2 ( Φ(y)) 1/2 ; x, y X.

87 8.1. FORMAS HERMÍTICAS 87 Demostración: Para cada C C se tiene que Φ(x Cy, x Cy) 0; es decir Φ(x, x) CΦ( y, x) CΦ(x, y) + C 2 Φ( y, y) 0. Tomando C = Φ(x,y) Φ( y, y) Φ(x, x) se tiene que Φ(x, y) Φ(x, y)φ(x, y) Φ(x, y) 2 Φ(y, x) + Φ(y, y) Φ(y,y) Φ(y, y) Φ(y,y) 2 = Φ(x, x) de lo cual se tiene que 2 Φ(x, y) 2 Φ(y,y) + Φ(x, y) 2 Φ(y, y) = Φ(x, x) Φ(x, y) 2 Φ(y,y) 0, Φ(x, y) (Φ(x, x)) 1/2 (Φ(y, y)) 1/2. Teorema 8.2 Si Φ es una forma hermítica estrictamente positiva sobre X, entonces el funcional definido por x = ( Φ(x)) 1/2 es una norma sobre X. Demostración: a) x 0 y x = 0 si, y sólo si, x = 0, por ser Φ estrictamente positiva. b) λx = [ Φ(λx)] 1/2 = [λ λ Φ(x)] 1/2 = λ x. c) Tenemos que x + y 2 = Φ(x + y) = Φ(x) + Φ( y) + Φ(x, y) + Φ( y, x) = x 2 + y 2 + 2Re(Φ(x, y)) x 2 + y Φ(x, y) x 2 + y x y = ( x + y ) 2. Por lo tanto x + y x + y ; x, y X

88 88 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT Producto interno Definición 8.6 Un producto interno sobre un espacio vectorial X es una forma hermítica estrictamente positiva sobre X. Denotaremos el producto interno por,. Definición 8.7 Si la norma de un espacio vectorial X viene dada de la forma x = (Φ(x)) 1/2 donde Φ es una forma hermítica estrictamente positiva, se dice que X es un espacio normado con producto interno. Definición 8.8 Si X es de Banach con la norma de producto interno se dice que (X, ) es un espacio de Hilbert. En general vamos a usar la letra H para denotar los espacios de Hilbert. Teorema 8.3 Sea H un espacio de Hilbert, entonces se tiene que x, y = 0, para todo y en H si, y sólo si, x = 0. Demostración: Supongamos que x = 0, entonces 0, y = 2 0, y, de lo cual se deduce que 0, y = 0; y H. Si x, y = 0, y X, en particular x, x = 0 y como, es un producto interno, se tiene que x = 0. Teorema 8.4 (Ley del paralelogramo) Sea H un espacio de Hilbert, entonces se tiene que x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ); x, y H Demostración: Se tiene que x + y 2 = x + y, x + y = x, x + y, y + x, y + x, y x y 2 = x y, x y = x, x x, y y, x + y, y, sumando se obtiene el resultado deseado. Corolario 8.1 Sea H un espacio de Hilbert. Si x es ortogonal a y, entonces x + y 2 = x 2 + y 2.

89 8.2. COMPLEMENTO Y PROYECCIÓN ORTOGONAL Complemento y Proyección Ortogonal Definición 8.9 Dado un subconjunto G de un espacio de Hilbert H, definimos su complemento ortogonal G como G := {x H : x, y = 0, para todo y en G}. Tenemos el siguiente resultado para complementos ortogonales. Teorema 8.5 Sea G un subconjunto de H. Se tiene entonces que G es un subespacio cerrado de H y además G (G ). Demostración: Sean α, β en K; x, y en G, se tiene entonces que αx + βy, z = α x, z + β y, z = 0, para todo z en G; es decir αx + βy G. Veamos ahora que G es cerrado. Sea x 0 en G y sea {x n } G tal que lim x n = x 0. Dado z en G se tiene que x 0, z = lim x n, z = lim x n, z = 0, de lo cual se deduce que x 0 G. Si a G, entonces a, x = 0, para todo x en G, de lo cual se deduce que a está en (G ) ; es decir G (G ). Observación 8.2 Si a G G, se tiene que a = 0, pero esta intersección puede ser vacía. Si G es un subespacio entonces G G = {0}. Lema 8.1 Si A y B son subconjuntos de H tales que A B, entonces B A. Demostración: Si x B, entonces x, y = 0 para todo y en B y como A B, se tiene que x, y = 0, para todo y en A, de lo cual se deduce que x A, es decir B A Lema 8.2 Sea H un espacio de Hilbert. Si G es un subconjunto de H, entonces se tiene que G = G.

90 90 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT Demostración: Como G G se tiene por el Lema 8.1 que G = (G ) G. Además G (G ) = G. Definición 8.10 Dos subconjuntos A, B de un espacio de Hilbert H se dicen mutuamente ortogonales si a, b = 0, para cada a en A y b en B. Lema 8.3 Si A y B son subespacios cerrados mutuamente ortogonales, entonces A + B es un subespacio cerrado. Además la suma A + B es suma directa. Demostración: Observemos en primer lugar que la suma A + B es directa. Si x A B, entonces x, x = 0 de lo cual se deduce que x = 0. Si x = a + b; x = a + b, se tiene que a a = b b y por tanto a a = b b está en A B, es decir a a = b b = 0. De lo cual se deduce que a = a y b = b. Veamos ahora que A B es cerrado. Sea z en A B, tomemos z n = x n +y n, con x n en A, y n en B tal que lim z n = z. Dado ε > 0, N 0 N tal que para n N 0 ε 2 z n z m 2 = z n z m, z n z m = x n x m, x n x m + y n y n, y n y m = x n x m 2 + y n y m 2, de lo cual se deduce que x n x m ε y y n y m ε; n N 0 ; es decir {x n } y {y n } son de Cauchy en A y B respectivamente, por tanto existen x 0 en A y y 0 en B tales que lim x n = x 0 y lim y n = y 0. Entonces es decir A B es cerrado z = lim z n = lim (x n + y n ) = x 0 + y 0 A B, Teorema 8.6 (Proyección ortogonal). Sean H un espacio de Hilbert y G un subconjunto de H cerrado y convexo. Entonces se tiene que dado x 0 en H, existe un único y 0 en G tal que d = d(x 0, G) = x 0 y 0

91 8.2. COMPLEMENTO Y PROYECCIÓN ORTOGONAL 91 Demostración: Si x 0 es un elemento de G el resultado se obtiene tomando y 0 = x 0. Supongamos que x 0 no pertenece a G. Sea {y n } G una sucesión tal que y n x 0 d + 1, para cada n 1. n Veamos que {y n } es de Cauchy, por la ley del paralelogramo se tiene que y n y m 2 = y n y m + x 0 x 0 2 = ( y n x 0 ) (y m x 0 ) 2 = 2( y n x y m x 0 2 ) ( y n x 0 ) + (y m x 0 ) 2 = 2( y n x y m x 0 2 ) y n + y m 2x 0 2. Por ser G convexo, se tiene que yn+ym está en G para todo n, m en N, por lo 2 tanto y n + y m 2x 0 2 = 4 y n + y m 2 x 0 4d 2 ; 2 de lo cual se obtiene que y n y m 2 2( y n x y m x 0 2 ) 4d 2 2 ( d + 1 m) ( d + 1 n) 2 4d 2, lo cual tiende a cero cuando n y m tienden a infinito. De todo esto se tiene que existe y 0 en G tal que lim y n = y 0. Además d = lim d + 1 n lim y n x 0 y 0 x 0, de lo cual se tiene que d = y 0 x 0. Si existe y 1 en G tal que d = y 1 x 0 ; se tiene que y 1 y 0 2 = (y 1 x 0 ) (y 0 x 0 ) 2 = = 2( y 1 x y 0 x 0 2 ) 4 y 1 y 0 2 x 0 2 0, de lo cual se obtiene que y 1 y 0 = 0 y por lo tanto y 0 = y 1 Teorema 8.7 Si E es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert H, entonces se tiene que H = E E.

92 92 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT Demostración: Hemos demostrado anteriormente que E E = {0}. Tomemos x en H E, como E es cerrado y convexo, existe un elemento y 1 en E tal que d(x, E) = x y 1. Veamos que x y 1 está en E, de lo cual se tendría que x = y 1 + (x y 1 ) E + E. Supongamos que (x y 1 ) no está en E, entonces existe y en E tal que x y 1, y 0. Para todo c C, se tiene que x y 1 cy 2 = x y 1 cy, x y 1 cy = x y 1, x y 1 c x y 1, y c y, x y 1 + c 2 y, y, tomando c 0 = x y 1,y, obtenemos y 2 x y 1 c 0 y 2 = x y x y 1,y 2 x y 1,y 2 y 2 y 2 = x y 1 2 x y 1,y 2 y 2 < x y 1 2, como x c 0 y E, esto contradice el hecho que d(x, E) = x y 1, en consecuencia se debe tener que x y 1 E Corolario 8.2 Sea E un subespacio de un espacio de Hilbert H. Se tiene entonces que E = E. Demostración: E = E.. H = E E = E E y como E E, entonces 8.3 Teorema de Representación de Riesz Teorema 8.8 (de representación de Riesz) Sea H un espacio de Hilbert. Un funcional f pertenece a (H) si, y sólo si, existe un único x f en H tal que f(y) = y, x f, para cada y en H. Además f = x f.

93 8.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ 93 Demostración: Veamos primero la unicidad de x f, si f(y) = y, x f = y, x 0, para todo y en H; se tendría que y, x f x 0 = 0 para todo y en H y por lo tanto x f x 0 = 0; es decir x f = x 0. Si f(y) = y, x f, para cada y en H, se tiene que f : H K, f es lineal y además f(y) = y, x f y x f, y H, de lo cual se deduce que f H y f ( x f. Por otra parte se tiene que f(x f ) = x f, x f = x f 2 xf, es decir f x f ) = xf, de lo cual se obtiene que f x f, es decir f = x f. Sea ahora f en H, veamos que existe x f tal que f(y) = y, x f, y H. Se tiene que Nucleo(f) es cerrado por ser f continua, además si f no es identicamente cero, se tiene que (Nucleo(f)) {0}. En efecto como H = Nucleo(f) (Nucleo(f)), si (Nucleo(f)) = {0}, entonces H = Nucleo(f), de lo cual se tendría que f sería cero identicamente. Sea w un elemento en (Nucleo(f)) tal que w 0, sea y un elemento en H, se tiene que f(f(y)w f(w)y) = 0, es decir f(y)w f(w)y Nucleo(f) y por lo tanto f(y)w f(w)y, w = 0, es decirf(y) w, w = f(w) y, w = y, f(w) w, de lo cual se deduce que f(y) = y, f(w) w w, y H. 2 Tomando x f = f(w) w 2 w; obtenemos el resultado deseado Observación 8.3 El Teorema 8.8 en particular dice que si H es de Hilbert, entonces es isométrico e isomorfo a su dual, ya que T : H H, definida por T (f) = x f es un isomorfismo isométrico. Hilbert es reflexivo. En particular se tiene que todo espacio de

94 94 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT Observación 8.4 Nótese que si tomamos un w 0 w en (Nucleo(f)) tal que w 0 0, entonces se tiene que Por unicidad se obtiene que f(y) = y, f(w 0) w 0 w 2 0, y H f(w 0 ) w 0 w 2 0 = f(w) w w, 2 es decir w = f(w 0) w 2 w 0 2 f(w) w 0, para todo w en (Nucleo(f)) lo cual significa que dim(nucleo(f)) = 1 Definición 8.11 Un subconjunto M de un espacio de Hilbert H se dice que es ortogonal si x, y = 0 para todo x, y en M. Si además se tiene que x = 1 para todo x en M, entonces M se dice ortonormal. Lema 8.4 Cada subconjunto ortogonal M de un espacio de Hilbert H es linealmente independiente. Demostración: Sea M un subconjunto ortogonal en H, sea {x i } n M. n Supongamos que λ i x i = 0, se tiene entonces que para k = 1, 2,..., n n 0 = λ i x i, x k = n λ i x i, x k = λ k x k, x k de lo cual se deduce que λ k = 0 para k = 1, 2,..., n Teorema 8.9 (Gram - Schmidt): Sea A un subconjunto numerable de vectores linealmente independientes en un espacio de Hilbert H, entonces existe un subconjunto numerable B de H tal que B es ortonormal y [A] = [B], donde [A] denota al espacio generado por A.

95 8.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ 95 Demostración: Sea A = {x n }. Pongamos y 1 = x 1, sea x 1 g 2 = x 2 c 21 y 1, escojamos c 21 de manera que g 2 sea ortogonal a y 1, evidentemente c 21 = x 2, y 1.Tomemos y 2 = g 2. Si {y g 2 i} n 1 han sido construidos, n 1 definamos g n por g n = x n c ni y i, poniendo c ni = x n, y i, g n es ortogonal a todos los {y i } n 1, definamos y n = gn inductivamente hasta infinito. Ejercicio 8.1 Demuestre que [A] = [B]. g n. El proceso se puede seguir Corolario 8.3 Todo espacio de Hilbert H de dimensión n, tiene una base ortonormal. Corolario 8.4 Todo espacio de Hilbert H de dimensión infinita tiene un subconjunto ortonormal infinito. Definición 8.12 Un subconjunto ortogonal se dice que es maximal si, y sólo si, no es subconjunto propio de otro conjunto ortogonal. Lema 8.5 Cada subconjunto ortogonal en un espacio de Hilbert H está contenido en un subconjunto ortogonal maximal. Teorema 8.10 Sea {u i } n un subconjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H. Si para cada x en H definimos S n (x) por entonces S n (x) = n x, u i u i, y S n (x) 2 = n x, u i 2, x 2 S n (x) 2 = x S n (x) 2 Ejercicio 8.2 Demostrar el Teorema n n Sugerencia desarrollar x, u i, x, u j y x S n, x S n. j=1

96 96 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT 8.4 Desigualdad de Bessel e igualdad de Parseval Lema 8.6 Sea f una función no negativa definida en un conjunto no vacío. Supongamos que existe un número real M tal que n f(x i ) M, para cada subconjunto finito {x i } n de H. Se tiene entonces que L = {x H : f(x) 0} es numerable. Demostración: El conjunto U n = {x X : f(x) > M } tiene a lo sumo n n elementos. Si U n tuviera n + 1 elementos se tendría que Además n f(x i ) n + 1 n M > M. {x X : f(x) 0} = U n, ya que si f(x) 0, n N tal que f(x) M. De lo cual se tiene que L es m numerable Demostremos ahora el siguiente resultado importante. Teorema 8.11 Sea G un subconjunto ortonormal maximal en un espacio de Hilbert H. Entonces se tiene que para cada x en H, existe un subconjunto numerable {u n } en G tal que x = x, u n u n. Además se cumple la siguiente igualdad x 2 = x, u n 2, (Igualdad de Parseval).

97 8.4. DESIGUALDAD DE BESSEL E IGUALDAD DE PARSEVAL 97 Demostración: Sea x 0 un elemento de H. Sea {u i } n G tal que x, u i 0, i = 1, 2,..., n. Del lema anterior se tiene que el vector satisface que de lo cual obtenemos que x 2 S n 2 = S n = n x, u i u i n x, u i 2 x 2 S n 2 = x S n 2 0, n x, u i 2 Definamos para cada u en G (Desigualdad de Bessel). f(u) = x, u 2, de la desigualdad de Bessel se deduce que para cada subconjunto finito {u k } m k=1 G, se tiene que m k=1 f(u k ) x. Se tiene entonces del lema 8.6 que M x = {u G : x, u 0} es numerable. Sea {u i } una enumeración de M x, entonces la sucesión {S n } es convergente en H. En efecto como S n 2 = n x, u i 2 x 2, n 1 { n 2} se tiene que { S n } = u i es convergente por ser una k=1 x, sucesión creciente y acotada en K, en consecuencia S n S m 2 = m x, u i 2 n+1 x, u i 2 i n+1

98 98 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT lo cual tiende a cero cuando n y m tienden a infinito, es decir {S n } es de Cauchy en H. Por ser H completo se tiene que existe S 0 H tal que S 0 = lim S n = lim n x, u k u k. k=1 Además S 0, u j = lim S n, u j = lim n x, u i u i, u j = x, u j para cada u j en M x. Veamos que S 0 = x. Si u G M x, entonces u M x ya que G es ortogonal, además x, u = 0 y n n S 0, u = lim x, u k u k, u = lim x, u k u k, u = 0 k=1 ya que u k, u = 0, k 1. Se tiene entonces que S 0, u = x, u, para todo u en G, es decir S 0 x, u = 0, para todo u en G, de lo cual se deduce que S 0 x = 0. Tenemos en conclusión que k=1 x = S 0 = x, u i u i. Además x 2 = lim S n 2 = x, u n 2 Observación 8.5 La igualdad de Parseval caracteriza a los conjuntos ortonormales maximales. Es decir u G x, u 2 = x 2, para x en H si, y sólo si, G es maximal. En efecto, si G no es maximal, existe x 0 0 en H tal que x 0, u = 0, para todo u en G. Para dicho x 0 se tiene que u G x, u 2 < x 2.

99 8.4. DESIGUALDAD DE BESSEL E IGUALDAD DE PARSEVAL 99 Teorema 8.12 Sea G un conjunto ortonormal maximal en el espacio de Hilbert H. Se tiene entonces que para cada x, y en H x, y = x, v n y, v n donde {v n } es una enumeración de M x M y. Demostración: Se tiene que si x = x, v n v n, y = entonces x, y = x, v n v n, y, v k v k k=1 y, v n v n, = x, v n y, v k v n, v k k=1 = x, v n y, v n. Usualmente los conjuntos ortonormales maximales en un espacio de Hilbert son denominados conjuntos ortonormales completos. Para estos conjuntos tenemos el siguiente resultado Corolario 8.5 Si G es un conjunto ortonormal completo en el espacio de Hilbert H las siguientes proposiciones son equivalentes i) G es ortonormal completo. ii) Cada miembro x de H se puede escribir como x = u G x, u u iii) Para cada x en H se tiene que u G x, u 2 = x 2 iv) [G] = H Debido al resultado anterior los conjuntos ortonormales completos en espacios de Hilbert H son denominados Bases ortonormales en H.

100 100 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT 8.5 Operadores acotados sobre espacios de Hilbert En el caso de espacios de Hilbert H notaremos L(H, H) por L(H), es decir L(H) = {T : H H; T lineal y acotado} Ejercicio 8.3 Demuestre que L(H) dotado del producto composición es un álgebra. Los elementos de L(H) son denominados operadores. Ejemplo 8.2 Si H = l 2. El operador A : H H definido por pertenece a L(H). A({x n }) = {x n+1 }, Definición 8.13 Un elemento A en L(H) se dice en L(H) tal que AB = BA = I. invertible si existe B Ejercicio 8.4 Demuestre que si A en L(H) es invertible, entonces existe un único B en L(H) tal que AB = BA = I. Si A es invertible notaremos a su inversa por A 1. Ejercicio 8.5 Demuestre que si A y B son invertibles y n N, entonces A 1, AB y A n son invertibles y sus inversas son (A 1 ) 1 = A, (AB) 1 = B 1 A 1 y (A n ) 1 = (A 1 ) n. Daremos condiciones geométricas para la invertibilidad de un operador A. Vamos a dar condiciones sobre el rango de A. Lema 8.7 Si A L(H) y α > 0 es tal que Ax α x ; x H, entonces el rango de A, R A es cerrado. Demostración: Sea {y n } = {Ax n } R A tal que lim y n = y. Veamos que y R A. Se tiene que y n y m = Ax n Ax m α x n x m ; n, m N. De lo cual se deduce que {x n } es de Cauchy en H, y por tanto existe x H tal que lim x n = x. Por continuidad de A se tiene que A(x) = lim A(x n ) = lim y n = y, de lo cual se obtiene que y R A.

101 8.5. OPERADORES ACOTADOS SOBRE ESPACIOS DE HILBERT 101 Teorema 8.13 A L(H) es invertible si, y sólo si, su rango es denso en H y existe α > 0 tal que A α x ; x H. Demostración: Si A es invertible y y 0 H, definimos x 0 = A 1 (y 0 ), y por ende A(x 0 ) = y 0, de lo cual obtenemos que R A = H y por lo tanto R A es denso en H. Sea x en H, entonces se tiene que x = A 1 (A(x)) A 1 Ax es decir A(x) 1 1 x ; x H, y tomamos α = A 1 A 1. Supongamos que R A es denso en H y que existe α > 0 tal que A(x) α x ; x H, entonces se tiene que R A = H por el lema 8.7. Veamos que A es inyectiva, en efecto si Ax 1 = Ax 2, entonces A(x 1 x 2 ) = 0 y por lo tanto 0 = A(x 1 X 2 ) α x 1 x 2, de lo cual se obtiene que x 1 = x 2, es decir A es una biyección, entonces A tiene inversa A Operador adjunto Ejercicio 8.6 Demuestre que si A : H H es una transformación lineal, entonces la función ϕ : H H K, definida por ϕ(x, y) = Ax, y, es una forma hermítica Observación 8.6 Nótese que si se tienen dos transformaciones lineales A 1, A 2 : H H tales que A 1 (x), y = A 2 (x), y ; x, y H, entonces A 1 (x) = A 2 (x); x H. Nótese que esto también es cierto si A 1 (x), x = A 2 (x), x ; x H. Definición 8.14 Diremos que una forma hermítica ϕ sobre H es acotada si existe M > 0 tal que ϕ(x, y) M x y ; x, y H.

102 102 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT Observación 8.7 Si denotamos por ϕ al ínfimo de los M que satisfacen la condición de la definición 8.14, se tendrá que ϕ = ϕ(x, y). sup x = y =1 Tenemos el siguiente resultado que relaciona una forma hermítica sobre H con los elementos de L(H). Teorema 8.14 ϕ(x, y) es una forma hermítica acotada sobre H si, y sólo si, existe A en L(H) tal que ϕ x, y = Ax, y ; x, y H. Además se tiene que A = sup ϕ(x, y) = ϕ x = y =1 Demostración: Si A L(H) y ϕ(x, y) = Ax, y, entonces ϕ(x, y) = Ax, y Ax y A x y ; x, y H, en consecuencia ϕ es acotada y ϕ A (1) Si se tiene que ϕ es una forma hermítica acotada sobre H, definamos T x (y) = ϕ(x, y); x, y H. Entonces para x fijo T x (y) = ϕ(x, y) es un funcional lineal acotado sobre H, es decir T x (H). Por el teorema de representación de Riesz existe un único vector A x tal que es decir Definamos ϕ(x, y) = T x (y) = y, A x = A x, y ; y H, ϕ(x, y) = A x, y ; y H. A(x) = A x ; x H. A está bien definida por la observación anterior. A es lineal ya que A(αx + βy) = αa x + βa y = αa(x) + βa(y).

103 8.5. OPERADORES ACOTADOS SOBRE ESPACIOS DE HILBERT 103 Además se tiene que A(x) 2 = A(x), A(x) = ϕ(x, A(x)) ϕ x A(x) (2) De lo cual se obtiene que A(x) ϕ x ; x H; es decir A L(H). De (1) y (2) se obtiene que A = ϕ Teorema 8.15 Si A L(H), entonces existe un único operador A, llamado el adjunto de A, tal que Ax, y = x, A y ; x, y H. Se tiene además que A = A Demostración: Pongamos y ϕ(x, y) = Ax, y ; x, y H Ψ(y, x) = y, Ax ; x, y H. Del teorema 8.14 se tiene que ϕ es una forma hermítica acotada sobre H, Ψ es una forma hermítica acotada sobre H y Ψ = ϕ = A. Además se tiene que existe A L(H) tal que Ψ(y, x) = A y, x ; x, y H y A = Ψ = A. Como A es único, se tiene que para todo x, y en H. Ax, y = ϕ(x, y) = Ψ(y, x) = A y, x = x, A y

104 104 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT Lema 8.8 Si A y B pertenece a L(H) y α C, se tiene que i) A = A ii) (αa) = αa iii) (A + B) = A + B iv) (AB) = A B v) Si A es invertible, entonces A es invertible y (A ) 1 = (A 1 ) Demostración: i) A x, y = y, A x = Ay, x = x, Ay ii) αax, y = α Ax, y = α x, A y = x, ᾱa y iii) (A + B)x, y = Ax, y + Bx, y = x, A y + x, B, y = x, (A + B )y iv) ABx, y = Bx, A y = x, B A y v) (A 1 ) A = (AA 1 ) y A (A 1 ) = (A 1 A) Teorema 8.16 Si A pertenece a L(H), entonces AA = A 2 Demostración: Se tiene que A A A A = A 2. Además Ax 2 = Ax, Ax = A Ax, x A Ax x A A x x = A A x 2, es decir Ax ( A A ) 1/2 x, de lo cual se deduce que A 2 A A Operadores hermíticos Definición 8.15 Un elemento A de L(H) se dice hermítico si A = A Lema 8.9 Un elemento A de L(H) es hermítico si, y sólo si, la forma ϕ : H H C, definida por ϕ(x, y) = Ax, y ; x, y H es simétrica Demostración: Se debe verificar que ϕ x, y = ϕ(y, x); x, y H. En efecto se tiene que ϕ(x, y) = Ax, y = Ay, x ; x, y H,

105 8.5. OPERADORES ACOTADOS SOBRE ESPACIOS DE HILBERT 105 lo que es equivalente a Ax, y = Ay, x = y, A x ; x, y H, de donde obtenemos que Ax, y = A x, y ; x, y H, lo cual significa que A = A Lema 8.10 Un elemento A de L(H) es hermítico si, y sólo si, Ax, x es real para cada x en H. Además se tiene que A = sup { Ax, x : x = 1} Ejercicio 8.7 Demostrar que si A; B en L(H) son hermíticos, entonces (A + B), αa, son hermíticos para todo α R. Lema 8.11 El producto de dos operadores hermíticos A, B es hermítico si, y sólo si, A conmuta con B Demostración: Si (AB) es hermítico se tiene (AB) = (AB) = B A = BA, entonces A conmuta con B. Si A conmuta con B, se tiene que entonces AB es hermítico (AB) = B A = BA = AB, Si se quiere tener a L(H) como una generalización de C los operadores hermíticos en L(H) actuarían como los numeros reales. Definición 8.16 Diremos que un operador hermítico A en L(H) es positivo, si Ax, x 0 ; x H.

106 106 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT Operadores normales y unitarios Si A L(H), entonces existen dos operadores hermíticos B, C en L(H) tales que A = B + ic En este sentido los operadores hermíticos también generalizan a los números reales. Ejercicio 8.8 Demuestre que si A pertenece a L(H), entonces son hermíticos B = 1 2 (A + A ) y C = 1 2i (A A ) La gran diferencia entre L(H) y C es que la parte real y la parte imaginaria de los elementos en L(H) no tienen que conmutar, esto motiva la siguiente definición. Definición 8.17 Un operador A en L(H) se dice normal si A conmuta con A C. Si A = B + ic es facil ver que A es normal si, y sólo si, B conmuta con Teorema 8.17 A L(H) es normal si, y sólo si, Demostración: y Como Ax = A x ; x H Ax 2 = Ax, Ax = A Ax, x ; x H A x 2 = A x, A x = AA x, x, x H, se tiene que si Ax = A x, entonces A conmuta con A es decir A es normal. Si A es normal, entonces de la parte anterior de la demostración se obtiene que Ax = A x ; x H Una clase de operadores normales de mucho interés son lo que satisfacen la ecuación UU = U U = I. Estos operadores son llamados unitarios, observese que los operadores unitarios U son invertibles y su inversa U 1 es igual a su adjunto, es decir U 1 = U.

107 8.6. EJERCICIOS Ejercicios Ejercicio 8.9 Demuestre que si X es un espacio con producto interno (e.p.i.) real tal que x + y 2 = x 2 + y 2, entonces x es ortogonal a y. Ejercicio 8.10 Sea X un (e.p.i) y {x n } una sucesión de elementos de X, demuestre que si x n x y x n, x x, x, entonces x n x 0 Ejercicio 8.11 Dados X un (e.p.i.) y A X un conjunto ortonormal. Demuestre que A es completo si, y sólo si, se cumple que si x, y = x, z para todo x en A, entonces y = z. Ejercicio 8.12 Demuestre que {e n } ortonormal completo en l 2. = {(δ ni) }, es un conjunto Ejercicio 8.13 Demuestre que si H es un espacio de Hilbert y A H, entonces A = [A]. Ejercicio 8.14 Demuestre que si M es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H, entonces H/M es isomorfo a M. Ejercicio 8.15 Sea M un subespacio de un espacio de Hilbert H. Demuestre que M es denso en H,si, y sólo si, y M implica que y = 0. Ejercicio 8.16 Dado X = {(α n ) tal que α n = 0 salvo un número finito de n}, dotado del producto interno x, y = α i β i donde x = {α i }, y = {β i}. Sea M definido por M = { (α n ) X tal que } ( 1 i )α i = 0. Demuestre que M es un subespacio cerrado de X tal que X M M y M M. Ejercicio 8.17 Demuestre que. sobre l no satisface la ley del paralelogramo

108 108 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT { } Ejercicio 8.18 Demuestre que la sucesión (2π) 1/2 e int es un conjunto ortonormal en el espacio C [0, 2π] complejo, dotado del producto interno f, g = 2π 0 f(t)g(t)dt. Ejercicio 8.19 Sea X un e.p.i. y sea {x n } N un conjunto ortonormal en X. Demuestre que x N c i x i es minimizada eligiendo c i = x, x i. Ejercicio 8.20 Demuestre que la bola unitaria en un espacio de Hilbert H infinito dimensional contiene infinitas bolas disjuntas de radio 2. Concluya 4 que no se puede tener una medida invariante por traslación, sobre un espacio de Hilbert infinito dimensional que no sea la medida trivial Ejercicio 8.21 Demostrar que: a.) En un espacio X con producto interno, si {x n } converge débilmente a x, entonces se tiene que x n, y converge a x, y para cada y en X. b) En un espacio de Hilbert H, {x n } converge débilmente a x, si, y sólo si, se tiene que x n, y converge a x, y para cada y en H. Ejercicio 8.22 Dado X un e.p.i. Demuestre que a.) Si {x n } converge débilmente a x y x n x, entonces x n x 0 b.)si {x n } converge débilmente a x y {x n} converge débilmente a z, entonces x = z. Ejercicio 8.23 Dados X un espacio normado, H un espacio de Hilbert y {A n } una sucesión de L(X, H). Demuestre que {A n} converge débilmente a un elemento A de L(X, H) si, y sólo si, A n (x), y converge a A(x), y, para todo x en X y para todo y en H Ejercicio 8.24 Sea {v n } una base ortonormal del espacio de Hilbert H. Sea {a n } una sucesión de números positivos. Definamos { } S = x = c n v n, tal que c 2 n < y c n a n, para todo n en N.

109 8.6. EJERCICIOS 109 Demostrar que : S es compacto si, y sólo si, a 2 n <. Ejercicio 8.25 Dado {ϕ n } L2 [a, b] un sistema ortonormal. Demostrar que: a.- {ϕ n } es una base ortonormal de L2 [a, b] si, y sólo si, [ x 2 ϕ n (t)dt] = x a, para todo x en [a, b] a b.-{ϕ n } es una base ortonormal de L2 [a, b] si, y sólo si, b [ x 2 ( ) 2 b a ϕ n (t)dt] dx = 2 a a Ejercicio 8.26 Sea {v n } un sistema ortonormal del espacio de Hilbert H. Demuestre que si λ 2 n <, entonces λ n v n converge. { Ejercicio 8.27 Sea M = f C [0, 1] tal que 1/2 f(t)dt } 1 f(t)dt = /2 Demuestre que M es una variedad lineal cerrada de C [0, 1] que no contiene un elemento de norma mínima. Definición 8.18 Una norma. sobre un espacio vectorial E se dice estrictamente convexa si para todo x, y en E, tal que x y, x = y = 1 y para todo λ tal que 0 < λ < 1, se tiene que λx + (1 λ)y < 1. Ejercicio 8.28 Demuestre que si.,. es un producto interno sobre E, entonces x = x, x 1/2 es estrictamente convexa Ejercicio 8.29 Demuestre que si 1 < p <, entonces. p es estrictamente convexa sobre R n y sobre l p. Ejercicio 8.30 Demuestre que si. es estrictamente convexa sobre E, K E es convexo y cerrado y x 0 (E K), entonces existe a lo sumo un elemento y 0 en K tal que d(x 0, K) = d(x 0, y 0 ). Ejercicio 8.31 Demuestre que U L(H) es un isomorfismo isométrico si, y sólo si, U es unitario

110 110 CAPÍTULO 8. ESPACIOS DE HILBERT

111 Bibliografía [1] Bachman G., Narici L. Functional Analysis, Academic Press, NY, [2] Finol C., Análisis Funcional, Manuscrito, por aparecer. [3] Lusternik L.A., Sobolev V.J., Elements of Functional Analysis, Hindustan P.C., Delhi, [4] Trenoguin,V.A., Pisarievski B.M., Soboleva T.S., Problemas y Ejercicios de Análisis Funcional, Editorial Mir Moscú,