Índice. 1 Extremos relativos. 2 Funciones convexas y extremos

Transcripción

1 Índice Funciones de varias variables reales I Extremos y diferenciabilidad José Manuel Mira Ros 1 Extremos relativos Condiciones necesarias para las diferenciales primera y segunda Condiciones suficientes en diferencial segunda Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia Grado Matemáticas de noviembre de Funciones convexas y extremos José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Conceptos de extremo relativo y absoluto José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Extremos relativos: condición necesaria en la diferencial Definición Sea f : Ω R n R y sea x 0 Ω. 1 Se dice que f tiene un máximo relativo en x 0 si existe un entorno abierto V de x 0 tal que f (x 0 ) f (x) para todo x V. 2 Se dice que f tiene un mínimo relativo en x 0 si existe un entorno abierto V de x 0 tal que f (x 0 ) f (x) para todo x V. 3 Se dice que f tiene un máximo absoluto en x 0 si f (x 0 ) f (x) para todo x Ω. 4 Se dice que f tiene un mínimo absoluto en x 0 si f (x 0 ) f (x) para todo x Ω. 5 Se dice que f tiene un extremo (absoluto o relativo) en x 0 si f tiene un máximo o mínimo (absoluto o relativo) en x 0. Al igual que ocurre con funciones de una variable, el cálculo diferencial ayuda a localizar extremos relativos. Empecemos por una condición necesaria de extremo, cuya similitud con las funciones de una variable es manifiesta. Teorema [condición necesaria de extremo] Pro. 5.9 Sea f : Ω R n R y supongamos que f tiene un extremo relativo en x 0 Ω. Entonces, si f es diferenciable en x 0 ha de ser df (x 0 ) = 0. Esq. Dem: Tomando curvas sobre la «superficie» pasando por (x 0, f (x 0 )) en la dirección de cualquier vector v se reduce a un problema de una variable. José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23

2 El siguiente resultado se corresponde con uno del mismo tipo para funciones de una variable y es una extensión de aquel. Ejemplos: mínimos relativos y absolutos f (x, y) = x 2 (1 + y) 3 + y 2 presenta un punto crítico en (0, 0) que corresponde a un mínimo relativo, pero no es absoluto. g(x, y) = (x 2 y x 1) 2 + (x 2 1) 2 tiene dos puntos críticos en (1, 2) y ( 1, 0) y ambos corresponden a mínimos absolutos, pues f (x, y) 0. [extremos01.wxmx] Proposición [condición necesaria sobre d 2 f ] Prop Sea f : Ω R n R dos veces diferenciable en x 0 Ω. 1 Si en x 0 hay máximo relativo entonces debe cumplirse d 2 f (x 0 )h Si en x 0 hay mínimo relativo entonces debe cumplirse d 2 f (x 0 )h 2 0. Consecuencia: si existen h, k R n tales que d 2 f (x 0 )h 2 < 0 < d 2 f (x 0 )k 2, entonces en x 0 no hay extremo relativo. Dem: f es diferenciable en cierta B(x 0, r) φ(t) := f (x 0 + th) es derivable y φ (t) = df (x 0 + th)h = n i=1 D i(x 0 + th)h i, si t < 1, h < r. Pero siendo D i f diferenciable en x 0 se tiene que t D i (x 0 + th) es derivable en t = 0, y como antes su derivada es n D ji(x 0 )h j por tanto existe φ (0) = n i, D ji(x 0 )h j h i. Pero si f tiene máximo relativo en x 0 entonces φ tiene máximo relativo en 0 y por tanto φ (0) 0. José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Extremos relativos: condición suficiente en la diferencial Definición [forma cuadrática definida positiva y negativa] Q : R n R definida por Q(x) = n i,j1 α ijx i x j es una forma cuadrática. 1 Si Q(x) > 0 para todo x 0 se llama definida positiva. Semidefinida positiva (o definida no negativa) si Q(x) 0 para todo x 0. 2 Si Q(x) < 0 para todo x 0 se llama definida negativa. Semidefinida negativa (o definida no positiva) si Q(x) 0 para todo x 0. 3 Si existen x e y tales que Q(x) < 0 < Q(y) se llama indefinida. José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Teorema [condición suficiente de extremo] Teo Sea f : Ω R n R dos veces diferenciable en un punto crítico x 0 Ω. Sea Q(h) = d 2 f (x 0 )h 2 = D ij f (x 0 )h i h j i, D 11 D D 1n = (h 1, h 2..., h n ) D 11 D D 1n h 1 h 2... h n 1 Si Q definida positiva, entonces en x 0 hay mínimo relativo estricto. 2 Si Q definida negativa, entonces en x 0 hay máximo relativo estricto. 3 Si Q es indefinida, entonces en x 0 no hay extremo relativo. José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23

3 Dem: Comencemos observando que Q definida positiva implica que existe α > 0 tal que Q(x) α x 2 para todo x. Para probarlo basta considerar el mínimo absoluto de Q en la esfera unidad. El resultado correspondiente para definida negativa también es cierto. Aplicamos la fórmula de Taylor Diferencial segunda indefinida: punto de silla f (x 0 + h) = f (x 0 ) + df (x 0 )h + 1/2d 2 f (x 0 )h 2 + R(h) = f (x 0 ) + 1/2d 2 f (x 0 )h 2 + h 2 ρ(h) = f (x 0 ) + Q x0 h + h 2 ρ(h). Si la forma cuadrática Q x0 (h) := 1/2d 2 f (x 0 )h 2 es definida positiva aplicando la observación precedente se obtiene que en x 0 hay un mínimo relativo estricto. Si Q x0 es definida negativa entonces los mismos cálculos prueban que hay un máximo relativo estricto. Ejemplo: Q indefinida, punto de silla f (x, y) = x 2 y 2 tiene un único punto crítico en (0, 0). La matriz hessiana de f en (0, 0) es indefinida: punto de silla. Si Q es indefinida, entonces aplicando la condición necesaria de extremo relativo para d 2 f (x 0 ) se obtiene que en x 0 no hay extremo relativo. José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Diferencial segunda semidefinida y punto de silla José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Un criterio matricial para analizar si Q es definida Proposición Prop Sea Q(x, y) = n i, a ijx i x j una forma cuadrática asociada a una matriz simétrica a ij = a ji. Sea k el determinante del menor principal de orden k (1 k n) correspondiente a la matriz (a ij ) n i,. Entonces: 1 Q definida positiva k > 0 para todo k (1 k n). 2 Q definida negativa ( 1) k k > 0 para todo k (1 k n). Ejemplo: Q semidefinida negativa y punto de silla f (x, y) = x 2 y y 2 tiene un único punto crítico en (0, 0). La matriz hessiana de f en (0, 0) es semidefinida negativa y no hay extremo. [extremos02.wxmx] José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Corolario Prop Sea f : Ω R 2 R. Sea (x 0, y 0 ) un ( punto ) crítico para f y denotemos la A B matriz hessiana en dicho punto como B C 1 Si A > 0 y AC B 2 > 0, en (x 0, y 0 ) mínimo relativo estricto. 2 Si A < 0 y AC B 2 > 0, en (x 0, y 0 ) máximo relativo estricto. 3 Si AC B 2 < 0, en (x 0, y 0 ) punto de silla. 4 Si AC B 2 = 0, puede pasar cualquier cosa. José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23

4 Dem: Sólo la haremos en el caso de 2 variables (corolario): Q(x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2. Distinguiremos los 4 casos posibles Caso AC B 2 > 0. Necesariamente A 0 y «completando ) cuadrados» se puede escribir Q(x, y) = 1 A ((Ax + By) 2 + (AC B 2 )y 2. Por tanto A > 0 definida positiva y A < 0 definida negativa Caso AC B 2 < 0 y A 0. Completando ) ( cuadrados se puede escribir ) Q(x, y) = 1 A ((Ax + By) 2 M 2 y 2 = 1 A (Ax + By + My)(Ax + By My) y entonces Q es indefinida. Caso AC B 2 < 0 y A = 0 Q(x, y) = y(2bx + Cy) indefinida. Caso AC B 2 = 0. Tres ejemplos con comportamiento diferente. f 1 (x, y) = x 2 + y 4, (mínimo en (0, 0)) f 2 (x, y) = (x 2 + y 4 ) (máximo en (0, 0)) f 3 (x, y) = x 2 y y 2 (punto de silla en (0, 0), visto en un ejemplo anterior) Extremos y extremos absolutos Ejemplo 1 Sea f (x, y) = x 2 + y 2 + x 2 y + 1. Demuestre que f alcanza su máximo y mínimo absoluto en el conjunto K 1 = {(x, y) : x 1, y 1} y en el conjunto K 2 = {(x, y) : x 2, y 2}. Calcule dichos extremos. [extremos06.wxmx] Ejemplo 2 Sea f (x, y) = x 3 + 2y Demuestre que f alcanza su máximo y mínimo absoluto en el conjunto K = {(x, y) : x 2 + y 2 9} y calcule dichos extremos. José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Ejemplo 3 Sea la curva (intersección de un paraboloide y un plano) de ecuaciones { 2z = 16 x 2 y 2 Γ : 4 = x + y Considerando únicamente el primer octante {(x, y, z) : x 0, y 0, z 0}, en la curva Γ existen puntos cuya distancia al origen alcanzan valores máximo y mínimo absolutos. Justifique la existencia, determine dichos puntos y calcule esas distancias extremas. José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Ejemplo 4 Sea f (x, y, z) = xy + yz + zx. Estudie la existencia de extremos relativos y absolutos para f. En los puntos críticos estudie la forma cuadrática asociada a la diferencial segunda. [extremos05.wxmx] Ejemplo 5 Se desea construir una balsa rectangular y se dispone de 12 m 2 de ladrillo. Determine el volumen máximo de agua que puede almacenar la balsa. Ejemplo 6 Sea f (x, y, z) = (x + z 2 )e x(1+y 2 +z 2). Estudie la existencia de extremos relativos y absolutos para f. [extremos07.wxmx] José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23

5 Funciones convexas y extremos RECORDATORIO Una función f : I R R se llama convexa si f (tx + (1 t)y) tf (x) + (1 t)f (y) para todo x, y I y todo t [0, 1]. Si f es derivable, la convexidad se caracteriza en términos de que la gráfica de f se sitúe por encima de la recta tangente en cada punto: f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0. Cuando f es dos veces derivable, f es convexa si y sólo si f (x) 0 en cada punto de I. (x,f(x)) tf(x)+(1-t)f(y) z f(z)+f'(z)*(x-z) (y,f(y)) José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Ejemplos de funciones convexas 1 f (x) = x p, x R n, p 1. 2 f (x) = (1 + x 2 ) x 2, x R n. 3 f (x) = exp( 1 x 2 ), con x B(0, 1). Lema Prop f : Ω R n R es convexa para cada x, y Ω la función φ : [0, 1] R definida por φ(t) = f (tx + (1 t)y) es convexa. -1 Dem: Geométricamente la equivalencia es clara y el gráfico ayuda a visualizarla. Para demostrarlo analíticamente sólo hay que trascribir el significado de la convexidad de cada función a las fórmulas correspondientes. José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / Definiciones 1 Se dice que Ω R n es un conjunto convexo si para cada pareja x, y Ω el segmento [x, y] = {tx + (1 t)y : t [0, 1]} está contenido en Ω. 2 f : Ω R n R con Ω convexo se dice que es una función convexa si f (tx + (1 t)y) tf (x) + (1 t)f (y) para todo x, y I y todo t [0, 1]. 3 f : Ω R n R con Ω convexo se dice que es una función cóncava si f (tx + (1 t)y) tf (x) + (1 t)f (y) para todo x, y I y todo t [0, 1]. En un espacio normado las bolas son conjuntos convexos y las normas son funciones convexas. A partir de ese ejemplo trivial y de la proposición que sigue se pueden construir muchos ejemplos de funciones convexas. Proposición f : Ω R n R convexa en Ω convexo y φ : I R R convexa creciente con f (Ω) I garantiza que φ f es convexa. José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Diferenciabilidad y convexidad Teorema Prop f : Ω R n R y f diferenciable en Ω abierto convexo. Entonces: f convexa f (y) f (x) + df (x)(y x) para cada pareja x, y Ω. Dem: Sea h = y x y t [0, 1]. Entonces f (x + th) = f ((1 t)x + tx + th) (1 t)f (x) + tf (x + h) f (x + th) f (x) = f (x) + t(f (y) f (x)) f (y) f (x) t Tomando límites para t 0 se tiene df (x)h = D h (x) f (y) f (x). Sea x t = (1 t)x + ty [x, y]. Entonces (1 t)f (x) + tf (y) f (x t ) f (x) f (x t ) + df (x t )(x x t ) multiplicar por (1 t) f (y) f (x t ) + df (x t )(y x t ) multiplicar por (t) y sumar José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23

6 Corolario Cor f : Ω R n R convexa y diferenciable en Ω abierto convexo. Si f tiene en x 0 un punto crítico, entonces en x 0 hay un mínimo absoluto. Dem: Basta aplicar el teorema anterior. Teorema Prop f : Ω R n R y f dos veces diferenciable en Ω abierto convexo. Entonces: f convexa Q x (v) = n i, D ijf (x)v i v j 0 v R n, x Ω. Dem: Sean v R n y x Ω fijos, pero arbitrarios. Queremos probar que Q x (v) 0. Sabemos por la fórmula de Taylor y la convexidad que f (x + h) = f (x) + df (x)h d 2 f (x)h 2 + h 2 ρ(h) f (x + h) f (x) + df (x)h d 2 f (x)h h 2 ρ(h) 0 Haciendo h = tv, con t R suficientemente pequeño, se traduce a Q x (h) + 2 h 2 ρ(h) 0 t 2 Q x (v) + 2t 2 v 2 ρ(tv) 0 José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 Bibliografía Dividiendo por t 2 y después tomando límites cuando t 0 se obtiene Q x (v) + 2 v 2 ρ(tv) 0 Q x (v) 0, que es lo que queríamos Sabemos que Q x (v) 0 para todo x, v R n. Queremos probar que f es convexa, y para ello (aplicando el lema) basta ver que fijados x, y Ω la función Φ(t) := f (ty + (1 t)x) = f (x + tv) es convexa, siendo v = y x. Como Φ es función real de una variable sabemos que la convexidad de Φ equivale a que Φ (t) 0 t (supuesto que se pueda derivar dos veces). Y se puede derivar dos veces porque Φ es composición de una aplicación lineal con f : t x + th f (x + th). Calculamos Φ (t) por etapas: Φ (t) = df (x + tv)v = D j f (x + tv)v j =: Φ j (t)v j Φ (t) = = Φ j(t)v j =,i=1 ( ) dd j f (x + tv)v v j = D ij f (x + tv)v i v j = Q (x+tv) v 0. ( D ij f (x + tv)v i )v j José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23 i=1 G. Vera y S. Sánchez-Pedreño Análisis Matemático II F. Bombal, L. Rodríguez y G. Vera Problemas de Análisis Matemático José M. Mira (Universidad de Murcia) Extremos y diferenciabilidad Matemáticas / 23