Introducción a la Programación Matemática. Yolanda Hinojosa

Transcripción

1 Introducción a la Programación Matemática Yolanda Hinojosa

2 Contenido Planteamiento general de un problema de programación matemática. Convexidad. ANEXO: Derivadas Sucesivas. Fórmula de Taylor. Clasificación de matrices simétricas según su signo.

3 Ejemplo 1 Un profesor ha puesto un examen que consta de tres preguntas, y está asignando puntuación a cada una de ellas, de forma que se cumplan los siguientes requisitos: Cada una de las preguntas ha de tener una puntuación mínima de 2, 5 puntos. La suma de la puntuación de todas las preguntas ha de ser 10 puntos. La diferencia entre la puntuación de la primera y la segunda pregunta deberá ser a lo sumo de un punto. El profesor conoce que un 60 % del curso resolverá la primera pregunta correctamente, un 40 % la segunda y un 50 % la tercera. Cómo debe asignar los puntos de modo que se maximice la puntuación global del curso? Plantear un modelo matemático que permita resolver este problema. Pasos a seguir 1 Qué tenemos que decidir? Variables de decisión 2 Qué objetivo perseguimos? Función objetivo 3 Qué condiciones se tienen que cumplir? Restricciones (Conjunto factible o conjunto de oportunidades)

4 1 Variables de decisión: x 1 : puntuación asignada a la primera pregunta x 2 : puntuación asignada a la segunda pregunta x 3 : puntuación asignada a la tercera pregunta 2 Función objetivo: puntuación global primera pregunta: 0, 6x 1 puntuación global segunda pregunta: 0, 4x 2 puntuación global tercera pregunta: 0, 5x 3 f (x 1, x 2, x 3 ) = 0, 6x 1 + 0, 4x 2 + 0, 5x 3 3 Restricciones (Conjunto factible): puntuación mínima por pregunta: x i 2, 5 i = 1, 2, 3 suma puntuaciones: x 1 + x 2 + x 3 = 10 diferencia puntuación 1 a y 2 a pregunta: x 1 x Modelo Matemático: max 0, 6x 1 + 0, 4x 2 + 0, 5x 3 (PL) s.a. x i 2, 5 i = 1, 2, 3 x 1 + x 2 + x 3 = 10 x 1 x 2 1

5 Planteamiento general Opt. f (x 1,, x n) s.a. g i (x 1,, x n) 0 i = 1,, m h j (x 1,, x n) 0 q k (x 1,, x n) = 0 x = (x 1,, x n) R n j = 1,, r k = 1,, s siendo f, g i, h j, q k : D R n R Algunos Modelos de Programación Matemática: Programación No Lineal (PNL): Alguna de las funciones que intervienen en el modelo (ya sea la función objetivo o cualquiera de las restricciones) NO es lineal. PNL sin restricciones. PNL con restricciones de igualdad. PNL con restricciones de desigualdad. Programación Lineal (PL): Todas las funciones que intervienen en el modelo (tanto la función objetivo como todas las restricciones) son funciones lineales. Programación Entera (PE): Las variables de decisión del problema han de ser números enteros.

6 Ejemplo 2 Una compañía cervecera ha dividido su mercado en 2 territorios. Si se gasta en promoción 10x euros en el territorio 1 podrá vender 6x 1/2 cajas de cerveza en el territorio 1 y si se gasta 10y euros en promocionar en el territorio 2, entonces podrá vender 4y 1/2 cajas de cerveza en el territorio 2. Cada caja de cerveza vendida en el territorio 1 supone un coste de envío y producción de 5 euros y se vende a 10 euros. Cada caja de cerveza vendida en el territorio 2 supone un coste de envío y producción de 4 euros y se vende a 9 euros. Se dispone de un total de 1000 euros para la promoción. Qué cantidad tendrá que gastarse en promoción la compañía cervecera en cada territorio de forma que maximice sus beneficios (teniendo en cuenta sólo los gastos de producción y envío y no lo que se gasta en promoción)? Variables de decisión: x: promoción en el territorio 1 y: promoción en el territorio 2 Función Objetivo: Ganancias= Ingresos - Gastos = (60x 1/2 + 36y 1/2 ) (30x 1/2 + 16y 1/2 ) Restricciones: max 3x 1/2 + 2y 1/2 s.a. x + y = 100 x, y 0 (PNL) con restricciones de igualdad

7 Ejemplo 3 Una empresa se anuncia en horario de emisión de cine y en horario de emisión de un evento deportivo. Cada minuto en horario de cine cuesta euros y en horario deportivo cuesta euros. Si se emiten S minutos al día en horario de cine, serán vistos por 5S 1/2 hombres y por 20S 1/2 mujeres (en miles de espectadores al día). Si se emiten F minutos en horario deportivo, serán vistos por 17F 1/2 hombres y por 7F 1/2 mujeres (en miles de espectadores). Dicha empresa quiere que al menos hombres y mujeres al día vean sus anuncios. Determínese el n o de minutos de anuncios que deberá emitir la empresa al día en horario de cine y en horario deportivo de forma que se minimicen los costes de la misma, alcanzando el número mínimo requerido de espectadores. Variables de decisión: S: minutos emitidos en horario de cine F: minutos emitidos en horario deportivo Función Objetivo: min 5S + 10F Restricciones: s.a. 5S 1/2 + 17F 1/ S 1/2 + 7F 1/2 60 S, F 0 (PNL) con restricciones de desigualdad

8 Ejemplo 4 A una compañía le cuesta 6 euros por unidad producir un artículo. Si vende a un precio p cada unidad y gasta un total de a euros en publicidad, puede vender 10000p 2 a 1/6 unidades del artículo. Obtener el precio y el nivel de publicidad que maximizarán las ganancias de la compañía. Variables de decisión: p: precio unitario del artículo a: gasto total en publicidad Función Objetivo: Ganancias= Ingresos - Gastos = p(10000p 2 a 1/6 ) 6(10000p 2 a 1/6 ) a max (p 6)(10000p 2 a 1/6 ) a Restricciones: s.a. p, a 0 (PNL) sin restricciones

9 Ejemplo 5 Un artesano produce tres tipos de sillas con distinto acabado. Tarda 3 días en terminar cada silla si ésta es de primera calidad, 2 días por cada silla de segunda calidad y 1 día por cada silla de tercera calidad. En cada silla obtiene una ganancia de 36, 30 y 25 euros, respectivamente. Sabiendo que sólo tiene licencia para vender 30 sillas, como máximo, en un periodo de dos meses (60 días). Cuántas sillas de cada tipo debe producir para maximizar la ganancia de los próximos dos meses? Variables de decisión: x 1 : n o de sillas producidas del tipo 1 x 2 : n o de sillas producidas del tipo 2 x 3 : n o de sillas producidas del tipo 3 Función Objetivo: max 36x x x 3 Restricciones: s.a. 3x 1 + 2x 2 + x 3 60 x 1 + x 2 + x 3 30 x 1, x 2, x 3 0 (PE)

10 Planteamiento General Optimizar f (x) siendo f : D R n R s.a. x X X R n f : función objetivo X: conjunto factible o de oportunidades: X = {x R n / g(x) = 0; h(x) 0} x: variables decisión Objetivo: Encontrar de entre todas las soluciones factibles aquellas para las que la función objetivo es óptima (óptimos o extremos): x es un mínimo local o relativo de f en X si para cualquier x X de su entorno: f (x ) f (x). El mínimo es global si: f (x ) f (x) x X, y es estricto si f (x ) < f (x) Definición Análoga para máximo cambiando por. máximo global máximo local

11 Condiciones de Optimalidad Global 1 Teorema de Weierstrass: Si la función objetivo es una función continua y el conjunto factible es cerrado y acotado, entonces existe un mínimo y un máximo global. 2 Condiciones de convexidad: Si la función objetivo es una función convexa y el conjunto factible (o conjunto de las restricciones) es un conjunto convexo, entonces todo mínimo (en caso de que exista) es un mínimo global. Si la función objetivo es una función cóncava y el conjunto factible es un conjunto convexo, entonces todo máximo (en caso de que exista) es un máximo global.

12 Convexidad Conjunto Convexo Un conjunto S R n se dice que es convexo si x, y S, λ [0, 1] se verifica que: λx + (1 λ)y S Conjunto convexo: Conjunto NO convexo: Dados dos conjuntos convexos S 1, S 2 R n se tiene que: S 1 S2 es un conjunto convexo. S 1 + S 2 = {x 1 + x 2 R n /x 1 S 1, x 2 S 2 } es un conjunto convexo. S 1 S2 NO es (en general) un conjunto convexo. Nota: Los resultados anteriores se pueden generalizar para el caso de k conjuntos.

13 Convexidad Función Convexa Dado un conjunto S R n convexo y dada f : S R n R se dice que, f es convexa en S si y sólo si: 1 f (λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ)f (y) x, y S, λ [0, 1] 2 f (y) f (x) + f (x)(y x) (si además f es diferenciable en int(s)) 3 Hf (x) es SDP x int(s) (si además f C 2 (int(s))) f es estrictamente convexa si las desigualdades son estrictas o Hf (x) es DP.

14 Convexidad f es cóncava si f es convexa. Propiedades: 1 Si f es convexa, entonces si λ 0 λf es convexa; y si λ 0 λf es cóncava. 2 Si f 1 y f 2 son convexas, entonces f 1 + f 2 es convexa. 3 Si f i son funciones convexas y λ i 0 i = 1,, k entonces k f = λ i f i es una función convexa. i=1 4 Si S es un conjunto convexo y f es convexa en S, entonces el conjunto Λ α = {x S/f (x) α} es un conjunto convexo. Si f es cóncava en S, entonces el conjunto Ω α = {x S/f (x) α} es un conjunto convexo.

15 ANEXO: Derivadas Sucesivas. Fórmula de Taylor. Se define la derivada de f en x 0 como: f f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim x x0 = lim λ 0. x x 0 h tasa instantánea de variación variación de f (x) en un entorno de x 0. pendiente de la recta tangente en (x 0, f (x 0 )). Sea f : D R R y x 0 int(d). f es diferenciable en x 0 si: f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + R(x) siendo lim x x0 R(x) x x 0 = 0 (f se puede aproximar por la recta tangente en un entorno de x 0 ). f : D R R Se define la función derivada de f, como la función que asocia a cada x int(d) su derivada y se denota por f (x). Si f (x) es continua, se dice que f C 1 Se define la función derivada segunda de f, como la función que asocia a cada x int(d) la derivada de f y se denota por f (x). Si f (x) es continua, f C 2. Fórmula de Taylor: Si f C n en un entorno de x 0, entonces: f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n(x) 2 n! R n(x) con lim x x0 (x x 0 ) n = 0

16 ANEXO: Derivadas Sucesivas. Fórmula de Taylor. f : D R n R En R derivada: tasa instantánea de variación de f cuando varía la variable independiente. En R n derivada direccional: tasa instantánea de variación de f cuando las variables independientes varían en la dirección de un vector v ( v = 1 ). Si tomamos v = e i (varía una única variable independiente y las demás permanecen ctes. ) obtenemos las derivadas parciales. Sea f : D R n R, x 0 = (x 01,..., x 0n ) int(d). Se define la derivada parcial i-ésima de f en x 0 como: D i f (x 0 ) = f f (x 01,..., x 0i + λ,..., x 0n ) f (x 01,..., x 0i,..., x 0n ) (x 0 ) = lim λ 0. x i λ ( f Se define el vector gradiente como: f (x 0 ) = (x 0 ),..., f ) (x 0 ). x 1 x n

17 ANEXO: Derivadas Sucesivas. Fórmula de Taylor. f : D R n R Sea f : D R n R y x 0 int(d). f es diferenciable en x 0 si: f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + R(x) siendo lim x x0 R(x) x x 0 = 0 (f se puede aproximar por el hiperplano tangente en un entorno de x 0 ). Si f es diferenciable en x 0, la derivada direccional de f en la dirección del vector v es: D vf (x 0 ) = f (x 0 ) v Propiedades del vector gradiente: 1 f (x 0 ) es perpendicular a la [recta tangente a la] curva de nivel f (x) = k que pasa por x 0. 2 f (x 0 ) es la dirección de máximo crecimiento de la función en un entorno de x 0 3 f (x 0 ) es la dirección de máximo decrecimiento de f en un entorno de x 0

18 ANEXO: Derivadas Sucesivas. Fórmula de Taylor. f : D R n R Si existe f (x) en un entorno de x 0 y es derivable en x 0 con respecto a x j, se define x i su derivada parcial segunda en x 0 con respecto a x i y x j como: ( f Hf (x 0 ) = D ij f (x 0 ) = 2 f x j x i (x 0 ) = x j x i ) (x 0 ). Sea f : D R n R. Se define la matriz hessiana de f en x 0 como: f (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ) x 1 x 1 x 2 x 1 x nx 1 2 f (x 0 ) x 1 x 2. 2 x 1 x n f (x 0 ) 2 2 f (x 0 ) f (x 0 ) x 2 x 2 x nx x 2 x n f (x 0 ) 2 x nx n f (x 0 ) Fórmula de Taylor: Si f C 2 en un entorno de x 0, entonces: f (x) = f (x 0 ) + (x 0 )(x x 0 ) (x x 0) t Hf (x 0 )(x x 0 ) + R 2 (x) R 2 (x) con lim x x0 x x 0 2 = 0.

19 ANEXO: Clasificación de matrices simétricas según su signo Sea A M n n (R) una matriz simétrica de orden n: Se denomina menor principal de orden i, y se denota por D i, al menor obtenido como intersección de las i primeras filas y columnas de la matriz. Ejemplo: El menor principal de orden 2 de una matriz 3 3 es: D 2 = a 11 a 12 a 21 a 22. Se denomina menor primario de orden i, y se denota por H i, a cada menor obtenido como intersección de i filas y columnas del mismo índice. Ejemplo: Los menores primarios de orden 2 de una matriz 3 3 son: H2 12 = a 11 a 12 a 21 a 22 H2 13 = a 11 a 13 a 31 a 33 H2 23 = a 22 a 23 a 32 a 33.

20 ANEXO: Clasificación de matrices simétricas según su signo Sea A M n n (R) y supongamos que rg(a) = r n. Se pueden dar dos casos: Caso 1 i : 1 i r D i 0, entonces: Si D 1 > 0, D 2 > 0,, D r > 0 entonces A es semidefinida positiva (SDP). Si además r = n (es decir, A = 0) entoces A es definida positiva (DP). Si D 1 < 0, D 2 > 0, D 3 < 0,, con sig(d i ) = sig( 1) i entonces A es semidefinida negativa (SDN). Si además r = n (es decir, A = 0) entoces A es definida negativa (DN). En otro caso es Indefinida. Caso 2 i : 1 i r tal que D i = 0. El criterio es similar al anterior pero las condiciones tienen que ser cumplidas por todos los menores primarios no nulos.