Hipercuádricas. Polaridad. Estudio geométrico de las cónicas y cuádricas

Transcripción

1 Capítulo 4 Hipercuádricas. Polaridad. Estudio geométrico de las cónicas y cuádricas Comenzamos con el objeto básico de este curso. Hemos estudiado hasta ahora variedades lineales proyectivas, que están definidas por ecuaciones homogéneas de primer grado. Dando un paso adelante, vamos a estudiar hipercuádricas que van a venir dadas por ecuaciones homogéneas de segundo grado. Veamos algunos preliminares. Supondremos siempre que k es un cuerpo de característica distinta de 2, aun cuando la mayoría de los resultados se referirán a C y R. Definición Un polinomio f de k[x 0, x 1,..., x n ] se dice homogéneo de grado d si es de la forma f = c c0c 1...c n x c0 0 xc xcn n, c 0+c c n=d con c c0c 1...c n k. La propiedad fundamental que verifican los polinomios homogéneos es la siguiente, debida a Euler: Lema Si f(x 0,..., x n ) es un polinomio homogéneo de grado d y λ k, entonces f(λx 0,..., λx n ) = λ d f(x 0,..., x n ) Definición Una hipercuádrica Q del espacio proyectivo P n (k) es una ecuación f = 0 definida por un polinomio homogéneo de segundo grado, salvo escalar. Es decir, la ecuación λf = 0 define la misma hipercuádrica Q, para cualquier λ k no nulo. En los casos n = 2, 3, utilizaremos para las hipercuádricas los nombres clásicos de cónicas y cuádricas, respectivamente. Con la siguiente definición distinguiremos la ecuación de sus soluciones.

2 Definición La hipercuádrica-lugar asociada a Q, será el conjunto de sus soluciones en P n (k), es decir V(Q) = {(a 0 : : a n ) P n f(a 0,..., a n ) = 0}. Nótese que la definición anterior es consistente, gracias al lema de Euler, porque un punto proyectivo está definido salvo escalar. Teorema Sean k un cuerpo algebraicamente cerrado y Q, Q dos hipercuádricas en P n (k). Entonces Q = Q si y sólo si V(Q) = V(Q ). Nota La clave del estudio de las hipercuádricas está en la posibilidad de traducir el carácter cuadrático de sus ecuaciones a las formas bilineales simétricas. Sea Q una hipercuádrica de P n (k) definida por una ecuación f = 0 donde f es un polinomio homogéneo de grado dos en las variables (x 0,..., x n ) y con coeficientes en k. Separamos los monomios puros (cuadrado de una variable) de los mixtos (producto de dos variables distintas): f = f(x 0,..., x n ) = n c ii x 2 i + i=0 si notamos por A a la matriz simétrica se tiene fácilmente que A = c 00 c 01 c 01 0 i<j n 2 c ij x i x j k[x 0,..., x n ], c 0n 2 c 1n 2 2 c c 0n c 1n 2 2 c nn, f(x 0,..., x n ) = (x 0,..., x n )A(x 0,..., x n ) t. De este modo se asocia a cada polinomio homogéneo de segundo grado f una única matriz simétrica A de orden n + 1, cuya diagonal está formada por los coeficientes de los monomios puros de f, y los elementos extradiagonales de A, por los coeficientes de los monomios mixtos correspondientes de f, divididos por 2 ( aquí es fundamental la hipótesis sobre la característica de k!), y que verifica la anterior ecuación. En la anterior descripción de A, y en lo sucesivo, es útil numerar las filas y columnas de A de 0 a n, así como denotar por X al vector (x 0,..., x n ) de modo que la ecuación de Q se escribe XAX t = 0. Por tanto la hipercuádrica Q tiene asociada la clase-matriz [A], con A matriz simétrica de orden n + 1. Definición Dos hipercuádricas Q y Q, de ecuaciones XAX t = 0 y XBX t = 0, se dicen (proyectivamente) equivalentes, y se notará Q Q, si se diferencian en un cambio de sistema de referencia, es decir, si existe una matriz M, con M 0, tal que [B] = [MAM t ], o bien, A y B son congruentes salvo escalar. Se trata de resolver dos problemas, íntimamente relacionados: Problema 1. Dada una hipercuádrica Q encontrar un sistema de referencia en el que Q tenga una ecuación lo más simple posible. 2

3 Problema 2. Dadas dos hipercuádricas Q y Q deducir si son o no equivalentes. Para la respuesta a ambas cuestiones será fundamental el cuerpo base k. Como nos apoyaremos en resultados de Álgebra Lineal relativos a congruencias de matrices reales y complejas, la solución a los problemas citados se limita a k = R o k = C. Resultados previos de Álgebra Lineal 1. Sea A una matriz simétrica con elementos en k. Existe una matriz inversible M tal que la matriz MAM t es diagonal. 2. Sea A una matriz simétrica compleja. Existe una matriz M compleja, inversible, tal que 1... MAM t = Más aún, si M y M son dos matrices complejas inversibles tales que D = MAM t y D = M A(M ) t son diagonales, entonces el número de elementos no nulos en las diagonales de D y D coincide y por tanto este número no depende más que de A (de hecho este número es el rango de A). Se deduce fácilmente de lo anterior que dos matrices simétricas complejas son congruentes si y sólo si tienen el mismo rango. 3. Sea A una matriz simétrica real. Existe una matriz M real inversible tal que MAM t = Más aún, si M y M son dos matrices reales inversibles tales que D = MAM t y D = M A(M ) t son diagonales, entonces el número de elementos positivos en las diagonales de D y D coincide y por tanto este número no depende más que de A, se llama signatura lineal de A, y lo notaremos por sl(a). Se deduce fácilmente de lo anterior que dos matrices simétricas reales son congruentes si y sólo si tienen el mismo rango y la misma signatura lineal. A partir de estos resultados se pueden resolver fácilmente los problemas enunciados. Teorema (Clasificación de hipercuádricas complejas) 3

4 1. Sea Q una hipercuádrica compleja. El rango de cualquier matriz de cualquier ecuación de Q no varía, y se denominará rango de Q. 2. Si Q tiene rango r + 1, existe un sistema de referencia en P n (C) en el que x x 2 r = 0 es una ecuación (reducida) de Q. 3. Sean Q y Q dos hipercuádricas complejas. Q Q si y sólo si Q y Q tienen el mismo rango. Teorema (Clasificación de hipercuádricas reales) 1. Sea Q una hipercuádrica real. El rango de cualquier matriz A de cualquier ecuación XAX t = 0 de Q no varía, y se denominará rango de Q. El número sl(a) sl( A) sólo depende de Q y se denominará signatura proyectiva de Q, y la notaremos sp(q). 2. Existe un sistema de referencia en P n (R) tal que una ecuación (reducida) de Q es x x 2 p x 2 p+1... x 2 r = 0, donde r + 1 es el rango de Q y la diferencia entre coeficientes positivos y negativos, en valor absoluto ( 2p r + 1 ), es la signatura proyectiva de Q. 3. Sean Q y Q dos hipercuádricas reales. Q Q si y sólo si Q y Q tienen el mismo rango y la misma signatura proyectiva. Definición Llamaremos hipercuádricas no degeneradas de P n (k) a aquellas que tienen rango máximo n + 1, y las llamaremos degeneradas en caso contrario. Ejemplo HIPERCUÁDRICAS DE LA RECTA PROYECTIVA COMPLEJA. Como hemos visto, hay tres tipos de hipercuádricas: 1. rango(q)=2 (no degeneradas). Su ecuación reducida es x x 2 1 = 0. Así V(Q) son dos puntos distintos de P 1 (C). 2. rango(q)=1. Su ecuación reducida es x 2 0 = 0. Así V(Q) es un punto de P 1 (C). 3. rango(q)=0. Su ecuación es 0=0 y V(Q) = P 1 (C). Ejemplo HIPERCUÁDRICAS DE LA RECTA PROYECTIVA REAL. Por el teorema de clasificación hay 4 tipos de hipercuádricas. 1. rango(q)=2, sp(q)=2. Su ecuación reducida es x x 2 1 = 0. Así V(Q) =. Se llama hipercuádrica no degenerada imaginaria. 2. rango(q)=2, sp(q)=0. Su ecuación reducida es x 2 0 x 2 1 = 0. Así V(Q) son dos puntos. Se llama hipercuádrica no degenerada real. 3. rango(q)=sp(q)=1. Su ecuación reducida es x 2 0 = 0. Así V(Q) es un punto. 4. rango(q)=0. Su ecuación es 0=0 y V(Q) = P 1 (R). 4

5 El estudio de cónicas y cuádricas lo dejaremos para más adelante siguiente, puesto que necesitaremos el concepto de polaridad. Para terminar presentamos un método rápido de cálculo de la signatura proyectiva de una hipercuádrica real. Para ello necesitamos recordar algunos resultados. Teorema Sea Q una hipercuádrica real de ecuación XAX t = 0. Se verifica que sp(q) coincide con la diferencia, en valor absoluto, entre el número de cambios de signo y de permanencias de la sucesión de coeficientes del polinomio q(λ), obtenido dividiendo el polinomio característico de A, p(λ) = λi A, por la máxima potencia de λ por la que sea divisible Puntos conjugados respecto de una hipercuádrica Recordemos que una hipercuádrica Q en X = P n (k) se dice degenerada si el rango de Q es estrictamente menor que dim(x) y se dice no degenerada en otro caso. Definición Sea Q una hipercuádrica en X. Un punto P 1 X se dice conjugado con P 2 X respecto de Q, si x 1 Ax t 2 = 0 donde Q = [A], [x 1 ] = P 1 y [x 2 ] = P 2. Un punto P se dice autoconjugado respecto de Q si P es conjugado consigo mismo (respecto de Q). Lema Sean Q una hipercuádrica y P X. El conjunto de puntos de X conjugados con P, respecto de Q, es una variedad lineal proyectiva, llamada la variedad polar (o simplemente la polar) de P respecto de Q y notada polar Q (P ). Si P L(Q), la polar de P se llamará la variedad tangente a Q en P. Si Q es no degenerada, entonces para todo P X, polar Q (P ) es un hiperplano (llamado el hiperplano polar de P respecto de Q). Definición Sean Q una hipercuádrica y L una variedad lineal proyectiva de X. Diremos que L es tangente a Q en P si P L y L polar Q (P ). Definición Sea Q una hipercuádrica en X. Un punto P L(Q) se dice singular si P es conjugado (respecto de Q) con todo punto de X. El conjunto de los puntos singulares de Q se notará Sing(Q). Lema Sea Q una hipercuádrica de rango r. El conjunto Sing(Q) es una variedad lineal proyectiva de dimensión n r. En particular, si Q es no degenerada entonces Sing(Q) =. Nótese que todo punto singular pertenece a la hipercuádrica por ser autoconjugado. Además, si P Sing(Q) y P L(Q) entonces P + P L(Q) Polaridad Teorema Sean Q una hipercuádrica y L una variedad lineal proyectiva de X. El conjunto de los puntos de X conjugados con todos los puntos de L es una variedad lineal 5

6 proyectiva que será denotada polar Q (L) y que será llamada la polar de L respecto de Q. Además se tiene que si L variedad lineal proyectiva: 1. L 1 L 2 polar Q (L 1 ) polar Q (L 2 ). 2. polar Q (L) Sing(Q) = polar Q (P n ). 3. polar Q ( i L i) = i polar Q (L i ). 4. polar Q (L) = P L polar Q (P ). 5. polar Q ( L i ) polar Q (L i ). 6. polar Q (polar Q (L)) L. 7. dim polar Q (L) n dim(l) + 1. Teorema Sean Q una hipercuádrica no degenerada y H un hiperplano de X. Entonces, el polo de H (respecto de Q) es la intersección de los hiperplanos polares de los puntos de H. Esto es polo Q (H) = polar Q (P ). P H El teorema anterior se llama Teorema de la Polaridad Hipercuádricas sobre variedades lineales proyectivas Sea L una subvariedad lineal proyectiva de dimensión s (0 s n) de P n (k). Sea R = {R 0,..., R s, V } un sistema de referencia en L. Se llama hipercuádrica restricción de Q sobre L, respecto de R, la clase de equivalencia (respecto de la equivalencia escalar) de una matriz no nula de MS(s + 1, k). Si R = {R 0,..., R s, V } es otro sistema de referencia en L y si C es una matriz del cambio (i.e. (x 0,..., x s ) R = (x 0,..., x s) R C) entonces una matriz de Q respecto de R es CAC t. La ecuación de Q respecto de R es (x 0,..., x s )A(x 0,..., x s ) t = 0. El conjunto de soluciones (en L) de la ecuación anterior se denota L(Q) y se llama la hipercuádrica lugar de Q (respecto de R) Intersección de una hipercuádrica con una variedad lineal proyectiva. Sea Q = [A] una hipercuádrica el X 1. Sea L una variedad lineal proyectiva de dimensión s, 0 s n. Si R = {R 0,..., R s, V } es un sistema de referencia en L, 1 Si no se precisa lo contrario, se entenderá que A es una matriz de Q respecto del sistema de referencia canónico 6

7 notaremos R = {R 0,..., R s, R s+1,..., R n, U} una extensión de R a un sistema de referencia en X = P n (k) de manera que, si P L entonces las coordenadas de P respecto de R son (a 0 :... : a s ) si y sólo si, respecto de R, las coordenadas de P son (a 0 :... : a s : 0 :... : 0). Sea à = CACt una matriz de Q respecto de R, donde C es una matriz del cambio de sistema de R al sistema de referencia canónico. Notaremos à L la matriz que se obtiene suprimiendo en à las últimas (n s) filas y columnas. Definición Si à L no es la matriz nula, llamaremos restricción de Q a L, respecto de R, (y notaremos Q L ) a la hipercuádrica de L, respecto de R, definida por Ã. Proposición Con las notaciones anteriores 1. Sean P, P L, P Q L P P Q P. 2. Si P L, polar Q L (P ) = polar Q (P ) L. 3. Si L L, polar Q L (L ) = polar Q (L ) L. 4. (Q L ) = (Q) L. 5. (Q) L polar Q (L) L. 6. rg(q L ) = dim(l) dim(l polar Q (L)). Teorema Sean Q una hipercuádrica no degenerada y H un hiperplano de X. Entonces se tiene: 1. Si H no es tangente a Q entonces rango(q H ) = n. 2. Si H es tangente a Q entonces rango(q H ) = n Si k = R y H es tangente a Q entonces, además, sp(q) = sp(q H ) 4.5. Cónicas en P 2 (C) De acuerdo con el teorema sólo existen tres clases de equivalencia proyectiva de cónicas complejas. rango(q) = 3 Una ecuación reducida de una cónica de esta clase es x 2 0+x 2 1+x 2 2 = 0. Una cónica de esta clase no tiene ningún punto singular. Recibe el nombre de Cónica no degenerada compleja. rango(q) = 2 Una ecuación reducida es x x 2 1 = 0. La cónica lugar consiste por tanto en dos rectas complejas y distintas que se cortan en el único punto singular de la cónica. Recibe el nombre de Par de rectas complejas distintas. 7

8 rango(q) = 1 Una ecuación reducida es x 2 0 = 0. La cónica lugar consiste por tanto en una recta compleja. Todos los puntos de la cónica son singulares. Recibe el nombre de Recta doble compleja Cónicas en P 2 (R) De acuerdo con el teorema existen cinco clases de equivalencia proyectiva de cónicas reales rango(q) = 3, sp(q) = 3 Una ecuación reducida de una cónica de esta clase es x 2 0+ x x 2 2 = 0. Por tanto la cónica lugar es. Recibe el nombre de Cónica imaginaria no degenerada. rango(q) = 3, sp(q) = 1 Una ecuación reducida es x 2 0+x 2 1 x 2 2 = 0. No hay puntos singulares. La cónica lugar es no vacía. Recibe el nombre de Cónica real no degenerada. rango(q) = 2, sp(q) = 2 Una ecuación reducida es x x 2 1 = 0. La cónica lugar consta sólo de un punto que es singular. Recibe el nombre de Par de rectas imaginarias secantes en un punto real. rango(q) = 2, sp(q) = 0 Una ecuación reducida es x 2 0 x 2 1 = 0. La cónica lugar consta de dos rectas distintas que se cortan en el único punto singular de la cónica. Recibe el nombre de Par de rectas reales y distintas. rango(q) = 1, sp(q) = 1 Una ecuación reducida es x 2 0 = 0. La cónica lugar consta de una recta. Todos los puntos de la cónica son singulares. Recibe el nombre de Recta doble real Cuádricas en P 3 (C) De acuerdo con el teorema existen cuatro clases de equivalencia proyectiva de cuádricas complejas. rango(q) = 4 Una ecuación reducida de una cuádrica de esta clase es x x x 2 2 +x 2 3 = 0. Una cuádrica de esta clase no tiene ningún punto singular. Recibe el nombre de Cuádrica compleja no degenerada. rango(q) = 3 Una ecuación reducida es x x x 2 2 = 0. La cuádrica tiene un único punto singular P. Este punto tiene la siguiente propiedad: Para todo P L(Q), P P, la recta P + P está contenida en L(Q). Debido a esta propiedad, la cuádrica recibe el nombre de Cono proyectivo complejo de vértice P. 8

9 rango(q) = 2 Una ecuación reducida es x 2 0+x 2 1 = 0. La cuádrica lugar es la reunión de dos planos distintos. La recta intersección de estos planos es el conjunto de puntos singulares de la cuádrica. Recibe el nombre de Par de planos complejos y distintos. rango(q) = 1 Una ecuación reducida es x 2 0 = 0. La cuádrica lugar es un plano. Todos los puntos de ese plano son singulares. Recibe el nombre de Plano doble complejo Cuádricas en P 3 (R) De acuerdo con el teorema existen ocho clases de equivalencia proyectiva de cuádricas reales. rango(q) = 4, sp(q) = 4 Una ecuación reducida de una cuádrica de esta clase es x x x x 2 3 = 0. La cuádrica lugar es el vacío. Recibe el nombre de Cuádrica imaginaria no degenerada. rango(q) = 4, sp(q) = 2 Una ecuación reducida es x x x 2 2 x 2 3 = 0. La cuádrica no tiene puntos singulares. De acuerdo con el teorema se verifica la siguiente propiedad: Para todo P L(Q) el hiperplano polar de P corta a L(Q) sólo en el punto P. Debido a esta propiedad, la cuádrica recibe el nombre de Cuádrica (no degenerada) real de puntos elípticos. rango(q) = 4, sp(q) = 0 Una ecuación reducida es x x 2 1 x 2 2 x 2 3 = 0. La cuádrica no tiene puntos singulares. De acuerdo con el teorema se verifica la siguiente propiedad: Para todo P L(Q) el hiperplano polar de P corta a L(Q) en dos rectas distintas que se cortan en P. Debido a esta propiedad, la cuádrica recibe el nombre de Cuádrica (no degenerada) real de puntos hiperbólicos. Además esta cuádrica es reglada (ver 4.8.1). rango(q) = 3, sp(q) = 3 Una ecuación reducida es x x x 2 2 = 0. La cuádrica lugar consta de un sólo punto que es singular. Puesto que su complexificado es un cono esta cuádrica recibe el nombre de Cono imaginario de vértice su punto singular. rango(q) = 3, sp(q) = 1 Una ecuación reducida es x x 2 1 x 2 2 = 0. La cuádrica tiene un sólo punto singular P. Este punto tiene la siguiente propiedad: Para todo P L(Q), P P, la recta P + P está contenida en L(Q). Debido a esta propiedad, la cuádrica recibe el nombre de Cono proyectivo real de vértice P. rango(q) = 2, sp(q) = 2 Una ecuación reducida es x x 2 1 = 0. La cuádrica lugar es una recta que coincide con Sing(Q). Como su complexificado es un par de planos, la cuádrica recibe el nombre de par de planos imaginarios y distintos que se cortan en una recta real. 9

10 rango(q) = 2, sp(q) = 0 Una ecuación reducida es x 2 0 x 2 1 = 0. La cuádrica lugar es la reunión de dos planos distintos. La recta intersección de estos planos es el conjunto de puntos singulares de la cuádrica. Recibe el nombre de Par de planos reales y distintos. rango(q) = 1, sp(q) = 1 Una ecuación reducida es x 2 0 = 0. La cuádrica lugar es un plano. Todos los puntos de ese plano son singulares. Recibe el nombre de Plano doble real. Proposición Toda cuádrica real de puntos hiperbólicos, Q, es reglada. Más aún, existen dos familias de rectas F 1 y F 2 verificando: 1. Toda recta de F 1 (resp. de F 2 ) está contenida en Q. 2. Si r, r F 1 y r r entonces r r =. 3. Si s, s F 2 y s s entonces s s =. 4. Si r F 1 y s F 2 entonces r y s se cortan en un punto. Si este punto es P, entonces polar Q (P ) L(Q) = r s. 5. L(Q) = ( r F 1 r) = ( s F 2 s). 10