Semana 13: Determinación de cónicas. Haces de cónicas proyectivas.

Transcripción

1 Semana 13: Determinación de cónicas. Haces de cónicas proyectivas. Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Geometría afín y proyectiva, 2015

2 Geometría afín y proyectiva 1. Álgebra lineal 2. Geometría afín y eucĺıdea 3. Cónicas y cuádricas

3 Cónicas y cuádricas 3.1 Introducción al espacio proyectivo. 3.2 Clasificación y determinación de cónicas. 3.3 Clasificación de cuádricas y elementos notables.

4 Contenidos Repaso: Cónica afín y proyectiva Determinar una cónica Infinitas cónicas pasan por 4 puntos Intersección de dos cónicas Haz de cónicas Cónicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces 4 puntos reales distintos. 2 puntos reales distintos y 1 real doble. 2 puntos reales dobles.

5 Repaso: Cónica afín y proyectiva Determinar una cónica Infinitas cónicas pasan por 4 puntos Intersección de dos cónicas Haz de cónicas Cónicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces 4 puntos reales distintos. 2 puntos reales distintos y 1 real doble. 2 puntos reales dobles.

6 Cónicas afines (reales) Elipse Hipérbola Parábola Junto con los casos degenerados (dos rectas reales que se cortan, dos rectas reales paralelas o coincidentes) o imaginarios. Ecuaciones reducidas: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, x 2 a 2 y 2 b 2 = 1, y 2 = 2px.

7 Dado Cónica afín p(x, y) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 12 xy + a 01 x + a 02 y + a 00 R[x, y], llamamos cónica afín al conjunto de puntos del plano C = {(x, y) R 2 p(x, y) = 0} Expresamos su ecuación en forma matricial, siendo A la matriz de la cónica, p(x, y) = ( 1 x y ) a 00 a 01 /2 a 02 /2 1 a 01 /2 a 11 a 12 /2 x. a 02 /2 a 12 /2 a 22 y

8 Cónica proyectiva El polinomio homogéneo de grado dos a 00 x a 11 x a 22 x a 12 x 1 x 2 + a 01 x 1 x 0 + a 02 x 2 x 0 R[x 0, x 1, x 2 ] define una forma cuadrática ω : R 3 R que tiene como matriz asociada la matriz A de la cónica ω(x ) = XAX t siendo X = (x 0, x 1, x 2 ). Llamamos cónica proyectiva al conjunto de puntos de P 2 C = {X P 2 ω(x ) = 0}.

9 Repaso: Cónica afín y proyectiva Determinar una cónica Infinitas cónicas pasan por 4 puntos Intersección de dos cónicas Haz de cónicas Cónicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces 4 puntos reales distintos. 2 puntos reales distintos y 1 real doble. 2 puntos reales dobles.

10 Determinar una cónica Hallar los 6 coeficientes de su ecuación λp(x, y) = λ(a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 12 xy + a 01 x + a 02 y + a 00 ) = 0 en función de un parámetro λ. λ a 00 a 01 /2 a 02 /2 a 01 /2 a 11 a 12 /2 a 02 /2 a 12 /2 a 22 Necesitamos 5 condiciones, 5 ecuaciones lineales en los coeficientes.

11 Determinar una cónica Existen infinitas cónicas proyectivas que pasan por 4 puntos de P 2. Ejemplo con Maple: Haz de cónicas Cónicas degeneradas

12 Intersección de dos cónicas Dadas dos cónicas proyectivas C 1 y C 2, definidas por formas cuadráticas ω 1, ω 2 : R 3 R, determinadas por matrices A 1, A 2. La intersección de dos cónicas C 1 y C 2 puede ser un número finito o infinito de puntos, solución del sistema de ecuaciones cuadráticas: { ω1 (x 0, x 1, x 2 ) = XA 1 X t = 0 ω 2 (x 0, x 1, x 2 ) = XA 2 X t = 0 La intersección es infinita si las cónicas son coincidentes o si, siendo degeneradas, tienen una recta en común.

13 Intersección de dos cónicas Si excluimos estos casos la intersección son cuatro puntos. El sistema de 2 ecuaciones cuadráticas tienes 4 soluciones (contando multiplicidades): 1. 4 soluciones reales distintas soluciones reales distintas y 1 real doble soluciones reales dobles solución real de multiplicidad soluciones reales y 2 complejas conjugadas Estudiaremos los casos 1, 2 y 3.

14 Repaso: Cónica afín y proyectiva Determinar una cónica Infinitas cónicas pasan por 4 puntos Intersección de dos cónicas Haz de cónicas Cónicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces 4 puntos reales distintos. 2 puntos reales distintos y 1 real doble. 2 puntos reales dobles.

15 Haz de cónicas Sean C 1 y C 2 dos cónicas con intersección finita. Definición El haz de cónicas H determinado por C 1 y C 2 es una familia de cónicas dada por la ecuación λ 1 ω 1 (X ) + λ 2 ω 2 (X ) = 0, con (λ 1, λ 2 ) R 2 {(0, 0)}, y la matriz del haz es λ 1 A 1 + λ 2 A 2. Proposición 1 1. Todas las cónicas de H intersecan en los puntos comunes de C 1 y C 2. Llamamos puntos base de H al conjunto de puntos de P 2 intersección de todas las cónicas del haz. 2. Por un punto que no sea punto base de H pasa una sola cónica de H.

16 Repaso: Cónica afín y proyectiva Determinar una cónica Infinitas cónicas pasan por 4 puntos Intersección de dos cónicas Haz de cónicas Cónicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces 4 puntos reales distintos. 2 puntos reales distintos y 1 real doble. 2 puntos reales dobles.

17 Cónicas degeneradas de un haz Proposición 2 Supongamos que el haz H está determinado por las cónicas C 1 y C 2 y que al menos una de ellas es no degenerada. El haz de cónicas H contiene a lo sumo 3 cónicas degeneradas (contadas con multiplicidades). Supongamos que C 2 es no degenerada, det(a 2 ) 0: det(a 1 + µa 2 ) = det(a 2 )µ det(a 1 ) = 0. Tres soluciones reales µ 1, µ 2, µ 3. Cónicas degeneradas con matrices A 1 + µ 1 A 2, A 1 + µ 2 A 2, A 1 + µ 3 A 2. Una solución real µ 1 y dos complejas. La única cónica degenerada tiene matriz A 1 + µ 1 A 2.

18 Repaso: Cónica afín y proyectiva Determinar una cónica Infinitas cónicas pasan por 4 puntos Intersección de dos cónicas Haz de cónicas Cónicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces 4 puntos reales distintos. 2 puntos reales distintos y 1 real doble. 2 puntos reales dobles.

19 4 puntos reales distintos. Haz de cónicas H con puntos base A, B, C y D. Cónicas degeneradas del haz: C 1 (A + B)(C + D) = r 1 r 2 = 0, C 2 (A + C)(B + D) = s 1 s 2 = 0, C 3 (A + D)(B + C) = l 1 l 2 = 0.

20 2 puntos reales distintos y 1 real doble. Haz de cónicas H con puntos base A, B y C = D. Cónicas degeneradas del haz: C 1 (A + B)(C + C) = rt = 0, C 2 (A + C)(B + C) = s 1 s 2 = 0. La recta t es tangente a las cónicas no degeneradas del haz en C.

21 2 puntos reales dobles. Haz de cónicas H con puntos base A = B y C = D. Cónicas degeneradas del haz: C 1 (A + A)(C + C) = t 1 t 2 = 0, C 2 (A + C)(A + C) = s 2 = 0. Las rectas t 1 y t 2 son tangentes a las cónicas no degeneradas del haz en A y C respectivamente.