Aproximación no lineal de funciones.

Transcripción

1 Tema 14 Aproximación no lineal de funciones 141 Aproximación no lineal de funciones con una variable Si una función definida en un intervalo es derivable en este intervalo su función derivada asocia a cada punto su derivada Si esta derivada es derivable en el intervalo podemos calcular su derivada y definir su derivada segunda Este planteamiento se puede repetir de nuevo con su derivada segunda La derivación sucesiva de una función nos va a dar información sobre su forma y nos va a permitir buscar sus óptimos locales 1411 Fórmula de Taylor Cuando la función f (x) es diferenciable en x 0, el parecido entre la función y la recta tangente a la gráfica nos permite aproximar la función por la diferencial tomando los valores correspondientes a la recta tangente, dy = f (x 0 ) dx Al sustituir el incremento de la función, dx = x x 0, se obtiene la aproximación lineal de f f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) En esta aproximación se comete un error, correspondiente a la diferencia entre el incremento real de la función y el incremento aproximado que se obtiene mediante la diferencial r x0 (x x 0 ) = y dy { }} {{ }} { f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) Consideramos que la aproximación es buena, lo que sucede siempre y cuando la función es diferenciable, si cuando nos aproximamos al punto este error tiende a cero más rápido que el incremento de la variable 379

2 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO independiente, r x0 (x x 0 ) lím = 0 x x 0 x x 0 Si en la fórmula de la aproximación lineal añadimos el término correspondiente al error obtenemos la versión exacta de esta aproximación f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + r x0 (x x 0 ) Esta idea la vamos a extender en una aproximación no lineal de la función por polinomios de grado superior que recibe el nombre de fórmula de Taylor En este caso, vamos a exigir que el error que cometemos tienda a cero más rápido que el incremento de la variable independiente elevado al grado del polinomio con el que la aproximamos De esta forma, a medida que aumente el grado del polinomio con el que aproximamos la función disminuirá el error que cometemos en la aproximación Definición 141 Sea f : D R R derivable n veces en x 0 R El polinomio de Taylor de f, de grado n, en x 0 es: P n (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) que escribiremos muchas veces como P n (x) = n k=0 (x x 0 ) + + f (n (x 0 ) (x x 0 ) n n! f k (x 0 ) (x x 0 ) k k! Ejercicio 14 Demostrar que el polinomio de Taylor es el único polinomio cuyas derivadas sucesivas coinciden con las derivadas de la función en el punto de aproximación Calculamos las derivadas sucesivas de un polinomio genérico en potencias de (x x 0 ) P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n = a 0 = P n (x 0 ) = f (x 0 ) P n(x) = a 1 + a (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) + + na n (x x 0 ) n 1 P n (x) = a + 3 a 3 (x x 0 ) + + n(n 1)a n (x x 0 ) n P n) n (x) = n(n 1)(n ) a n = a 1 = P n(a) = f (a) = a = P n (x 0 ) = f (x 0 ) = a n = Pn) n (x 0 ) n! = f n) (x 0 ) n! Proyecto MATECO 1 Página 380

3 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES Teorema 143 (Fórmula de Taylor) Sea f : D R R derivable n veces en x 0 R La diferencia entre el polinomio de Taylor, P n (x), y la función, f (x), recibe el nombre de resto R n (x) = f (x) P n (x) y permite escribir f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) Si f es de clase C n en un entorno de x 0 se tiene lím x x 0 (x x 0 ) + + f (n (x 0 ) (x x 0 ) n + R n (x) n! R n (x) (x x 0 ) n = 0 Nota Obsérvese que además de x y de n el error depende de f y x 0 La expresión de la fórmula de Taylor es cierta siempre por la propia definición de resto Lo que el teorema garantiza es que si la función es de clase n en un entorno del punto el error que cometemos tiende a cero más rápido que el incremento de la variable independiente elevado a n, de forma que cuantas más veces sea derivable la función mejor aproximación podremos hacer Una de las ventajas de la aproximación mediante la fórmula de Taylor es que tenemos una expresión explícita para el resto que nos va a permitir acotar el error que cometemos en cada aproximación Aunque existen diversas expresiones la más utilizada es la primera que vamos a ver Teorema 144 (Resto de Lagrange) Sea f : D R R y f de clase C n en un entorno de x 0 Si existe f n+1) (x 0 ) entonces existe c entre x 0 y x tal que R n (x) = f (n+1 (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 con x 0 < c < x ó x < c < x 0 dependiendo de si x es mayor o menor que x 0 Nota Nota Si f es n+1 veces derivable en en un entorno de x 0 el resto admite la expresión de Cauchy R n (x) = f (n+1 (c) (x c) n (x x 0 ) con x 0 < c < x(ó x < c < x 0 ) n! Si f (n+1 es integrable en [x 0, x] el resto admite la expresión en forma integral R n (x) = x x 0 f (n+1 (t) (x t) n dt n! Ejemplo 145 Obtener el desarrollo de Maclaurin de f (x) = ln(1 + x) (por razones históricas el desarrollo de Taylor en x 0 = 0 recibe el nombre de desarrollo de Maclaurin) Calculamos las derivadas hasta orden n de f en x = 0 y sustituimos en la fórmula de Taylor Página 381 Proyecto MATECO 1

4 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO f (x) = ln(1 + x) f (0) = ln(1) = 0 f (x) = x = (1 + x) 1 f (0) = 1 f (x) = (1 + x) f (0) = 1 f (x) = (1 + x) 3 f (0) = f n) (x) = ( 1) n+1 (n 1)!(1 + x) n f n) (0) = ( 1) n+1 (n 1)! f (x) = x 1 x x3 + ( 1)n+1 x n + R n (x) n Para determinar la expresión del resto calculamos la derivada n+1 en c (0, x) (ó c (x, 0)): f n+1) (x) = ( 1) n n!(1 + x) (n+1) R n (x) = f n+1 (c) (n + 1)! xn+1 = ( 1) n x n+1 (n + 1)(1 + c) (n+1) Ejemplo 146 Obtener el desarrollo de Maclaurin de f (x) = e x y aplicarlo para obtener una aproximación del número e con un error menor que una milésima Calculamos las derivadas hasta orden n de f en x = 0 y sustituimos en la fórmula de Taylor f (x) = e x f (0) = e 0 = 1 f (x) = e x f (0) = e 0 = 1 f (x) = e x f (0) = e 0 = 1 f n) (x) = e x f n) (0) = e 0 = 1 = f (x) = e x = 1 + x + 1 x n! xn + R n (x) Para determinar la expresión del resto calculamos la derivada n+1 en c (0, x) (ó c (x, 0)): f n+1) (x) = e x R n (x) = e c (n + 1)! xn+1 Para aproximar el número e tomamos x = 1 con un error para c (0, 1) que podemos acotar fácilmente ya que e x es creciente: R n (1) = e c (n + 1)! < e (n + 1)! < 3 (n + 1)! Como queremos que el error sea menor que una milésima, entonces 3 (n + 1)! < (n + 1)! > 3000 n 6 Por tanto, tomamos e ! + 1! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + 1 6! = = Proyecto MATECO 1 Página 38

5 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES Ejercicio 147 Comprobar que los desarrollos de Maclaurin de las funciones seno, coseno y arcotangente son sen x = n k=0 ( 1) k (k + 1)! xk+1 cos x = n k=0 ( 1) k (k)! xk arctan x = n k=0 ( 1) k k + 1 xk+1 Ejercicio 148 Comprobar el desarrollo de Maclaurin de la serie geométrica es a n 1 x = ax k k=0 Ejercicio 149 Hallar el desarrollo de McLaurin de orden n de la función f (x) = e 3x con resto de Lagrange y utilizar el polinomio de orden 4 para obtener una aproximación de 1/e, razonando si el error que se comete es menor que (nota: 1/e = e 1 ) Calculamos las derivadas hasta orden n de la función en el punto x = 0 f (x) = e 3x f (0) = e 0 = 1 f (x) = 3e 3x f (0) = 3e 0 = 3 f (x) = ( 3)( 3)e 3x f (0) = ( 3)( 3)e 0 = 9 f n) (x) = ( 3) n ( 3)e 3x f n) (0) = ( 3) n ( 3)e 0 = ( 3) n = ( 1) n 3 n Por tanto, sustituyendo en la fórmula de Taylor (x, 0)): f (x) = e x = 1 3x + 9! x 7 3! x ! x4 + + ( 1)n 3 n x n + R n (x) n! Para determinar la expresión de Lagrange del resto calculamos la derivada n+1 en c (0, x) (ó c f n+1) (x) = ( 3) n+1 ( 3)e 3x R n (x) = ( 1)n+1 3 n+1 e 3c x n+1 (n + 1)! Para calcular una aproximación de 1/e tomamos x = 1/3 Si sustituimos x = 1/3 en la fórmula de Taylor de orden cuatro 1/e = e ( ) ! ( ) ! Cometemos un error, R n (1) = ( 1)n+1 3 n+1 e 3c (n + 1)! ( ) ! ( 1 ) n+1 3 ( ) 4 1 = = 3/8 = 0, 375 Página 383 Proyecto MATECO 1

6 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO De esta forma que, como e x es decreciente y c (0, 1/3), tenemos que e 3c < e 0 = 1 por tanto R n (1) < 1 (n + 1)! En nuestro caso es n = 4 y el error es menor que 1 5! = 0, 0083 que no es menor que una milésima 1 Ejercicio 1410 Hallar el desarrollo de McLaurin de orden n de la función f (x) = con resto de 1 + x Lagrange y utilizar el polinomio de orden 4 para obtener una aproximación de 1/1 razonando si el error que se comete es menor que Calculamos las derivadas hasta orden n de la función en el punto x = 0 f (x) = x = (1 + x) 1 f (0) = 1 1 = 1 f (x) = ( 1)(1 + x) f (0) = f (x) = ( 1)( )(1 + x) 3 f (0) = ( 1)( ) f n) (x) = ( 1)( ) ( n)(1 + x) (n+1) f n) (0) = ( 1) n n n! Por tanto, sustituyendo en la fórmula de Taylor f (x) = 1 x + 4 x 8 x x ( 1) n n x n + R n (x) Para determinar la expresión del resto calculamos la derivada n+1 en c (0, x) (ó c (x, 0)): f n+1) (x) = ( 1) n+1 n+1 (n + 1)!(1 + x) (n+) R n (x) = ( 1) n+1 n+1 (1 + c) (n+) x n+1 Para calcular una aproximación de 1/1 tomamos x = 01 en la fórmula de Taylor de orden 4 1/1 = = Cometemos un error, R n (1) = ( 1) n+1 n+1 (1 + c) (n+) Como c (0, 01), c es positivo y (1 + c) (n+) < 1 tenemos que R n (1) < n+1 01 n+1 En nuestro caso es n = 4 y el error es menor que = que no es menor que una milésima Proyecto MATECO 1 Página 384

7 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES Ejercicio 1411 Hallar el desarrollo de Taylor hasta grado n de la función f (x) = ln(x) en un entorno de x = 1 dando el resto en forma infinitesimal Calculamos las derivadas hasta orden n de la función en el punto x = 1 f (x) = ln(x) f (1) = ln(1) = 0 f (x) = 1 x f (1) = 1 f (x) = 1 x f (1) = 1 Sustituyendo en la fórmula de Taylor f (x) = x 3 f (1) = f n) n+1 (n 1)! (x) = ( 1) f n) (1) = ( 1) n+1 (n 1)! x n f (x) = (x 1) 1 (x 1) (x 1)3 + ( 1)n+1 (x 1) n + o(x 1) n+1 n Ejercicio 141 Hallar el desarrollo de Taylor de grado n de la función f (x) = x en un entorno de x = 1 con resto de Lagrange y utilizarlo para calcular una aproximación de, razonando si el error que se comete es menor que una milésima Calculamos las derivadas hasta orden n de la función en el punto x = 0 f (x) = x 1/ f (1) = 1 f (x) = ( 1 ) x 1/ f (1) = 1 f (x) = ( ) ( ) 1 1 x 3/ f (1) = 1 4 f (x) = ( ) ( ) ( ) x 5/ f (1) = 3 8 f (x) = ( 1 f n) (x) = ( 1 ) ( 1 ) ( 3 ) ( ) 1 n 1 ) ( 5 ) x 7/ f (1) = ( ) n 3 x (n 1)/ f n) (1) = ( 1) n 1 (n 3)!! = ( 1) n 1 (n )! n n (n 1)! n 1 f n) (1) = ( 1) n 1 (n )! n 1 (n 1)! Página 385 Proyecto MATECO 1

8 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO Por tanto, sustituyendo en la fórmula de Taylor f (x) = (x 1) 1 8 (x 1) (x 1)3 + + ( 1) n 1 (n )! n 1 n!(n 1)! (x 1)n + R n (x) Para determinar la expresión del resto calculamos la derivada n+1 en c (1, x) (ó c (x, 1)) f n+1) (x) = ( 1) n (n)! n+1 n! (x 1) (n+1)/ R n (x) = ( 1) n (n)! n+1 (n + 1)!n! c (n+1)/ (x 1) n+1 Para calcular una aproximación de 11 tomamos x = 01 en la fórmula de Taylor de orden = = Como c (1, 11) tenemos c (n+1)/ < 1 tenemos que R n (11) < (n)! n+1 (n + 1)!n! 01n+1 En nuestro caso es n = 3 y el error es menor que = que si es menor que una milésima Ejercicio 1413 Hallar el desarrollo de McLaurin de orden n de f (x) = x con resto de Lagrange Calculamos las derivadas hasta orden n de la función en el punto x = 0 f (x) = x f (0) = 0 = 1 f (x) = x ln f (0) = ln f (x) = x ln f (0) = ln f n) (x) = ( 1) n ( 1) x (ln ) n (ln ) f n) (0) = ( 1) n (ln ) n Por tanto, sustituyendo en la fórmula de Taylor f (x) = x = 1 x ln + x ln + ( 1)n (ln ) n n! x n + R n (x) Para determinar el resto de Lagrange calculamos la derivada n+1 en c (0, x) (ó c (x, 0)): f n+1) (x) = ( 1) n+1 (ln ) n+1 x R n (x) = ( 1)n+1 (ln ) n+1 c x n+1 (n + 1)! Proyecto MATECO 1 Página 386

9 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES Ejercicio 1414 Hallar el desarrollo de McLaurin de orden tres de la función f (x) = 1 + x con el resto de Lagrange y utilizarlo para obtener una aproximación de 15 razonando si el error que se comete es menor que una milésima Ejercicio 1415 Obtener el polinomio de Taylor de grado n con resto de Lagrange de las siguientes funciones en un entorno del punto que se indica y utilizarlo para obtener una aproximación del valor también indicado razonando si el error que se comete es menor que una diezmilésima (a) f (x) = x + x = 401 (b) f (x) = e 1 x x = 1 e Concavidad y convexidad Definición 1416 (Concavidad y convexidad) Sea f : I R R con I un intervalo f es convexa si para cada par de elementos a, b I el segmento que une los correspondientes puntos de su gráfica está por encima de la gráfica de la función entre estos dos puntos λ (0, 1) f (λa + (1 λ)b) λ f (a) + (1 λ) f (b) f es cóncava si para cada par de elementos a, b I el segmento que une los correspondientes puntos de su gráfica está por debajo de la gráfica de la función entre estos dos puntos λ (0, 1) f (λa + (1 λ)b) λ f (a) + (1 λ) f (b) Nota f es convexa si y sólo si f es cóncava y f es cóncava si y sólo si f es convexa Ejemplo 1417 a) f (x) = e ax es convexa en R para a R b) f (x) = ln(ax) es cóncava en (0, + ) para a > 0 c) f (x) = x a es convexa en (0, + ) para a 0 y a 0 y cóncava para 0 a 1 Las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea cóncava o convexa dependen del orden de derivabilidad de la función Así, una función derivable es convexa en un intervalo sí y sólo si su derivada es monótonamente creciente en ese intervalo Si además es derivable con continuidad la función es convexa si y sólo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes Si es dos veces derivable es convexasi y sólo si su segunda derivada es no negativa en el intervalo Página 387 Proyecto MATECO 1

10 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO Proposición 1418 (condición necesaria y suficiente de convexidad y concavidad con derivabilidad) Sea f : [a, b] R R derivable en (a, b) con continuidad f es convexa en (a, b) si y sólo si f (y) f (x) + f (x)(y x) x, y (a, b) f es cóncava en (a, b) si y sólo si f (y) f (x) + f (x)(y x) x, y (a, b) Proposición 1419 (condición necesaria y suficiente de convexidad y concavidad con derivabilidad de orden dos) Sea f : [a, b] R R dos veces derivable en (a, b) f es convexa en (a, b) si y sólo si f (x) 0 x (a, b) f es cóncava en (a, b) si y sólo si f (x) 0 x (a, b) Nota La concavidad y la convexidad son propiedades globales y si decimos que una función es cóncava o convexa en un punto queremos decir que es cóncava o convexa en un entorno del punto Definición 140 Sea f : I R R con I un intervalo f tiene un punto de inflexión en x 0 I si cambia de cóncava a convexa o viceversa Ejemplo 141 f x x f x x f x x 3 x es convexa (en su dominio), x es cóncava (en su dominio) y x 3 es convexa en (, 0) y cóncava en [0, + ) Como esta última cambia de convexa a cóncava en x = 0 en este punto tiene un punto de inflexión Proposición 14 (condiciones para punto de inflexión) Sean f : [a, b] R R derivable suficientemente en un entorno de x 0 (necesaria) Si f tiene un punto de inflexión en x 0 entonces f (x 0 ) = 0 (no implica f (x 0 ) = 0) (suficiente) Si f (x 0 ) = 0 y f (x 0 ) 0 entonces f tiene un punto de inflexión en x 0 Ejemplo 143 Estudiar la concavidad y convexidad de f (x) = x x + 1 x + 1 Proyecto MATECO 1 Página 388

11 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES f (x) = x x + 1 x + 1 = f (x) = x + x 4 (x + 1) = f (x) = 18 (x + 1) 3 10 f (x) 0 en (, 1 ) = f es cóncava en (, 1 ) f (x) 0 en ( 1, + ) = f es convexa en ( 1, + ) Aunque esta función cambia de cóncava a convexa en x = 1 no tiene un punto de inflexión ya que este punto no está en su dominio 1413 Extremos de funciones reales de una variable real Definición 144 Sean f : [a, b] R R, x 0 [a, b] y el problema de optimización: ( ) maximizar/minimizar f (x), a x b, en el cual el dominio recibe el nombre de conjunto factible y la función el de función objetivo x 0 es un máximo absoluto si f (x 0 ) f (x) x [a, b] x 0 es un mínimo absoluto si f (x 0 ) f (x) x [a, b] En ambos casos decimos que x 0 es un óptimo global o extremo absoluto (estricto si las desigualdades son estrictas para x x 0 ) x 0 es un máximo local si existe δ > 0 tal que f (x 0 ) f (x) x (x 0 δ, x 0 + δ) [a, b] x 0 es un mínimo local si existe δ > 0 tal que f (x 0 ) f (x) x (x 0 δ, x 0 + δ) [a, b] En ambos casos decimos que x 0 es un óptimo local o extremo relativo (estricto si las desigualdades son estrictas para x x 0 ) Nota El problema ( ) consiste en encontrar un punto del conjunto factible en el que la función objetivo alcanza su valor máximo/mínimo y, en general, se buscan máximos/mínimos absolutos Proposición 145 (condición necesaria de óptimo local) Sean f : [a, b] R R derivable en (a, b) y x 0 (a, b) Si f tiene un extremo relativo en x 0 entonces f (x 0 ) = 0 Nota Un punto en el que la derivada es cero recibe el nombre de punto crítico y en un punto crítico la recta tangente a la curva y = f (x) es paralela al eje X Si f es derivable un extremo relativo siempre es un punto crítico, pero no todo punto crítico es un extremo relativo (puede ser un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de inflexión) Página 389 Proyecto MATECO 1

12 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO Ejemplo 146 f x x f x x La parábola f (x) = x y la función f (x) = x 3 tienen un punto crítico en el origen En ambos casos la recta tangente a la curva y = f (x) en x = 0 es el eje OX La parábola tiene un mínimo, pero f (x) = x 3 no tiene ni un máximo ni un mínimo (iene es un punto de inflexión) Proposición 147 (condición suficiente de óptimo local) Sean f : [a, b] R R dos veces derivable en (a, b) y x 0 (a, b) un punto crítico de f Si f (x 0 ) > 0 Si f (x 0 ) < 0 Si f (x 0 ) = 0 x 0 es un mínimo relativo estricto x 0 es un máximo relativo estricto no podemos afirmar nada Nota (extensión de la condición suficiente de óptimo local) Si f es n veces derivable en (a, b) con f (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0 y f (n) (x 0 ) 0 se tiene: f (n) (x 0 ) > 0 f tiene un mínimo relativo estricto en x 0 Si n es par y f (n) (x 0 ) < 0 f tiene un máximo relativo estricto en x 0 Si n es impar f tiene un punto de inflexión en x 0 Proposición 148 (Teorema de Weierstrass) Sea f : [a, b] R R Si f es continua en [a, b] tiene un máximo y un mínimo absoluto en algún punto de [a, b] Nota El teorema de Weierstrass garantiza que una función continua dentro de un intervalo cerrado y acotado [a, b] alcanza su máximo y su mínimo absoluto Esto no quiere decir que la función tenga un máximo y un mínimo absoluto Sólo implica que dentro de cada intervalo la función tiene máximo y mínimo absolutos Estos óptimos pueden ser óptimos relativos del intervalo abierto (punto críticos), uno de los dos extremos del intervalo o puntos en los que la función no es derivable En uno de ellos la función alcanza el mayor valor dentro del intervalo y en otro el menor Ejemplo 149 Estudiar los óptimos de las funciones (a) f (x) = x x + 1 (b) g(x) = 9 + 1x + 7x + x x Proyecto MATECO 1 Página 390

13 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES En primer lugar determinamos los puntos en los que la derivada de f (x) es cero (puntos críticos): f (x) = ( 1 x ) = 0 = 1 x = x x = 0 = x = 1 A continuación calculamos su derivada segunda y estudiamos qué tipo de puntos son f (x) = x ( 3 + x ) ( ) f (1) = 1 = < 0 máximo con f (1) = x 3 f ( 1) = 1 > 0 mínimo con f ( 1) = 1 Por tanto, un máximo y un mínimo relativos son los puntos (1, 1 ) y ( 1, 1 ) respectivamente En el caso de la función g(x) también calculamos los puntos críticos: g (x) = ( + ( x) 3 4x + x ) x = 3 ( ) = 0 = 1 + x x = 1 x = Para estudiar qué tipo de puntos son calculamos su derivada segunda: g (3) = 1 7 < 0 mínimo con g(3) = g (x) = 4 66x + 1x + x 3 ( ) = 1 + x 3 g (1) = 9 9 < 0 máximo con g(1) = g ( ) = 0 punto de inflexión pues g ( ) 0 Por tanto, un mínimo y un máximo relativos son los puntos (3, 7 9 ) y (1, ) respectivamente Al observar las gráficas de las funciones vemos que en el primer caso la función f (x) tiene como valor máximo 1 y como valor mínimo 1 En el segundo caso, la función g(x) no está acotada y no tiene máximo ni mínimo Por tanto, los óptimos de f (x) son un máximo y un mínimo absolutos y los óptimos de g(x) son un máximo y un mínimo relativos Ejemplo 1430 Determinar los óptimos de f (x) = x x + 1 x + 1 Comenzamos con la determinación de los puntos críticos: f (x) = x + x 4 (x + 1) = 0 = x = Página 391 Proyecto MATECO 1 x = 1

14 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO Estudiamos si son máximos y mínimos relativos ( f tiene un máximo relativo en (, 3) f ( ) = < 0 y f ( ) = 3) 3 ( f tiene un mínimo relativo en (1, 0) f (1) = > 0 y f (1) = 0) 3 Para determinar si los óptimos relativos son o no absolutos vamos a representar la función Aunque en general un simple bosquejo permite responder a la cuestión, en este ejemplo, aunque no es necesario, se realizarán la mayor parte de los pasos que se suelen seguir en el procedimiento general para representar una función mostrando como se realiza el estudio sistemático de la misma (que se compone de distintos pasos más o menos estándares) Determinación de su dominio: x + 1 = 0 x = 1 = está definida para x 1 Cortes con los ejes y valores particulares de la función: f (x) = x x + 1 = 0 = x = 1 = Corta al eje OX en (1, 0) x + 1 f (0) = 1 = Corta al eje OY en (0, 1) Simplificación del estudio (paridad, simetrías, periodicidad, ): No presenta nada especial Asíntotas verticales en los puntos singulares que no estén en el dominio: En x = 1 tiene una asíntota vertical lím x 1 x x + 1 x + 1 = lím x 1 + x x + 1 x + 1 = + Comportamiento en el infinito (asíntotas horizontales y oblicuas): No tiene asíntotas horizontales x x + 1 lím x x + 1 x x + 1 = lím x + x + 1 = + Tiene asíntota oblicua y = mx + b con m = lím x ± x x+1 x+1 x = 1 [ ] x x + 1 b = lím mx = 5 x ± 4 x + 1 Determinación de los puntos con tangente vertical (puntos del dominio donde la derivada es infinita) y puntos críticos (ya realizado) f (x) = x + x 4 (x + 1) Proyecto MATECO 1 Página 39

15 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES Estudio del signo de la derivada (crecimiento y decrecimiento): f (x) 0 en (, ] = f es creciente en (, ] f (x) 0 en [, 1 ) = f es decreciente en [, 1 ) f (x) 0 en ( 1, 1] = f es decreciente en ( 1, 1] f (x) 0 en [1, + ) = f es creciente en [1, + ) Estudio de la derivada segunda convexidad, concavidad y puntos de inflexión f 18 En (, 1 (x) = = ) f (x) 0 = f es cóncava (x + 1) 3 En ( 1, + ) f (x) 0 = f es convexa Si representamos las asíntotas y los puntos clave sólo queda tener en cuenta los datos sobre crecimiento y concavidad para tener una buena aproximación de la función Ejercicio 1431 Hallar los máximos y mínimos de f : R R definida por: (a) f(x) = sen x 0 x π (b) f(x) = cos x 0 x π (c) f(x) = sen (x 1) x (d) f(x) = (x + 90)(450 3x) x 0 Al igual que con una función de una variable, se considera que la aproximación lineal mediante la diferencial es buena si el error que se comete en esta aproximación, correspondiente a la diferencia entre el incremento real y el incremento aproximado, tiende a cero más rápido de lo que lo hace el incremento de las variables independientes En una función con varias variables el tamaño del incremento se mide mediante la norma del propio incremento y la bondad de la aproximación no lineal viene determinada por la rapidez con la que tiende a cero esta norma elevada al orden del polinomio con el que aproximamos Para construir esta aproximación vamos a introducir previamente las diferenciales sucesivas, que aparecen al considerar las distintas parciales de orden superior 14 Diferenciales sucesivas Si escribimos la diferencial de la función f en el punto x 0 como D f (x 0 )[(dx 1,, dx n )] = f x 1 (x 0 )dx f x n (x 0 )dx n = n i=1 f x i (x 0 )dx i la diferencial segunda se define a partir de las derivadas parciales de segundo orden como n D f (x 0 )[(dx 1,, dx n )] = (x 0 )dx i1 dx i x i1 x i Página 393 Proyecto MATECO 1 i 1,i =1

16 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO Esta diferencial es suma de todas y cada una de las derivadas de segundo orden multiplicadas por los incrementos correspondientes a las variables respecto a las que se deriva Así, la diferencial segunda de una función f (x, y) es D f (x 0, y 0 )[dx, dy] = f x (x 0, y 0 )dx + f y x (x 0, y 0 )dxdy + f x y (x 0, y 0 )dydx + f y (x 0, y 0 )dy Esta diferencial puede escribirse en términos de la matriz hessiana, de forma que la diferencial segunda corresponde a una forma cuadrática de matriz H f (x 0 ), que es simétrica si la función es de clase C D f (x 0, y 0 )[dx, dy] = (dx dy) x (x 0, y 0 ) x y (x 0, y 0 ) y x (x 0, y 0 ) y (x 0, y 0 ) dx dy Definición 143 Se define la diferencial sucesiva de orden m como la suma de todas y cada una de las derivadas de orden m multiplicadas por los incrementos correspondientes a las variables respecto de las que se deriva D m f (x 0 )[(dx 1,, dx n )] = n i 1,,i m =1 m f x i1 x im (x 0 )dx i1 dx im Ejemplo 1433 Obtener las diferenciales de primer y segundo orden de f (x, y) = sen(xy ) Las derivadas de primer orden son Por tanto la diferencial es f x (x, y) = y cos(xy ) f y (x, y) = xy cos(xy ) D f (x, y)[dx, dy] = y cos(xy )dx + xy cos(xy )dy que en términos del vector gradiente es D f (x, y)[dx, dy] = ( y cos(xy ) xy cos(xy ) ) dx dy Las derivadas de segundo orden son x x (x, y) = y4 sen(xy ) x y (x, y) = y cos(xy ) xy 3 sen(xy ) Por tanto la diferencial segunda es y x (x, y) = y cos(xy ) xy 3 sen(xy ) y x (x, y) = x cos(xy ) 4x y sen(xy ) D f (x, y)[dx, dy] = y 4 sen(xy )dx + (y cos(xy ) xy 3 sen(xy ))dxdy + x cos(xy ) 4x y sen(xy )dy Proyecto MATECO 1 Página 394

17 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES que en términos de la matriz hessiana queda D f (x, y)[dx, dy] = (dx dy) y 4 sen(xy ) y cos(xy ) xy 3 sen(xy ) y cos(xy ) xy 3 sen(xy ) x cos(xy ) 4x y sen(xy ) dx dy Las diferenciales de orden superior se obtienen siguiendo el mismo procedimiento a partir de las correspondientes derivadas aunque no se expresan matricialmente 143 Fórmula de Taylor para varias variable Proposición 1434 (Fórmula de Taylor para funciones de varias variables) Sea f : D R n R de clase C m en un abierto conteniendo al segmento cerrado que une x 0 y x con x 0, x D f (x) = f (x 0 ) + D f (x 0 )[x x 0 ] + 1 D f (x 0 )[x x 0 ] m! Dm f (x 0 )[x x 0 ] + R m (x) con lím x x 0 R m (x) x x 0 m = 0 Además, si f es de clase C m+1 en dicho abierto el resto se puede expresar para c R n perteneciente al segmento abierto que une x 0 y x como R m (x) = 1 (m + 1)! Dm+1 f (c)[x x 0 ] Corolario 1435 Sea f : D R n R de clase C en un abierto que contenga al segmento cerrado que une x 0 y x con x 0, x D f (x) = f (x 0 ) + J f (x 0 )(x x 0 ) + 1 (x x 0) t R (x) H f (x 0 )(x x 0 ) + R (x) con lím x x0 x x 0 = 0 Ejemplo 1436 Obtener, si es posible, el desarrollo de Taylor de orden de la función f (x, y) = sen(xy) en un entorno del punto (0, π) el valor de la función en el punto: f (0, π) = sen(xy) (0,π) = 0 el valor de las derivadas parciales de primer orden en el punto: f x (0, π) = y cos(xy) (0,π) = π f y (0, π) = x cos(xy) (0,π) = 0 Página 395 Proyecto MATECO 1

18 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO el valor de las derivadas parciales de segundo orden en el punto: x (0, π) = y sen(xy) (0,π) = 0 f f (0, π) = x y y x (0, π) = cos(xy) xy sen(xy) (0,π) = 1 y (0, π) = x sen(xy) (0,π) = 0 Como las derivadas de segundo orden son continuas la función es de clase C en R y, en particular, en un entorno del punto Así, podemos aproximar la función por el polinomio de Taylor de segundo orden En forma de polinomio f (x, y) 0 + πx + 0(y π) + 1 ( 0x + 1x(y π) + 0(y π) ) En forma matricial f (x, y) 0 + (π 0) x y π + 1 (x y π) x y π Al desarrollar se tiene: π x + x(y π) Ejercicio 1437 Obtener el polinomio de Taylor de grado dos de la función f (x, y) = y xy en un entorno del punto (1, 1) utilizando derivación logarítmica El valor de la función en el punto es f (1, 1) = y xy (1,1) = 1 Para aplicar derivación logarítmica tomamos logaritmos en la función y obtenemos ln ( f (x, y)) = ln ( y xy) = xy ln(y) El valor de las derivadas parciales de primer orden lo obtenemos derivando la ecuación y despejando 1 f f (x, y) = y ln(y) = (x, y) = y ln(y) f (x, y) f (x, y) x x 1 f f (x, y) = x ln(y) + x = (x, y) = (x ln(y) + x) f (x, y) f (x, y) y y El valor de las derivadas parciales de primer orden en el punto será f (1, 1) = 0 x f (1, 1) = y Proyecto MATECO 1 Página 396

19 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES El valor de las derivadas parciales de segundo orden lo obtenemos derivando las parciales de primer orden f (x, y) = y ln(y) (x, y) x x f (x, y) = ( ln(y) + ) f (x, y) + y ln(y) y x y (x, y) = y (x, y) ( ) x f (x, y) + (x ln(y) + x) f (x, y) y y El valor de las derivadas parciales de segundo orden en el punto será (1, 1) = 0 x f x y (1, 1) = f (1, 1) = 4 y x f (1, 1) = 6 y La función y las derivadas de primer y segundo orden son continuas en D( f ) = {(x, y)/y > 0}, por lo que la función es de clase C en un entorno del punto y podemos aproximar la función por el polinomio de Taylor de segundo orden: f (1, 1) + f f x (1, 1)(x 1) + y (1, 1)(y 1) + 1 Al sustituir se tiene: ( x (1, 1)(x 1) + f y x (1, 1)(x 1)(y 1) + f y (1, 1)(y 1) ) f (x, y) 1 + (y 1) + 4(x 1)(y 1) + 6(y 1) 144 Funciones convexas Antes de hablar de funciones cóncavas y convexas vamos a imponer, como condición sobre la forma del dominio donde las funciones están definidas, que su dominio sea un conjunto convexo De esta forma cada segmento que une puntos del conjunto va a estar contenido dentro del conjunto Definición 1438 Sea G R n no vacío G es convexo si y sólo si para cualquier par de puntos a, b G el segmento que los une está contenido en G aµ + b(1 µ) G µ (0, 1) Nota Dados dos conjuntos convexos G 1, G R n su intersección y su suma, pero no su unión, son conjuntos convexos (este resultado se puede generalizar para k conjuntos) G 1 G = {x R n /x G 1, x G } G 1 + G = {x 1 + x R n /x 1 G 1, x G } Nota Si G R n es un conjunto convexo su interior y su clausura son conjuntos convexos con int(g) = int(g) Si además int(g) tenemos G = int(g) (en cualquier caso la fronteral del conjunto coincide con la frontera de su clausura) Página 397 Proyecto MATECO 1

20 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO Una función de una variable es convexa si el segmento que une dos puntos de su gráfica está por encima de la gráfica de la función entre estos dos puntos y es cóncava si está por debajo y para funciones de más de una variable la siguiente definición formaliza esta idea Definición 1439 Sea f : G R n R con G convexo f es convexa en G si para cada par de elementos a, b G f [aµ + b(1 µ)] f [a]µ + f [b](1 µ) µ (0, 1) f es cóncava en G si para cada par de elementos a, b G f [aµ + b(1 µ)] f [a]µ + f [b](1 µ) µ (0, 1) Nota En ambos casos la igualdad se verifica siempre si a = b y si la igualdad sólo se verifica si a = b decimos que es estrictamente convexa en el primero y estrictamente cóncava en el segundo Nota f es convexa si y sólo si f es cóncava y f es cóncava si y sólo si f es convexa Más aún, si f es convexa y λ 0 tenemos que λ f es convexa y si λ 0 que λ f es cóncava (recíprocamente si f es cóncava y λ 0 tenemos que λ f es cóncava y si λ 0 que λ f es convexa) Nota La suma de funciones convexas es convexa y la suma de funciones cóncavas es cóncava Más aún, la combinación lineal de funciones convexas con coeficientes positivos es también una función convexa (con coeficientes negativos cóncava) y la combinación lineal de funciones cóncavas con coeficientes positivos es también una función cóncava (con coeficientes negativos convexa) Nota (Combinaciones convexas) Una combinación convexa de elementos de un conjunto es una combiación lineal de estos elementos en la que los coeficientes son positivos y suman uno (media ponderada de los elementos si éstos son números) Un conjunto es convexo si y sólo si contiene a todas las combinaciones convexas de sus elementos Además si una función es convexa en el conjunto entonces la imagen de la combinación convexa de sus elementos es menor o igual que la correspondiente combinación de las imágenes de estos elementos (desigualdad de Jensen) Proposición 1440 Sean f : G R n R y α R con G un conjunto convexo Si f es convexa en G entonces el conjunto de nivel inferior es un conjunto convexo {x G/ f (x) α} Si f es cóncava en G entonces el conjunto de nivel superior es un conjunto convexo {x G/ f (x) α} Proyecto MATECO 1 Página 398

21 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES Nota Las funciones de la forma f (x 1, x,, x n ) = a 1 x 1 + a x + + a n x n + b con a i, b R reciben el nombre de funciones afines y son tanto cóncavas como convexas (escribimos f (x) = a t x + b) Por tanto, los correspondientes conjuntos de nivel son convexos {a 1 x 1 + a x + + a n x n b} {a 1 x 1 + a x + + a n x n b} Nota Una función cuadrática se puede escribir de la forma f (x) = a + b t x + x t Cx con x = (x 1, x,, x n ), a R, b R n y C M n n (R) simétrica En este caso, la función es convexa si y sólo si la matriz C es semidefinida positiva Las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea cóncava o convexa son similares a las correspondientes a funciones de una variable y también dependen del orden de diferenciabilidad de la función, ya que utilizamos el desarrollo de Taylor para aproximarla por una función afín si es de clase uno y por una función cuadrática si es de clase dos En particular, una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y sólo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes y una función de dos variables dos veces diferenciable con continuidad es convexa si la función se encuentra por encima de todos sus planos tangentes (en general una función de varias variables es convexa si está por encima de sus hiperplanos tangentes) Proposición 1441 (condición necesaria y suficiente de convexidad con diferenciabilidad) Sea f : G R n R diferenciable en G con G convexo no vacío f es convexa si y sólo si para cualquier par de puntos a, b G f (b) f (a) f (a) (b a) Nota Si la desigualdad es estricta f es estrictamente convexa Nota f es cóncava si y sólo la desigualdad se da en sentido contrario (estrictamente cóncava si la desigualdad es estricta) Una función de una variable dos veces derivable es convexa en un intervalo si y sólo si su segunda derivada es no negativa en ese intervalo y una función de varias variables dos veces diferenciable con continuidad es convexa en un conjunto convexo si y sólo si su matriz hessiana es semidefinida positiva en el interior de ese conjunto convexo Proposición 144 (condición necesaria y suficiente de convexidad con diferenciabilidad de orden dos) Sea f : G R n R de clase C en G con G convexo no vacío f es convexa si y sólo si la forma cuadrática asociada al hessiano de f es semidefinida positiva en todos los puntos del interior (H f (x) S DP x int(g)) Página 399 Proyecto MATECO 1

22 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO Si además esta forma cuadrática es definida positiva la función es estrictamente convexa (el recíproco no es cierto) Nota f es cóncava si y sólo la forma cuadrática asociada al hessiano de f es semidefinida negativa en todos los puntos del interior (si es definida negativa la función es estrictamente cóncava) Nota Por abuso de notación para hablar del signo de la forma cuadrática asociada al hessiano de f hablaremos del signo de su matriz hessiana, H f (x) Proposición 1443 Sea f : R n R convexa en R n Si g : R m R n es afín entonces f g(x) = f (g(x)) es convexa Proposición 1444 (Composición de funciones convexas) Sea f : G R n R convexa en G, con G convexo, y h : I f (G) R R convexa en I, con I un el intervalo Si h es creciente en I entonces h f (x) = h( f (x)) es convexa en G Ejercicio 1445 Determinar si los siguientes conjuntos son convexos: A = {(x, y) R : x + y = } B = {(x, y) R : 3x + y 1} C = {(x, y, z) R 3 : x + y 5, x 0, y 0} E = {(x, y) S : x 0, y 0, xy 1} D = {(x, y) R : 1 x 4 + y 9} Ejercicio 1446 Dados los conjuntos A = {(x, y) R : x + y 4 4}, B = {(x, y) R : x + y 3}, C = {(x, y) R : (x ) + (y 1) = 9} y D = {(x, y) R : x > y} Representar gráficamente los conjuntos siguientes: A, B, C, D, C D, A C D, A B C, B D, A B C D Son conjuntos convexos? Ejercicio 1447 Estudiar la convexidad o concavidad de las siguientes funciones: (a) f (x) = ax + b (b) f (x) = x (c) f (x, y) = ax + by + c (d) f (x, y) = x y x + xy y (e) f (x, y) = e x+y (g) f (x, y, z) = x + e y + 3z (f) f (x, y) = 14x 1 x + 10y 1 y (h) f (x, y, z) = ax + by + cz + d Proyecto MATECO 1 Página 400

23 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES Ejercicios del tema Ejercicio 1448 Comprobamos que la ecuación e x+y+z xyz = e define a z como función implícita de x e y en un entorno del punto P(0, 0, 1) y obtener su desarrollo de Taylor de orden entorno al punto adecuado Para comprobar que la ecuación define a z como función implícita de x e y Comprobamos que la ecuación es satisfecha por el punto F(0, 0, 1) = e Comprobamos que la función es de clase C 1 calculando sus derivadas parciales y viendo que son continuas (no es necesario ya que esta función es suma de una exponencial y un polinomio y, por tanto, es de clase C (R 3 )) F x (x, y, z) = ex+y+z yz F y (x, y, z) = ex+y+z xz F z (x, y, z) = ex+y+z 4xyz Comprobamos que la derivada respecto a la variable que queremos despejar es distinta de cero F(0, 0, 1) = e 0 z Podemos ahora afirmar que existe una única función z = z(x, y) de clase C en un entorno del punto (0, 0) tal que z(0, 0) = 1 y tal que en dicho entorno F(x, y, z(x, y)) = 0 Para obtener las derivadas parciales derivamos la ecuación considerando que z depende de x e y al aplicar la regla de la cadena Derivando parcialmente respecto de x e x+y+z yz + (e x+y+z 4xyz)z x = 0 ( ) Derivando parcialmente respecto de y e x+y+z xz + (e x+y+z 4xyz)z y = 0 ( ) Sustituyendo x = 0, y = 0 z = 1 y despejando tenemos que z x(0, 0) = 1 y z y(0, 0) = 1 con lo que 1 z(0, 0) = 1 Para obtener las derivadas parciales de segundo orden se derivan las expresiones (*) y (**) Página 401 Proyecto MATECO 1

24 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO Derivando parcialmente (*) respecto de x e x+y+z + (e x+y+z 4yz)z x + [e x+y+z 4yz + (e x+y+z 4xy)z x]z x + (e x+y+z 4xyz)z xx = 0 Derivando parcialmente (*) respecto de y e x+y+z + (e x+y+z 4xz)z y + [e x+y+z 4yz + (e x+y+z 4xy)z x]z y + (e x+y+z 4xyz)z yx = 0 Derivando parcialmente (**) respecto de x (no es necesario) e x+y+z z + (e x+y+z 4yz)z y + [e x+y+z 4xz + (e x+y+z 4xy)z y]z x + (e x+y+z 4xyz)z xy = 0 Derivando parcialmente (**) respecto de y e x+y+z + (e x+y+z 4xz)z y + [e x+y+z 4xz + (e x+y+z 4xy)z y]z y + (e x+y+z 4xyz)z xy = 0 Sustituyendo x = 0, y = 0, z = 1, z x = 1 z y = 1 y despejando tenemos que con lo que z xx = 0 z yx = z xy = /e z yy = 0 0 /e Hz(0, 0) = /e 0 Otra forma de resolver el problema es obteniendo las derivadas parciales derivando directamente la ecuación considerando en todo momento que z depende de x e y Derivando parcialmente respecto de x Derivando parcialmente respecto de y Derivando parcialmente (*) respecto de x Derivando parcialmente (*) respecto de y (1 + z x)e x+y+z 4z xxyz yz = 0 ( ) (1 + z y)e x+y+z 4z yxyz xz = 0 ( ) (1 + z x) e x+y+z + z xxe x+y+z 4z x xy 8z xyz 4z xxxyz = 0 z xye x+y+z + (1 + z x)(1 + z y)e x+y+z 4z xz yxy 4z xxz 4z yyz 4z xyxyz z = 0 Proyecto MATECO 1 Página 40

25 TEMA 14 APROXIMACIÓN NO LINEAL DE FUNCIONES Derivando parcialmente (**) respecto de x (no es necesario) z xye x+y+z + (1 + z x)(1 + z y)e x+y+z 4z xz yxy 4z xxz 4z yyz 4z xyxyz z = 0 Derivando parcialmente (**) respecto de y (1 + z y) e x+y+z + z yye x+y+z 4z y xy 8z yxz 4z yyxyz = 0 La función es de clase C en un entorno del punto y podemos aproximar la función por el polinomio de Taylor de segundo orden: z(0, 0) + z z (0, 0)x + x y (0, 0)y + 1 ( ) z x (0, 0)x + z y x (0, 0)xy + z (0, 0)y y Al sustituir se tiene: z(x, y) 1 x y + e xy Ejercicio 1449 Obtener el desarrollo de Taylor de la función f (x, y) = x y en un entorno del punto (1, 1) hasta segundo orden y aplicar el resultado para calcular (11) 10 Calculamos las derivadas parciales hasta segundo orden D 1 f (x, y) = y x y 1 ; D f (x, y) = x y ln(x) D 11 f (x, y) = y(y 1) x y ; D 1 f (x, y) = D 1 f (x, y) = y x y 1 ln(x) + x y 1 ; D f (x, y) = x y ln (x) D 1 f (1, 1) = 1; D f (1, 1) = 0; D 11 f (1, 1) = 0; D 1 f (1, 1) = D 1 f (1, 1) = 1; D f (1, 1) = 0 Como estas parciales son continuas en un entorno del punto dado tenemos f (x, y) = 1 + (x 1) + 1 (x 1)(y 1) + R (x, y) f (x, y) = 1 + (x 1) + (x 1)(y 1) + R (x, y) Por tanto (11) (11 1) + (11 1)(10 1) = (11) Ejercicio 1450 Obtener el desarrollo de Taylor de orden de la función f (x, y) = sen (xy) en un entorno del punto (0, π) Página 403 Proyecto MATECO 1

26 Bloque IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO el valor de la función en el punto: f (0, π) = sen (xy) (0,π) = 0 el valor de las derivadas parciales de primer orden en el punto: f x (0, π) = y sen(xy) cos(xy) (0,π) = 0 f y (0, π) = x sen(xy) cos(xy) (0,π) = 0 el valor de las derivadas parciales de segundo orden en el punto: x (0, π) = y cos (xy) y sen (xy) (0,π) = π f f (0, π) = x y y x (0, π) = sen(xy) cos(xy) + y cos (xy) y sen (xy) (0,π) = π y (0, π) = x cos (xy) x sen (xy) (0,π) = 0 La función es de clase C en R y, en particular, en un entorno del punto Así, podemos aproximar la función por el polinomio de Taylor de segundo orden: ( ) f f f (0, π) + (0, π)x + (0, π)(y π) + 1 ( ) f x y x (0, π)x + f y x (0, π)x(y π) + f (0, π)(y π) y Al sustituir se tiene: f (x, y) π x + π x(y π) Ejercicio 1451 Hallar el desarrollo de Taylor de las siguientes funciones en un entorno del punto que se indica y utilizarlo para obtener una aproximación del valor también indicado (a) f (x, y) = x x + y x P(1, 1) f (1, 11) (b) f (x, y) = x x(y 1) P(1, ) (c) f (x, y) = ln(x + y) P(1, 0) ln(144) Ejercicio 145 Obtener el polinomio de Taylor de grado dos de las siguientes funciones en un entorno del punto que se indica utilizando derivación logarítmica y utilizarlo para obtener una aproximación del valor también indicado (a) f (x, y) = y xy (, 1) f (1, 10) (b) f (x, y) = x x+y (1, 0) (c) f (x, y) = x xy (1, 1) (d) f (x, y) = (1 + xy) y (0, 1) Proyecto MATECO 1 Página 404