TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE. Curso Definición y propiedades de la transformación de Laplace

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1 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 21/11 1 Curso 2 o. Ingeniero de Telecomunicación. Ampliación de Matemáticas. Lección 3. TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE. Curso Definición y propiedades de la transformación de Laplace En esta lección presentamos un nuevo procedimiento para la resolución de ecuaciones y sistemas lineales con coeficientes constantes: el método de la transformación de Laplace, que será especialmente adecuado para el caso no homogéneo con condiciones iniciales en el origen. El uso del concepto de transformación de Laplace es un elemento central del análisis y el diseño de sistemas en la ingeniería. Este tipo de métodos, también llamados métodos operacionales, fue propuesto por el ingeniero inglés O. Heaviside ( ) para resolver las ecuaciones diferenciales que aparecen en el estudio de los circuitos eléctricos ya que permiten pasar de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica. Usando estas ideas, Heaviside fue capaz de resolver problemas sobre la propagación de la corriente eléctrica a lo largo de cables que no podían ser resueltos usando los métodos clásicos. Si bien los métodos operacionales demostraron ser muy potentes en sus aplicaciones, fueron catalogados como poco rigurosos. Ello puede explicar que el reconocimiento de las aportaciones de Heaviside llegara tardíamente. La transformación de Laplace, introducida por P.S. Laplace un siglo antes en sus estudios sobre probabilidad, fue posteriormente utilizada para proporcionar una base matemática sólida al cálculo operacional de Heaviside. La idea es trasladar el problema desde el espacio original de las funciones y(t) soluciones de la ecuación diferencial el dominio del tiempo al espacio de sus transformadas Y (s) el dominio de la frecuencia donde el problema se expresa en términos de resolver una ecuación algebraica lineal, cuya solución deberá ser antitransformada para obtener la solución de la ecuación diferencial original. El método de la transformación de Laplace, en razón de su capacidad para algebrizar los problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, es ampliamente utilizado en la teoría de circuitos y en la teoría de sistemas lineales de control. Estas aplicaciones se estudian a fondo en las asignaturas correspondientes, nosotros daremos una somera introducción al estudio de los sistemas lineales en ingeniería, presentando el concepto básico de función de transferencia.

2 2 Lección 3. Transformación de Laplace Definición. Sea f :[, ) R unafuncióncontinuaocontinuaatrozos. Latransformada de Laplace de f es la función F definida por F (s) = Z f(t)e st dt en los valores de s para los que dicha integral impropia es absolutamente convergente. Como los valores de f(t) para t<, si es que existen, no intervienen en la definición de transformada de Laplace, se suele suponer, simplemente, que f(t) =para t< y se dice, en ese caso, que f es una función causal. Ejemplos. Lassiguientesfuncionesf(t) tienen la transformada de Laplace F (s) indicada f(t) F (s) f(t) F (s) (1) 1 1 (s >) (2) t n n! (s>) s s n+1 (3) sen (t) 1 (s >) (4) e at 1 (s >a) s 2 +1 s a Observaciones. (1) Vemos en todos estos ejemplos que el conjunto de valores s en los que está definida la correspondiente transformada de Laplace es un intervalo de la forma (σ f, ). Estoes cierto en general porque si la integral R f(t)e st dt converge absolutamente para un cierto valor del parámetro s entonces, por el criterio de comparación, también converge para todos los valores mayores que el dado. El ínfimo σ f de los valores de s para los que está definida la transformada de Laplace F (s) de una función f(t) se llama abscisa de convergencia y puede probarse que la función F es continua en (σ f, ) yquelim s F (s) =. (2) No hay ningún problema en considerar valores complejos del parámetro s. Sis = σ + jω, entonces e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt = e σt (cos(ωt) jsen (ωt)) = e σt, de manera que, a la hora de estudiar la convergencia absoluta de R f(t)e st dt, sóloinfluye la parte real de s, y su región de convergencia será un semiplano del plano complejo de la forma Re(s) >σ f. (3) Cuando la variable t representa el tiempo, el parámetro s tiene las dimensiones de una frecuencia porque en las aplicaciones se exige que e st sea adimensional. Por ello se dice que f(t) actúa en el dominio del tiempo y que su transformada de Laplace F (s) actúa en el dominio de la frecuencia. (4) La notación dada utiliza las letras minúsculas para las funciones que actúan en el dominio del tiempo y las correspondientes letras mayúsculas para sus transformadas de Laplace (f(t) F (s)) y, normalmente, no produce confusiones. Otras notaciones habituales son L{f} o L{f}. (5) Puede extenderse la noción de transformada de Laplace a algunas funciones f(t) que no son continuas en t =yparalasquelaintegral R f(t)e st dt es impropia y absolutamente convergente también en el extremo inferior. El ejemplo típico es f(t) =1/ t cuya transformada de Laplace es F (s) = p π/s para s>.

3 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 21/11 3 Recordemos que la función Γ de Euler viene dada por Γ(p) = R e x x p 1 dt. Esta integral impropia es convergente si, y sólo si, p >. Además, integrando por partes se obtiene que Γ(p +1) =pγ(p) para cualquier p >, de lo que deducimos que Γ(n +1) =n! para cualquier número natural n. Si ahora hacemos el cambio de variable x = st con s> en la anterior integral obtenemos que Z Γ(p) =s p e st t p 1 dt. De esta forma, si a> 1 y consideramos la función f(t) =t a, tenemos que L{t a Γ(a +1) }(s) = s a+1 siempre que s >. En particular, si n es un número natural obtenemos que L{t n }(s) = Γ(n +1) = n! s n+1 s. n+1 (6) Cuando tengamos una función en el dominio de la frecuencia F (s) y calculemos una función f(t) en el dominio del tiempo cuya transformada de Laplace sea la función F dada, diremos que f es la transformada de Laplace inversa o, más coloquialmente, la anti-transformada de F, loque se suele escribir f = L 1 {F }. Puede probarse que f es única salvo, a efectos prácticos, cambios de sus valores en un número finito de puntos. (7) No todas las funciones continuas admiten transformada de Laplace. El ejemplo típico de esta situación es la función f(t) =e t2. Definición. La función de Heaviside, ofunción de salto en el origen,viene dada por ½ si t< h (t) = 1 si t>. La función de salto en un punto a se define de la siguiente manera ½ si t<a h a (t) =h (t a) = 1 si t>a. El valor de h a (t) en el punto t = a no lo hemos definido y, de hecho, en el contexto de la transformación de Laplace no influye a la hora de calcular las integrales que aparecen. A veces se pone el valor para que sea continua por la izquierda, a veces se pone 1 para que sea continua por la derecha y otras veces se pone 1/2. No existe una notación muy extendida para la función de salto. Nosotros usamos h a (t) ( h por Heaviside y minúscula para mantener el convenio de usar letras minúsculas para las funciones en el dominio del tiempo) pero en otros libros aparece H a (t) o u(t). Estas funciones son muy útiles para trabajar con funciones discontinuas; esto lo veremos en especial cuando estudiemos cómo se aplica la transformación de Laplace a la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Calculando la correspondiente integral, es muy fácil ver que la transformada de Laplace de la función de salto h a (t) =h (t a) es H a (s) = e as para s>. s Propiedades de la transformación de Laplace. Vamos a describir ahora algunas de las propiedades más importantes de la transformación de Laplace. Éstas nos permitirán construir nuevas parejas f(t) F (s) sin necesidad de calcular directamente las integrales impropias.

4 4 Lección 3. Transformación de Laplace Linealidad. Si a y b son números reales entonces la transformada de Laplace de af(t)+bg(t) es af (s)+bg(s) para s>max{σ f,σ g }. O sea, L{af + bg}(s) =al{f}(s)+bl{g}(s). a Una consecuencia sencilla de esta propiedad es que L(senh(at))(s) = s 2 a y L(cosh(at))(s) = s 2 siempre que s> a. s 2 a2 Ejemplo. Un pulso rectángular es una función constante y no nula en un cierto intervalo de tiempo [t 1,t 2 ] que vale cero fuera de dicho intervalo, o sea, ½ k si t1 <t<t f(t) = 2, en otro caso. Escribiendo f(t) =k (h t1 (t) h t2 (t)) = k (h (t t 1 ) h (t t 2 )), la propiedad de linealidad nos dicequesutransformadadelaplaceesf (s) = k s (e t 1s e t2s ). Dilatación en el dominio del tiempo. Si a es un número real positivo y consideramos g(t) =f(at), entonces G(s) = 1F s a a. Ejemplo. Como aplicación de esto vemos que si a> y tomamos f(t) =sen(t) (cuya transformada ya conocemos y vale F (s) = para s>), entonces L(sen(at))(s) = a a s 2 + a2 s 2 + a para 2 s>. Usando que la función seno es impar, obtenemos sin dificultad que la anterioe fórmula también es válida para a<. Traslación en el dominio de la frecuencia. Si a es un número real entonces la transformada de Laplace de e at f(t) es F (s a) para s>a+ σ f. O sea, L{e at f(t)}(s) =L{f}(s a). Ejemplos. Aplicando esta propiedad obtenemos que L{e at t n }(s) = L{e at t b }(s) = Γ(b +1) (s a) b+1 para s>ay L{eat sen (bt)}(s) = n! para s>a, (s a) n+1 b para s> a. (s a) 2 + b2 Traslación en el dominio del tiempo. Si a es un número real entonces la transformada de Laplace de la función trasladada f(t a)h (t a) es e as F (s) para s>σ f. En otras palabras, L{f(t a)h (t a)}(s) =e as L{f}. Transformada de Laplace de una función periódica. Sea f(t) una función periódica de período T, o sea f(t + T )=f(t) para todo t. La transformada de Laplace F (s) de f(t) es L{f}(s) =F (s) = 1 1 e st Z T e st f(t) dt. Derivada de la transformada de Laplace. La transformada de Laplace F (s) de una función f(t) es derivable y se tiene que F (s) es la transformada de Laplace de tf(t) para s>σ f.de

5 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 21/11 5 hecho, por inducción, se tiene que L{t n f(t)}(s) =( 1) n dn L{f} ds n para n =1, 2,... y s>σ f. Transformada de Laplace de una derivada y de una integral. La transformada de Laplace de la derivada f (t) de una función derivable f(t) es sf (s) f() para s>σ f.esdecir, L{f }(s) =sl{f} f(). Ejemplo. Si tomamos f(t) =sen(at), tenemos que L{a cos(at)}(s) =sl{sen(at)}(s) sen(). s Es decir, L{cos(at)}(s) = para s>. s 2 + a2 Aplicando esta propiedad a f tenemos, como consecuencia, la transformada de la derivada segunda L{f }(s) =s 2 L{f}(s) sf() f (). Análogamente, aplicándolo a la función integral R t f(τ) dτ, tenemos ½ ¾ L f(τ) dτ (s) = 1 s F (s). Teoremas del valor inicial y final. (1) Teorema del valor inicial: Si existe lim s sf (s),entonces lim sf (s) = lim f(t). s t + (2) Teorema del valor final: Si existe lim t f(t) y la abscisa de convergencia es σ f <, entonces lim t f(t) = lim sf (s). s Antes de continuar, recopilamos aquí algunas de las transformadas obtenidas: f(t) F (s) f(t) F (s) (1) 1 1 (s >) (2) e at t n n! (s>a) s (s a) n+1 (3) e at t b Γ(b +1) (s>a) para b> 1 (4) e at 1 (s >a) (s a) b+1 s a (5) e at b sen (bt) (s>) (6) e at cos(bt) s a (s>) (s a) 2 + b 2 (s a) 2 + b 2 (7) senh(at) a (s> a ) (8) cosh(at) s (s> a ) s 2 a 2 s 2 a 2 (9) 1/ t p π/s (s >) (1) h a (t) e as (s >) s

6 6 Lección 3. Transformación de Laplace 2 Aplicación a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Supongamos que tenemos el problema de valores iniciales y (t)+py (t)+qy(t) =r(t) con y() = y e y () = y. El método de la transformación de Laplace para resolver este problema consiste en calcular las transformadas de Laplace de ambos miembros de esta ecuación. Para ello necesitamos saber qué relación hay entre las transformadas de Laplace de una función y de su derivada. Sean Y (s) =L{y(t)}(s) y R(s) =L{r(t)}(s). Entonces, calculando las transformadas de Laplace de ambosmiembrosdeestaecuación,tenemos s 2 Y (s) sy() y () + p [sy (s) y()] + qy (s) =R(s). Reordenando y usando las condiciones iniciales, nos queda (s 2 + ps + q)y (s) =R(s)+(s + p)y + y, de donde Y (s) = R(s)+(s + p)y + y. s 2 + ps + q Esto nos proporciona la transformada de Laplace Y (s) de nuestra solución, así que y(t) =L 1 {Y (s)} y la cuestión ahora es calcular la transformada inversa. Veamos un ejemplo. Ejemplo. Vamos a resolver el problema de valor inicial y +5y +6y =2e t con y() = 1 e y () =. Como L{2e t } =2L{e t } = 2, la transformada de Laplace de la solución y es s +1 Y (s) = 2 s +1 + s +5 s 2 +5s +6 = 2 (s +1)(s +2)(s +3) + s +5 (s +3)(s +2). Para hallar la transformada inversa de Y (s), descomponemos en fracciones simples Y (s) = 1 s s +2 1 s +3, con lo que, de acuerdo con la tabla de transformadas, ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ y(t) =L 1 {Y } = L 1 + L 1 L 1 = e t + e 2t e 3t. s +1 s +2 s +3

7 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 21/11 7 El método de la transformación de Laplace convierte la ecuación diferencial en un problema sin derivadas y (t)+py (t)+qy(t) =r(t) con y() = y e y () = y Y (s) = R(s)+(s + p)y + y s 2 + ps + q que puede resolverse descomponiendo en fracciones simples y, después, calculando la transformada inversa de cada fracción usando la tabla de pares f(t) F (s) conocidos. Una observación importante es que el denominador s 2 + ps + q que aparece a la derecha coincide con la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial. La función (s 2 + ps + q) 1,queno depende del término independiente r(t) de la ecuación diferencial, sino de los coeficientes de y, y e y, sellamafunción de transferencia de la ecuación; volveremos sobre ella en la última sección de la lección. Usando la propiedad de la derivada de la transformada de Laplace, podemos emplear este método para ecuaciones con coeficientes polinómicos. Ejemplo. La función de Bessel de orden cero J (t) es la solución de la ecuación de Bessel ty + y + ty =tal que y() = 1. Es posible construir esta función mediante una serie de potencias: J (t) =1 t2 2 + t t , 2 Veamos cómo calcular su transformada de Laplace. Si aplicamos la transformación de Laplace a la ecuación nos queda d s 2 Y (s) s y () + sy (s) 1 d Y (s) =, ds ds o sea, (s 2 +1)Y = sy. c Separando variables e integrando resulta Y (s) = para una cierta constante c. Usando s2 +1 el teorema del valor inicial puede verse que c =1,asíque L{J (t)}(s) = 1 s2 +1. En la práctica pueden darse ecuaciones que contienen tanto derivadas como integrales de la función incógnita. Un ejemplo típico es la ecuación de un circuito LRC que puede escribirse con la intensidad de corriente i(t) como incógnita Li (t)+ri(t)+ 1 i(τ) dτ = e(t) con i() = i. C Naturalmente, podemos derivar y transformar esta ecuación en una ecuación diferencial con la carga q(t) como incógnita. Sin embargo, podemos trabajar con la integral usando la fórmula para la transformada de Laplace de una integral. Llamando I(s) =L{i(t)} nos queda L(sI(s) i )+RI(s)+ 1 I(s) =L{e(t)}, Cs

8 8 Lección 3. Transformación de Laplace luego I(s) = L{e(t)} + Li sl + R + 1. Cs Ecuaciones con término independiente discontinuo. Si el segundo miembro r(t) de la ecuación y (t)+py (t)+qy(t) =r(t) es una función discontinua, por ejemplo una función con un salto, difícilmente podemos esperar que la ecuación tenga una solución con derivada continua. Los métodos que vimos en las lecciones anteriores no sirven para hallar una solución. Sin embargo, el método de la transformación de Laplace sí permite trabajar con este tipo de ecuaciones mediante las propiedades de las funciones de salto h a (t) y sus transformadas. Ejemplo. Tenemos un circuito RC (o sea, con L =)enreposo(osea,coni() = ) quese conecta con una pila de v voltios durante t segundos. La ecuación que gobierna la intensidad de corriente en el circuito es Ri(t)+ 1 C i(τ) dτ = ½ v si <t<t, si t>t. ¾ = v (h (t) h t (t)) = v (1 h (t t )). Llamando I(s) =L{i(t)} y usando la transformación de Laplace nos queda RI(s)+ 1 Cs I(s) =v 1 e t s, s luego v /R I(s) = 1 e t s. s +(1/RC) Usando las propiedades de traslación en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia para calcular la transformada inversa obtenemos, finalmente, la solución i(t) =L 1 {I(s)} = v e t/rc e (t t)/rc h (t t ), R o, más cómodamente, v R e t/rc si <t<t, i(t) = v R e t/rc 1 e t /RC si t>t. Aplicación de la transformación de Laplace a la resolución de sistemas. Una buena opción, sobre todo para el caso de un problema de valor inicial (en el origen) de dimensión no muy alta y (t) =Ay(t)+f(t) con y() = y, es transformar ambos miembros coordenada a coordenada. Si llamamos L{y(t)} = L{y 1 (t)} L{y 2 (t)}. L{y n (t)} y L{f(t)} = L{f 1 (t)} L{f 2 (t)}. L{f n (t)},

9 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 21/11 9 entonces L{y (t)} = sl{y(t)} y, con lo que obtenemos sl{y(t)} y = AL{y(t)} + L{f(t)}. Es decir, L{y(t)} es la solución del sistema de ecuaciones escalares (si A)L{y(t)} = y + L{f(t)}, obien,l{y(t)} =(si A) 1 [y + L{f(t)}]. Una vez hallado el vector L{y(t)} de las transformadas de Laplace de las componentes de la solución y(t) para obtener ésta, basta anti-transformar. Ejemplo. Consideremos el problema de valor inicial y 1 1 t = y + con y() = t 7 Si llamamos Y 1 (s) =L{y 1 (t)} e Y 2 (s) =L{y 2 (t)}, entonceselsistematransformadoes sy 1 (s) 1 1 Y1 (s) s = + 2 sy 2 (s) Y 2 (s) 3s 1 s 2, donde hemos usado que L{y 1(t)} = sy 1 (s) y 1 (), L{y 2(t)} = sy 1 (s) y 2 () y L{t n } =(n!)s n 1. Ahora ordenamos el sistema pasando todas las incógnitas al primer miembro y nos queda s 1 1 = 1 s 1 Y1 (s) Y 2 (s) s 2 7+3s 1 s 2. Resolvemos este sistema aplicando la regla de Cramer (o también se podría usar, intercambiando el orden de las ecuaciones, el método de eliminación de Gauss) obteniendo Y 1 (s) = (s 1)s 2 (7 + 3s 1 s 2 ) = (s 1) 2 1 Y 2 (s) = (s 1)(7 + 3s 1 s 2 ) (s 2) (s 1) s 1 s(s 2) = 7s 4 4s 1 s(s 2) = 7s 2 s 2 (s 2) = 7s2 4s 4. s 2 (s 2) Para hallar las anti-transformadas, descomponemos en fracciones simples. Para la primera componente, tenemos Y 1 (s) = 7s 2 s 2 (s 2) = a s + b 2 s + c a(s 2) + bs(s 2) + cs2 = s 2 s 2 (s 2) de donde, identificando los coeficientes de los numeradores, b + c =, a 2b = 7 y 2a = 2,

10 1 Lección 3. Transformación de Laplace con lo que a =1, b =4y c = 4, asíque y 1 (t) =L 1 ½ 1 s s + Para la segunda componente, tenemos Y 2 (s) = 7s2 4s 4 s 2 (s 2) 4 ¾ = t +4 4e 2t. s 2 = a s + b 2 s + c a(s 2) + bs(s 2) + cs2 = s 2 s 2 (s 2) de donde, identificando los coeficientes de los numeradores, b + c =7, a 2b = 4 y 2a = 4, con lo que a =2, b =3y c =4,asíque ½ 2 y 2 (t) =L 1 s s + 4 ¾ =2t +3+4e 2t. s 2 Observación. En los ejemplos de esta sección hemos visto que el último paso en la aplicación de la transformación de Laplace es el cálculo de una transformada inversa. Las tres ideas básicas para anti-transformar son, en espíritu, las mismas que las del cálculo de primitivas: conocer las anti-transformadas de las funciones más usuales, saber aplicar técnicas básicas (específicamente, la descomposición en fracciones simples) para reducir una transformada complicada a una combinación de transformadas más simples y conocer los teoremas sobre transformadas para poder aplicarlos. De todas formas, existen tablas de transformadas de Laplace que recogen la práctica totalidad de las que suelen aparecer en las aplicaciones a las diversas ramas de la ingeniería. 3 El producto de convolución. Producto de convolución. No es cierto que la transformada de Laplace de un producto sea el producto de las transformadas de Laplace de los factores: L{fg} 6= L{f}L{g} en general. Sin embargo, el cálculo de la transformada inversa de un producto L{f}L{g} puede hacerse de manera relativamente simple. Definición. Dadas dos funciones f, g :[, ) R, suproducto de convolución es la función f g definida para t por (f g)(t) = f(τ)g(t τ) dτ. El producto de convolución tiene una serie de propiedades fáciles de probar. Por ejemplo, es conmutativo, asociativo y distributivo: f g = g f, f (g h) =(f g) h, y (af + bg) h = a(f h)+b(g h). La propiedad más importante es la expresión de su transformada de Laplace. Transformada de Laplace del producto de convolución. Dadas f, g :[, ) R, se tiene que L{f g}(s) =F (s)g(s) (s max{σ f,σ g }).

11 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 21/ La función delta de Dirac. En muchas situaciones de la ingeniería se busca la respuesta de un sistema cuando se le aplica una fuerza externa muy intensa pero durante un intervalo muy corto de tiempo, lo que se conoce como una fuerza impulsiva. Para modelar estas situaciones se introduce un objeto, la función delta de Dirac δ t (t), ofunción de impulso, mediante las siguientes propiedades: δ t (t) = dh t (t) dt = ½ si t 6= t, si t = t, Z δ t (t) dt =1, y Z δ t (t)f(t) dt = f(t ). La función delta de Dirac no es una función en el sentido habitual, pero es un ejemplo deloqueseconocecomofunciones generalizadas o distribuciones para las que existen las correspondientes nociones de derivada e integral. Manejadas con cuidado, las propiedades que hemos mostrado proporcionan resultados de contenido práctico que no se pueden obtener por los métodos usuales, lo que hace de esta función una herramienta muy útil. Como tal, la función delta de Dirac es físicamente irrealizable, pero podemos aproximarla suficientemente bien de una manera que, además, nos permite entender de dónde vienen sus propiedades. Nunca debemos ver estas funciones generalizadas como una regla que a cada valor (número) le asigna otro, para manipularlas correctamente hay que entender cómo actúan al interactuar con otras funciones. Analicemos esto con detalle. Para cada n =1, 2,..., sean d n (t) la función definida por ½ n si t t<t d n (t) = +1/n, en otro caso, y g n (t) la función integral de d n (t), si t<t, g n (t) = d n (τ) dτ = n(t t ) si t t t +1/n, 1 si t t +1/n. Entonces gn(t) =d n (t) salvo para t = t y t = t +1/n. Si tomamos límite para n obtenemos ½ ½ si t 6= lim d t, si t<t, n(t) =δ t (t) = y lim g n si t = t, n (t) =h t (t) = n 1 si t>t, Por otro lado, R d R n(τ) dτ =1para todo n =1, 2,...,asíque lim d n n(τ) dτ =1.Ahora,si f(t) es una función cualquiera continua en t,setiene +1/n Z min f(t) f(τ)d n (τ) dτ = f(τ)d n (τ) dτ max f(t). [t,t +1/n] t [t,t +1/n] De nuevo, tomando límite para n, obtenemos Z f(t )= lim d n (τ)f(τ) dτ. n

12 12 Lección 3. Transformación de Laplace Calculemos ahora las transformadas de Laplace D n (s) =L{d n }(s) D n (s) =L{n h t (t) h t +1/n(t) }(s) = n s e t s 1 e s/n. Luego lim D n n(s) = lim n n s e t s 1 e s/n = e st, lo que justifica enunciar que la transformada de Laplace de la función delta de Dirac es L{δ t }(s) =e st que, además, enlaza con la propiedad de la transformada de una derivada L{δ t }(s) =sl{h t }(s) h t (). yafianza la afirmación de que la función delta es la derivada de la función de salto. Igual que con la función de salto, teniendo en cuenta que δ t (t) =δ (t t ),escómodousar sólo la función delta en el origen δ para la que, en particular, se tiene que L{δ } =1.Así,sif es causal, podemos escribir f(t )= Z δ t (t)f(t) dt = δ (t t )f(t) dt = δ (t t)f(t) dt =(f δ )(t ) loqueseconocecomopropiedad de replicación odecribado. La función de transferencia. Un circuito LRC o un muelle son ejemplos típicos de lo que en ingeniería se suele llamar un sistema. Si tenemos el circuito en reposo, continuará así salvo que le proporcionemos un estímulo externo, una fuerza electromotriz. Ante este estímulo el circuito responde con una corriente eléctrica. Análogamente, un muelle en reposo continuará así salvo que apliquemos un estímulo externo, que será una fuerza mecánica en este caso, a la que el muelle contestará moviéndose. En general, un sistema es un dispositivo que produce respuestas de salida y(t) a estímulos de entrada u(t). Tanto el circuito como el muelle son sistemas regidos por una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes ay (t)+by (t)+cy(t) =u(t) donde u(t) es el estímulo de entrada e y(t) es la respuesta de salida a dicho estímulo. En esta ecuación, el miembro izquierdo ay (t)+by (t)+cy(t) es, digamos, lo intrínseco al sistema, lo que hace que el sistema responda de una determinada manera ante el estímulo externo u(t). Se dice que un sistema es invariante en el tiempo cuando estímulos iguales, pero aplicados con una diferencia en el tiempo, producen respuestas iguales pero con la misma separación en el tiempo. Se dice que un sistema es lineal cuando la respuesta a la suma de dos estímulos es la suma de las respuestas a cada uno de ellos; esto se conoce como principio de superposición. Cuando el estímulo se produce en un instante dado, que se toma como t =, al no tener en cuenta lo que ocurre antes de ese instante, podemos poner u(t) =si t< ysediceu(t) que es una función causal. Se dice que el sistema es causal si la respuesta de salida a una función causal, es también una función causal o, en otras palabras, si la respuesta de salida y(t) en un

13 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 21/11 13 instante t depende sólo de los valores del estímulo u(τ) con τ t, o sea en ese instante y en instantes anteriores. Los sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales lineales de segundo (o mayor) orden con coeficientes constantes y condiciones iniciales dadas en t =son ejemplos de sistemas lineales, causales e invariantes en el tiempo. Dado un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo, se define su función de transferencia como el cociente entre las transformadas de Laplace de la repuesta de salida y el estímulo de entrada G(s) = L{y(t)} L{u(t)} = Y (s) U(s). Las propiedades de linealidad e invariancia en el tiempo permiten probar que esta función sólo depende de los componentes intrínsecos del sistema, no de la entrada que se tome; es decir, si y 1 (t) e y 2 (t) son las respuestas de salida a sendos estímulos u 1 (t) y u 2 (t) entonces Y 1 (s) U 1 (s) = Y 2(s) U 2 (s) = G(s). Esto se ve fácilmente en el caso de un sistema gobernado por la ecuación diferencial ay (t)+by (t)+cy(t) =u(t) que parte del reposo, es decir, con y() = y () =. Al aplicar la transformación de Laplace tenemos que U(s) Y (s) = as 2 + bs + c o, en otros términos, su función de transferencia es 1 G(s) = as 2 + bs + c = Y (s) U(s). Vemos que, efectivamente, la función de transferencia sólo depende de los componentes intrínsecos del sistema (a = L, b = R y c =1/C en el caso de un circuito). Esto es así en muchos casos de interés y el conocimiento de la función de transferencia permite analizar completamente el sistema; yendo más lejos, se pueden diseñar sistemas con propiedades específicas, por ejemplo, un filtro de baja frecuencia o un amplificador, encontrando una función de transferencia adecuada. Si en la relación Y (s) =G(s)U(s) tomamos como estímulo de entrada la función delta de Dirac δ (t), entonces la transformada de Laplace de la respuesta del sistema será Y (s) =G(s), la función de transferencia, y su transformada inversa g(t) =L 1 {G(s)} se llama respuesta al impulso unidad o función de transferencia en el dominio del tiempo. Si, en cambio, tomamos como estímulo de entrada la función de Heaviside h (t), entonces la transformada de Laplace de la respuesta del sistema será Y (s) =s 1 G(s) y su transformada inversa ½ ¾ G(s) a(t) =L 1 s

14 14 Lección 3. Transformación de Laplace se llama admitancia. Puesto que L{a(t)} = G(S), se tiene que la respuesta al impulso unidad s es la derivada de la admitancia: g(t) =a (t). Volviendo a la relación Y (s) =G(s)U(s) para un estímulo de entrada general u(t), si conocemos la respuesta al impulso unidad g(t), entoncessetieneque y(t) =L 1 {G(s)U(s)} =(g u)(t) = u(t τ)g(τ) dτ = g(t τ)u(τ) dτ, o sea, la respuesta de salida es la convolución de la respuesta al impulso unidad con el estímulo de entrada. Esta igualdad se conoce como primera fórmula de Duhamel y puede interpretarse de la manera siguiente: Aproximamos el estímulo u(t) como una suma de estímulos impulsivos u(τ k ) de corta duración τ k ocurridos en instantes anteriores τ k, u(t) X k u(τ k )δ(t τ k ) τ k. Ahora aplicamos el principio de superposición, usando que g(t τ k ) es la respuesta del sistema al impulso unidad δ(t τ k ), para obtener y(t) X k g(t τ k )u(τ k ) τ k quenoesmásqueunasumaderiemanndelaintegral y(t) = u(t τ)g(τ) dτ = g(t τ)u(τ) dτ X k g(t τ k )u(τ k ) τ k. Si en vez de la respuesta al impulso, lo que conocemos es la admitancia a(t), entoncessetiene que Y (s) =sl{a(t)}l{u(t)} = sl{a u}, luego y(t) = d dt (a u)(t) = d u(t τ)a(τ) dτ = a(t)u() + u (t τ)a(τ) dτ dt queseconocecomosegunda fórmula de Duhamel. De nuevo vemos que el conocimiento de g(t) odea(t) caracterizan el sistema. Podemos usar la noción de función de transferencia para describir la estabilidad de un sistema. Si escribimos la ecuación diferencial que gobierna un sistema y (t)+py (t)+qy(t) = como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales y 1 (t) 1 y2(t) = q p y1 (t) y 2 (t), los autovalores de la matriz de los coeficientes son las raíces de la ecuación λ 1 q p λ = λ2 + pλ + q =

15 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 21/11 15 que coincide con la ecuación auxiliar de y (t) +py (t) +qy(t) =y también con el denominador de la función de transferencia G(s) =(s 2 + ps + q) 1. Los ceros de este denominador se llaman polos de la función de transferencia por lo que el teorema de estabilidad de los sistemas de ecuaciones lineales que vimos en la lección anterior se puede reformular, en este caso particular, de la siguiente manera. Teorema de estabilidad. (1) La solución nula de una ecuación lineal de coeficientes constantes es asintóticamente estable si, y sólo si, todos los polos de la función de transferencia tienen parte real estrictamente negativa. (2) La solución nula de una ecuación lineal de coeficientes constantes es inestable si alguno de los polos de la función de transferencia tienen parte real estrictamente positiva. Aunque el enunciado de este teorema sólo menciona la estabilidad de la solución de equilibrio, en el caso lineal puede comprobarse que todas las soluciones tienen el mismo tipo de estabilidad que la solución nula. 5 Ejercicios. Ejercicio 1. Cuál es la transformada de Laplace de la función que a cada número real le asigna su parte entera? Ejercicio 2. Prueba la propiedad de homotecia en el tiempo de la transformada de Laplace: Si F (s) =L{f(t)} y α>, entonces L{f(αt)} = F (s/α). α Ejercicio 3. Comprueba que las siguientes funciones f tienen la transformada de Laplace F que se indica (h es la función de salto.) 1. f(t) =(t 2) 3 h (t 2) F (s) = 6e 2s s f(t) =h (t 2π)sen (t) F (s) = e 2πs s f(t) =tsen (at) F (s) =2as(s 2 + a 2 ) f(t) =e t cos(2t)+3e t sen (2t) F (s) = s +7 s 2 +2s +5. Ejercicio 4. Las siguientes funciones f se definen sobre un intervalo y se extienden periódicamente. Dibújalas y halla sus transformadas de Laplace. 1. La función rectangular de período T ½ k, f(t) = k, si <t<t/2; si T/2 <t<t.

16 16 Lección 3. Transformación de Laplace 2. La función de onda dentada f(t) =t/t para <t<t. 3. La función de onda triangular ½ t/t, si <t<t; f(t) = (2T t)/t, si T<t<2T. 4. La función de onda sinusoidal rectificada f(t) =sen(πt/t) si <t<t. 5. La función de onda sinusoidal semi-rectificada ½ sen(πt/t), si <t<t; f(t) =, si T<t<2T. Ejercicio 5. Comprueba que las siguientes funciones F (s) tienen la transformada inversa de Laplace f(t) queseindica. (1) (3) F (s) f(t) F (s) f(t) 1 s t4 3s +5 (2) 5 24 s cos(2t)+5 sen (2t) 2 1 s 2 + s t sen (t) (4) 1 4 (s +2) 2 te 2t (5) e 2s /s h (t 2) (6) e 2s 3 s 3(t 2)h (t 2) 2 (7) e 4s 3 s 2 s 3e2(t 4) h (t 4) (8) s 2 +4s +5 e 2t (cos(t) 2sen (t)) a (9) s(s a) 2 eat 1 (1) (s +1)(s 2 +1) (e t +sen(t) cos(t)). Ejercicio 6. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial usando el método de la transformación de Laplace. 1. y + y = t con y() = 1 e y () = y 3y +2y =4t 6 con y() = 1 e y () = y 6y +9y = t 2 e 3t con y() = 2 e y () = y +2y +2y = e t sen (t) con y() = 1 e y () = y y 2y =4t 2 con y() = 1 e y () = 4. Ejercicio 7. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial con término independiente continuo a trozos ½ t, si <t<1; 1. y + y =, en otro caso, con y() =.

17 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 21/11 17 ½ 8π 4t, si <t<2π; 2. y +4y =, en otro caso, ½ cos(4t), si <t<π; 3. y +16y =, en otro caso, con y() = 2,y () =. con y() =,y () = 1. ½, 4. y +3y +2y = e 3t, si <t<2; en otro caso, con y() = 2,y () = 3. ½ 1, si <t<1; 5. y +3y +2y =, en otro caso, con y() =,y () =. Ejercicio 8. Usando la transformación de Laplace, resuelve el problema de valores iniciales para un circuito LRC en los siguientes casos. Li (t)+ri(t)+ 1 C i(τ) dτ = e(t) con i() = i 1. e(t) =e constante. 2. e(t) =e cos(ω e t) con ω e 6=. 3. e(t) es un pulso de e voltios durante t segundos. Ejercicio 9. Aplica la transformación de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones íntegrodiferenciales. 1. f(τ) t τ dτ =1. 2. y(t) =t 2 + R t sen (t τ)y(τ) dτ. 3. y (t)+ R t e2(t τ) y (τ) dτ = e 2t con y() = y () =. 4. y(t) =3t 2 e t R t y(τ)et τ dτ. Ejercicio 1. Determina las funciones de transferencia y las respuestas al impulso unidad de lossistemasgobernadosporlassiguientesecuacionesdiferenciales 1. y +5y +6y = u(t). 2. Ri (t)+ 1 R t i(τ) dτ = e(t). C 3. y +2y +5y =3u +2u con u() =. 4. y +5y +17y +13y = u +5u +6u con u() = u () =.

18 18 Lección 3. Transformación de Laplace Ejercicio 11. La admitancia de un sistema es a(t) =1 7 3 e t e 2t 1 6 e 4t. Determina su función de transferencia. Ejerciciosycuestionesdeexámenesdecursosanteriores. Ejercicio 12. Enuncia y demuestra la propiedad de la transformada de Laplace de una integral y úsala para calcular la transformada de Laplace de la función definida para t por f(t) = τ 2 e τ dτ. Ejercicio 13. Halla la transformada de Laplace inversa de F (s) = Ejercicio 14. Resuelve el problema de valor inicial 1 2s s(s 2 +1). ½ 1 t y + y = 2, si <t<1;, en otro caso, con y() = 1. Ejercicio 15. Resuelve el problema de valor inicial y + y 2y = f(t) con y() = e y () =, siendo f(t) la función cuya gráfica se representa en la siguiente figura 1 f () t 1 t Ejercicio 16. (1) Resuelve el problema de valor inicial f (t)+tan(t)f(t) = 1 cos(t) con f() =. (2) Resuelve, usando la transformación de Laplace, el problema de valor inicial ½ f(t), si <t<2π; y (t)+y(t) =, en otro caso, con y() = 1 e y () =. siendo f(t) la solución del apartado anterior. Escribe el valor y(8) con tres cifras decimales. Ejercicio 17. Resuelve la ecuación integral e t = y(t)+2 cos(t τ)y(τ) dτ.

19 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 21/11 19 Ejercicio 18. La función de Bessel de primer orden J 1 (t) es la solución del problema de valor inicial t 2 y + ty +(t 2 1)y = con y() = e y () = 1/2. Calcula la transformada de Laplace de J 1 (t). Ejercicio 19. Resuelve el problema de valor inicial y + y = δ + δ 3 con y() = 1, siendo δ la función delta de Dirac. Escribe y(4) con dos cifras decimales. Ejercicio 2. Resuelve el problema de valor inicial y + y = δ (t)+δ (t π) con y() = 1 e y () = ydibujalagráfica de su solución en el intervalo t 2π. 6 Bibliografía. Para desarrollar esta lección pueden consultarse los siguientes textos, en especial el de Simmons y el de James (que incluye algunas aplicaciones a la ingeniería). [517,9/2-BRA] M. Braun, Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, Capítulo2. [517.9/3-EDW] C.H. Edwards y D.E. Penney, Ecuaciones diferenciales elementales, Capítulo 4. [51:62/ADV] G. James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Capítulo9. [517.9/2-SIM] G.F. Simmons, Ecuaciones diferenciales, Capítulo2.