2.2 Normas matriciales

Transcripción

1 P Castillo Capítulo Normas matriciales En el caso de las matrices cuadradas de orden n la estructura algebraica es mucho más rica que la de un espacio vectorial K n ; además de tener operaciones que definen un espacio vectorial, se tiene una operación de producto entre matrices, (la multiplicación usual de matrices) A continuación presentamos la definición de norma para matrices Esta requiere una condición extra, la cual relaciona la norma del producto de dos matrices con el productode las normas Definición 221 Diremos que la función : K n n lr + define una norma matricial en K n n si y sólo si satisface las siguientes propiedades: Positiva: A = 0 A = 0 Homogeneidad: α K, x E, αa = α A Desigualdad triangular: A, B K n n, A + B A + B Consistencia: A, B K n n, AB A B A continuación daremos un ejemplo que nos permite obtener normas matriciales a partir de normas vectoriales en el espacio K n Ejemplo 222 Sea una norma en el espacio K n, la función definida por : K n n lr + A max Ax x B (0,1) (221) es una norma matricial en K n n Diremos que la norma matricial es inducida por la norma vectorial Demostración Note que por la compacidad en K n de la bola cerrada unitaria y la continuidad de la función x Ax se tiene que la función está bien definida, es decir, A < Ahora probaremos que la función satisface todas las propiedades de norma matricial: 1 Si A = 0, entonces por definición de se tiene para todo x B (0,1), Ax = 0 Sea u K \ {0}; note que u u B (0,1), luego A( u u ) = 0, por lo que para todo u Kn, Au = 0 y por lo tanto A = 0 2 Para todo x B (0,1) y para todo α K, se tiene (αa)(x) = α Ax Luego αa = max (αa)x = α max Ax = α A x B (0,1) x B (0,1) 3 Sean A y B dos matrices de K n n, entonces para todo x B (0,1) tenemos (A + B)(x) Ax + Bx A + B Luego A + B = max x B (0,1) (A + B)(x) A + B

2 P Castillo Capítulo Para probar la propiedad de consistencia observe que para todo x K n Ax A x Sean A y B dos matrices de K n n, entonces para todo x B (0,1) tenemos luego AB A B ABx A Bx A B x Observe que toda norma matricial inducida por una norma vectorial satisface I n = 1 Algunos ejemplos concretos de normas matriciales inducidas por normas vectoriales: n Para la norma vectorial, se tiene A = max a ij i=1, n n Para la norma vectorial 1, se tiene A 1 = max a ij j=1, n i=1 Para la norma vectorial 2, se tiene A 2 = ρ(a A) = ρ(aa ) En la sección 24 se dará la definición formal de A, por ahora se puede considerar como la matriz transpuesta compleja Ejemplo 223 La función definida por: j=1 F : K n n lr + A a ij 2 (222) i,j define una norma matricial que no es inducida por una norma vectorial Esta norma recibe el nombre de norma de Frobenius Problema 224 Sea una norma matricial en K n n y A una matriz de orden n n tal que A < 1, entonces la serie A k converge Solución: Como el espacio normado K n n es completo para la norma matricial (estamos en un espacio de dimensión finita luego todas las normas son equivalentes) Es suficiente con probar que la sucesión S n = n A k es de Cauchy Para ello considere la sucesión de números reales

3 P Castillo Capítulo 2 15 s n = n A k Como A < 1, la sucesión (s n ) converge en lr y por lo tanto es de Cauchy, luego para todo > 0 existe N S n S m = ln tal que n m N entonces s n s m < Note que n k=m+1 n k=m+1 n k=m+1 s n s m, A k A k, por la desigualdad triangular A k, por la propiedad de consistencia luego la sucesión S n es de Cauchy por lo tanto converge El límite puede ser obtenido de la siguiente manera Sea L la matriz límite de la sucesión S n Observe que para todo k se tiene luego en conclusión L = (I A) 1 23 Valores propios (I A)S k = S k (I A) = I n A k+1, (I A)L = L(I A) = I lim k A k+1 = I, Lema 231 Sea A una matriz cuadrada; entonces se tiene ρ(a) < 1 lim k A k = 0 Demostración Como todas las normas matriciales son equivalentes, sea una norma matricial inducida por la norma vectorial lim k Ak = 0 = ρ(a) < 1 Sea λ un auto-valor de A y x Cl n, x = 0 un auto-vector asociado a λ, luego A k x = λ k x, por lo que λ k x = A k x, λ k x = A k x, luego de acuerdo a nuestra hipótesis tenemos λ k x A k x, λ k A k, por lo tanto λ < 1 lim k λk = 0,

4 P Castillo Capítulo 2 16 ρ(a) < 1 = lim k A k = 0 Para ello utilizaremos la descomposición canónica de Jordan, Teorema 138 Luego existe una matriz S no singular y una matriz de Jordan J tales que J k1 (λ 1 ) 0 0 A = S 0 J k1 (λ 1 ) 0 S 1 = SJS 1, k k p = n 0 0 J kp (λ p ) y por lo tanto se tiene S 1 AS n = S 1 A n S = Jk n 1 (λ 1 ) Jk n 1 (λ 1 ) Jk n p (λ p ) Podemos asumir, sin pérdida de generalidad, que λ 1 es el valor propio más grande en valor absoluto y que es único Probaremos que Jk n 1 (λ 1 ) 0 Note que el bloque de Jordan, J k1 (λ 1 ), se puede descomponer de la siguiente manera: J k1 (λ 1 ) = λ 1 I k1 + N k1, donde la matriz N k1 es de la forma: N k1 = Observe que N k 1 k 1 = 0 y por lo tanto para todo n k 1 se tiene N n k 1 = 0 Por lo que para todo n k 1 tenemos J n k 1 (λ 1 ) = (λ 1 I k1 + N k1 ) n, = = n Cn k (λ 1I k1 ) n k Nk k 1, k 1 1 C k n (λ 1I k1 ) n k N k k 1, por lo que J n k 1 (λ 1 ) k 1 1 como ρ (A) < 1, λ < 1 por lo que J n k 1 (λ 1 ) 0 C k n λ 1 n k N k1 k

5 P Castillo Capítulo Estimados de error para sistemas lineales En esta sección consideramos el problema de resolver numéricamente el sistema lineal de la forma Ax = b, donde A es una matriz cuadrada de orden n n Nos interesamos en particular en estudiar cuantitativamente el efecto de introducir pequeñas perturbaciones en la data ya sea en el vector b o en los coeficientes de la matriz A Definición 241 Sea una norma matricial inducida por la norma y A una matriz no singular de orden n n; llamaremos condicionamiento de A, con respecto a la norma matricial al número real definido por κ(a) = A 1 A (241) Teorema 242 Sea A una matriz no singular de orden n n; b K n, b = 0; y sea x + δx la solución del sistema perturbado: A(x + δx) = b + δb Sea una norma matricial inducida por la norma entonces δx x δb κ(a) b (242) Demostración Como una norma matricial inducida por la norma tenemos las siguientes desigualdades: Ax = b = b A x δx = A 1 δb = δx A 1 δb como b = 0, combinando las desigualdades anteriores obtenemos el resultado Una forma de ver si el cálculo de la solución es correcta es substituir la aproximación obtenida, ˆx, en la ecuación original y calcular el residuo : r = b Aˆx Si r = 0 entonces ˆx es la solución exacta, si r es pequeño entonces esperamos que ˆx este cerca de la solución exacta x A continuación presentamos un estimado de error en términos del residuo Este es un estimado a posteriori Teorema 243 Sea A una matriz no singular de orden n n; b K n, b = 0, y sea x + δx la solución del sistema perturbado: A(x + δx) = b + δb Sea una norma matricial inducida por la norma entonces Demostración Note que δx x r κ(a) b (243) y como δx A 1 r A 1 r b A x, combinando otra vez estas desigualdades obtenemos el resultado Ahora nos concentramos en perturbaciones en los coeficientes de la matriz A Primero presentaremos algunos resultados básicos que nos ayudarán en el desarrollo de los estimados de error

6 P Castillo Capítulo 2 18 Lema 244 Sea una norma matricial inducida por la norma y H una matriz de orden n n tal que H < 1, entonces tenemos los siguientes resultados: 1 La matriz I n H es no singular 2 (I n H) 1 (1 H ) 1 3 I n (I n H) 1 H (1 H ) 1 Demostración 1 Si I n H es singular entonces existe x K n, x = 0 tal que (I n H)x = 0, lo cual es equivalente a tener Hx = x por lo que 1 es un valor propio de H Note que podemos asumir que x es unitario Como la norma es inducida por la norma, entonces para todo x S (0,1) se tiene H Hx = x = 1, lo cual es contradictorio 2 En primer lugar note que la sucesión S n = n la solución del Problema 224) Luego se tiene (I n H) 1 H k es convergente y lim n S n = (I n H) 1 (ver H k, como I n = 1 por ser norma matricial inducida y como H k H k por la propiedad de consistencia entonces (I n H) 1 H k (1 H ) 1 3 Note que (I n H) 1 I n = H(I n H) 1, luego por la propiedad de consistencia se tiene I n (I n H) 1 H (I n H) 1 La cota superior se obtiene utilizando el resultado del inciso anterior Lema 245 Sea una norma matricial inducida por la norma ; A una matriz de orden n n no singular y E una matriz de orden n n tal que A 1 E < 1, entonces la matriz A + E es no singular y su inversa se puede escribir de la siguiente forma: (A + E) 1 = (I n + F ) A 1, donde F A 1 E 1 A 1 E 1 Demostración Como A es no singular entonces podemos escribir A+E = A I n + A 1 E Sea H = A 1 E, H = A 1 E < 1 y por el Lema 244 se tiene que la matriz I n H = I n + A 1 E es no singular, por lo que A + E es también no singular y se tiene (A + E) 1 = I n + A 1 E 1 A 1 De la ecuación anterior, haga F = I n + A 1 E 1 In, es claro que (A + E) 1 = (I n + F ) A 1 Podemos aplicar el Lema 244, inciso 3, con H = A 1 E, luego F A 1 E 1 A 1 E 1

7 P Castillo Capítulo 2 19 Observe que del Lema 245 podemos estimar el error relativo del cálculo de la inversa de la matriz, A 1, si consideramos (A + E) 1 como una aproximación de A 1, entonces de acuerdo al lema, si A 1 E < 1 tenemos (A + E) 1 A 1 = F A 1, luego, por la propiedad de consistencia, (A + E) 1 A 1 F A 1 A 1 A 1 E 1 A 1 E 1, de donde (A + E) 1 A 1 A 1 A 1 E 1 A 1 E Lema 246 Sea una norma matricial inducida por la norma ; A una matriz de orden n n no singular y E una matriz de orden n n tal que A 1 E < 1, entonces la matriz A + E es no singular y la inversa se puede escribir de la siguiente forma: (A + E) 1 = (I n + F ) A 1, donde F κ(a) E A 1 κ(a) E A Demostración Análoga a la demostración del Lema 245 Teorema 247 Sea A una matriz no singular de orden n n; b K n, b = 0, y sea x + δx la solución del sistema perturbado: (A + δa)(x + δx) = b Sea una norma matricial inducida por la norma 1 Si A 1 δa < 1, entonces 2 Si A 1 δa < 1, entonces δx x A 1 δa 1 A 1 δa (244) δa A δx x κ(a) 1 κ(a) δa (245) Demostración Probaremos únicamente el primer inciso, el segundo inciso se prueba de manera análoga De acuerdo al Lema 245, con E = δa, sabemos que la matriz A + δa es no singular y (A + δa) 1 = (I + F ) A 1 luego A x + δx = (A + δa) 1 b, = (I + F ) A 1 b, = (I + F ) x,

8 P Castillo Capítulo 2 20 luego por lo que δx x δx = F x F A 1 δa 1 A 1 δa