Ecuaciones de Cauchy-Riemann

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Carolina Chávez Villanueva
hace 7 años
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1 Ecuaciones Ecuaciones MA3002

2 Ecuaciones La manera como se finió la rivada una función compleja ja algunas dudas; mientras que las funciones muy sencillas como los polinomios y los cocientes polinomios se rivan muy fácilmente, funciones un poco más complicadas requieren acercarse por todas las direcciones posibles. Mientras que esto bueno mostrar que una función no es rivable en un punto (basta encontrar dos direcciones en las cuales los ĺımites sean diferentes), ver que sí es rivable acercandose por todas las direcciones posibles es imposible verificar! En esta sección se verán condiciones muy operativas ver en qué puntos es rivable una función variable compleja. Estas condiciones son conocidas como las ecuaciones.

3 Ecuaciones Ecuaciones Supongase que f (z) = u(x, y) + v(x, y) i es rivable en el punto z o = x o + y o i. Entonces existen las primeras rivadas parciales las funciones u(x, y) y v(x, y) en el punto (x o, y o ) y estas ben cumplir las ecuaciones : = v y = v

4 Ecuaciones Como f (z o ) existe, entonces existe el ĺımite f f (z o + z) f (z o ) (z o ) = lim z 0 z es cir, si tomamos z = x + y i, be existir el ĺımite f u(x o + x, y o + y) + v(x o + x, y o + y) i u(x o, y o ) v(x o, y o ) i (z o ) = lim z 0 x + y i Puesto que esto es válido cualquier dirección, be valer en particular en la dirección horizontal; es cir, cuando z = x; con esto la fórmula anterior queda: f u(x o + x, y o ) u(x o, y o ) (z o ) = lim x 0 x v(x o + x, y o ) v(x o, y o ) + i lim x 0 x La existencia l ĺımite implica la existencia los ĺımites: (x o, y o ) u(x o + x, y o ) u(x o, y o ) = lim x 0 x y v(xo, yo ) v(x o + x, y o ) v(x o, y o ) = lim x 0 x Es cir, las rivadas parciales u(x, y) y v(x, y) en (x o, y o ) respecto a x ben existir.

5 Ecuaciones Resumiendo, la rivabilidad f (z) en z = z o indica que existen (x o, y o ) y v(x o, y o ) y que f (z o ) = (x o, y o ) + v(x o, y o ) i Por otro lado, el resultado be ser obtenido por cualquier otra dirección; en particular la dirección vertical. Es cir, cuando z = y i: lo cual nos da: es cir, f u(x o, y o + y) u(x o, y o ) (z o ) = lim y 0 y i v(x o, y o + y) v(x o, y o ) + i lim y 0 y i f v(x o, y o + y) v(x o, y o ) u(x o, y o + y) u(x o, y o ) (z o ) = lim i lim y 0 y y 0 y

6 Ecuaciones La existencia l anterior ĺımite implica la existencia los ĺımites: v(x o, y o ) v(x o, y o + y) v(x o, y o ) = lim y 0 y y (xo, yo ) u(x o, y o + y) u(x o, y o ) = lim y 0 y Es cir, las rivadas parciales u(x, y) y v(x, y) en (x o, y o ) respecto a y ben existir y que y que f (z o ) = v(xo,yo) = (xo,yo) (xo,yo) + v(xo,yo) Por tanto, igualando partes real e imaginaria, tenemos que también se be cumplir: i i (x o, y o ) = v(x o, y o ) y (x o, y o ) = v(x o, y o )

7 Ecuaciones Lo que se mostró fue que si p:f (z o ) existe entonces q:u(x, y) y v(x, y) tienen rivadas parciales parciales en el punto (x o, y o ) y que cumplen las condiciones. La contrapositiva esta afirmación, que es equivalente a ella, dice que si q no se cumple, ya sea porque las parciales no se cumplan o porque no cumplan las ecuaciones, entonces f (z) no existe en z = z o. Es cir, que el cumplimiento las ecuaciones son un requisito que f (z o ) exista. Sin embargo, se muestra matemáticamente, que las ecuaciones se cumplan no es suficiente que f (z o ) exista. Como un resultado adicional se muestra que si las rivadas parciales u(x, y) y v(x, y) son continuas en (x o, y o ) entonces las ecuaciones son una condición necesaria y suficiente que f (z o ) exista.

8 Ecuaciones Vea si la siguiente función satisface las ecuaciones : f (z) = f (x + y i) = (x + y + 4 x y) + ( 2 x 2 + y + 2 y 2 ) i Aquí: u(x, y) = x + y + 4 x y y v(x, y) = 2 x 2 + y + 2 y 2 Y por tanto = y = 4 x = x v = y Así las ecuaciones Cauchy quedan: v + v = (1 + 4 y) (1 + 4 y) = 0 = (1 + 4 x) + ( 4 x) = 1 0 Por tanto, la primera las ecuaciones se satisface siempre y la segunda no se satisface pera ningún valor porsible x y y. La función no es rivable en ningún punto.

9 Ecuaciones Para hacer este problema en la TI primeramente limpiaremos las variables con las que trabajaremos; y finiremos la parte real y la imaginaria la función f (z):

10 Ecuaciones Determine dón la función satisface las ecuaciones : f (z) = f (x +y i) = (3 y 2 x y +2 y 2 )+( 3 x +x 2 4 x y y 2 ) i Así las ecuaciones Cauchy quedan: v + v = ( 2 y) ( 2 y 4 x) = 4 x = (4 y 2 x + 3) + (4 y 2 x + 3) = 0 Por tanto, ambas ecuaciones se cumplan se requiere sólo que 4 x = 0 es cir que x = 0: la función sólo es rivable en el eje imaginario.

11 Ecuaciones Para hacer este problema en la TI teniendo limpias las variables con las que trabajaremos sólo resta finir la parte real y la imaginaria la función f (z) y revisar las ecuaciones:

12 Ecuaciones Determine dón la función satisface las ecuaciones : f (z) = f (x + y i) = (x 3 + y 2 ) + (1 + 2 x y 2 x 3 ) i Así las ecuaciones Cauchy quedan: v + v = (3 x 2 ) (3) = (2 y) + (4 x 6 x 2 ) Por tanto, que ambas expresiones n cero se requiere resolver el sistema correspondiente. Su solución consiste sólo dos puntos (x = 1, y = 5) y (x = 1, y = 1). Resumiendo, la función anterior sólo es rivable en los puntos z 1 = i y en z 2 = 1 + i.

13 Ecuaciones Para hacer este problema en la TI teniendo limpias las variables con las que trabajaremos sólo resta finir la parte real y la imaginaria la función f (z); y resolver las ecuaciones que condicionan el cumplimiento las ecuaciones Cauchy.

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