UNIVERSIDAD DE ATACAMA

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1 UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGEBRA II Guía de Matrices y Determinantes Primer año Plan Común de Ingeniería Segundo Semestre Hallar una matriz B que cumpla con 2B T 3A T = DC donde: ( D = C = ( Sean j 2 si i < j a ij = 0 si i = j i 2 si i > j y b ij = 3i 2 2j a Determine la matriz (a ij 3x3 b Determine la matriz (b ij 2x3 c Si D = (a ij 4x4 y E = (b ij 4x4. Determine la matriz C = D + E 3. Encuentre los valores de p, q y r para que se cumpla la condición B, donde: ( ( p 3 2q 5 7 q 3 y 3 r 3 3r 8 4. Considere las siguientes matrices ( 1 3 ( i ( 2i 1 + i C = 3 i D = ( E = ( 5 3 F = ( 2 6 Encuentre, si es posible, la matriz resultante de: i AB ii BC iii B T CB iv EF v CD vi C(AB vii A 3 viii F F T ix D T (AC x (A + CB xi AB + CB xi 3A EF 5. Sean (a ij mxn, (b ij mxn y α R. Pruebe que: ALGEBRA II: Guía de Matrices y Determinantes 1

2 a tr(α αtr(a b tr(a ± tr(a ± tr(b c tr(αa ± αtr(a ± tr(b 6. (Desafío Encuentre dos matrices reales A y B de 2x2 ambas distintas de la matriz nula que cumplan con: A 2 + B 2 = 0 7. Encuentre una expresión general para la matriz A n sabiendo que: ( r 1 donde r R 0 r 8. Si (a ij pxp es simétrica. Pruebe que A 2 es también simétrica 9. Sea (a ij 8x5 y (b jk 5x5 donde a ij = i + j 8 y b jk = j k + 6. Considerando la matriz producto C = A (c ik. Encuentre: i a 45 ii 5 a 2j iii b 31 iv j=1 5 b j4 v c 54 vi tr(bb T j=2 10. Encuentre la matriz X que cumple con 2X + A T = A + B 2, donde: ( ( Compruebe que las identidades algebraicas (A + B 2 = A 2 + 2AB + B 2 y (A + B(A A 2 B 2 no se cumplen para las matrices ( ( Modifica el segundo miembro de estas identidades para obtener fórmulas válidas para todas las matrices cuadradas A y B 12. Encuentra la matriz inversa de A, si existe, donde: Encuentra la matriz resultante de: A 2 3A I, donde I es la matriz identidad y ( 2 3 ALGEBRA II: Guía de Matrices y Determinantes 2

3 14. Resuelve la ecuación matricial AX C, siendo: ( ( C = ( Resuelve la ecuación matricial AX X, siendo: ( ( Encuentra la traza de AB donde: Diag(1 3 5 y (a ij, con a i1 = 2 i para i = 1, 2, 3 y a ij = ( 1i+j i + j 1 para i = 1, 2, 3 y j = 2, Encuentra el valor de p y s que cumplen con A T C = B T, donde: ( ( 9 13 C = ( p s 18. Encuentra las matrices A y B que cumplen simultáneamente con: ( ( A 3A Encuentra las matrices X e Y que cumplen simultáneamente con: ( ( X + 3Y = 3X + 2Y = Una empresa elabora tes productos A, B y C, los cuales deben procesarse por tres máquinas I, II y III. Una unidad de A requiere para su elaboración de 3, 1 y 8 horas de la máquina I, II y III respectivamente, mientras que una unidad de B requiere de 2, 5 y 3 horas de la máquina I, II y III respectivamente y por último una unidad de C requiere de 2, 4 y 2 horas de la máquina I, II y III respectivamente. La disponibilidad de horas de la máquina I, II y III son respectivamente de 230, 290 y 460 horas. a Represente matricialmente el problema b Encuentre, de existir, la solución del problema 21. Encuentre el rango de las siguientes matrices: ( ( C = D = ( 0 0 ALGEBRA II: Guía de Matrices y Determinantes 3

4 E = F = Encuentre el rango de la matriz A para diferentes valores de t R, donde: 3 t Pruebe que A + B = A + B si se cumple que x + u = 0, donde: ( ( x y z u 24. Considere las matrices: ( 1 3 B = ( 1 3 B 2 = ( 0 0,5 B 3 = ( 2 1 a Calcule e interprete la matriz resultante de B 1 B 2 B 3 A b Pruebe que B 1 B 2 B 3 = A Calcule el determinante de A, donde: Encuentre el valor de a que permite que A = 0, donde: 2 a 5 4 a a Pruebe que: 1 + a b = ab ALGEBRA II: Guía de Matrices y Determinantes 4

5 28. Aplicando propiedades de los determinantes encuentre, en función de a, el valor de A, donde: a + 1 a + 2 a Las siguientes matrices corresponden a la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones: ( h 0 0 C = D = ( h E = g h k a Resuelva el sistema considerando las matrices ampliadas A y B b Encuentre las condiciones para h, g y k, según corresponda, para que el sistema correspondientes a las matrices ampliadas C, D y E sea consistente 30. Determinar el (o los valor(es de a para que el sistema AX = b: no tenga solución, tenga única solución y tenga infinitas soluciones, donde: a 1 a 1 a b = 1 a a 2 X = 31. Determinar el (o los valor(es de a para que los siguientes sistemas: no tengan solución, tengan única solución y tengan infinitas soluciones: x y z x + hy = 1 hx + y = 1 2x + 3y = 5 4x + hy = 10 x + 2y 3z = 4 3x y + 5z = 2 4x + y + (a 2 14z = a Considere la matriz A(n con n N, donde: Determine ( n n 1 A(n = n 2 n(n+1 50 n=1 A(n ALGEBRA II: Guía de Matrices y Determinantes 5