Soluciones a los ejercicios de Programación lineal

Transcripción

1 1. número nº de horas Coste Beneficio Tipo A 8 4 (7/4) Tipo B 5 5 (3/) Total 3 Buscamos los pares de números (,) que maimicen el beneficio sujetos a las restricciones. m15 m1 Restricciones: 8 +5[3 Función objetivo: B(,) = [,cNaturales Solución óptima: =3 sillas tipo A, =16 sillas tipo B.. número de latas nº de g. carne nº de g. harina Beneficio Marca A 1 3 Marca B Total Buscamos los pares de números (,) que maimicen el beneficio sujetos a las restricciones. +14[78 Restricciones: 1 +16[48 Función objetivo: B(,) =3 +4.,cNaturales Solución óptima: =3 latas marca A, =1 latas marca B Total A B Total Buscamos los pares de números (,) que minimicen el coste sujetos a las restricciones. m m 35 m Restricciones: Función objetivo: C(,) = m 4 m 15 ++m Solución óptima: =, = Soluciones a los ejercicios de Programación lineal nº de vigilantes Salario Diurnos Nocturnos 1 6 Buscamos los pares de números (,) que maimicen el salario sujetos a las restricciones. [1]

2 m6 [15 m4 Restricciones: Función objetivo: S(,) = +1. [7 6 m,cnaturales Solución óptima: =6 diurnos, =4 nocturnos. 5. número nº de plazas Coste nº de conductores A(4 plazas) 4 6 B(5 plazas 5 8 Buscamos los pares de números (,) que minimicen el coste sujetos a las restricciones. [8 [1 Restricciones: 4 +5m4 Función objetivo: C(,) = [9,cNaturales Solución óptima: =5 autobuses tipo A, =4 autobuses tipo B. 6. Análisis de los datos ˆ Condiciones Mercancías A B Número de Tm por viaje 1. nº de Tm de mercancías A B deben ser números positivos. nº total de Tm de ambas mercancías no debe sobrepasar 9 Tm 3. nº de Tm de mercancía A debe ser maor o igual a 4 4. nº de Tm de B maor o igual a la mitad de Tm de A ˆ Planteamiento Beneficio (en cientos de miles de PTA.) 3 Debemos determinar los pares (,) tales que verifiquen el conjunto de restricciones siguiente: m, m +[9 m4 m que maimicen las ganancias G(,) =3 + miles de pesetas. ˆ Resolución: =9 = Solución óptima: =6 Tm., =3 Tm. []

3 7. Construamos otro cuadro para reorganizar los datos, suponiendo que de la factoría F1 se distribuen coches a C1 e a C. desde F1 (3) desde F (4) a C1 (3) 3- a C (5) 5- a C3 (15) 3-(+) +-15 A C3 llegarán 3.-(+) coches desde F1; los sobrantes después de enviar a C1 e a C desde F1, donde se fabrican 3.. Si en C1 se necesitan 3. coches desde F1 se han enviado, desde F habrá que enviar los que faltan, 3.-. Análogo razonamiento se hace para C C3. La cantidad de dinero que se necesita para transportar estos vehículos es D = (3--) + 15(3-) + 3(5-) + 1(+-15) = = El objetivo es que esta cantidad sea mínima. Las restricciones son que todas las cantidades de coches transportadas deben ser no negativas. Con esto, el problema puede plantearse como sigue: Minimizar D = m; m 3. m sujeto a: 3. m.5 m + 1.5m La representación gráfica de estas restricciones viene dada en la figura 1. Las rectas de nivel asociadas a la función objetivo toman su valor mínimo en el punto C. Los vértices del polígono de soluciones factibles son: A(, 1.5); B(,.5); C(5,.5); D(3., ); E(1.5, ). El mínimo lo toma la función objetivo en el punto C(5,.5), con un coste de 1'5 millones de pesetas. Por tanto, el número de coches que ha que llevar de las factorías a los centros de venta será: Desde F1 Desde F a C1 5.5 a C.5 5 a C3 1. FIGURA 1.5 B C(5,.5) 1.5 A Rectas de nivel E D [3]

4 8. Sean los litros fabricados de la colonia A e los litros de la colonia B. El 1 % de es '1.; el % de es '.;... Con estas hipótesis se obtiene el siguiente cuadro: Colonia A Colonia B Litros Rosas '1. '3. 1. Alcohol ' Agua '7. '6. Ilimitada Ganancia El objetivo es que el importe de la venta sea máimo, esto es: Maimizar: G = $+ 3$[1 sujeto a: $+ 1$[16 m; m La región factible es la representada en la Figura. La recta de nivel de valor máimo es la que pasa por el punto C(7.6, 8). Los vértices del conjunto de soluciones factibles son A(,); B(, 3333'3); C(76, 8) D(8, ). La función objetivo toma, respectivamente, los valores, 5., Por tanto, el importe de la venta será máimo cuando se fabriquen 7.6 litros de la colonia A 8 litros de la colonia B. FIGURA 35 - B A C D! 8 Solución óptima: =76 litros de A, =8 litros de B. 9. nº elementos Tiempo(min) corte Tiempo(min) ensamblaje Tiempo(min) pulido Beneficio conjuntos de 4 sillas mesas 18 8 (48/7) 6 Total Buscamos los pares de números (,) que maimicen el beneficio sujetos a las restricciones [ [366 Restricciones: Función objetivo: B(,) = [366,cN Solución óptima: =18 conjuntos de 4 sillas, =4 mesas. 1. nº paquetes P Q R Coste Abono A 1 [4]

5 Abono B Buscamos los pares de números (,) que minimicen el coste sujetos a las restricciones. +m8 +m1 Restricciones: Función objetivo: C(,) = m6,cn Solución óptima: =4 paquetes de A, =1 paquete de B. 15(a). nº instrumentos Beneficio Cuerda Viento 5 Buscamos los pares de números (,) que maimicen el beneficio sujetos a las restricciones. m [ Restricciones: [ Función objetivo: B(,) = +5. [3,cN Solución óptima: =3, =. 15(b). Buscamos los pares de números (,) que maimicen el beneficio sujetos a las restricciones. m [ Restricciones: Función objetivo: B(,) = +5. [3,cN Solución óptima: =3, =3. 15(c). Buscamos los pares de números (,) que maimicen el beneficio sujetos a las restricciones. m Restricciones: [ Función objetivo: B(,) = +5.,cN Solución óptima: No ha. 16. (a) Una solución factible en un punto de la región solución del sistema restricciones una solución óptima es una solución factible que además optimiza la función objetivo. (b) f(,) alcanza el valor máimo en el punto C(6,) el mínimo en el punto D(,). (b3) g(,) alcanza el valor máimo en el punto D(,) el mínimo en todos puntos del segmento BC. (b1) La figura de la página siguiente. 15 [5]

6 17. nº de vuelos Consumo Beneficio A 3 B (a) Buscamos los pares de números (,) que maimicen el beneficio sujetos a las restricciones. > [1 [18 Restricciones: Función objetivo: B(, ) = m6 +[,cn Solución óptima: =1 vuelos de A, =8 vuelos de B. (b) [18porque no determina el conjunto de soluciones factibles. (c) Solución óptima: =31 vuelos de A, =9 vuelos de B para minimizar el consumo. 18. ˆ Análisis de los datos Tipos de alfombras Número de alfombras Nº kg de lana azul Nª kg de lana verde Nª kg de lana roja Beneficio (en miles de PTA) A B 3 Nº kg eistencias ˆ Condiciones 1. nº kg de lana azul no debe sobrepasar los 5 kg de eistencias.. nº kg de lana verde no debe sobrepasar los 4 kg de eistencias. 3. nº kg de lana roja no debe sobrepasar los 5 kg de eistencias. 4. El número de alfombras ha de ser un número natural. [6]

7 ˆ Planteamiento Debemos determinar los pares (, ) que verifiquen el conjunto de restricciones siguientes: +[5 +[4 que maimicen la función objetivo beneficio B(,) = +3miles de pesetas. [5,c ˆ Resolución: Solución óptima: =1 alfombras A, = alfombras B. Sobran 5 kg de lana roja. 19. ˆ Análisis de los datos Tipos de alimentos Nº de unidades de alimento Nº de unidades de N1 Nº de unidades de N Nº de unidades de N3 Coste (en PTA) A 1 B 3 4 ˆ Condiciones 1. Al menos 4 unidades de N1 para una persona.. Al menos 6 unidades de N para una persona. 3. Al menos 5 unidades de N3 para una persona. 4. El número de unidades de alimento ha de ser un número real positivo. ˆ Planteamiento Debemos determinar los pares (, ) que verifiquen el conjunto de restricciones siguientes: +m4 +3m6 +m5 m, m que minimicen la función objetivo coste C(, ) = 1 + 4pesetas. ˆ Resolución (Tabla de puntos de cada una de las rectas): =4 = 6 3 = Solución óptima: =3 unidades de A, =1 unidad de B.. TIPO A TIPO B nº paquetes Polvones (kg) 1 Mantecados (kg) 15 1 Beneficio 3 4 [7]

8 Buscamos los pares de números (,) que maimicen el Beneficio sujetos a las restricciones. 1 + [1 Restricciones: [8 Función objetivo: B(,) =3 +4.,cN Solución óptima: =3 paquetes de A, =35 paquetes de B. 1. (b) 3- NO tiene mínimo alcanza el máimo en =5/4, =-3/4. (c)-6+4 No tiene máimo alcanza el mínimo en =5/4, =-3/4.. nº horas trabajo nº coches nº motos Costes Factoría Factoría 5 7 Buscamos los pares de números (,) que minimicen el Coste sujetos a las restricciones. 19 +m3 Restricciones: 5 +5m5 Función objetivo: C(,) =9 +7.,cN (a) Solución óptima: = horas en la factoría 1, = horas en la factoría para obtener un coste mínimo de 14. u.m. (b) No cambia la solución óptima añadiendo la restricción +[5. Resumen teórico Función objetivo: Es la función que ha que maimizar o minimizar. Restricciones: Son cada una de las condiciones que debe cumplir la solución. Región factible: Es el conjunto de todas las soluciones posibles de un problema de programación lineal. En el caso de dos variables, la región factible es una región del plano. Solución óptima: Es la solución (o soluciones) factible que optimiza la función objetivo. Se encuentra siempre en un punto etremo de la región factible. Rectas de nivel asociadas a la función objetivo: Son rectas en las que la función objetivo toma el mismo valor en cualquiera de sus puntos. Las rectas de nivel son paralelas entre sí. De forma general, los problemas de programación lineal pueden definirse como los del cálculo del máimo o mínimo de una función lineal de una o varias variables, cuando éstas están sujetas a una serie de restricciones de carácter lineal. De acuerdo con esto, el objetivo de la programación lineal no es calcular el maor o menor valor de una función, sino el maor o menor valor de esa función que sea compatible con las restricciones que pesan sobre sus variables. De forma esquemática, la formulación general sería: Optimizar: f(,) sujeto a: g 1 (,)m g (,)m... g n (,)m La solución del problema consiste en encontrar los valores de e que optimicen f(,) al mismo tiempo que verifican las restricciones dadas porg 1,g,...,g n. [8]

9 9 Ejercicio (4,5) 4 3 (6,3) Solución óptima (4,) 1 Ganáncia máima G= [9]

10 Ejercicio (1,8) solución óptima 5 B=má B= 15 Ampliado 1 C=mín 5 1 (31,9) Solución óptima C= [1]

11 4 Ejercicio (1,) solución óptima 15 B=má B= [11]

12 Ejercicio 19 Conjunto de Soluciones factibles (1,) (3,1) Solución óptima C= Coste mínimo [1]

13 m m4 (1) Queremos maimizar la función F(,) = + sujeta a las restricciones: + <15,cN m () Queremos maimizar la función F(,) = + sujeta a las restricciones: m4,cn m (3) Queremos minimizar la función F(,) = + sujeta a las restricciones: m4,cn (1)Al resolver el sistema de inecuaciones obtenemos el siguiente conjunto de soluciones factibles: Los puntos (4,4), (5,5), (6,6), (7,7), (8,6), (9,5), (1,4), (11,3), (1,), (13,1), (14,) (4,) constituen los vértices del recinto. Representamos la recta +=. Trazamos rectas paralelas a ella hasta que encontremos la paralela que corta al conjunto de soluciones factibles que tiene un tér mino independiente más grande. Si observamos en la gráfica siguiente, la recta que interesa tiene por ecuaci ón +=14. Dicha recta pasa por los puntos (7,7), (8,6), (9,5), (1,4), (11,3), (1,), (13,1) (14,) del conjunto de soluciones factibles constituen las soluciones óptimas. [13]

14 ()Al resolver el sistema de inecuaciones obtenemos el conjunto de soluciones factibles de la figura (3). Es un conjunto abierto. Representamos la recta += comenzamos a trazar paralelas a dicha recta que corten al conjunto de soluciones factibles. Observamos que ese proceso no tiene fin, es decir, no ha una última paralela de ecuación +=K con k el maor posible. Por lo tanto, no eiste solución óptima. (3)Al resolver el sistema de inecuaciones obtenemos el conjunto de soluciones factibles de la figura (4). Es un conjunto abierto. Representamos la recta += comenzamos a trazar paralelas a dicha recta que corten al conjunto de soluciones factibles. Observamos que la paralela, con un término independiente más pequeño, que corta al conjunto de soluciones factibles es la recta de ecuación +=4 pasa por un único punto C(4,) del conjunto de soluciones factibles. Por lo tanto la solución óptima es = 4, =. [14]

15 [15]

16 [16]