Extremos condicionados. APUNTE: Extremos condicionados Multiplicadores de Lagrange

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1 APUNTE: Etremos condicionados Multiplicadores de Larane UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asinatura: Matemática Carreras: Lic en Administración, Lic en Turismo, Lic en Hotelería Profesor: Prof Mabel Chrestia Semestre: do Año: 15 Etremos condicionados Hemos visto anteriormente cómo hallar los etremos (máimos, mínimos o puntos silla) de una función de varias variables Ahora estudiaremos el modo de encontrar un etremo, pero cuando la función debe cumplir una cierta condición En este caso, diremos que buscaremos los etremos condicionados dejando el nombre de etremos libres para los casos en los que la función no está sujeta a ninuna restricción Veremos cómo proceder mediante un ejemplo Suponamos la siuiente situación: Una empresa desea fabricar un envase de forma rectanular sin tapa para su producto Dicho recipiente debe tener un volumen de 6,5 cm, pero desea que su superficie total sea la mínima posible, a que el material empleado es caro no puede desaprovecharlo Qué medidas debe tener ese recipiente para astar lo menos posible de material en su fabricación? La función que se desea optimizar, en este caso minimizar, es el área del envase rectanular, que viene determinado por la suma de las superficies de sus caras Si es el ancho, es el laro z la altura del envase, entonces la función a minimizar será: S = f (, = z + z + (1) z La restricción es el volumen del recipiente, que debe ser de 6, 5 cm Por lo tanto tendremos que: z = 6,5 o bien (, = z 6,5 () Veamos ahora cómo resolver este problema Despejemos una de las variables de la función de restricción, por ejemplo, la z : 6,5 z = () Apunte Prof Mabel Chrestia Matemática II (Lic en Administración, Turismo Hotelería) UNRN Año 15 1

2 Ahora sustituimos este valor de z en la función a optimizar S, quedando entonces esta función sólo de dos variables, no de tres como era inicialmente: 6,5 6, S = f (, ) = + + S = f (, ) = + + Hallamos las derivadas parciales de esta función, respecto a a : f (, ) = + ; f (, ) = + Iualamos a cero estas derivadas, para hallar los puntos críticos: 15 + = 15 ; = ó = 15 = 5 Como las variables son lonitudes, deben ser positivas Por lo tanto = 5 = 5 De la ecuación () sure que: z =, 5 Entonces el punto crítico es ( ; ) = (5;5) Veamos que este punto crítico es un mínimo Hallamos las derivadas seundas parciales, armamos el Hessiano: f = f ( 5;5) = = ; f = f ( 5;5) = = ; f = f = H ( 5;5) = = 1 Como H >,, f ( 5;5) > entonces, seún el criterio de las seundas derivadas parciales, ha un mínimo en el punto (5 ; 5) Lueo, las medidas que minimizan la superficie del envase son: 5 cm para el ancho el laro,,5 cm para la altura Apunte Prof Mabel Chrestia Matemática II (Lic en Administración, Turismo Hotelería) UNRN Año 15

3 Multiplicadores de Larane En eneral, el método anterior no puede aplicarse cuando tenemos muchas variables, o bien, cuando no puede despejarse una variable de la función de restricción Por eso se utiliza otra manera de resolver este tipo de problemas El método más utilizado es el conocido como Método de los Multiplicadores de Larane Resolvamos el problema anterior mediante este método Para ello debemos definir una nueva función a la que llamaremos, que tiene los mismos parámetros de f más un nuevo parámetro Esta función se define así: Reemplazando por (1) () obtenemos: (, ) = f (, (, () (, ) = z + z + ( z 6,5) Hallamos ahora las derivadas parciales de, las iualamos a cero: z z + z z + z + z + 6,5 (5) (6) (7) (8) De (5) obtenemos que De (6) obtenemos que z( ) = z( ) = z = z = Iualando las dos ecuaciones anteriores obtenemos: = ( ) = ( ) + = + = De (7) obtenemos que + + = ( ) ó = Como es el ancho del envase, no puede ser cero Lueo: = = Apunte Prof Mabel Chrestia Matemática II (Lic en Administración, Turismo Hotelería) UNRN Año 15

4 Como, por (6) z = z = z = De (8) obtenemos que: z = 6, 5 = 6, 5 Por lo tanto: = 5, = 5, z =, 5 6,5 =, 8 Lueo, el único punto crítico de f sujeto a la restricción dada, es (5, 5) En este punto puede eistir un máimo, un mínimo, o ninuno de éstos El método de los multiplicadores de Larane no indica directamente qué es Para averiuarlo realizamos un paso adicional, el cual consiste en construir el denominado Hessiano orlado El Hessiano orlado Es el determinante de la matriz formada por las seundas derivadas parciales de la función (, ), las primeras derivadas parciales de la función restricción (,, de la siuiente forma: H = Este determinante se evalúa en el punto (5 ; 5 ;,5) Si es positivo, sinifica que el punto crítico condicionado es un máimo, si es neativo es un mínimo Para nuestro ejemplo, veremos que H < Calculemos las derivadas parciales seundas de las evaluamos en el punto: = = 1 z = 1,8,5 = 1 = 1 Calculemos las derivadas parciales de las evaluamos en el punto: = z = 5,5 = 1,5 = z = 5,5 = 1,5 Ahora escribimos el Hessiano orlado: 1,5 1,5 H ( 5;5) = 1,5 1 = 1,5 < 1,5 1 Lueo, ha un mínimo en (5 ; 5 ;,5) Apunte Prof Mabel Chrestia Matemática II (Lic en Administración, Turismo Hotelería) UNRN Año 15

5 Generalización del método de los multiplicadores de Larane (con una única restricción) Dada una función f(, ) sujeta a una restricción (, ), se desea encontrar el o los puntos en los cuales f es mínima o máima 1) Definimos una nueva función (llamada función laraneana) de la siuiente manera: (,, ) = f (, ) (, ) donde el parámetro se denomina multiplicador de Larane ) Hallamos las derivadas parciales de las iualamos a cero: z ) Resolvemos el sistema, obteniendo el valor del parámetro Las demás variables, deben quedar escritas en función de este parámetro ) Hallamos los valores de las variables, Es decir, los puntos críticos condicionados 5) Hallamos las derivadas parciales de la restricción (, ) 6) Hallamos las derivadas parciales seundas de la función (,, ) 7) Construimos el Hessiano orlado para clasificar estos puntos obtenidos en máimos o mínimos H = 6) Evaluamos el Hessiano orlado en cada uno de los puntos críticos condicionados (a;b) Entonces: i) Si H < entonces ha un MINIMO en ( a ; b) ii) Si H > entonces ha un MAXIMO en ( a ; b) Apunte Prof Mabel Chrestia Matemática II (Lic en Administración, Turismo Hotelería) UNRN Año 15 5

6 Aplicaciones económicas Veremos a continuación cómo aplicar el método de los Multiplicadores de Larane a un problema en el cual debemos optimizar una función económica, sujeta a una restricción presupuestaria Sea el siuiente problema: El nivel de satisfacción de un consumidor al comprar las cantidades e de dos artículos A B está dado por la epresión U = f (, ) = Si la renta del consumidor es de 1 UM los precios unitarios de los bienes A B son UM 5 UM respectivamente, determinar la combinación de las cantidades e que haan máima la utilidad, que pueda adquirir el consumidor con la renta mencionada Solución: La función a maimizar es la función de utilidad f (, ) = sujeta a la restricción presupuestaria + 5 = 1 Es decir, (, ) = Armamos la función laraneana: (, ) = ( + 5 1) Hallamos las derivadas parciales de esta función, las iualamos a cero: Hallamos los valores de, : = = 5 = = 5 ; = = 1 = 5 Por lo tanto: = 5 : = 1 El punto crítico condicionado es entonces (5 ; 1) Calculamos las derivadas parciales seundas de las evaluamos en este punto: = = 1 Calculamos las derivadas parciales de las evaluamos en el punto: Construimos el Hessiano orlado: H = 5 1 = = = > Por lo tanto, el punto (5 ;1) es un máimo Entonces, con una renta de 1 UM, si el consumidor adquiere 5 unidades del artículo A 1 unidades del B, obtendrá la máima utilidad Apunte Prof Mabel Chrestia Matemática II (Lic en Administración, Turismo Hotelería) UNRN Año 15 6