El ejercicio presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir y desarrollar una de ellas, sin mezclar contenidos. OPCIÓN A

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1 Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 00. Bachillerato de iencias Sociales. El ejercicio presenta dos opciones A y B. El alumno deberá elegir y desarrollar una de ellas sin mezclar contenidos. OPIÓN A. Un número de tres cifras es tal que la suma de las centenas y las unidades con el doble de las decenas es 3 la diferencia entre el doble de las centenas y la suma de las decenas más las unidades es 9 y la media de las centenas y las decenas más el doble de las unidades es 5. a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales para calcular dicho número y resuélvalo por el método de Gauss. (5 puntos) b) Es posible encontrar un número de tres cifras si cambiamos la tercera condición por el triple de las centenas más las decenas es 5? ( punto) a) Sea la cifra de las centenas y la de las decenas z la de las unidades. Se tiene: + z + y = 3 + y + z = 3 + y + z = 3 + y + z = 3 ( y + z) = 9 y z = 9 5y 3z = 37 y + 3z = 7 + y + y + 4z = 30 y + 3z = 7 5y + 3z = 37 + z = 5 E E E3 E E E3 E3 + 5E + y + z = 3 y + 3z = 7 z = 4 y = 5 = 9 8z = 7 luego el número buscado es el 954. b) La tercera ecuación cambia. El nuevo sistema es: + z + y = 3 + y + z = 3 E E y z = E3 3E ( y + z) = 9 y z = 9 5y 3z = 37 3 y 5 3 y 5 + = + = 5y 3z = 44 segunda y tercera ecuaciones) por lo que no podremos resolverlo. y el sistema es incompatible (ver la. a) Derive las siguientes funciones: (5 puntos) f () ln ln ln = g () = ln ln h () = e b) Razone cuál es el dominio de la función f () =. alcule si eisten los máimos y mínimos relativos de f en su dominio. ( puntos) a) ln f '() = ln = ln = ln ln ln g () = ln ln + 3 g '() = = = ( 3 5 ) 3 ( 5 ln + + ) ln ( 3 + 5) 3 ( e e ) h '() = 3e 3e = ln 5 + ln

2 b) Se trata de una función racional. Su dominio está formado por todos los números reales ecepto los que anulen el denominador: ± + 4 ± 5 = 0 = = = D (f ) = { 3} 3 Estudiemos los máimos o mínimos relativos de la función: + f '() = = 0 + = 0 = ( ) ( ) ( ) 4 ( ) (punto crítico) + + f ''() = f '' < 0 4 en el punto la función tiene un máimo relativo En una fiesta en la que hay 85 mujeres y 90 hombres se eligen 4 personas al azar. a) alcule la probabilidad de que ninguna sea hombre. ( punto) b) alcule la probabilidad de que haya eactamente un hombre. ( punto) c) alcule la probabilidad de que haya más de un hombre. ( punto) El problema puede resolverse con ayuda de un diagrama en árbol. Sean los sucesos: M la primera persona es una mujer H la primera persona es un hombre M la segunda persona es una mujer etc. Se tiene: a) p ( M I M I M I M ) p( M ) p( M / M ) p( M / M I M ) p( M / M I M I M ) = = = b) p ( H I M I M I M ) p ( M I H I M I M ) p ( M I M I H I M ) p ( M I M I M I H ) = = = 4 = = c) El suceso haya más de un hombre es el contrario de haya ningún hombre o uno sólo. Por tanto: p( haya más de un hombre) = = 0 709

3 Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 00. Bachillerato de iencias Sociales. OPIÓN B. Una escuela prepara una ecursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 0 autocares de 50 plazas pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 y el de uno pequeño 0. a) uántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la ecursión resulte lo más económica posible? ( puntos) b) Si la empresa dispusiera de 5 conductores más cuál sería el número de autocares de cada tipo que habría que contratar para que la ecursión fuera lo más barata posible? (5 puntos) a) Se trata de un problema de programación lineal. Sea el número de autocares de 40 plazas e y el de autocares de 50 plazas. Las restricciones a que está sometida la solución son: 0 8 (número de autocares de 40 plazas) 0 y 0 (número de autocares de 50 plazas) + y 9 (número máimo de autocares que pueden circular por el número de conductores de que se dispone) y 400 (Los autocares deben garantizar un mínimo de 400 plazas) La función objetivo es el coste: F( y) = y que en este caso debe ser mínima. Obtengamos la región factible (solución del sistema de inecuaciones): B y = tiene como solución la parte del plano comprendida entre las rectas = 0 y = 8. 0 y 0 tiene como solución la parte del plano comprendida entre las rectas y = 0 e y = 0. A La recta y 9 + = pasa por los puntos ( 9 0 ) y 0 9. La inecuación + y 9 tiene como solución el semiplano al que pertenece el origen de coordenadas. = y = 400 +y = 9 La recta y = y = 40 pasa por los puntos ( 0 0 ) y 0 8. La inecuación y 400 tiene como solución el semiplano al que no pertenece el origen de coordenadas. La solución común de todas las inecuaciones es el triángulo AB (en blanco). omo la función objetivo se minimiza en alguno de los vértices de la región factible obtenemos sus coordenadas y calculamos el valor de la función objetivo en los mismos: + y = 9 4 4y = 3 y = 4 = 5 A 5 4 F 5 4 = y = y = 40 Vértice A: Vértice B: B( 0 9) F( 0 9) = 70 Vértice : ( 0 8) F( 0 8) Por tanto para que el coste sea el menor posible dentro de las condiciones eistentes deben contratarse 5 autocares pequeños y 4 autocares grandes. 3

4 b) Si el número de conductores pasara a ser de 4 la restricción + y 9 se convierte en + y 4. La recta y 4 + = pasa por los puntos ( 0 4 ) y 4 0 y la inecuación + y 4 tiene como solución el semiplano al que pertenece el origen de coordenadas. De este modo la región factible es ahora el pentágono ABDE en alguno de cuyos vértices la función objetivo se minimizará: y = 0 y = 0 Vértice A: = 4 y = 0 + y = 4 B A D = 8 E D +y = y = 400 A ( 4 0) F( 4 0) = 040 Vértice B: B( 0 0) F( 0 0) = 800 Vértice : ( 0 8) F( 0 8) Vértice D: = 8 8 = 8 y = = 4 + 5y = 40 5 D '( 8 ) F( 8 ) (aproimamos el valor de y al nº natural más próimo que además pertenece a la región factible) = 8 Vértice E: = 8 y = + y = 4 D( 8 ) F( 8 ) = 90 Podríamos entonces elegir entre dos soluciones: 8 autocares de 50 plazas o 8 autocares de 40 plazas y de 50 plazas.. a) Derive las siguientes funciones: (5 puntos) f () = b) Dada la función + f () = + 3 g () ln 3 = 5 si 3 si > 5 + h () = e + Estudie la continuidad de f en =. Analice el crecimiento de la función f () si >. Tiene f algún máimo o mínimo relativo si >?. ( puntos) a) f () = = = 3 = 3 = f '() = = = g () = ln = ln 3 ln 5 g '() = = = = 5 / / 5 / 5 h '() = 5e + = 5e = 5e = 4 + ( ) + / ( ) ( + )( ) 5 = 5e ( ) 4

5 Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 00. Bachillerato de iencias Sociales. b) ontinuidad de f () en = : f () = 5 lím f () : + lím f () = lím + = lím f () = lím = 5 3 lím f () = 5 lím f () = f () la función es continua en =. Para > : f () = f '() = = = < 0 > luego la función es decreciente. No pues la función es decreciente >. 3. El consumo bimestral de energía eléctrica de una población de 00 personas se distribuye normalmente con una media de 59 kwh y una desviación típica de kwh. alcule el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 97%. Detalle los pasos realizados para obtener los resultados. (3 puntos) α = 97% α / α / z "/ σ El radio del intervalo de confianza es E = zα/ donde z α/ es el valor crítico correspondiente al nivel de n confianza del 97% σ = es la desviación típica poblacional y n = 00 es el número de individuos de la muestra. Obtengamos a partir de la tabla el valor de z α/ : α =. En la tabla encontramos: α α = 097 α = 097 = 003 = 005 p z z = z = 7 α/ α/ Por tanto: E = 7 = 30 y el intervalo de confianza para la media de la población es: 0 ( E + E) = ( ) = ( ) 5