Bárbara Cánovas Conesa ) = 1 24

Transcripción

1 67 70 Junio 0 Dada la ecuación matricial: X AX = B AX. Se pide: a) esuelve matricialmente la ecuación b) Si A = ( 4 5 ) B = ( ) calcula la matriz X. 9 4 X AX = B AX X AX + AX = B X + AX = B (I + A)X = B (I + A) (I + A)X = (I + A) B IX = (I + A) B X = (I + A) B (I + A) = I + A (Adj. (I + A))t I + A = ( 0 0 ) + ( ) I + A = (5 5 ) X = (I + A) B = 4 ( 5 5 ) ( ) = 4 I + A = 4 Adj. (I + A) = ( 5 5 ) (I + A) = (Adj. (I + A)) t = ( 5 4 ( 5 5 ) { 5 ) ( ) X = ( ) Se considera la gráfica de la función f(x) = x 6x + 9x + como la representación en el plano, de la traectoria del vuelo de una mosca, en la que x representa el tiempo, en segundos, f(x) representa la altura, en metros, respecto del suelo. Se considera el intervalo de tiempo [0,5], se pide: a) Intervalos de tiempo en los que la mosca va subiendo. b) Intervalos de tiempo en los que la mosca va bajando. c) Tiempos en el que la mosca alcanza una altura máxima relativa una altura mínima relativa valores de estas alturas. d) A qué altura estaba la mosca cuando empezó el vuelo? e) Cuál es la altura máxima que alcanza la mosca en el intervalo de tiempo dado? Los tres primeros apartados se contestan estudiando el crecimiento de la función: f (x) = x x + 9 f (x) = 0 x x + 9 = 0 { x = x = Estudiamos el signo de la primera derivada en el entorno de las dos x halladas, puesto que las dos pertenecen al intervalo dado [0, 5]: f (0) > 0 f () < 0 f (4) > 0 Es decir: (a) La mosca está subiendo en los intervalos de tiempo (0, ) (, 5) segundos. (b) Baja en el intervalo de tiempo (, ) segundos. (c) La altura máxima la alcanza en el segundo es de 6 m. (d) La altura mínima la alcanza en el segundo es de -6 m. La altura inicial nos la da el valor de f(x) para x = 0 segundos: f(0) (e) La altura inicial es de m (f) La altura máxima es la alcanzada en el primer segundo, 6m.

2 PAEG _ Matemáticas CCSS _ CLM Una fábrica de ordenadores va a lanzar al mercado dos nuevos modelos (uno básico otro de lujo). El coste de fabricación del modelo básico es de 00 euros el del modelo de lujo 000 euros, disponiendo para esta operación de lanzamiento de 8000 euros. Para evitar riesgos, de momento se cree conveniente lanzar al menos el doble de ordenadores del modelo básico que del modelo de lujo, en todo caso, no fabricar más de 50 ordenadores del básico. Además se quiere fabricar no menos de 0 ordenadores de lujo. a) epresenta la región factible. b) Cuántos ordenadores debe fabricar si quiere maximizar el número total de ordenadores fabricados? c) Si fabrica el máximo número de ordenadores posibles, agota el presupuesto disponible? Si llamamos: x = nº ordenadores básicos = nº ordenadores lujosos La función a optimizar (maximizar) será: N(x, ) = x + 00x x x x { { 0 < x 50 0 < x A = (5, 0) B = (., 4. ) { C = (50, ) D = (50, 0) Los valores que toma la función N(x, ) = x + en cada uno de los vértices: En el vértice A : N(5,0) = 5 En el vértice B : N(.,4.) = 6.5 En el vértice C : N(50,) = 6 En el vértice D : N(50,0) = 60 Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice C, es decir, para 50 ordenadores de tipo básico ordenadores lujosos. Obteniéndose 6 ordenadores en total. Los 50 ordenadores de tipo básico cuestan: = 5000 los de tipo lujo cuestan: 000 = 000, lo que hace un total de 8000, es decir, agota el presupuesto A(5, 0) 0 B (., 4.) 0 0 D (50, 0) C (50, ) 60 Para efectuar un control de calidad sobre la duración en horas de un componente electrónico se elige una muestra aleatoria de 6 componentes obteniéndose una duración media de 40 horas. Sabiendo que la duración de estos componentes electrónicos se distribue según una normal con una desviación típica de 0 horas. a) Encontrar el intervalo de confianza al 97% para la duración media de los componentes electrónicos. b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. c) Si quisiéramos un intervalo de confianza de menor ancho, qué opciones tendríamos? azona tu respuesta. El intervalo de confianza para la media es: IC = (x ± Zα σ x = 40 horas = 0 horas n = 6 componentes electrónicos = 0.97 = 0. 0 α = α = n ) El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα ) α buscamos en la tabla P (Z Zα ) Zα =.7

3 67 70 IC = (x ± Zα σ 0 ) = (40 ±.7 ) = (40 ±.6) IC = (6. 8, 4. 6) n 6 Junio 0 Según el intervalo obtenido podemos afirmar con un nivel de confianza del 97% que la duración media de los componentes electrónicos estará comprendido entre segundos. Es decir, que ha una probabilidad del 0.97 de que escogido un componente al azar, dure entre segundos. Si queremos disminuir la anchura del intervalo tendremos que aumentar el tamaño muestral (al ser un valor que aparece en el denominador, el intervalo disminuiría) o disminuir la confianza del intervalo a que el valor Zα sería menor al multiplicar, el resultado sería de menor valor que el actual. Si dividimos el numerador entre el denominador de la fracción x se obtiene de cociente r de resto. Efectuando la misma operación en la fracción x se obtiene 7 de cociente de resto una unidad menos que el resto de la división anterior. Se sabe, además, que en la primera división, la suma del dividendo, del divisor del resto excede en dos unidades al quíntuplo del cociente de esa división. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. b) Determina el valor de 'x', de '' del resto de la primera división. x = + r x r = 0 x = 7 + r { x 7 r = x + + r = 7 { x + + r = (5 ) + Lo resolvemos por Gauss: 0 0 ( 7 ) E = E E ( 0 ) ( 0 7 E = E E E = 4E + E = 9 6 x = 5 0 ) r = 6 Es decir, el dividendo es 5, el divisor 9 6 el resto 6 x + si x Se considera la función f(x) = { x + si < x (x ) si x > a) Estudia su continuidad en los puntos de abscisa x = - x =. b) epreséntala gráficamente. c) Extremos relativos de f en el intervalo [-, ]. azona la respuesta. Una función es continua en un punto si: x a En x = -: x ( x + ) = f(x) = f(x) = f(a) + x a x +(x + ) = f( ) = Por tanto, la función no es continua en x = -, sino que presenta una discontinuidad inevitable de salto finito igual a. En x = : x (x + ) = (x x + ) = f() = Como en el caso anterior, la función no es continua en x =, sino que presenta una discontinuidad inevitable de salto finito igual a.

4 4 PAEG _ Matemáticas CCSS _ CLM Si x - Si -< x Si x > 4 f(x) = x + f(x) = x + f(x) = x 4x + 4 V = (0, ) (-, ) (-, -) V = (0, ) (-, ) (, ) V = (, 0) (, ) (4, 4) Los extremos relativos en el intervalo [-, ] según vemos en la gráfica son: Mínimo (0, ) Máximo (, ): a que es el valor máximo que toma f(x) en este intervalo. Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en paquetes pequeños ligeros o en paquetes grandes pesados. Supongamos que el % el % de las muestras que son enviadas en paquetes pequeños grandes, respectivamente, se rompen durante el traecto a su destino. Si el 60% de las muestras se envían en paquetes pequeños, el 40% en paquetes grandes. a) Cuál es la proporción de muestras que se romperían durante el envío? b) Suponed que nos dicen que se ha roto un paquete, cuál es la probabilidad de que el paquete sea grande? c) Cuál es la probabilidad de enviar dos paquetes pequeños que no se rompa ninguno? Para responder a las preguntas hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos: - P = muestras enviadas en paquetes pequeños - G = muestras enviadas en paquetes grandes - = muestras que se rompen en el envío - = muestras que no se rompen en el envío Para calcular la proporción de muestras que se romperían durante el traecto, usamos el teorema de la probabilidad total: P() = P(P) P( P ) + P(G) P( G ) = P() = =. 6% Para calcular la probabilidad de que habiéndose roto el paquete sea grande, usamos la probabilidad condicionada el teorema de Baes: P( G P(G ) ) = P() = P( G ) P(G) = P() 0.06 P(G ) = 0. 5 La probabilidad de enviar dos paquetes pequeños que no se rompan, teniendo en cuentan que los dos envíos son sucesos independientes, es: P(P ) P(P ) = [P(P )] = [P ( P ) P(P)] = ( ) P = ,6 0,4 0,0 P 0,98 0,0 G 0,99

5 Junio 0 Un Auntamiento va a realizar una encuesta para averiguar si los ciudadanos están a favor de las últimas medidas en relación a las fiestas que se han tomado. Se ha preguntado a 00 vecinos elegidos de forma aleatoria entre todos los ciudadanos, obteniendo una media de 7.5 puntos de satisfacción sabemos que las puntuaciones se distribuen según una normal de desviación típica. a) Encontrar el intervalo de confianza al 97.8% para la media de satisfacción. b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. c) Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si hubiéramos elegido a los primeros 00 vecinos que contesten la encuesta en el horario 0 a 4? azona tu respuesta El intervalo de confianza para la media es: IC = (x ± Zα σ ) n x = 7.5 puntos de satisfacción = n = 00 vecinos = = 0. 0 α = 0. 0 α = El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα ) α buscamos en la tabla P (Z Zα ) Zα =.9 IC = (x ± Zα σ n ) = (7.5 ±.9 ) = (7.5 ± 0.9) IC = (7. 7, 7. 79) 00 Por tanto, el intervalo de confianza al 97.8% para la media de satisfacción es de (7.7, 7.79). Esto significa que la media de satisfacción entre los vecinos está entre los 7.7 los 7.79 puntos con una probabilidad del 97.8%. Dicho de otra forma, si elegimos un individuo al azar, con una probabilidad de 97.8% su satisfacción estará comprendida entre los 7.7 los 7.79 puntos. Si lo que se está estudiando es la satisfacción de los vecinos tomamos para el estudio los primeros 00 que contesten a la encuesta en el horario de 0 a 4 horas, estaríamos sesgando la muestra, a que ésta puede no es representativa de la población en estudio. Es decir, el intervalo de confianza obtenido no sería válido.