Funciones elementales

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1 Funciones elementales LITERATURA MATEMÁTICAS El árbol de la ciencia Al decir Andrés [estudiante de medicina] que la vida, según su profesor Letamendi, es una función indeterminada entre la energía individual y el cosmos, y que esta función no puede ser más que suma, resta, multiplicación y división, y que no pudiendo ser suma, ni resta, ni división, tiene que ser multiplicación, uno de los amigos de Sañudo [estudiante de ingeniería] se echó a reír. Por qué se ríe usted? le preguntó Andrés sorprendido. Porque en todo eso que dice usted hay una porción de sofismas y de falsedades. Primeramente hay muchas más funciones matemáticas que sumar, restar, multiplicar y dividir. Cuáles? Elevar a potencia, etraer raíces... Después, aunque no hubiera más que cuatro funciones matemáticas primitivas, es absurdo pensar que en el conflicto de estos dos elementos, la energía de la vida y el cosmos, uno de ellos, por lo menos, heterogéneo y complicado, porque no haya suma, ni resta, ni división, ha de haber multiplicación. Además, sería necesario demostrar por qué no puede haber suma, por qué no puede haber resta y por qué no puede haber división. Después habría que demostrar por qué no puede haber dos o tres funciones simultáneas. No basta decirlo. Pero eso lo da el razonamiento. No, no; perdone usted replicó el estudiante. Por ejemplo, entre esa mujer y yo puede haber varias funciones matemáticas: suma, si hacemos los dos una misma cosa ayudándonos; resta, si ella quiere una cosa y yo la contraria y vence uno de los dos contra el otro; multiplicación, si tenemos un hijo, y división si yo la corto en pedazos a ella o ella a mí. Eso es una broma dijo Andrés. Claro que es una broma replicó el estudiante, una broma por el estilo de las de su profesor; pero que tiende a una verdad, y es que entre la fuerza de la vida y el cosmos hay un infinito de funciones distintas: sumas, restas, multiplicaciones, de todo, y que además es muy posible que eistan otras funciones que no tengan epresión matemática. PÍO BAROJA Eisten algunas proteínas de gran tamaño a las que se les pueden unir hormonas para modificar su función en el cuerpo humano. Este mecanismo está regulado por la fórmula 0 k y =, + k siendo y la concentración de hormonas unidas, la concentración total de hormonas y k una constante. Representa esta función para k =. 0

2 SOLUCIONARIO ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(, ) y B(, ). m = 00 Obtén las ecuaciones de las rectas que pasan por los pares de puntos indicados. (, 5) y (7, ) c) (, 4) y (, ) ( 5, ) y (, ) d) (, ) y (5, 4) AB = (, 8) La ecuación de la recta es: AB = (, ) La ecuación de la recta es: c) AB = (4, ) La ecuación de la recta es: d) AB = (8, ) La ecuación de la recta es: y 5 = y = y = y = + + y 4 = 4 y = y + = y = Transforma grados en radianes y radianes en grados: 0, 90, 59, 00, 5 rad, rad y rad = = rad y = = = = rad y = = = = rad y = 5 = = = rad y = = rad, 004 Indica el signo de las razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes de la circunferencia goniométrica. α (grados). er cuadrante. o cuadrante. er cuadrante 4. o cuadrante sen α positivo positivo negativo negativo cos α positivo negativo negativo positivo tg α positivo negativo positivo negativo

3 Funciones elementales Calcula las siguientes razones trigonométricas. c) d) e) cos 9 sen 0 tg cos 4 sen 4 4 f) c) no eiste. e) cos 9 sen = tg = d) f ) tg 5 sen 0 cos = = no eiste. ACTIVIDADES Representa, sobre los mismos ejes de coordenadas, las funciones y = e y = Halla el punto común a las dos gráficas. El punto de intersección es: 5 7, tg 5 00 Dibuja todos los tipos de rectas que conoces y encuentra aquellos que no corresponden a una función. Escribe sus ecuaciones. Respuesta abierta. y = 4 es una función constante. 4 4 y = es una función afín. 4 y = es una función lineal. = 4 no es una función. 00 Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas. y = y = + V, V (, )

4 SOLUCIONARIO 004 Representa en el intervalo [, ], con una escala que sea lo suficientemente grande, las funciones. f() = f() = f() = f() = 4 Describe sus propiedades. En todas las funciones, el dominio es R y el punto de corte con los ejes es el origen de coordenadas. Las funciones de eponente par son decrecientes para los valores negativos de, son crecientes para los valores positivos, tienen un máimo absoluto en = 0 y son simétricas respecto del eje de ordenadas. Las funciones de eponente impar son crecientes, no tienen máimos ni mínimos y son simétricas respecto del origen de coordenadas. 005 Halla la recta de interpolación lineal correspondiente a los datos (0, 45) y (0, 57). Determina con ella el valor correspondiente a estos valores. = = c) = y = 45 + ( 0 ) = 45 + ( 0 ) y = 45 + = 0 ( 0 ) 48, y = = 5 0 ( ), c) y = = ( ), 00 En el gráfico de un puerto de montaña, que tiene una pendiente aproimadamente constante, aparece que en el kilómetro 5 la altura sobre el nivel del mar es de.00 m, y en el kilómetro, de.00 m. Calcula por interpolación lineal la altura en el kilómetro y = ( 5) = ( 5) y = ( 0 5) =. 7, 5 m 8

5 Funciones elementales 007 La tabla muestra el número de turistas, en millones, que entraron en España en el período Año Turistas 54,4 74, 9, Halla los valores para 998, 00 y 008. En qué año se superaron los 80 millones? 54, 4 =. 995 a+. 995b + c 54, 4 = a+. 995b+ c 74, =. 000 a b+ c 0, = a + 5b 9, = a b c 8, = a + 0 b 54, 4 = a+. 995b+ c a = 0, 044 0, = a + 5b b = 79, 8, = 50 a c = 8. 55, 4 La función de interpolación cuadrática es: y = 0, ,8 8.55,4 Para 998: y =,784 millones Para 00: y = 8,04 millones Para 008: y = 0,44 millones 0, , , 4 = 80 = , , , 4 = 0., =. 085, 4 Los 80 millones se superaron desde el 00 hasta el A partir de los puntos (0, 0), (, ) y (, ): Determina la función de interpolación lineal para los puntos (0, 0) y (, ). Si utilizamos los tres puntos, cuál será la función de interpolación cuadrática? c) Qué valor toma para =,5 en cada uno de los casos? para = 4? y = ( 0 ) y = 0 0 = 4a+ 4b+ c 4 4 = = a + b a 05 a b c =, = 4a+ b+ c = 4a+ b b 05 =, La función de interpolación cuadrática es: y = 0,5 + 0,5 c) y = = 5, 5, y = 0, 5 5, + 0, 5 5, = 875, y = = 4 4 y = 05, , 4= 0 4

6 SOLUCIONARIO 009 Representa gráficamente las siguientes funciones de proporcionalidad inversa. y = y = 00 Representa estas funciones racionales, y relaciónalas con las funciones de proporcionalidad inversa. y = y = + Es una traslación horizontal de la función de proporcionalidad inversa: f( ) = f( + ) = + Es el producto por sí misma de la función de proporcionalidad inversa: f( ) = f( ) f( ) = 0 Halla el dominio de las funciones con radicales. f ( )= 4 g ( )= Dom f = R Dom g = (, ] [, + ) 5

7 Funciones elementales 0 Representa gráficamente estas funciones. f ( )= + c) g( )= 4 d) h ( )= i( )= + c) d) 0 Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes. f() =, g( )= c) h() = 0,8 d) i( )= ( ), > f() es creciente. < g() es decreciente. c) 0,8 < h() es decreciente. d) > i() es creciente. 04 Representa gráficamente estas funciones. y = c) y = 4 e) y = y = d) y = 0, f) y =

8 SOLUCIONARIO d) e) c) f) 05 Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes. f() = log, c) h() = log 7 e) j( )= log g ( )= log d) i() = log 0,8 f) k() = log 8,, > f() es creciente. < g() es decreciente. c) 7 > h() es creciente. d) 0,8 < i() es decreciente. e) > j() es creciente. f) 8, > k() es creciente. 0 Representa gráficamente estas funciones. y = log c) y = log 4 e) y = log ( ) y = log ( ) d) y = log 0, f) y = log 7

9 Funciones elementales d) e) c) f) 07 Describe las características de estas funciones. f() = sen ( ) g() = (sen ) Dom f = R Im f = [, ] La función es periódica, de período radianes. No es simétrica. Presenta máimos en = + + k y mínimos en = + + k, siendo k Z. Dom g = R Im g = [, 0] La función es periódica, de período radianes. No es simétrica. Presenta máimos en = + k y mínimos en = + k, siendo k Z. 08 Representa las funciones y di qué observas. g ( )= cos f ( )= sen + 8

10 SOLUCIONARIO f( )= sen + = cos g ( )= cos sen = 09 Describe las características de estas funciones. f ( )= tg g() = tg ( + ) Dom f = R {k, k Z} Im f = R La función es periódica, de período radianes. Es siempre creciente y simétrica respecto del origen de coordenadas. Dom g = R + k, k Z Im g = R La función es periódica, de período radianes. Es siempre creciente y no es simétrica. 00 Representa las funciones inversas. f( )= arc cos + g() = arc sen ( ) 0 Representa gráficamente esta función definida a trozos. 4 si f ( )= si < si > Describe sus principales características. Dom f = R Im f = [0, 4] La función es continua, no es periódica ni simétrica. Es decreciente en (, 0) y es creciente en (0, ). Tiene un mínimo absoluto en = 0. 9

11 Funciones elementales 0 En un contrato mensual de telefonía móvil se factura a 0, por minuto. Si el consumo no llega a 9, entonces se abona esa cantidad. Halla la epresión de la función que relaciona el consumo, en minutos, y el importe de la factura mensual, en euros. Representa la función. 9 si 0 < 7 9, si 7 < 77 94, si 77 < 78 f( ) = 9, si 78 < 79 98, si 79 < 80 9,8 9, 9,4 9, El servicio de correos cobra 0,0 por los primeros 5 g de envío y, a partir de esa cantidad, cobra 0,0 por cada 5 g (o fracción) de peso etra. Representa la gráfica del coste del envío de cartas hasta 50 g.,0,0 0,90 0,70 0,50 0, La función que asocia a cada número su parte decimal es: f() = [] Representa la función y analiza sus propiedades. Dom f = R Im f = [0, ) La función no es continua. Todos los números enteros son puntos de discontinuidad inevitable de salto finito. Es periódica, de período. No es simétrica. Es creciente en (k, k + ), siendo k Z. No tiene máimos ni mínimos. 0

12 SOLUCIONARIO 05 Representa, sin hacer las tablas de valores correspondientes, las funciones lineales y afines. y = y = + 4 c) y = + d) y = c) d) 0 Escribe la epresión algebraica de las funciones representadas, y calcula su pendiente y su ordenada en el origen. t s r 5 v r: y = + m = n = s: y = m = n = t: y = m= n = 0 u: y = m = n =

13 Funciones elementales 07 Representa las funciones en los mismos ejes de coordenadas, y relaciona la abertura de las ramas de cada parábola con el coeficiente de. y = y = c) y = d) y = 4 La abertura es menor cuando el coeficiente es mayor. 08 Halla los vértices y los puntos de corte con los ejes de las siguientes parábolas. f() = + g() = + c) h() = V(, ) No tiene puntos de corte con el eje. Punto de corte con el eje : (0, ) V 7, 4 8 No tiene puntos de corte con el eje. Punto de corte con el eje : (0, ) c) V(0, ) No tiene puntos de corte con el eje. Punto de corte con el eje : (0, ) 09 Haz la representación gráfica de las siguientes funciones cuadráticas, indicando el vértice y los cortes con los ejes. y = 8 y = + c) y = d) y = + V(, 9) Puntos de corte con el eje : (, 0) y (4, 0) Punto de corte con el eje : (0, 8)

14 SOLUCIONARIO V 9, 4 Puntos de corte con el eje : (0, 0) y (, 0) Punto de corte con el eje : (0, 0) c) V(, 0) Punto de corte con el eje : (, 0) Punto de corte con el eje : (0, 4) d) V 5, 4 8 Puntos de corte con el eje : (, 0) y, 0 Punto de corte con el eje : (0, ) 00 Representa la función y = y, a partir de ella, dibuja las gráficas de estas funciones polinómicas. y = ( ) y = + c) y = ( + ) d) y = 4 Qué relación guardan las gráficas de las últimas cuatro funciones con la gráfica de la primera? La función se traslada horizontalmente unidades a la derecha.

15 Funciones elementales La función se traslada verticalmente unidades hacia arriba. c) La función se traslada horizontalmente unidades a la izquierda. d) La función se traslada verticalmente 4 unidades hacia abajo. 0 Haz la gráfica de la función f() = +. Obtén la epresión algebraica de las siguientes funciones y represéntalas. f( ) c) f( + ) f() 4 d) f() + Hay alguna relación entre estas gráficas? f( ) = ( ) + ( ) = f( ) 4

16 SOLUCIONARIO f() 4 = + 4 f() 4 c) f( + ) = ( + ) + ( + ) = f( + ) d) f() + = + + f() + 0 Considera las siguientes funciones. f() = + g() = ( ) h() = Calcula la epresión algebraica de la función que se indica en cada apartado, y represéntala gráficamente. f( ) c) g( ) e) h( ) f() d) g() f) h() f( ) = ( ) ( ) + = + + f( ) 5

17 Funciones elementales f() = + f() c) g( ) = ( ) = + + g( ) d) g() = ( ) = + g() e) h( ) = ( ) = h( ) f) h() = h()

18 SOLUCIONARIO 0 Construye la tabla de valores y dibuja la gráfica de las funciones. y = + + y = + +,5,5 0,5 0 f() 0,5 4,5 4, f() Halla los puntos donde cortan las siguientes funciones polinómicas al eje. y = + 9 d) y = y = + 5 e) y = + + c) y = + 7 = d) =, = = 5 4 e) No tiene puntos de corte. c) =, = 05 Halla los puntos donde estas funciones cortan al eje. y = ( )( + ) y = ( ) c) y = ( )( + )( + ) =, = = c) =, =, = 7

19 Funciones elementales 0 Representa las siguientes funciones polinómicas, indicando los puntos de corte con los ejes. y = d) y = 7 4 y = e) y = c) y = Punto de corte con el eje :, 0 Punto de corte con el eje : (0, ) Puntos de corte con el eje : (, 0), (, 0) y (, 0) Punto de corte con el eje : (0, 9) 4 c) Puntos de corte con el eje : (, 0), y (4, 0), 0 Punto de corte con el eje : (0, ) d) Puntos de corte con el eje : (, 0) y (4, 0) Punto de corte con el eje : (0, 4) e) Punto de corte con el eje : (, 0) Punto de corte con el eje : (0, ) 8

20 SOLUCIONARIO 07 Relaciona cada gráfica con su epresión algebraica. y = + c) y = + y = + d) y = + + f() g() h() i() y = f(), porque si a = > 0, la parábola es abierta hacia arriba y c =. y = h(), pues si a = > 0, la parábola es abierta hacia arriba y c =. c) y = g(), porque si a = < 0, la parábola es abierta hacia abajo y c =. d) y = i(), ya que si a = < 0, la parábola es abierta hacia abajo y c =. 08 Representa funciones de la forma y = a + con distintos valores de a, y estudia su variación en función del parámetro. Respuesta abierta. Si a = f() = + Si a = g() = + 4 Si a = h() = + 4 Si a = i() = + Si a = j() = + La abertura de las parábolas es menor cuanto mayor es el valor absoluto de a. 09 Representa funciones de la forma y = + b + con distintos valores de b, y eplica cómo varían en función del parámetro. Respuesta abierta. Si b = f() = + + Si b = g() = + + Si b = h() = + Si b = i() = + Si b = j() = + La abertura de las parábolas es mayor cuanto mayor es el valor absoluto de b. 9

21 Funciones elementales 040 Representa funciones de la forma y = + + c con distintos valores de c, y analiza su variación en función del parámetro. Respuesta abierta. Si c = f() = + + Si c = g() = + + Si c = h() = + + Si c = i() = + Si c = j() = + Si c = k() = + Todas las parábolas tienen la misma abertura. Se trasladan verticalmente, hacia arriba si c es positivo, y hacia abajo si c es negativo. 04 Escribe funciones con las siguientes características. Una parábola que corte al eje en = y = 5. Una parábola que corte al eje en = y =. c) Una parábola que corte dos veces al eje en =. d) Una función cúbica que corte al eje en =, = y =. e) Una función cúbica que corte al eje dos veces en = y una vez en =. f) Una función cúbica que corte una vez al eje en = 5. g) Una función polinómica de cuarto grado que corte al eje en =, =, = 4 y = 5. h) Una función de cuarto grado que solo corte dos veces al eje de abscisas, en = y en = 5. Respuesta abierta. y = ( )( 5) e) y = ( ) ( + ) y = ( + )( ) f ) y = ( 5) c) y = ( ) g) y = ( + )( )( 4)( 5) d) y = ( + )( + )( ) h) y = ( + ) ( 5) 04 Eplica las diferentes situaciones que pueden producirse al determinar dónde corta al eje una función polinómica de cuarto grado. Para determinar los puntos de corte con el eje se iguala la epresión de la función a cero. Entonces se obtiene una ecuación polinómica de cuarto grado que puede tener como máimo cuatro soluciones. Por tanto, la función puede no cortar el eje, o cortarlo una, dos, tres o cuatro veces, según el número de raíces del polinomio. 0

22 SOLUCIONARIO Halla 0 por interpolación lineal, sabiendo que 4 = 4 y que 5 = y = 4 + ( 4 ) = 4 + ( 4 ) 5 4 y = 4 + = ( 0 4 ) 4, Si =. y = , calcula utilizando la interpolación lineal. 7 5 Determínalo ahora con la calculadora y compara los resultados y = ( 7 ) = ( 7 ) 5 7 y = ( 7) = =. Los resultados difieren en: = En un informe sobre población, el Ayuntamiento de una localidad ha presentado estos datos. Año Población Observa que en la tabla no aparece la población de 90. Podrías estimarla? 00 =. 950 a b + c 00 = a b + c 540 =. 955 a b + c 0 = a + 5b 450 = a. 95b c 50 = a + 5b 00 = a b + c a = 0, 0 = 9. 55a + 5b b = 79 0 = 50 a c = La función de interpolación cuadrática es: y = 0, Para 90: y = En una ciudad se disputa una liga de baloncesto juvenil con 5 equipos. Cada equipo juega dos veces contra cada uno de los otros. Cada victoria supone tres puntos; cada empate, uno, y las derrotas, cero. Uno de los equipos ha tenido las siguientes puntuaciones. Jornada 8 Puntos 4 4 Qué puntuación podría tener en la jornada 5? en la jornada 7? La liga se acaba en la jornada 8. Qué puntuación podemos esperar para el equipo? Es razonable el resultado?

23 Funciones elementales 4 = 9a+ b+ c 4 = 9a+ b+ c 4 = 9a+ b+ c a = = a+ b+ c = 7a+ b = 7a+ b 4 = a b c 0 = a b = a b = 0 0 c = 4 La función de interpolación cuadrática es: y = + 4 En la jornada 5: y = 4 puntos en la 7: y = 9, puntos En la jornada 8: y = 87, puntos El resultado no es razonable porque los valores utilizados para calcular la función de interpolación están muy alejados. 047 Los ingenieros de mantenimiento de una presa vigilan constantemente la amplitud de las grietas que se dan en la construcción. Han comprobado que la temperatura eterior influye sobre la amplitud de una de ellas y han recogido los siguientes datos. Cuál será la amplitud esperada de la grieta con una temperatura de C? con C? si alcanza los 8 C? Si la grieta alcanzara las.50 micras, la situación debería ser considerada peligrosa. A qué temperatura eterior cabe esperar alcanzar esa amplitud?. 840 = 89 a + 7 b + c 840 = 89 a + 7 b + c. 90 = 400 a + 0 b + c 80 = a + b. 040 = 59 a + b + c 00 = 40 a + b La función de interpolación cuadrática es: Para C: y = 955,5 Para C: y = 795,5 Para 8 C: y =.8,9 Temperatura ( C) Amplitud (micras) a = 840 = 89 a+ 7 b+ c = a + b 840 = 8 a 500 b = c = y = = = 0 = 4, =, 4 La situación sería peligrosa con 4,4 C o con,4 C.

24 SOLUCIONARIO 048 El año 004 se creó en Internet la página web de un instituto y se recibieron.40 visitas. En 005 se recibieron.90 visitas, mientras que en el año 00 tuvieron Cuántas visitas deberían esperarse para 008? El director del instituto ha dado a conocer que los datos relativos a 007 son de visitantes. Calcula, con esta nueva información, los datos esperados para el año 008. Eplica la razón de obtener resultados tan diferentes.. 40 =. 004 a b+ c. 40 = a b+ c. 90 =. 005 a b+ c. 50 = a b =. 00 a+. 00 b+ c. 00 = a+ 00. b. 40 = a b+ c a = = a b b = = a c = La función de interpolación cuadrática es: y = Para 008: y = visitas. 90 =. 005 a b+ c 9. 0 = a b+ c =. 00 a+. 00 b+ c = a b =. 007 a b+ c 7. 0 = a+ 00. b. 90 = a+. 005b+ c a = = a b b = = a c = La nueva función de interpolación cuadrática es: y = Para 008: y = 9.00 visitas Los resultados son diferentes porque en la segunda etrapolación los datos están más próimos al valor utilizado. 049 Encuentra las funciones cuadráticas que pasan por los siguientes puntos. (0, ), (, ) y ( 4, 7) (, ), (, ) y (, ) = + c = + + a 4b c 4 = + a = a b b = 7 = a 4 b+ c 4 = a 4 b c = La función de interpolación cuadrática es: y = +

25 Funciones elementales = 4a+ 4b+ c = 4a+ 4b+ c = 44a+ 4 b+ c a = = 4 a b+ c 4 = a b 4 = 4 a b b = 5 = 9 a + b+ c 4 = 8 a + b = a 90 0 c = La función de interpolación cuadrática es: y = A continuación puedes ver una parte de la tabla de tarifas de una empresa de transporte de mercancías. ENVÍOS A MADRID 0 kg = euros 0 kg = 7 euros 5 kg = 4 euros Utiliza la interpolación cuadrática para responder a estas preguntas. Cuánto me costará enviar a Madrid un paquete que pesa kg? Ayer envié otro paquete y me cobraron 9 euros y 50 céntimos. Cuánto pesaba el paquete? c) Cuánto crees que puede costar enviar un paquete de kg? = 00 a + 0 b+ c = 00 a+ 0 b+ c 7 = 400 a+ 0 b+ c 5 = 00 a+ 0 b 4 = 5a + 5b+ c 0 = 55a + 5b a = = 00 a+ 0 b+ c 0 5 = 00 a+ 0 b 5 b = = 0 a c = 5 La función de interpolación cuadrática es: y = Si el paquete pesa kg cuesta: y = 5,5 5 = 4, = 9, = 0 0 = 055, Según la tabla de tarifas, el paquete pesaba 4,5 kg. c) Si el paquete pesa kg cuesta: y = 4,0 05 Cuál es el dominio de estas funciones racionales? 7 f ( ) = g( )= ( + 7)( 4) R { 7, 4} R { 5, } 4

26 SOLUCIONARIO 05 Observa la gráfica de la función y = 9. y = 9 Representa las siguientes funciones. 9 y = c) y = 9 e) 9 9 y = d) y = f) + 9 y = + y 9 = d) e) c) f) 5

27 Funciones elementales 05 La gráfica de la función y = es: y = Encuentra la relación que tienen estas funciones con la función y =. Ten en cuenta que: y = = + y = c) d) 5 y = y = + + y = 5 + y represéntalas. c) y = = + + y = + = + + d) 4 4 y = 5 = y = 5 + = +

28 SOLUCIONARIO 054 Determina el dominio de estas funciones con radicales. f ( )= + 7 c) h ( )= + 7 g( )= +5 d) i( )= +5 Dom f = [0, + ) c) Dom h = [ 7, + ) Dom g = [0, + ) d) Dom i = [ 5, + ) 055 Halla el dominio de las siguientes funciones con radicales. f ( )= g( )= 4 8 Dom f = R Dom g = (, ] [, + ) 05 Cuál es el dominio de estas funciones con radicales? 7 f ( )= g( )= Dom f = [5, 9) (9, + ) Dom g = [, 5) (5, + ) 057 La gráfica de la función f ( )= es: f( )= Obtén la epresión algebraica y representa las siguientes funciones. f( ) c) + f() e) f() f( + ) d) f() f) f() f ( ) = f ( + ) = + 7

29 Funciones elementales c) + f () = + e) f () = d) f () = f) f( ) = 058 Con ayuda de la calculadora, realiza una tabla de valores para representar la función y = +. Determina su dominio y su recorrido. 0 f(),,4,4, Dom f = R Im f = [, + ) 059 A partir de la gráfica de la función y = +, eplica cómo harías la representación gráfica de las siguientes funciones con radicales. y = + + c) y = + y = + + d) y = + + La función se desplaza verticalmente unidad hacia arriba. La función se desplaza verticalmente unidades hacia abajo. c) La función se desplaza verticalmente unidad hacia abajo. d) La función se desplaza verticalmente unidad hacia arriba y se dibuja abierta hacia abajo con la misma abertura. 8

30 SOLUCIONARIO 00 Representa la gráfica de las funciones y = e y =. A partir de ellas, razona cómo será la gráfica de las funciones y = 5 e y = 0. Las gráficas de las funciones y = 5 e y = 0 también son crecientes y pasan por el punto (0, ), pero su crecimiento es más lento si < 0, y es más rápido si > 0, cuanto mayor es el valor de la base. 0 Ayúdate de la calculadora y realiza una tabla de valores para representar la función eponencial y =. 0 f() 9 0, 0, 0 Representa las funciones e y = y =. A partir de las gráficas, cómo serán las gráficas de las funciones e y = y =? 5 0 Las gráficas de las funciones e y = y = también son 5 0 decrecientes y pasan por el punto (0, ), pero su decrecimiento es más lento si < 0, y es más rápido si > 0, cuanto menor es el valor de la base. 0 Esta es la gráfica de la función eponencial f() = 4. f() = 4 9

31 40 Obtén la epresión algebraica y representa las siguientes funciones. f( ) c) 4 + f() e) f() f( + ) d) f() f) f() f( ) = 4 c) 4 + f() = f( + ) = 4 + d) f() = 4 e) f() = 4 f) f() = 4 A partir de la gráfica de la función, eplica cómo harías la representación gráfica de las siguientes funciones. c) e) y = + y = d) f) La función se traslada horizontalmente unidades hacia la derecha. La función es simétrica a ella y el eje de ordenadas es el eje de simetría de ambas. y = = = y = y = + y = y = y = 04 Funciones elementales

32 SOLUCIONARIO c) y = = La función es simétrica a ella y el eje de ordenadas es el eje de simetría de ambas. Coincide con la anterior. d) La función se traslada horizontalmente unidad hacia la izquierda. e) f) + y = = + = + Primero se traslada horizontalmente unidades hacia la izquierda y, después, se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de ordenadas. y = = Primero se traslada horizontalmente unidades hacia la derecha y, después, se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de ordenadas. 05 Con la calculadora, realiza una tabla de valores para representar la función logarítmica y = log. 4 5 f() 0 0,,,4 0 Representa la gráfica de las funciones. y = log y= log Deduce, a partir de ellas, cómo será la gráfica de las funciones y = log 5 e y = log. Las gráficas de las funciones y = log 5 e y = log también son crecientes y pasan por el punto (, 0), pero su crecimiento es más rápido si 0 < <, y es más lento si >, cuanto mayor es el valor de la base. 4

33 Funciones elementales 07 Representa las funciones y = log e y = log. Cómo serán las gráficas de las funciones y = log e y = log? 5 0 Las gráficas de las funciones y = log e y = log también son decrecientes 5 0 y pasan por el punto (, 0), pero su decrecimiento es más rápido si 0 < <, y es más lento si >, cuanto menor es el valor de la base. 08 Esta es la gráfica de la función logarítmica f() = log. f() = log Obtén la epresión algebraica y representa las siguientes funciones. f( 4) c) 4 + f( + ) e) f( ) f( + ) d) f() f) f( ) f( 4) = log ( 4) c) 4 + f( + ) = 4 + log ( + ) f( + ) = log ( + ) d) f() = log 4

34 SOLUCIONARIO e) f( ) = log ( ) f) f( ) = log ( ) 09 A partir de la gráfica de la función logarítmica y = log, eplica cómo harías la representación gráfica de las siguientes funciones. y = log c) y = log e) y = log y = log d) y = log f) y = log 9 y = log = + log La función se traslada verticalmente unidad hacia arriba. y = log = log La función es simétrica a ella y el eje de abscisas es el eje de simetría de ambas. c) La función es simétrica a ella y el eje de abscisas es el eje de simetría de ambas. Coincide con la anterior. d) y = log = log Primero se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de abscisas y, después, se traslada verticalmente unidad hacia arriba. e) f) y = log = log + log = + log Primero se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de abscisas y, después, se traslada verticalmente unidad hacia abajo. y = log = log 9 La función se traslada verticalmente unidades hacia abajo. 070 Dibuja la gráfica de y = cos y, a partir de ella, haz la gráfica de las siguientes funciones. y = cos c) y = + cos y = cos + d) y = cos ( ) 4

35 Funciones elementales c) d) 07 Dibuja la gráfica de y = sen y, a partir de ella, haz la gráfica de estas funciones. y = sen c) y = + sen y = sen + d) y = sen ( ) c) d) 07 Realiza una gráfica y estudia las características de estas funciones. y = sen y= sen A partir de lo anterior eplica cómo serán las gráficas de las funciones y = sen 4 e y = sen. 44

36 SOLUCIONARIO Las gráficas de las funciones y = sen 4 e y = sen tienen el mismo dominio y recorrido y son periódicas, pero el período es mayor cuanto mayor es el valor por el que se multiplica la variable independiente. 07 Representa y estudia las características de estas funciones. y = cos y = cos Eplica, a partir del estudio anterior, cómo serán las gráficas de las siguientes funciones. y = cos y = cos 5 La gráfica de la función y = cos tiene el mismo dominio y recorrido 5 y es periódica, pero el período es 0. La gráfica de la función y = cos tiene el mismo dominio y recorrido y es periódica, pero el período es. 074 Ayudándote de su gráfica, comprueba que estos pares de funciones no son iguales. cos c) y tg tg = y = cos y y = = y sen sen = y = c) 45

37 Funciones elementales 075 Utiliza la gráfica de y = tg para construir las gráficas de las siguientes funciones. y = tg ( +) y = tg 07 A continuación puedes ver la gráfica de la función y = arc sen. y = arc sen Realiza las gráficas de las funciones. y = + arc sen c) y = arc sen y = arc sen d) y = arc sen ( ) c) d) 4

38 SOLUCIONARIO 077 Esta es la gráfica de la función y = arc cos. Realiza las gráficas de las funciones. y = + arc cos y = arc cos c) y = arc cos d) y = arc cos ( ) y = arc cos c) d) 078 La función cuya epresión algebraica es y = se llama función signo de. y = Encuentra su epresión algebraica como una función definida a trozos. Cuánto vale si =? si = 5? c) si =,4? > f ()= si 0 si < 0 f() = f( 5) = c) f(,4) = 47

39 Funciones elementales 079 Representa y describe las características de las siguientes funciones. + si < f ( )= 5 si si < g( )= si = + si > c) si h ( )= < + si Dom f = R Im f = R La función es creciente en (, ) (, + ). No es continua en =, y este es un punto de discontinuidad inevitable de salto finito. No tiene asíntotas. No es simétrica ni periódica. Dom g = R 9 Im g = + 4, La función es creciente en (, + ) y es decreciente en,. Tiene un mínimo absoluto en =. No es continua en =, y este es un punto de discontinuidad evitable. No tiene asíntotas. No es simétrica ni periódica. c) Dom h = R {} Im h = (, 0) [, + ) La función es decreciente en (, ) (, ) y es creciente en (, + ). Tiene un mínimo relativo en =. No es continua en =, y este es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito. Tiene una asíntota vertical en = y una asíntota horizontal en y = 0. No es simétrica ni periódica. 080 Escribe como funciones definidas a trozos. y = + y = + f( )= si 4 f( )= si si < + si > 4 48

40 SOLUCIONARIO 08 Observa la gráfica de la función y =. y = Realiza la gráfica de y =. 08 Representa la función. + < f ( )= si 4 si = + si > Estudia el valor que toma la función en los puntos próimos a, completando las tablas. Izquierda de,5,,05 f(),5,09,0475 Derecha de 0 0,5 0,9 0,95 f(),5,9,95 Describe lo que le sucede a la función en las proimidades de. Por la izquierda de los valores de la función se acercan a, y por la derecha se acercan a Escribe como una función definida a trozos y representa las funciones. y = 4 5 c) y = 7 + y = d) y = + 4 5, f( ) = 4 5 si si < < 5 49

41 Funciones elementales c) d) 7 + si, f( ) = + 7 si < < 084 Epresa como una función definida a trozos. y = + + y = + c) y = d) y = + si f( )= si < 0 + si > 0 si f( )= si < si > c) f() = 0 si d) f( )= si < + si > 085 El número de alumnos afectados por una epidemia de gripe se obtiene a partir de la función: 0 f ( )= + siendo el número de días transcurridos desde el comienzo de la epidemia. Cuántos afectados hubo el primer día? En qué momento el número de afectados fue 5? c) Representa la función y comprueba los resultados que has obtenido en los apartados anteriores. 50

42 SOLUCIONARIO f() = 0 afectados = = + = = Hubo 5 afectados dos días después del comienzo de la epidemia. c) 0 08 Un capital de está depositado en un banco, y produce un interés anual del %. Cuánto dinero hay al cabo de un año? a los dos años? c) a los n años? c) C = 5.000,0 n 087 La tabla recoge el interés que ofrece un banco al ingresar dinero durante un año. Dinero ( ) Interés (%) Hasta De.000 a De.500 a Más de Representa la función que determina el interés obtenido dependiendo del dinero que se ingresa. De qué tipo de función se trata? Si se ingresan.800, cuánto dinero tendré al final del año? c) si ingreso 500?.800, =.980 c) 500,05 = Se trata de una función definida a trozos. 5

43 Funciones elementales 088 En una oficina se está elaborando un estudio sobre siniestralidad laboral y se tiene que: N. o de trabajadores N. o de siniestros Calcula, de modo aproimado y utilizando la interpolación, el número de siniestros esperables en una empresa de 0 trabajadores. Cuántos siniestros cabe esperar en una empresa que tiene 900 empleados? c) Una empresa tuvo el año pasado 4 siniestros. Estima el número de sus empleados. d) Una empresa con 84 empleados tuvo siniestros durante el año pasado. Era un número esperable? Es mayor o menor de lo esperado? 4 = a b+ c 4 = a+ 50 b+ c 0 = a b+ c = a b 5 = a b+ c = a + 950b. 4 = a+ 450 b+ c a = 0, = a+ 450 b b = 0, = a c =, 07 La función de interpolación cuadrática es: y = 0, ,9 +,07 Si en una empresa hay 0 trabajadores: y =,4 siniestros Si hay 900 empleados: y =,48 siniestros c) 0, ,9 +,07 = 4, 0, , 09, 94 = 0 = 0. 05, 77 Dados los datos de la tabla, la empresa tendrá 4 empleados. d) Si la empresa tiene 84 empleados se esperan: y = 5, siniestros Si hubo siniestros este número es solo una unidad mayor que el número esperado así que la estimación es bastante aproimada. 089 Encuentra las funciones inversas de estas funciones. y = f) y = ln ( + ) y = g) y = c) y = sen h) y = + log 5 d) y = + tg i) y = e) y = arc cos ( ) j) y = y y = y + = = + f = + ( ) y = = y f ( ) = 5

44 SOLUCIONARIO arc sen y arc sen c) y = sen = arc sen y = f ( ) = tg d) y = + y = tg = arctg ( y ) f ( ) = arctg ( ) e) y = arc cos( ) cos y = = + cos y f ( ) = + cos y y f) y = ln ( + ) + = e = e f ( ) = e y y g) y = + = = log 5 f y h) y = ( ) = log 5 4 log 5 5y = + = 5y = log log f ( ) = 5 5 si i) f( )= + si < y = = y + + si f ( ) = y = + = y + + si < j) y = = y f () = 090 Una granja de caracoles ha ajustado sus gastos de producción por kilogramos de caracoles según la función: G ( ) = Sus ingresos se rigen por la fórmula: I( ) = Averigua cuál es el número de kilogramos de caracoles con el que se obtiene el beneficio máimo. Los beneficios de la granja se obtienen a partir de la función: f( ) = = = Se trata de una función cuadrática, por lo que su gráfica es una parábola. Al ser el coeficiente de un valor negativo la parábola está abierta hacia abajo. Entonces la función alcanza su máimo en el vértice de la misma: b = = a. 000 kg 5

45 Funciones elementales 09 Una ONG ha estimado que el número de personas ingresadas en los hospitales 0 tras un tsunami sigue aproimadamente la fórmula: P = + t ( 0, 0) t + 0 donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de días transcurridos desde el tsunami. Cuántas personas habrá hospitalizadas el primer día? cuántas habrá al cabo de tres semanas? c) Si la capacidad hospitalaria de una isla del área afectada es de.000 camas, hasta qué día estuvo desbordada la capacidad?.000 personas.4 personas 0 c) + = t + 0 = t + 0 t 00 = 0 t = ± 0 t + 0 Como el número de personas hospitalizadas decrece según el número de días la capacidad de hospitalización estuvo desbordada hasta el décimo día. 09 La evolución de una población viene determinada por la función P(t) = 00 t, y la de los alimentos que necesitan sigue la función A(t) =.000t Cuánta población había al principio? alimentos? después de años? c) A partir de qué año la población tendrá menos alimentos de los que son necesarios? P(0) = 00 A(0) =.000 P() = 400 A() =.000 c) A partir del seto año..000 PARA FINALIZAR Razona para qué valor de se hace mayor la diferencia +. La diferencia alcanza el mayor valor para = 0. 54

46 SOLUCIONARIO 094 La función f() está formada por cuatro segmentos. Cuántas soluciones tiene la ecuación f[f()] =? B(, ) C(, ) Como f() = f( ) =, las soluciones de la ecuación son los valores para los que las ordenadas son iguales a y a. En total hay seis puntos que cumplen estas condiciones, es decir, la ecuación tiene seis soluciones. A( 7, 4) D(5, ) 095 Calcula los valores máimo y mínimo (etremos absolutos) que puede alcanzar la función f() = en el intervalo [, ]. En el intervalo [, ], el máimo valor es 4, ya que los puntos = y = son los máimos absolutos, y el mínimo valor es 0, porque los puntos = y = son los mínimos absolutos. 09 Cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el intervalo [, ]? e = ln = c) sen = y = e y = Tiene dos soluciones. y = ln y = Tiene una solución. 55

47 Funciones elementales c) y = sen y = Tiene tres soluciones. 097 Las manecillas de un reloj miden 0 y 0 cm. Entre las horas y las horas y 0 minutos: Epresa el ángulo que forman en función del tiempo, t, medido en minutos. Halla el área del triángulo creado al unir sus etremos en función de t. Puede tomar el valor cero? A qué hora alcanza su mayor valor? c) Epresa la distancia entre los etremos de las agujas en función de t. Como la manecilla que marca las horas tarda horas en completar una vuelta ( radianes), su velocidad es: v h = = rad/min 70 0 Análogamente, la velocidad de la otra manecilla es: v m = = rad/min 0 0 El ángulo que forman ambas manecillas es la diferencia entre los ángulos recorridos por cada una, en función del tiempo t transcurrido: α = t t = trad A = sen t sen = 00 0 t Esta función se anula si el ángulo mide k radianes, con k Z. En el intervalo de tiempo dado esta condición solo se cumple a las horas (α=0). Como el mayor valor de la función seno se alcanza cuando el ángulo mide radianes, hay que calcular a qué hora el ángulo formado tiene esta amplitud: t = t =, 0 El área es máima a las horas y, minutos. c) Por el teorema del coseno, la distancia entre las agujas es: d = t 0 = cos cos t 0 = = 0 cos t 0 5

48 SOLUCIONARIO 098 La temperatura media diaria, medida en grados Celsius, en una ciudad, durante el año pasado, viene dada por la siguiente función. 5 T = t 9 cos ( ) 5 donde t es el tiempo en días, correspondiendo t = al de enero, y el ángulo está medido en radianes. Halla la temperatura correspondiente a los días de enero y 0 de agosto. Calcula las temperaturas máima y mínima del año. Para calcular la temperatura del de enero: t = T =,77 grados Para calcular la temperatura del 0 de agosto: t = T = 9,89 grados Como en la epresión dada, el coseno del ángulo está multiplicado por un número negativo, la función alcanza el máimo si su amplitud es de radianes. ( t ) = t = 4, 5 días 5 Por tanto, la temperatura máima es: T = 0 grados Análogamente, la función alcanza el mínimo si dicho ángulo mide 0 radianes. ( t ) = 0 t = 5 Así, la temperatura mínima es: T = 5,55 grados 57