12 Funciones lineales y cuadráticas

Transcripción

1 Funciones lineales cuadráticas. Comprueba que la función f ( ) ( + ) ( + ) es lineal. Calcula la pendiente la ordenada en el origen. f ( ) ( + ) ( + ) Pendiente:, ordenada en el origen:.. Representa la recta que pasa por los puntos A (, ) A (, ). Calcula su pendiente. Es creciente? Pendiente: m < Recta decreciente... Asocia en tu cuaderno cada gráfica con su fórmula. a) b) c) A.. B. + C. + a) B. b) C. c) A. Calcula las imágenes de,, en la función de proporcionalidad directa f ( ),. f ( ), ( ),,. f ( ), ( ), f (, ), (, ), Si g() es una función de proporcionalidad directa, completa la siguiente tabla en tu cuaderno. 7,, Si g() es de proporcionalidad directa llamamos a, b, c, d, e a los huecos, entonces: a 7, d,, b c e 6 -, 7,,, Unidad Funciones lineales cuadráticas

2 6. Asocia en tu cuaderno cada tabla con su función lineal correspondiente. Indica la pendiente la ordenada en el origen. Cuáles son constantes? Cuáles son de proporcionalidad directa? a) b) f() f() A. f ( ) c) 6 d) B. f ( ) f() C. f ( ) 6 a) A. Proporcionalidad directa m n b) D. m n 7. f() D. f ( ) c) C. Constante mn6 d) B. mn En esta tabla de proporcionalidad directa ha dos errores en los valores de. Encuéntralos corrígelos. 7 6, k, k constante. Por tanto, los errores se encuentran en los 7 6, valores que corresponden a a porque la constante es,. La tabla con los errores corregidos es: La tabla es de proporcionalidad directa, entonces:, 7, 6,. Actividad interactiva. 9. Obtén la pendiente la ordenada en el origen de las siguientes rectas: a) b) + a) Pendiente: Ordenada en el origen: - b) Pendiente: c) Pendiente: Ordenada en el origen: - c) Ordenada en el origen:. Actividad resuelta.. Comprueba si los puntos A (, ) B (, ) pertenecen a la recta de ecuación. A (, ) no pertenece a la recta. ( ) B (, ) pertenece a la recta. Funciones lineales cuadráticas Unidad 7

3 . Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos: b) A (, ) B (, ) a) A (, ) B (, ) a) m + n m + n m. La ecuación de la recta es +. m + n n n b) m + n m + n m m, n. La ecuación de la recta es. m + n m + n. Calcula la ecuación punto-pendiente de estas rectas: a) m B (, 7 ) b) m B (, ) a) 7 ( ) b). Cuál es la pendiente de la recta de ordenada en el origen que pasa por el punto A (, )? m + n se tiene: Se sustitue en la ecuación de la recta m m. Luego la pendiente es m.. Copia completa esta tabla en tu cuaderno: a + b + c m + n m n + + a + b + c m + n m n Actividad resuelta. 7. Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A (, ) B (,6 ). Epresa la ecuación en forma general eplícita. Pendiente: m 6 ( ) Forma general: + + Unidad Funciones lineales cuadráticas Ecuación punto-pendiente: + ( ) Forma eplícita:

4 . Escribe la ecuación punto-pendiente de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos e indica el valor de la ordenada en el origen. a) b). Ecuación punto-pendiente: + ( ) +. n a) A (,), B (, ) m ( ) b) A (, ), B (, ) m. Ecuación punto-pendiente: ( + ). n ( ) 9. Dados los siguientes pares de rectas, estudia si son paralelas o secantes. Calcula el punto de corte en aquellas que sean secantes. a) a) b) r : + s : + b) r : + s : 6 9 c) r : + 6 s : 7 d) r : + + s : mr +. Punto de corte (,). mr ms. Secantes. ms + mr ms. Paralelas. mr ms c) ms. Paralelas. mr ms mr d) mr +. Punto de corte (, ). mr ms.secantes. ms. Escribe las ecuaciones de dos rectas no paralelas calcula su punto de corte. 7, s : + Respuesta modelo: r : +, son distintas, entonces son secantes. Las pendientes mr, ms , 9 es el punto de corte , + k sean paralelas.. Calcula k para que las rectas Para que las dos rectas sean paralelas las pendientes tienen que ser iguales: k. k Funciones lineales cuadráticas Unidad 9

5 . Dadas las rectas, + : a) Calcula la pendiente de cada recta e indica si son paralelas o secantes. b) Representa las rectas comprueba el resultado anterior. c) A la vista de la gráfica, cómo son las dos rectas? Qué relación encuentras entre sus pendientes? a) Pendiente de : Pendiente de + :. Por tanto, son secantes. b) c) Son perpendiculares la relación de las pendientes es:.. Actividad resuelta.. Calcula las siguientes ecuaciones de rectas: a) Recta paralela a r : 7, que pasa por el punto A (, ). b) Recta paralela a s : +, que pasa por el punto B (, ). a) r : 7 7 mr + n n b) s : + ms ( ) + n n (eje X). Escribe las ecuaciones de dos rectas que se corten en el punto A (, ). Respuesta modelo: r :, s : + Unidad Funciones lineales cuadráticas

6 6. El entrenador de un corredor está tomándole tiempos en los primeros s obtiene la siguiente tabla: Tiempo (s) 6 Espacio recorrido (m) 7 Escribe la función que eprese el espacio recorrido en función del tiempo dibuja su gráfica. a) Cuántos metros ha recorrido en s? b) Cuánto tarda en recorrer los primeros m? Si es el tiempo e el espacio recorrido, entonces la función es 7. a) 7. Recorre m en s. b) 7 7, s. Tarda 7, s en recorrer m En el mercado de divisas el dólar cotiza a,7 en un determinado momento. Escribe la función que epresa el número de dólares en función del número de euros. Represéntala contesta: a) Cuántos euros cuesta ir al cine en EEUU si la entrada vale $? b) Cuántos dólares cuesta una bicicleta de? c) Una hamburguesa en Europa cuesta de media,7 en EEUU,6 $. Dónde es más barata? Si es el número de euros e el número de dólares, la función es a) b),7,7 9. La entrada de cine cuesta 9.,7 66, 67. La bicicleta cuesta 66,67.,7 c) Epresamos el precio de la hamburguesa en la misma unidad monetaria: Hamburguesa en Europa:,7,96 $, luego,96 >,6,7 Por tanto, la hamburguesa es más barata en EEUU. Funciones lineales cuadráticas Unidad

7 . Actividad resuelta. 9. Dada la siguiente figura: a) Epresa el área del trapecio rectángulo en función de. b) Calcula la pendiente la ordenada en el origen. c) Cuál es el valor del área para cm? d) Cuál es el valor de si el área es cm? a) Si llamamos al área del trapecio: b) Pendiente: ( + ) + 6 ( + ) +. Ordenada en el origen: c) Si, + 7. Luego el área es 7 cm. d) Si, + 9. Luego cm.. Indica cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a funciones cuadráticas. a) f ( ) + c) f ( ) e) f ( ) + 6 b) f ( ) d) f ( ) ( ) + Las funciones cuadráticas son a), c), d) f).. Justifica cuáles de las gráficas corresponden a funciones cuadráticas. a) c) b) d) Son funciones cuadráticas b) d) porque la representación es una parábola.. Actividad resuelta. Unidad Funciones lineales cuadráticas f) f ( ) 6

8 . Observa las siguientes parábolas contesta a las siguientes preguntas. I) II) a) Escribe las coordenadas de los vértices. Es un máimo o un mínimo absoluto? b) Tienen puntos de corte con el eje de abscisas? En caso afirmativo, indica sus coordenadas. c) Tienen puntos de corte con el eje de ordenadas? En caso afirmativo, indica sus coordenadas. d) Copia las parábolas en tu cuaderno dibuja el eje de simetría de cada una. Cuál es su ecuación? I) a) Vértice: (, ). Es un mínimo absoluto. b) Sí, corta en dos puntos de coordenadas: (, ), (, ). c) Sí, un solo punto (, ). d) Eje de simetría. II) a) Vértice: (, ). Es un máimo absoluto. b) Sí, corta en dos puntos de coordenadas: (, ), (, ). c) Sí, un solo punto (, ). d) Eje de simetría.. Actividad resuelta. Funciones lineales cuadráticas Unidad

9 . A cuál de las siguientes parábolas pertenecen estos tres puntos A (, ), B (, ) C (, )? a) b) c) d) + a) A (, ) ( ) ( ) + A pertenece a la parábola. B (, ) ( ) ( ) + B no pertenece a la parábola. C (, ) ( ) C no pertenece a la parábola. b) A (, ) ( ) + ( ) A no pertenece a la parábola. B (, ) ( ) + ( ) B no pertenece a la parábola. C (, ) ( ) C no pertenece a la parábola. c) A (, ) ( ) + 7 ( ) A pertenece a la parábola. B (, ) ( ) + 7 ( ) + + B no pertenece a la parábola. C (, ) ( ) + 7 ( ) C no pertenece a la parábola. d) A (, ) ( ) + ( ) A pertenece a la parábola. B (, ) ( ) + ( ) B pertenece a la parábola. C (, ) ( ) + C pertenece a la parábola. 6. Actividad resuelta. 7. Cuál es el valor de a en la función f ( ) + a, si el punto A(, 7) pertenece a su gráfica? 7 ( ) + a 7 + a a.. Indica el sentido de las ramas de las siguientes parábolas si el vértice es un máimo o un mínimo absoluto. a) ( ) ( + ) b) ( ) c) ( ) ( + ) d) 9 ( + ) a) +, ramas hacia arriba porque a <. El vértice es máimo absoluto. ( ) ( + ) b) ( ) +, ramas hacia arriba porque a >. El vértice es mínimo absoluto. c) + +, ramas hacia abajo porque a <. El vértice es máimo absoluto. ( ) ( + ) d) 9 ( + ) + + 9, ramas hacia arriba porque a >. El vértice es mínimo absoluto. Unidad Funciones lineales cuadráticas

10 9. Calcula las coordenadas del vértice de estas parábolas. a) ( ) a) ( ) b) + +. Vértice: c) d),, es decir, V (, ). b) Vértice:, ( ) + ( ) +, es decir, V (, ). c) Vértice:,, es decir, V,. d) Vértice:, 7, es decir, V (, 7 ). 6. Calcula el vértice el eje de simetría de estas parábolas. a) + a) Vértice: b) + c) d) +, + V (, ). Eje de simetría. 9 9 b) Vértice:, + V,. Eje de simetría. c) Vértice: 6, ( ) + 6 ( ) + V (, ). Eje de simetría. d) Vértice:, + V,. Eje de simetría.. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes parábolas. a) ( ) + b) + c) d) + 6 a) Corte con eje X: No tiene. Corte con eje Y: (,7 ). b) Corte con eje X: ± 6,,,. Corte con eje Y: (,). c) Corte con eje X: ( ), (, ), (, ) Corte con eje Y: (, ). d) Corte con eje X: + 6 ( + 6 ), 6 (, ), ( 6, ) Corte con eje Y: (, ).. Dibuja las parábolas: a) + b) 6 + c) + 6 a) b) c) Funciones lineales cuadráticas Unidad

11 . Actividad resuelta.. Si el punto A(k, 9) pertenece a la parábola 7 + k, calcula el vértice. A(k, 9) pertenece a la parábola: 9 k 7k + k k 6k + 9. Resolviendo, k. La parábola es: 7 + el vértice: , 7 + V,.. Encuentra el valor máimo del producto de dos números que sumen. Llamando a uno de los números e el valor máimo del producto de los dos números que suman, entonces: ( ) + Se tiene que calcular el máimo de una parábola con las ramas hacia abajo porque a <. Por tanto, el máimo se tiene en el vértice:, + El valor máimo es. 6. Cuáles son las dimensiones de una parcela rectangular de perímetro m área máima?(recuerda que los cuadrados también son rectángulos) Llamando e a las dimensiones del rectángulo, se tiene: Perímetro: P + Área: A P + + A ( ) Se tiene que calcular el máimo de una función cuadrática con a <. Por tanto, el valor máimo es el vértice de la parábola. Por tanto, la parcela tiene que ser cuadrada de lado m para que el área sea máima. 7. La función que representa el beneficio obtenido por una empresa si vende unidades de uno de sus productos es f ( ) 7 +. Cuántas unidades tiene que vender para maimizar sus beneficios? La función beneficio es una función cuadrática con a <, entonces el máimo se obtiene en el vértice de la parábola. Por tanto, tenemos que calcular la abscisa del vértice: ( 7 ) Tiene que vender unidades para maimizar beneficios. 6 Unidad Funciones lineales cuadráticas

12 . La temperatura, en grados centígrados, el día de junio en Lisboa se puede epresar mediante la función: f () 9 + +, siendo la hora del día comprendida en el intervalo [, ). a) Calcula la temperatura que había al comienzo al final del día. b) Calcula la hora a la que hubo maor temperatura su valor. a) La temperatura al comienzo del día es para : f () grados centígrados. La temperatura al final del día es para, f () 6,6 C. b) f ( ) es una función cuadrática con a <, entonces el máimo se tiene en el vértice. Por tanto, tenemos que calcular la abscisa del vértice:, 9 Luego, la máima temperatura se obtuvo a las horas minutos. Sustituendo, la temperatura fue,ºc 9. Las siguientes tablas corresponden a distintas funciones lineales. Indica las que son funciones constantes o de proporcionalidad directa. a) c) 6 7, b) d) a) No es constante ni de proporcionalidad directa. b) Corresponde a una función de proporcionalidad directa. c) Corresponde a una función de proporcionalidad directa. d) Corresponde a una función constante.. Asocia cada tabla del ejercicio anterior a una de las siguientes funciones. Indica la pendiente o en su caso, la constante de proporcionalidad la ordenada en el origen. a) f ( ) a) f ( ). Tabla b). Pendiente: m. Ordenada en el origen: n. b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) b) f ( ). Tabla d). Pendiente: m. Ordenada en el origen: n. c) f ( ). Tabla a). Pendiente: m. Ordenada en el origen: n. d) f ( ). Tabla c). Pendiente: m. Ordenada en el origen: n. Funciones lineales cuadráticas Unidad 7

13 . Representa la recta que pasa por los puntos A(, ) B(, 7). Calcula su pendiente. Es creciente? 7 9 Pendiente: m 9 < ( ) La recta es decreciente.. Cuál es su pendiente? Y su. Representa gráficamente la función lineal que verifica f ( ) f ( ) ordenada en el origen? Pendiente: m 9 > Ordenada en el origen: n 6. Cuál es el valor de su pendiente?. Una función lineal f() verifica que f ( ) f ( ) Pendiente m f ( ) f () 6. Sabiendo que f() es una función lineal: a) Completa la siguiente tabla utilizando solamente la idea de pendiente. 6 f() b) Confirma que tus cálculos son correctos escribiendo una epresión para f(). a) Si a b son los valores que faltan, entonces: a a a 9 6 b b b Por tanto la tabla completa es: 6 f() 9 b) La función lineal pasa por los puntos A(, ) B(, ), entonces una epresión para f() es: m + n ) +. m m, n. Luego f ( m + n Unidad Funciones lineales cuadráticas

14 . Corresponde esta tabla a una función de proporcionalidad directa? En caso afirmativo, calcula su constante de proporcionalidad., 6 7 f() 7, 6 7, Corresponde a una función de proporcionalidad directa porque, La constante de proporcionalidad es una epresión para f() es f ( ). 6. La función f ( ) ( + ) corresponde con la diferencia de cuadrados de dos números consecutivos. a) Demuestra que es una función lineal. b) Encuentra dos números enteros consecutivos cua diferencia de cuadrados sea. a) Se desarrolla el cuadrado se simplifica la epresión: f ( ) ( + ) Por lo tanto f ( ) es una función lineal. b) Se resuelve ( + ) + 6 Por lo tanto un número es 6 el otro Ordena de menor a maor las pendientes de las siguientes rectas. Qué rectas pasan por el origen? Cuáles son horizontales? Se observan las pendientes mq < mr < ms < mt < mp de las rectas se tiene: Ninguna recta pasa por el origen. Es horizontal la recta s que tiene pendiente.. Actividad resuelta. Funciones lineales cuadráticas Unidad 9

15 9. En cada uno de los casos siguientes decide si es posible determinar una función f() de proporcionalidad directa que verifique las condiciones dadas., a) f ( 6 ), c) f ( ), 6 f ( ) b) f ( ), d) f ( ), f ( ) a) f ( 6 ),, m ( 6 ) m,, 6 Luego la función de proporcionalidad directa es: f ( ), b) No se puede determinar una función de proporcionalidad directa porque la ordenada en el origen es. c) f ( ),6,6 m m,,6,, f ( ),, m ( ) m Luego la función de proporcionalidad directa es: f ( ), d) f (),, m m, f ( ),, m ( ) m,,. Como,, entonces no se puede determinar una función de proporcionalidad directa. 6. Si la función lineal f() verifica que f ( ) f ( ), cuál es el valor de f ( ) f ( )? Como la función es lineal, la pendiente es f ( ) f ( ). Entonces: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) 6. Escribe la ecuación eplícita de las rectas que tienen estas características. a) La pendiente es la ordenada en el origen. b) La pendiente es pasa por el punto A(, ). c) La ordenada en el origen es pasa por el punto A(, ). d) La pendiente es pasa por el punto A(, ). + a) + b) c) d) + 6. Calcula la ecuación eplícita general de las siguientes rectas. a) Recta que pasa por los puntos A(, ) B(, 7). b) Recta que pasa por los puntos A(, ) B(7, ). c) Recta que pasa por los puntos A(, ) B(, 7). a) Ecuación eplícita: + Ecuación general: + b) Ecuación eplícita: Ecuación general: c) Ecuación eplícita: Ecuación general: Unidad Funciones lineales cuadráticas

16 6. Dados los siguientes pares de rectas, estudia si son paralelas o secantes. Calcula el punto de corte en aquellas que sean secantes. a) r : + b) r : + 7 s : s : s : s : + a) r : + r : + Luego mr ms. Las rectas r s son secantes. + (,) Punto de corte: b) r : + 7 r : + s : s : 6 Luego m r ms. Las rectas r s son paralelas. 6. Calcula la ecuación punto-pendiente de estas rectas escribe sus ecuaciones eplícita general. a) b) m a) Dos puntos por los que pasa la recta son A(, ) B(, ). Pendiente de la recta: Ecuación punto-pendiente: Ecuación eplícita: ( ). ( ) ( ) Ecuación general: b) Dos puntos por los que pasa la recta son A(, ) B(, ). Pendiente de la recta: m Ecuación punto-pendiente: Ecuación eplícita: 6. ( ) ( + ) Ecuación general: + Funciones lineales cuadráticas Unidad

17 6. Calcula k para que las rectas sean del tipo indicado: + k son paralelas. a) + k + son secantes. b) + + a) + +, + k +. k k Si son rectas paralelas, entonces las pendientes deben coincidir: b) + + k k k, k + +. Si son rectas secantes, entonces las pendientes deben ser distintas: k k 66. Actividad resuelta. pasa por el punto A(, ). 67. Calcula la ecuación de la recta que siendo paralela a la recta + Eprésala en forma general. La recta pedida es paralela a +, entonces debe tener la misma pendiente: + + m m + n + n n. Pasa por A(, ): epresada en forma general es:. La ecuación eplícita de la recta es: 6. Calcula la ecuación de la recta que siendo paralela a la bisectriz del. A (,). er cuadrante, pasa por el punto La bisectriz del.er cuadrante tiene por ecuación. La recta pedida es paralela a la bisectriz del.er cuadrante, entonces tiene la misma pendiente m. Pasa por A (,) : m + n + n n. La ecuación eplícita de la recta es:. 69. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto de corte de r : + 6 s: + es paralela a la recta t : + La recta pedida pasa por el punto de corte de r s: + 6, + 9 La recta pedida es paralela a t, entonces debe tener la misma pendiente: t : + m + n + m +n n 9 La ecuación eplícita de la recta es: + Unidad Funciones lineales cuadráticas

18 7. El área del triángulo de la figura es unidades cuadradas. Si el vértice A es el punto A(, ), calcula la ecuación de la recta sobre la que está la hipotenusa. Se halla el punto B que está sobre el eje X, luego las coordenadas son (, ). Si el área es unidades cuadradas, entonces:. Por tanto, B(, ). Se calcula la recta que pasa por A B: Pendiente: m. La ecuación eplícita de la recta es: Villaperro Villagato están a km de distancia unidos por un camino. Laura baja corriendo desde Villagato a 7 km/h. Inés sube hacia Villagato a km/h. a) Escribe la ecuación de la recta que describe la distancia de cada una a Villaperro en función del tiempo. b) Representa ambas gráficas. A qué hora se encuentran? a) Si llamamos a la distancia recorrida el tiempo, entonces las ecuaciones de la recta que describen las distancias de Laura e Inés son: Ecuación de la distancia de Inés: Ecuación de la distancia de Laura: 7 b) Laura e Inés se encuentran a las horas de haber salido. Funciones lineales cuadráticas Unidad

19 7. Una barra de hierro mide m de longitud a ºC. Su longitud crece a medida que aumenta la temperatura ( según la función l ( t ) + 6 t ) donde t mide la temperatura en grados centígrados l ( t ) la longitud en metros. a) Calcula la pendiente la ordenada en el origen de esta función lineal. b) Calcula la longitud de la barra a ºC. c) Si la barra mide, m, a qué temperatura está? ( ) a) l ( t ) + 6 t 6 6 t + Pendiente: 6 6 Ordenada en el origen: b) l ( ) 6 6 +, c), 6 6 t + t 9 C 7. Observa estas parábolas contesta a las preguntas. a) Escribe las coordenadas del vértice. Es un máimo o un mínimo? b) Tiene puntos de corte con el eje de abscisas? En caso afirmativo, indica sus coordenadas. c) Tiene puntos de corte con el eje de ordenadas? En caso afirmativo, indica sus coordenadas. d) Copia las parábolas en tu cuaderno dibuja los ejes de simetría. Cuáles son sus ecuaciones? a) Vértice: (, ) Mínimo Vértice: (, ) Mínimo b) No. Sí, (, ) (, ) c) Sí, (, ). Sí, (, ). d) Eje de simetría: Eje de simetría: 7. Encuentra el eje de simetría el vértice de la parábola +. Eje de simetría: ( ) Vértice: + 6 (, 6 ) Unidad Funciones lineales cuadráticas

20 7. Dada la parábola 6 +, resuelve: a) En qué puntos corta la parábola al eje horizontal? b) Cuál es la ecuación de su eje de simetría? c) Encuentra las coordenadas del vértice. d) Represéntala. a) Puntos de corte con el eje horizontal: 6 +, (, ), (, ) b) Ecuación del eje de simetría: ( 6 ) 6 c) Vértice: 6 + (, ) d) Empareja cada gráfica con su ecuación. a) c) b) d) A. f ( ) + C. g ( ) ( + ) ( ) B. h ( ) D. i ( ) + a) C. g ( ) ( + ) ( ) + + c) D. i ( ) + b) B. h ( ) d) A. f ( ) + Funciones lineales cuadráticas Unidad

21 77. Dada la parábola 6 + : a) Corta el eje de abscisas en algún punto? b) Y el eje de ordenadas? c) En caso afirmativo, encuentra sus coordenadas. a) No corta al eje de abscisas porque la ecuación 6 + tiene discriminante 6 <. b) Sí. c) Corte con el eje de ordenadas (, ). 7. Halla el valor de a para que el punto A(, ) pertenezca a la parábola f ( ) + + a. Se sustitue el punto A(, ) en la parábola se resuelve: f ( ) ( ) + ( ) + a + a a Luego a. 79. Halla el valor de k para que el punto A(, ) pertenezca a la parábola f ( ) + k +. Se sustitue el punto A(, ) en la parábola se resuelve: f ( ) ( ) + k ( ) + k + k 7 Luego k 7.. Representa las siguientes parábolas. a) + b) 6 + ( ) c) ( + ) d) ( 7 ) ( ) + + a) c) b) d) Unidad Funciones lineales cuadráticas

22 . Escribe la ecuación de una parábola que tenga su vértice en el eje de abscisas tenga abscisa negativa. Respuesta modelo: + + Abscisa del vértice:. Escribe las ecuaciones de dos parábolas diferentes que tengan el mismo vértice. Respuesta modelo: e. Calcula cuántos puntos de corte puede tener con el eje de abscisas la parábola a + b + c en cada caso. a) Si a > c >. b) Si a c <. Se estudia el discriminante de la ecuación a + b + c, es decir, b ac. a) Si a > c >, entonces ac >. Luego: Si b > ac, la ecuación tiene dos soluciones, es decir, la parábola tiene dos puntos de corte con el eje X. Si b ac, la ecuación tiene una solución, es decir, la parábola tiene un punto de corte con el eje X. Si b < ac, la ecuación no tiene solución, es decir, la parábola no tiene puntos de corte con el eje X. b) Si a c <, entonces ac <. Luego b ac >, para cualquier valor de b. Por tanto, la ecuación tiene dos soluciones, es decir, la parábola tiene dos puntos de corte con el eje X.. Escribe algunos valores de c para que la parábola + c no corte al eje de abscisas. Son válidos todos los valores de c tales que c >.. Deduce la fórmula que epresa el valor de la abscisa del vértice de la parábola a + b + c partiendo de dos puntos con la misma ordenada. Sean dos puntos A(, n ), B (, n ) con la misma ordenada. El vértice de la parábola está situado en el eje de esta, entonces su abscisa es el punto medio de las abscisas de A B. + es la fórmula que epresa el valor de la abscisa del vértice partiendo de dos puntos con la misma ordenada. Luego: Funciones lineales cuadráticas Unidad 7

23 6. Halla dos números cua suma sea tales que el cuadrado de uno más el doble del otro sea mínimo. La suma de los dos números es, entonces uno es el otro. Ha que minimizar la epresión + ( ) +. Es una epresión cuadrática con a >, entonces el mínimo se encuentra en el vértice: ( ) Luego un número es el otro Un agente comercial cobra por la venta de un cierto producto una comisión que viene dada por la epresión C ( ) +, donde representa la cantidad, en miles de euros, de la venta efectuada. Determina la cantidad que habrá que vender para que la comisión sea máima. La epresión C() que determina la comisión que cobra el agente es una función cuadrática con a <. Luego el máimo se encuentra en el vértice.. Por tanto, la comisión será máima cuando realice una venta de. Abscisa del vértice:. Escribe la diagonal de un rectángulo de perímetro cm en función de su base,. Cuál es el valor mínimo de dicha diagonal? Sea la base e la altura del rectángulo. Si el perímetro es cm entonces: El valor de la diagonal al cuadrado es: d + ( ) La epresión de la diagonal al cuadrado es una función cuadrática con a >. El valor mínimo corresponde al ( ) vértice de la parábola: Luego d +. Por tanto, el valor mínimo de la diagonal es cm. 9. Una compañía de transportes ha comprobado que el número de viajeros diarios depende del precio del billete, según la función n ( p ) 6 p donde n(p) es el número de viajeros cuando p es el precio del billete. Calcula: a) La función que epresa los ingresos diarios I de esta empresa en función del precio del billete p. b) El precio del billete que hace máimos dichos ingresos. c) A cuánto ascenderán dichos ingresos máimos? a) I ( p ) n ( p) p 6 p + p. ( 6 p ) p b) I ( p ) es una epresión cuadrática con a <, entonces el máimo es encuentra en el vértice p ( 6 ) viajeros. c) I ( ) Por tanto los ingresos máimos ascenderán a 7. Unidad Funciones lineales cuadráticas

24 9. Representa las funciones cuadráticas f ( ) + +, g ( ) + + h ( ) 7 +. a) Cuál es el signo de f(, )? b) Ha algún punto en el que h() sea negativa? c) A cuál de las tres funciones le corresponde esta gráfica? Las gráficas de las tres funciones cuadráticas son: f ( ) + + g () + + h ( ) 7 + a) La parábola f ( ) + + no tiene puntos de corte con el eje X, luego f(, ) >. b) Se estudian los puntos de corte de h() con el eje X: h ( ) 7 +,. Por tanto, para los puntos con abscisa entre la función cuadrática h() es negativa. c) Corresponde a la función h() porque los puntos de corte con el eje de abscisas son (, ), (, ) el vértice 7 9,. 9. La región sombreada de la figura está limitada por tres semicircunferencias de diámetros AC, CB AB siendo C un punto del diámetro AB de la maor. Si AC AB : a) Escribe en función de el perímetro el área de esta región. b) Qué tipo de funciones son el perímetro el área? c) Depende de el perímetro de la figura? d) Cuáles son los valores del área para para? Radio de la circunferencia diámetro CB: rcb Radio de la circunferencia diámetro AC: rac a) Perímetro región (): P π + ( ) π π π Perímetro región (): P π Perímetro de la región sombreada: P P + P π π + π π P π π π π π ( ) Área región (): A Área región de la región sombreada: A A + A Área región (): A π π π π + π unidades. b) El perímetro es una función constante el área es una función lineal. c) No depende de, es una función constante. d) Si, A π. Si, A π π unidades. Funciones lineales cuadráticas Unidad 9

25 9. El volumen,, de un prisma cua base mide 6 cm de área, depende de la altura según la función 6. a) Cuál es el volumen si la altura es cm? b) Cuál es la altura de un prisma si su volumen es 6 cm? a) Si, 6 6 cm. Volumen 6 cm. b) 6 6 6,. Altura, cm Las tarifas de los tais de una ciudad están en función de una cantidad fija por bajada de bandera una cantidad proporcional a los kilómetros recorridos. María paga por un viaje de km,, por un viaje de km. a) Cuál es la cantidad fija de bajada de bandera? b) Escribe la función que relaciona el precio de la carrera con el número de kilómetros recorridos. a) Si se tiene que pagar una cantidad fija por bajada de bandera una cantidad proporcional a los kilómetros recorridos, entonces la función es lineal m + n. Se resuelve el sistema: m + n m, n,, m + n Luego, la cantidad fija de la bajada de bandera es,. b) Si llamamos al número de kilómetros recorridos e al precio de la carrera, entonces la función es:, +, 9. El precio del alquiler de un coche en la empresa ALQBAR se compone de una cantidad fija de más una proporcional al número de kilómetros recorridos. Orlando, que ha hecho km más que Carmen, ha pagado más. Escribe la función que relaciona los kilómetros recorridos con la cantidad a pagar. Sean los kilómetros recorridos e la cantidad a pagar por Carmen. La función es lineal la pendiente es: m,6 Luego la función que relaciona los kilómetros recorridos con la cantidad a pagar es: +,6 Unidad Funciones lineales cuadráticas

26 9. Dos hermanos heredan una parcela en forma de triángulo rectángulo de m de superficie con las dimensiones que se observan en la figura. Desean construir un muro MN a metros del vértice B que divida a la parcela en dos regiones de igual área. a) Demuestra que la longitud del muro es MN. b) Prueba que el área de la región dada por el triángulo MNB viene dada por la función f ( ). c) Representa la parábola f(). (Toma para la escala del eje de abscisas m para el eje de ordenadas m). d) A la vista de la gráfica decide aproimadamente la situación del muro. e) Resolviendo una ecuación de segundo grado, decide el valor eacto de para que las dos regiones tengan igual área. f) Calcula eactamente la longitud del muro que deben construir. a) Si el área es m, entonces el lado AC es: Por el teorema de Tales: b) Área del triángulo MNB: AC AC 6 m. MN 6 MN 6 c) d) A la vista de la gráfica, el muro se ha de situar a unos m del vértice B. e) Se resuelve f) La longitud del muro es: 6,7. El muro se debe situar a 6,7 m del vértice B., m. 6,7 Funciones lineales cuadráticas Unidad

27 96. El producto de todos los valores de a para los que las tres rectas r :, s : 6 t : a 7 no forman triángulo es: A. 6 B. 6 C. 7 D. Para que las tres rectas no formen triángulo la pendiente de la recta t debe coincidir con la pendiente de la recta r o de la recta s, o las tres rectas deben cortarse en el mismo punto. La pendiente de r es la pendiente de s es. Luego a o a. Las rectas r s se cortan en el punto (, ). Para que t pase por ese punto, a. Luego el producto es. Respuesta D. 97. Las gráficas de + de se cortan en los puntos A B. Las abscisas de A B son las soluciones de la ecuación: A. + + Se resuelve B. + C. D. +. Luego la respuesta correcta es C Si la parábola + b 9 tiene su vértice en el eje de abscisas, b es: A. B. C. D. 6 Si el vértice se encuentra en el eje de abscisas, entonces sus coordenadas son (, ). La abscisa del vértice es: b b ( ) Se sustitue en la epresión de la parábola se resuelve la ecuación de segundo grado con incógnita b: b b + 9 b 6 b 6, b 6 Luego la respuesta correcta es D. k 99. Los puntos A(, ), B(, ) C, están alineados. Por tanto, el valor (o valores) de k es: A. B. C. ± Recta que pasa por A B: m + n m, n 9 9 m +n La recta pasa por el punto C: k k 9 6 k Luego la respuesta correcta es A. Unidad Funciones lineales cuadráticas D. 6

28 . Definimos un punto reticular como aquel en el que sus coordenadas son números enteros. Cuántos puntos reticulares ha en el interior de la región limitada por el eje de abscisas, el conjunto de puntos de abscisa el conjunto de puntos (, ) tales que? A. B. C. D. Observando la representación de la región se tiene que el número de puntos reticulares que ha en el interior de la región es. Luego la respuesta correcta es B.. La tabla adjunta muestra la distancia s recorrida por una bola en un plano inclinado durante t segundos: t s 9 6 La distancia recorrida para t, segundos es: A. B. 6, C. 7 D. 7 Observando la tabla se tiene que s t. Luego si t,, s (, ) 6,. Por tanto, la respuesta correcta es B.. Manuel tiene que resolver esta actividad: Escribe en la forma a + b + c la ecuación de la parábola ( ) ( ) comprueba que lo que has obtenido es correcto. Esta es su respuesta: Operando simplificando se obtiene la parábola: ( ) ( ) Se comprueba que la parábola obtenida coincide en un punto con la del enunciado. Por ejemplo, : 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Así pues, ambas epresiones son la misma. Dónde está el error? ( ). Según Manuel, ( ) cuadrado de una diferencia, es decir, ( ) +. El error está en el desarrollo es incorrecto, porque se trata del Funciones lineales cuadráticas Unidad

29 PONTE A PRUEBA La factura de la luz Actividad resuelta. El abono Las entradas para la ópera en la temporada -6 pueden adquirirse según las siguientes tarifas: Tarifa A: el abono para toda la temporada. Tarifa B: 7 por un abono 6 por cada sesión a la que asistes. Tarifa C: 9 por cada sesión a la que asistes.. Completa la siguiente tabla. Tarifa A Precio por sesiones PA ( ) Precio por sesiones PA ( ) Precio por sesiones PA ( ) PC ( ) 9 PC ( ) PC ( ) PB ( ) Tarifa B Tarifa C PB ( ) PB ( ). Escribe en función del número de sesiones,, el precio que deberá pagar según la tarifa utilizada, PA ( ), PB ( ) PC ( ).. Dibuja en un mismo sistema de ejes las gráficas que representan cada una de las tarifas.. A la vista de las gráficas, cuál es la tarifa más interesante para Enrique si piensa asistir a sesiones?. A partir de cuántas sesiones crees que la tarifa más interesante es la A? A. B.. C. Tarifa A Precio por sesiones PA ( ) Tarifa B PB ( ) Tarifa C PC ( ) 9 D. Precio por sesiones PA ( ) Precio por sesiones PA ( ) PC ( ) 9 PC ( ) PB ( ) PB ( ) 6. PA ( ), PB ( ) 7 + 6, PC ( ) 9.. A la vista de las gráficas, para sesiones le interesa la tarifa B, porque el precio es menor, la gráfica está por debajo de las otras dos gráficas.. Observando las gráficas se ve que la que corresponde a la tarifa A queda por debajo de las otras a partir de las sesiones. Por tanto, la respuesta correcta es D. Unidad Funciones lineales cuadráticas

30 El teatro El director de una sala de teatro sabe que si el precio de la entrada es de acuden unos espectadores por cada euro de reducción en dicho precio acuden espectadores más. Completa la tabla siguiente en tu cuaderno. Reducción ( ) Precio de la entrada ( ) N.º de espectadores Recaudación ( ) 9 6. El director de la sala quiere determinar el precio de la entrada que le permita obtener la maor recaudación. Llamando R a la función que da la recaudación (en euros) en función de la reducción (en euros), la gráfica de R() es la de la figura.. Observando la gráfica audándote del primer apartado si te hace falta, responde a las siguientes cuestiones: Cuál es la recaudación reducción de? Cuál es la reducción para una recaudación de? Cuál es, entonces, el precio de la entrada? Cuál es la imagen de en la función R()? Interpreta este resultado en el problema. Cuál es la recaudación máima? A. para una B. C. D. C. D. 6. Cuál sería entonces el precio de la entrada? A. B.. Reducción ( ) Precio de la entrada ( ) N.º de espectadores Recaudación ( ) ( + )( ). El precio de la entrada para obtener maor recaudación se obtiene con una reducción de. Luego el precio de la entrada es.. La recaudación para una reducción de es. Para hallar la reducción para una recaudación de se resuelve: 7. ( + )( ) 7 (no válida) Luego la reducción es de 7 el precio de la entrada de 7. La imagen de es R(). Si se reduce el precio de la entrada, entonces el número de espectadores es 9 la recaudación. La recaudación máima es, es decir, la respuesta correcta es C.. La reducción del precio de la entrada para obtener la máima recaudación sería, es decir, el precio de la entrada sería. Luego la respuesta correcta es D. Funciones lineales cuadráticas Unidad

31 AUTOEVALUACIÓN. Halla las funciones lineales que tienen las siguientes características. Indica la pendiente la ordenada en el origen. a) Es decreciente el punto B(, ) pertenece a ella. b) Pasa por el punto A(, ) su constante de proporcionalidad es. c) Es constante pasa por el punto C(, ) a) Si la función lineal es decreciente, entonces m <. Se resuelve m ( ) + n n + m. Luego, la función lineal es m + + m, pendiente m ordenada en el origen + m b) Se resuelve + n n. Luego la función lineal es, pendiente ordenada en el origen. c) Si la función lineal es constante, entonces m. Pasa por C(, ), luego la función lineal es, pendiente ordenada en el origen.. Dibuja las gráficas de las funciones que sean de proporcionalidad directa. b) a) + c) Son funciones de proporcionalidad directa b) c).. Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(, ) B(, ). Eprésala en forma general eplícita. m Pendiente: ( ) ( ) Ecuación eplícita:.. 7 Ecuación punto-pendiente: + ( + ) Ecuación general: Calcula la recta que pasa por el punto A(, ) es paralela a la recta 7. Pendiente de la recta m Ecuación punto-pendiente: + ( ) Ecuación general: Ecuación eplícita: Son secantes las rectas + 9 e? En caso afirmativo, halla su punto de corte. La pendiente de + 9 es la pendiente de es. Como son distintas, las rectas se cortan. Punto de corte: ,, es el punto de corte. El punto A(, ) pertenece a la parábola 6 +? Se sustitue el punto A en la parábola se tiene 6 +. Luego el punto A pertenece a la parábola. 6 Unidad Funciones lineales cuadráticas

32 7. Dada la parábola + 9. a) Hacia dónde apuntan sus ramas? b) Calcula las coordenadas de su vértice. c) Cuál es su eje de simetría? d) Halla sus puntos de corte con los ejes de coordenadas. e) Esboza su gráfica. a) Las ramas de la parábola apuntan hacia arriba porque a >. b) Abscisa del vértice: Ordenada del vértice: ( ) + ( ) 9 Coordenadas del vértice: (, ) c) Eje de simetría: d) Punto de corte con el eje de ordenadas: 9 (, 9 ) Puntos de corte con el eje de abscisas: + 9, 9 (, ), ( 9, ) e). Encuentra el valor máimo del producto de dos números que sumen. Si es uno de los números, el otro número es. Entonces ha que encontrar el máimo de la epresión: ( ) + Es una función cuadrática con a <. El valor máimo se encuentra en el vértice:. ( ) El valor máimo es Escribe la diagonal de un rectángulo de perímetro cm en función de su base,. Cuál es el valor mínimo de dicha diagonal? Si el perímetro del rectángulo es cm la base, entonces la altura del rectángulo es. La diagonal d es: d + ( ) + d + Se considera la epresión del cuadrado de la diagonal: d + ( ) + porque el mínimo para d, es mínimo para d. Esta epresión es una función cuadrática con a >. El valor mínimo se encuentra en el vértice: d + Luego el valor mínimo de la diagonal es d cm. Funciones lineales cuadráticas Unidad 7