aw + bw bw + aw = a ab + b

Transcripción

1 1. Demostrar que si w 1 3 i +, entonces ( )( ) Desarrollando y factorizando la ecuación: aw + bw bw + aw abw + w( a + b ) + abw ( )( ) 4 3 aw + bw bw + aw a ab + b. Llevando w a su forma eponencial tenemos y reemplazando en la ecuación anterior: r 1 π π π π i i i i w + i i π w e, ab e e ( a b ) ab e ϕ π π i i 3 πi 4π 4π 3 π π abe e ( a + b ) + abe ab(cos isin ) ( a + b )( cosπ isinπ ) + ab cos isin ab( + i ) ( a + b )( 1) + ab i a b ab + ( )( ) aw + bw bw + aw a ab + b. Si z 4, hallar + 3 i 3 1 z ; ( + + i ) ( + + i ) i 3 z + 3 i i i 3 4 z i 3 r π i 1 π π Llevando a su forma eponencial z i 3 π z e cos + isin ϕ Aplicando el teorema de M ovre: π π 1 π π 1 z cos + isin cos1 + isin1 ( 1) z 3. Que corresponde en el plano z la red polar w R,arg( w) α, en la transformación z ( ) + iy y + yi y yi w e e e e e Llevando w, a su forma eponencial w Re. αi e igualando a la anterior epresión: y yi i w e e Re. α ln Igualando los radios y los argumentos, tenemos: ; y R y yi α e Re e i y α + kπ z w e, además mostrar la gráfica. Graficando la ecuación y lnr, en el plano y para R e y 1: jny_hc@hotmail.com 1

2 1 Graficando la ecuación y α + kπ para α 1, k 0 y : 4. Mostrar que si u(, y ), es una función que tiene derivadas parciales de orden entonces: según las siguientes funciones tenemos que: z + z z z u u(, y),, y,,, i z z i z z i u u u u1 u z z z i u 1 u 1 u 1 u u 1 u u z z z i z z z i z y z u u u + 4 z z u 1 u1 u 1 1 u 1 u 1 1 u 1 u 1 u 1 u z z i i y i 4 4i 4i 4 y u 1 u u u u u z z 4 y y z z jny_hc@hotmail.com

3 ( 3 i) z + ( 4 + i) w + 6i 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones ( 4 + i) z ( + 3i ) w 5 + 4i lo más recomendable para resolver este tipo de ecuaciones es aplicar determinantes: + 6i 4 + i ( ) ( i) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) z 5 + 4i + 3i + 6i + 3i 4 + i 5 + 4i z 1+ i z 1+ i z 3 i 4 + i 3 i + 3i 4 + i 4 + i + 3 Reemplazando z en la primera ecuación: ( )( ) ( ) ( + 6i) ( 3 i)( 1+ i) ( 4 + i) 3 i 1+ i i w + 6i w w i. Dada la parte real u y ( + y ) empleando una de las ecuaciones de CAUCHY-RIEMAN u y y + y ( + y ) ( + y ), hallar v, de modo que f( z) u + iv sea analítica y además que u, derivando u respecto a y e igualando: 1 f(1) + i : Integrando respecto a, nota como la integral es respecto a se debe añadir una constante que dependa de y: y y v + k( y) v k( y) ( + y ) + y Ahora empleando la da ecuación de CAUCHY-RIEMAN ( ) u y ( + y ) ( + y ) ( + y ) y dk + dy, derivando v respecto a y: y ( + y ) u y u v y y dk ( ) y y + dk ydy + c k y y + c dy y y Entonces: v + y + c f( z) u + iv y + i y + c ( + y ) ( + y ) ( + y ) Evaluando la función en 1 tenemos: f (1) ( 1 ) 1 (1 0 ) i ( 1 0 ) c i + i + c + i c + + y f( z) u + iv y + i y 1 ( + y ) ( + y ) jny_hc@hotmail.com 3

4 3. Encontrar la imagen del cuadrado unitario de vértices ABCD en el plano w bajo la transformación w f( z) 1+ i z, A(0,0), B(1,0), C(1,1), D (0,1) ( ) w f( z) 1+ i z 1+ i + iy y + i + y u + iv ( ) ( )( ) ( ) ( ) u + v Igualando las partes imaginarias y las partes reales: u yv, + y v u y Graficando el cuadrado unitario: Según la grafica obtenemos las siguientes funciones, u + v 0 u v u + v 1 u v v u y 0 v u v u y 1 v + u u v u v Graficando en el plano w según las anteriores transformaciones: v u v + u 4. Hallar sinz como sinz es una función analítica, entonces recordamos que para cualquier z C se da z zz, etendiendo la anterior relación para la función trigonométrica: iz iz iz iz i( z+ z) i( z z) i( z z) i( z+ z) e e e e e e e + e z + z sinz ( sinz)( sinz) ( sinz)( sin z). i i 4 z z iy sinz i y y i i i y y i i y y e e e + e + e + e e + e e e e e + + sin + sinh 4 4i 4 i sinz sin + sinh y y jny_hc@hotmail.com 4

5 1. Hallar la solución de la ecuación z iz (1 + i) 0; z + iy C Operando algebraicamente y separando partes reales e imaginarias tenemos: + y + y 0 z iz (1 + i) ( + y ) ( i + iy) (1 + i) ( + y + y ) + i( ) 0 + i Reemplazando en la primera ecuación: ( ) 1 + y + y 0 y + y 1 0 y 1±. Dada la función ( ) ( ) z 1+ i 1± w z 1, hallar la imagen de la recta y en el plano w. Primero debemos hallar u, v en función de, y, esto comparando partes reales e imaginarias y + 1 u w ( z 1) z z + 1 ( + iy) ( + iy) + 1 ( y + 1) + i(y y) u + iv y y v ( ) y + 1 u 1 u + y... α Factorizando la primera y la segunda ecuación: v y y v ( 1)... β y y y ϕ La ecuación de la recta se la puede epresar de la siguiente manera: ( ) ( ) ( ) y + 1 u + y y + 1 u y u 1...* Ecuación ϕ en α y en β ; v ( y + 1)...** y v v Ecuación * en **;( y + 1) y 1...*** u 1 u 1 v Ecuación *** en * tenemos; 1 u 1 u v + 1 u 1 Entonces la ecuación de una recta se transforma en la ecuación de una parábola: jny_hc@hotmail.com 5

6 y 3. Demostrar que u(, y) e cos( y) es una función armónica: Solución si u es una función armónica debe cumplir con la ecuación de LA PLACE. u u + 0 Para ello debemos hallar la derivada de orden respecto a y respecto a y: u y y e cos( y) ye sin( y) u y y y y y e cos( y) + ( e cos( y) ye sin( y) ) y e sin( y) + ye cos( y) u y y y y y e cos( y) + 4 e cos( y) 4ye sin( y) 4ye sin( y) 4y e cos( y) u y y y y e cos( y) + 4 e cos( y) 8ye sin( y) 4y e cos( y) u y y ye cos( y) e sin( y) ( ) ( ) u y y y y y ( e cos( y) + y ( ye cos( y) e sin( y) )) ( ye sin( y) + e cos( y) ) y u y y y y y e cos( y) + 4y e cos( y) + 4ye sin( y) + 4ye sin( y) 4 e cos( y) u e cos( y) 4 e cos( y) + 8ye sin( y) + 4y e y y y y Sumando las derivadas de orden vemos que se cancelan todas las epresiones: armónica. cos( y) u u + 0 entonces la función es 4. Dada la función u(, y) e cosy + y hallar la función conjugada v(, y) tal que f( z) u + iv sea analítica si f (0) 1 u empleando una de las ecuaciones de CAUCHY-RIEMAN, derivando u respecto a y e igualando: u e siny + 1 v ( e siny 1) Integrando respecto a, en consecuencia debemos sumar una constante que dependa de y: ( ) v e siny 1 + k( y) v e sin y + k( y) u Empleando la segunda de CAUCHY-RIEMAN y dk u e cosy + e cosy k c v e sin y + c f( z) u + iv e cosy + y + i e siny + c dy, derivando v respecto a y e igualando: ( ) ( ) 0 0 Evaluando la función en 0: f(0) ( e cos0 + 0) + i ( e sin0 0 + c) 1 c 0 ( ) ( f z u + iv e cosy + y) + i( e siny ) jny_hc@hotmail.com 6

7 NÚMEROS COMPLEJOS z + z Re( z) Sea z + iy entonces la parte real e imaginaria son: z z Im( z) i ρ + y Forma polar de los números complejos z ρ(cosϕ + isin ϕ) donde: y ϕ arctan n n Formula D movre: z ρ (cosnϕ + isin nϕ) Otras propiedades de los números complejos, si: z1. z ρ1. ρ(cos( ϕ1 + ϕ ) + isin ( ϕ1 + ϕ )) z1 ρ1(cosϕ1 + isin ϕ1) z1 ρ1 z ρ(cosϕ + isin ϕ) (cos( ϕ1 ϕ ) + isin ( ϕ1 ϕ )) z ρ Radicación de los números complejos: n 1/ n 1/ n ϕ πk ϕ πk Si: z ω ω z ωk ρ cos + + isin + ; k 0,1,,3,..., n 1 n n iϕ Forma eponencial de los números complejos: ρ. e ρ(cosϕ + isin ϕ) z FUNCIONES u u Ecuaciones de CAUCHY-RIEMAN ; siempre y cuando ( ) f z u + iv sea analítica. Representación de las Ecuaciones de CAUCHY-RIEMAN en coordenadas conjugadas: f( z) f( z) 0, en consecuencia tenemos que: f ( z) (derivada ordinaria). z z f f Fuciones armónicas: si f(, y ) es armonica entonces se debe cumplir con: + 0 FUNCIONES ELEMENTALES i) Función eponencial z e e ( cosy isiny) + ii) Funciones trigonométricas iz iz iz iz iz iz iz iz e e e + e e e ie ( + e ) i sin z,cos z,tan z,cot z,sec z,cscz i ie ( + e ) e e e + e e e iz iz iz iz iz iz iz iz iii) Funciones hiperbólicas z z z z z z z z e e e + e e e ( e + e ) sinh z,cosh z,tanh z,coth z,sec hz,cschz ( e + e ) e e e + e e e z z z z z z z z jny_hc@hotmail.com 7

8 iv) Función logaritmo r + y ln( z) ln( + iy) ln r + ( θ + kπ) i y θ arctan v) Funciones trigonométricas inversas iz 1 i + z 1 arcsinz ln( iz + 1 z ), arccosz ln( z + z 1), arctanz ln, arc cscz ln i i i 1 iz i z z 1 z + i arcsecz ln, arccotz ln i z i z i vi) Funciones hiperbólicas inversas 1 1+ z 1+ z + 1 arcsinhz ln( z + z + 1), arccoshz ln( z + z 1), arctanhz ln, arc cschz ln 1 z z 1+ 1 z 1 z + 1 arcsechz ln, arccothz ln z z 1 jny_hc@hotmail.com 8