Matemáticas Básicas. 1 de octubre de 2005

Transcripción

1 Matemáticas Básicas de octubre de 005

2 Índice general. Combinatoria, binomio de Newton y simbología.. Los números naturales y racionales. Combinatoria El simbolo Σ Combinatoria Variaciones ordinarias Variaciones con repetición Combinaciones Combinaciones con repetición Numeros combinatorios Binomio de Newton Ejercicios propuestos Trigonometría.. Trigonometría Trigonometría plana Relación entre estas medidas Angulos complementarios y suplementarios Razones trigonométricas Ángulos notables Relación entre las razones trigonométricas de ángulos en distintos cuadrantes Relaciones fundamentales en un triángulo Funciones recíprocas Resolución de triángulos Fórmulas trigonométricas Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Funciones trigonométricas Propiedades fundamentales La tangente, cotangente, secante y cosecante Funciones trigonométricas inversas Números complejos Introducción El cuerpo de los números complejos Inmersión de R en C i

3 Indice General 3.4. Representación geométrica de los númeroscomplejos Módulo y argumento Raíces de números complejos Aplicación al cálculo trigonométrico Ejercicios Polinomios Factorización de polinomios Funciones lineales y cuadráticas. Circunferencia y elipse Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado Ecuaciones en dos variables Ecuación de primer grado. La recta Líneas de segundo orden. Cónicas Funciones eponencial y logarítmica Función eponencial Función logarítmica Función logarítmica de base cualquiera Límites y continuidad Límite de una función en un punto Propiedades Límites laterales Dos límites fundamentales Funciones equivalentes en un punto Funciones continuas Propiedades de las funciones continuas en un punto Funciones monótonascontinuaseinversas Ejercicios Derivabilidad de funciones Derivada Cálculo de derivadas Integrales de funciones. Primitivas Concepto de primitiva Integración de funciones elementales Integración por descomposición Integración por sustitución Integración por partes Integración de funciones racionales Integración de funciones trigonométricas Ejercicios Ejercicios propuestos ii

4 Capítulo Combinatoria, binomio de Newton y simbología Sumario. El principio de inducción. El símbolo sumatorio. Conceptos y fórmulas del análisis combinatorio: variaciones, permutaciones y combinaciones. Números combinatorios. Binomio de Newton. Ejercicios... Los números naturales y racionales. Combinatoria. Sabemos que los naturales se notan por N yson{0,,,...}, podemos definir en ellos una suma y un producto, propiedades que el alumno conoce y domina, aquí recordaremos el principio de buena ordenación y el método de inducción. Principio de buena ordenación.- Todo subconjunto no vacio tiene primer elemento. Método de inducción.- Dado un subconjunto U de N, cuyos elementos se caracterizan por verificar la propiedad P, es decir, U {k N /P (k)} ;siseverifica:. La propiedad es cierta para un valor inicial. (0 U o U). Si un natural verifica la propiedad, también la verifica el siguiente. (k U k + U) entonces U N. Observaciones.- Si en lugar de se verifica que ñ N, Userá elconjunto{ñ, ñ +, ñ +,...}. Si en lugar de se verifica (k U k + U), entonces U sería el conjunto de los números pares o el de los impares, según sea 0 U o U. Se usa cuando necesitamos demostrar que una propiedad que depende de un número natural, es cierta para todos los números naturales. Ejemplo. Probar que n n 3 n (n +) ( n (n +) )

5 Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa Solución.- Para n es cierta, también lo comprobamos para n, 3,... ( + ) + 3 (+) supuesto cierta para n k, que se le llama hipótesis de inducción, lo probamos para n k +. k (k +) k (k +)+(k +) k +(k +) + k + (k +)(k +) la primera igualdad es consecuencia de la hipótesis de inducción y en la última hemos sacado factor común (k +). Probamos ahora la segunda identidad: Para n es cierta, también lo comprobamos para n. [ ] ( + ) 3 [ ] ( + ) supuesto cierta para n k, loprobamosparan k +. [ ] k (k +) k 3 +(k +) 3 +(k +) 3 k (k +) +4(k +) 3 4 (k +) [k +4(k +)] (k +) [k +4k +4] (k +) (k +) [ ] (k +)(k +) Ejercicio. Probar que Ejercicio. Probar que n n (n +)(n +) (n ) n Ejercicio.3 Probar que n (n +) n Ejercicio.4 Si n + n es un número natural, también lo es na + n a. Ejercicio.5 Hallar la ley general que simplifica el producto ( )( )( ) ( n ) y demostrarlo por inducción.

6 Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa.. El simbolo Σ El simbolo n i, se lee suma desde i hastan, la letra i es el índice de sumación, y los números de abajo y arriba indican desde y hasta donde hemos de sumar. Así por ejemplo Observaciones: n i i (i +) n (n +) A veces se usa el simbolo de sumación en un sentido más general, para representar la suma de todos los valores de una epresión, cuando varios índices que en ella figuran cumplen deterninadas condiciones. Ejemplo. Ejemplo.3 i y j z k yz + y + z + y + y z + i+j+k3 +z + yz y 3 + z 3 i y j y + y + y + y i,j La elección del índice carece de importancia, veamoslo con un ejemplo. Ejemplo.4 Epresar con el simbolo sumatorio, de varias formas. Solución.- Propiedades i 4 k0 5 n i k+ n+.. n n (a k + b k ) a k + n k k k n ca k c n k k a k b k 3

7 Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa 3. n a na k 4. Telescópica Ejercicio.6 Calcular Sugerencia: k k (k ). Ejercicio.7 Calcular n (a k a k )a n a 0 k n (k ) k n+r a k k n+r i+r a i Ejercicio.8 Razonar la veracidad o falsedad de las igualdades siguientes:.. 3. n k ( ak n ) a kn k n n ( + i) i0 n j+n n j i n k a k n 5n + n ( ) i+ i ( n k a k n ).3. Combinatoria La combinatoria es el arte de contar, y cuenta con dos principios básicos: el de adición y el de multiplicación. Antes de abordar esto principios, recordemos que contar es hallar el número de elementos de un conjunto, es decir, el cardinal de dicho conjunto. Y la primera forma de contar fue establecer correspondencias biyectivas entre los conjuntos acontar y los subconjuntos de N, de la forma{,,..., n}. Ejemplo.5 Cúantos números tiene el conjunto {7, 8, 9,...,53}? Solución

8 Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa Ejemplo.6 Cúantos números hay entre m y n, con m<n? Solución. m m+ m + n m +(n m) 3 (n m)+ Ejemplo.7 Cúantos números hay entre 597 y 3378? Solución Ejemplo.8 Cúantos números impares hay entre 597 y 3378? Solución (98) + (99) + (300) + (688) + y entre 98 y 688, hay Principio de adición.- Si se desea escoger un objeto que puede presentar r tipos distintos, y queparaelprimertipohayn opciones, para el segundo tipo tenemos n opciones,..., y para el r ésimo n r ; entonces para escoger un elemento tenemos n + n + + n r formas distintas. Principio de multiplicación.- Si un suceso se realiza en k fases y para la primera fase tenemos n posibilidades, para la segunda n,..., yparalaúltima n k ; entonces el número de formas en que se puede dar el suceso es n n n k. Ejemplo.9 Si dispongo en mi armario de 5 camisas, 3 pares de pantalones, 6 pares de calcetines, y dos pares de zapatos. De cuántas formas distintas puedo vestirme? Solución.- Por el principio de multiplicación serán: formas distintas Ejemplo.0 Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con unos y ceros? Solución.- Para elegir el primer número sólo tenemos una posibilidad, y es el, para la segunda tenemos dos posibilidades, al igual que para la tercera y la cuarta, luego el número es: 8. Ejercicio.9 Cuántos números de 5 cifras son pares? Cuántos empiezan por 5 y acaban en 8? Aunque con estos principios se pueden resolver gran cantidad de problemas, eisten fórmulas que permiten hacer el conteo más rapidamente. 5

9 Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa.3.. Variaciones ordinarias Ejemplo. Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido, se pueden formar con las letras a, e, i, l, m, n, p, de manera que tengan cuatro letras distintas y la primera sea una vocal? Solución. Para la primera letra tenemos 3 posibilidades, 6 para la segunda, 5 para la tercera y 4 para la cuarta, luego: Observación. Si en el enunciado anterior, nos piden que la vocal este en tercer lugar, comenzanmos la construcción por ahí, es decir, comenzamos por la casilla que tenga más restricciones. No tienen relevancia los lugares en los que se producen las restricciones, sino cuales son estas. Ejemplo. Cuántos números de tres cifras mayores que 500 y pares se pueden formar con los dígitos,3,4,5 y 6? Solución. Para el primer lugar tenemos posibilidades el 5 y el 6, para el segundo 5 y para el tercero 3, así el número de formas es: Definición. Una variación ordinaria (sin repetición) de n elementos de un conjunto A, tomados de m en m con m n, es todo subconjunto ordenado formado por m elementos cualesquiera de A. Dos variaciones son distintas, cuando difieren en un elemento o en el orden de estos. Su número es: n (n ) (n ) (n (m +))V m n n! (n m)! Observemos que para elegir al primer elemento tenemos n posibilidades, n, para el segundo, y para el m-ésimo tenemos n (m ) formas, y basta aplicar el principio de multiplicación. Ejemplo.3 Dado el conjunto A {a, b, c, d} formar todas las variaciones ordinarias de esos cuatro elementos tomadas de tres en tres. Estas son abc, abd, acb, acd, adb, adc bac, bad, bca, bcd, bda, bdc cab, cad, cba, cbd, cda, cdb dab, dac, dba, dbc, dca, dcb la forma más comoda de obtenerlas es mediante un diagrama de árbol. Ejemplo.4 Si en la F participan 0 coches, y supuesto que todos acaban la carrera, de cuántas formas distintas puede estar formado el podium? Solución. Elcajón está formado por tres escalones, y evidentemente no se pueden repetir, luego serían V Si m n, las variaciones se denominan permutacioes (sólo se diferencian en el orden), se notan por P n ysunúmero es n (n ) (n ). Aestenúmeroseledenominan factorial y se nota por n!. 6

10 Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa Ejemplo.5 De cuántas formas distintas se pueden sentar cinco personas en un banco? Solución. Sólo importa el orden, ya que se sientan todas, luego se trata de una permutación Observemos que n! n (n )! y como!.3.. Variaciones con repetición P 5 5! 0 0!, se define 0!. Definición. Si consideramos que los elementos pueden repetirse, se tienen las variaciones con repetición que se notan por RVn m ysunúmero es nm. Notemos que la restricción m n, carece ahora de sentido. Observemos que para la primera posición tenemos n posibilidades, n para la segunda, n para la tercera,..., y n para la m-émesima posición. Ejemplo.6 Cuántas quinielas hay que rellenar para asegurar un pleno? Tenemos tres elementos,,, que se pueden repetir y 5 partidos, por lo que son variaciones con repetición de tres elementos tomados de 5 en 5. RV Combinaciones Definición.3 Llamaremos combinaciones de orden m, den objetos a,a,...,a n, a todos los subconjuntos de m elementos que se puedan formar, de modo que dos combinaciones son distintas si difierenenalgún elemento. Dada una combinación m-aria, ordenando sus elementos de todas las formas posibles, obtenemos variaciones distintas. Cada combinación m-ariadalugaram! variaciones distintas. Por tanto, si C m n es el número de combinaciones, tendremos que: V m n Cm n P m C m n V m n P m.3.4. Combinaciones con repetición n! m!(n m)! ( ) n m Definición.4 A los grupos de m objetos, distintos o repetidos, elegidos de entre un grupo de n elementos, se llaman combinaciones con repetición. Se nota por RCn m ysunúmero es: ( ) n + m RCn m m para obtener este número se reducen las combinaciones con repetición a combinaciones ordinarias, de la siguiente forma: 7

11 Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa Dada una combinación con repetición, por ejemplo, a a a 3 a 3 a 3 a 4 a 5, se le incrementa el índice tantas veces como elementos le preceden, es decir, el o en 0, el o en, el 3 o en, y así sucesivamete, obteniendo, c c 3 c 5 c 6 c 7 c 9 c, así logramos que todos los índices resulten distintos y crecientes, ya que dos elementos consecutivos reciben índices que por lo menos difieren en. Cada combinación con repetición de n elementos tomados de m en m, queda representada por índices { }} { m elementos tomados de m en m. una combinación ordinaria de n+ Recíprocamente, toda combinación de orden m formada con los n + m elementos, una vez reordenada por índices crecientes, determina una combinación con repetición sin más que rebajar los índices sucesivos en 0,,..., m unidades. Ejemplo.7 De cuántas formas distintas se pueden repartir 00 bolas en 5 urnas? Solución. ( ) Ejemplo.8 De cuántas formas se pueden repartir 00 bolas en 5 urnas, de manera que no quede ninguna vacia? Solución. Tenemos que colocar una bola en cada urna, luego nos quedan 75 bolas a repartir en 5 urnas. ( ) Ejercicio.0 Cuántas diagonales tiene un eágono? Cuántasdiagonalestieneunpolígono regular de n lados?.3.5. Numeros combinatorios Definición.5 Se define el número combinatorio ( ) n k n!, que representa el número de subconjuntos de k elementos, que se pueden obtener de un conjunto de cardinal k!(n k)! n. Propiedades. ( ) n 0. ( ) n n ( ) n n 3. ( ) ( ) n n k n k Cada vez que escogemos un subconjunto de k elementos, dejamos univocamente determinado un subconjunto de n k elementos, y reciprocamente. 8

12 Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa 4. Identidad de Pascal ( ) ( ) n n + k k ( ) n k Sea A {a,a,...,a n } el conjunto de n elementos con el que queremos formar subconjuntos de k elementos. Nos fijamos en uno de ellos, por ejemplo, a. De todos los subconjuntos que hemos de formar algunos contendran a a yotrosno,así que podemos escribir: Subconjuntos de k elementos (subconjuntos de k elementos que contienen a )+(subconjuntos de k elementos que no contienen a a ), es decir, ( ) n k elegido a nos quedan k elementos por elegir {( }} ){ n k + tenemos n elementos y hemos de elegir k {( }} ){ n k Esta propiedad permite calcular los números combinatorios mediante el triángulo de Tartaglia Binomio de Newton ( + y) n n i0 ( ) n i y n i i La demostración se hace por inducción, y se deja como ejercicio..4. Ejercicios propuestos Ejercicio. Demostrar que es múltiplo de n+ + 3n+ Ejercicio. Demostrar que para todo n, se verifica: < Ejercicio.3 Si p q < r s { p q < p+r q+s < r s p < pr+qs q qs < r s 9

13 Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa Ejercicio.4 Calcular: n i0 ( ) n i Ejercicio.5 Calcular: Ejercicio.6 Sumar: Ejercicio.7 Calcular n i0 n ( ) n i i i0 ( ) n i + i i+j3 i 3 j 3 Ejercicio.8 Desarrollar (a + b) 3 (a + b) 4 Ejercicio.9 Qué esmás fácil acertar el gordo de la loteria nacional, la loteria primitiva o una quiniela de 5? 0

14 Capítulo Trigonometría Sumario. Ángulos. Razones trigonométricas. Relaciones fundamentales en un triángulo. Funciones recíprocas. Resolución de triangulos. Fórmulas trigonométricas. Ejercicios... Trigonometría Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. En esta sección nos centraremos en el estudio de los conceptos fundamentales de la trigonometría plana.... Trigonometría plana El concepto de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Así, un ángulo queda determinado por un par de semirrectas con origen en un mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina vértice del ángulo. Ángulo Teniendo en cuenta que las semirrectas son diferentes en cuanto a su identificación (lado inicial y final), se suele identificar ángulos de magnitud positiva si se generan con un radio que gira en el

15 Trigonometrıa sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Ángulo positivo Ángulo negativo Por otro lado, eisten diversas unidades a la hora de medir ángulos Grado. En trigonometría, un ángulo de amplitud grado se define como aquel cuya amplitud es igual a /360 de la circunferencia de un círculo. Las equivalencias son las siguientes: 360 o un giro completo alrededor de una circunferencia 80 o / vuelta alrededor de una circunferencia 90 o /4 de vuelta o /360 de vuelta, etc. 5 o 45 o 90 o En ocasiones se utilizan los conceptos de minutos y segundos asociado como alternativa a la epresión decimal de ángulos. Así un grado se divide en 60 minutos, cada uno de los cuales equivale a /.600 de la circunferencia de un círculo; cada minuto se divide en 60 segundos, cada uno de los cuales equivale a / Los grados se indican normalmente con el símbolo, los minutos con y los segundos con, como en , que se lee 4 grados 8 minutos y 9 segundos.

16 Trigonometrıa Radián. Es la medida usual de ángulos en matemáticas. La medida, en radianes, de un ángulo se epresa como la razón del arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo, y el radio de dicho círculo. Esta razón es constante para un ángulo fijo para cualquier círculo. La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 0 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es pequeña o familiar. De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes. Long. arco de circunferencia [Ángulo en radianes] [Radio de la circunferencia] 6 rad 3 r r... Relación entre estas medidas Teniendo en cuanta las relaciones anteriores se tiene sin dificultad la siguiente relación: πrad 360 grados a partir de la cual se obtiene de manera inmediata la conversión entre ambas unidades de medida...3. Angulos complementarios y suplementarios En general dos ángulos se dicen complementarios si verifican que su suma es igual a π/ rad. (90 grados), por otro lado,se dice que dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a π radianes (80 grados) 3

17 Trigonometrıa α β π/ α β π α α α α Ángulos complementarios.. Razones trigonométricas Ángulos suplementarios Dado un ángulo cualesquiera, realizando un giro de manera adecuada podemos llevarlo a un sistema de referencia cartesiana que tiene origen en el punto (0,0), y la semirrectas inicial la haremos coincidir con el eje de abscisas. A partir del teorema de Tales que afirma que, Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra. A B C D A B C D Obtenemos el siguiente resultado de manera inmediata: Dado un ángulo α si trazamos perpendiculares paralelas a uno de los lados, se determinan sobre éstos segmentos proporcionales. c α c b a a b 4

18 Trigonometrıa lo que se traduce en que la siguiente relación es siempre constante: b c b c Dicha constante recibe el nombre de coseno del ángulo α (cos α). Utilizando el teorema de Pitágoras se obtienen relaciones análogas que recibe en nombre de seno y tangente asociado al ángulo α. cos(α) b b sen(α) a a tg(α) a a c c c c b b Obviamente, en función del teorema de Pitágoras, de las epresiones anteriores se obtienen las siguientes identidades: sen (α)+cos (α) tg(α) sen(α) cos(α) A las inversas de las anteriores razones se les llama cosecante, secante y cotangente del ángulo α. co sec(α) sen(α) sec(α) cos(α) cot g(α) tg(α)... Ángulos notables Resulta conveniente conocer las razones trigonométricas de algunos ángulos notables. Así: grados π π π π Radianes sen 0 3 cos 3 tan Relación entre las razones trigonométricas de ángulos en distintos cuadrantes θ π ± α θ π ± α θ 3π ± α θ π α sen(θ) cos(α) sen(α) cos(α) sen(α) cos(θ) sen(α) -cos(α) ±sen(α) cos(α) tg(θ) cotg(α) ±tg(α) cotg(α) tg(α).3. Relaciones fundamentales en un triángulo Veamos una serie de resultados que serán útiles a la hora de trabajar con triángulos no necesariamente rectángulos. Así, sean A, B y C los ángulos de un triángulo y sean, respectivamente a, b y c sus lados opuestos. 5

19 Trigonometrıa b A C c B a Entonces se verifican las siguientes relaciones: Relación fundamental entre los ángulos de un triángulo A + B + C πrad Teorema del seno: Teorema del coseno: Teorema de las tangentes: a sen(a) b sen(b) c sen(c) c a + b ab cos(c) a + b tg ( ) a b A+B tg ( ) A B.3.. Funciones recíprocas Hasta el momento, dado un ángulo nos proponemos obtener las razones trigonométricas asociadas a dicho ángulo. Podemos plantearnos la pregunta recíproca: Si conocemos el valor de la razón trigonométrica, podemos conocer el ángulo con el que trabajamos?. La respuesta es afirmativa definiendo de manera adecuada el conjunto donde podemos definir de manera recíproca las funciones trigonométricas. Así, se definen las funciones arcoseno(arcsen), arcocoseno (arccos) y arcotangente (arctg) de la siguiente manera: Arcsen : [, ] [ π/, π/] α sen(α) Arc cos : [, ] [0,π] α cos(α) Arctg : (, ) [ π/, π/] α tg(α) Así, por ejemplo, tenemos: arcsen( )π/6 arctg() π/4 arccos()π/3 arcsen( 3) π/3 arctg( ) π/4 arccos( ) 3π 6

20 Trigonometrıa.3.. Resolución de triángulos Resolver un triángulo es hallar todos los elementos de este, es decir, sus tres lado y sus tres ángulos. A partir de los resultados vistos anteriormente, es posible encontrar todos los elementos de un triángulo cualesquiera conociendo tres de sus elementos, siendo alguno de los datos conocidos la longitud de uno de sus lados. b A C c B a La siguiente tabla recoge los casos más comunes: Datos a, A, B C π A B b a sen(b) sen(a) a, b, A c a + b ab cos(c) B arcsen ( b sen(a)) a ( ( ) a, b, c A arccos B arccos ) b +c a bc c +a b ac c a sen(c) sen(a) C π A B ( C arccos ) a +b c ab.3.3. Fórmulas trigonométricas Fórmulas de los ángulos suma y diferencia: sen(α ± β) sen(α) cos(β) ± cos(α) sen(β) tg(α ± β) tg(α) ± tg(β) tg(α)tg(β) cos(α ± β) cos(α) cos(β) sen(α) sen(β) Fórmulas del ángulo doble y mitad: sen(α) sen(α) cos(α) cos(α) cos (α) sen (α) sen( α)± cos(α) cos( α)) ± +cos(α) tg(α) tg(α) tg (α) 7

21 Trigonometrıa Fórmulas de adición: sen(α) ± sen(β) sen( α±β cos(α)+cos(β) cos( α+β cos(α) cos(β) sen( α+β.3.4. Ejercicios resueltos α β ) cos( α β ) cos( ) ) sen( α β ). Comprobar la siguiente identidad trigonométrica curiosa: ) tg(α) ± tg(β) sen(α±β) cos(α) cos(β) tg (α) sen (α) tg (α) sen (α) Solución: En primer lugar desarrollaremos el primer término de la igualdad. Así: tg (α) sen (α) sen (α) sen (α)cos (α) cos (α) sen cos (α) sen (α) sen (α)( cos (α)) cos (α) { }} { sen (α) ( sen (α)+cos (α) cos (α)) cos (α) sen (α) sen (α) cos (α) tg (α) sen (α). Sabiendo que tg( ) calcular sen(). Solución: Como vimos, utilizando la epresión de la tangente del ángulo doble tenemos:: tg() tg( ) tg( ) tg ( ) ( 4 ) 3 Ahora bien, conocemos tg() pero nos piden sen(). Este caso es típico, para ello partiremos de la relación fundamental: sen (α)+cos (α) sen () sen () + cos () sen () sen () + tg () sen () + (4/3) sen () sen () 6 5 sen() ±4 5 Notar que tenemos dos valores (uno positivo y otro negativo) ya que la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, pero no así enseno. 8

22 Trigonometrıa 3. Conocidos los tres ángulos de un triángulo es posible resolver el triángulo? Solución: La respuesta a esta cuestión es negativa, ya que eisten infinitos triángulos semejantes a uno dado con idénticos ángulos. Lo que si sabremos es que los lados de todos ellos serán proporcionales. 4. Los lados de un triángulo miden respectivamente 3, 4 y 5 cm. Hallar sus ángulos así como es área del triángulo. Solución: A partir de los datos del problema debemos encontrar los valores de los ángulos. 4 C 3 A B 5 Como nos dan sus tres lados podemos aplicar el teorema del coseno, de donde: c a + b ab cos(c) cos(c) cos(c) C arccos(0,3846),76 rad. 3 4 Análogamente: a b + c bc cos(a) cos(a) A arccos(0,508),038 rad Utilizando que la suma de los ángulos ha de ser π rad, tenemos: B π,038,76 0, Por otro lado para calcular el área debemos notar que, por ejemplo: sen(a) h 3 h 3 sin(,038),98 de donde: area base altura 5,98 83,985 cm 9

23 Trigonometrıa 5. Encontrar el valor de y h a partir de los datos que se nos indican en el siguiente dibujo, sabiendo que A π/6 yb π/3. h A B 0 Solución: A partir de las tangentes de los ángulos A y B obtenemos: { tg(a) h 0+ tg(b) h tg(π/6) 3 3 tg(π/3) 3 h 5 3 unidades 5 unidades { 3 3 h 3 h Un aeroplano vuela a 70 km/s hacia el nordeste, en una dirección que forma un ángulo de 5 con la dirección este. El viento está soplando a 30 km/h en la dirección noroeste, formando un ángulo de 0 o con la dirección norte. Cuál es la velocidad con respecto a tierra real del aeroplano y cuál es el ángulo A entre la ruta real del aeroplano y la dirección este? Solución: Indiquemos la velocidad del aeroplano relativa al aire como V, la velocidad del viento relativa a tierra como W, y la velocidad del aeroplano relativa a tierra UV+W. Para ejecutar la suma real cada vector debe descomponerse en sus componentes. Por tanto obtenemos: V 70cos(5 ) 04,6 Vy 70sen(5 ) 33,96 W 30sen(0 ) 0,6 Wy 30cos(0 )8,9 de donde: U 94,4 Uy 6,5 Entonces, por el teorema de Pitágoras, dado que Por otro lado U U + Uy U 87,63km/h cos(a) U U 0,5035 A arccos(0,5035),0436 rad 59,80 0

24 Trigonometrıa.3.5. Ejercicios propuestos. Calcular todos los ángulos α [0, π] talesque cos(α) 3 tg(α) (sol: α π/6,α 5π/6). Si α y β son ángulos comprendidos entre 0 y π radianes. Qué relación hay entre ellos si se verifica que sen(α) sen(β) y cos(α) cos(β)? (sol: β α). 3. Que relación eiste entre las razones trigonométricas de (π/4 α) y(π/4+α)? (sol: Al ser complementarios sen(π/4 α) cos(π/4 +α) y viceversa). 4. Sabiendo que cos(α) /3 yqueα [0,π/] determinar cos(π/ α), sen(3π/ + α) y tg(π α) (sol: cos(π/ α) ; sen(3π/+α) /3 ;tg(π α) ) Sabiendo que cos(α) 3/5yqueα [3π/, π] determinar sen(α), tg(α) ycos(α/) (sol: sen(α) 4/5 ;tg(α) 4/3 ;cos(α) / 5). 6. Comprobar que las siguientes epresiones no dependen del valor de α y determinar su valor: sen(α)cos(π/4 α) cos(α)cos(π/4+α) (sol: ) cos(α)cos(π/6+α)+sen(α)cos(π/3 α) (sol: 3 ) 7. Demostrar las identidades: a) cos(α) sen (α + π/) b) +cotg (α) cosec (α) c) sec (α) +tg (α) d) tg(α)+cotg(α) sec(α) cos ec(α) 8. Sabiendo que tg(α) y que 4 sen(α)cos(β) cos(α β) hallar tg(β) (sol: tg(β) 7/). 9. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: cos() 3 tg() (sol: π/6+kπ ; 5π/6+kπ (k Z) 0. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica sabiendo que [0, π] : 3sen() cos() sen 3 () (sol: 0,π,π/6ó7π/6 rad). Resolver el siguiente sistema de ecuaciones sabiendo que e y [0, π]: { sin()+cos(y) (sol: yπ/4 ;3π/4 y-π/4) + y π/. Resolver, si es posible, los siguientes triángulos: donde: a) a 00cm, B 47 0,C 63 0 (sol :b 77,8cm, c 94,8cm, A 70 0 ) b) A π/3,b π/,c π/6 (sol: Inf initos triángulos) c) a 5 cm, b 30cm, c 40cm (sol: A 0,67rad, B 0,85rad, C,6rad) d) b 6cm, c 8cm,C 57 0 (sol :a 9,48cm, A 84,03 0,B 38,97 0 )

25 Trigonometrıa b A C c B a 3. Sean A y B los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo. Probar que: a) sen (A)+sen (B) b) tg(a) tg(b) 4. Sean A, B y C los ángulos de un triángulo cualesquiera. Probar que a) sen(a) sen(b + C) b) cos(a)+cos(b + C) 0 5. Los lados de un paralelogramo miden 6 y 8 cm respectivamente y forman un ángulo de 0.5 rad. Calcular la medida de sus diagonales (sol: 3.46 cm y 4.3 cm). 6. Se desea calcular la distancia entre dos puntos A y B de un terreno llano que no son accesibles. Para ello, se toman dos puntos accesibles del terreno C y D y se determinar las distancias y ángulos siguientes: CD 300m α ACD 85 0 β BDC 75 0 α BCD 40 β ADC 35 0 Calcular la distancia de A a B (sol:7.7 m).4. Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son importantes no sólo por su relación con los lados de un triángulo, sino por las propiedades que poseen como funciones. Una de las más importantes es la periodicidad. Una función f se dice periódica, de periodo T 0si de D se verifica que + T también esta en D y f( + T )f() paratodo del dominio. Las funciones sin y cos son periódicas de periodo π..4.. Propiedades fundamentales. El dominio de las funciones sin y cos es R. cos 0 sin π,cosπ

26 Trigonometrıa 3., y cos( y) cos cos y sin sin y. 4. Para 0 << π 0 < cos < sin < cos A partir de estas cuatro propiedades se pueden obtener las demás, así pues un método para introducir las funciones sin y cos podría ser el aiomático. Nosotros lo haremos geométricamente. Consideramos la circunferencia unidad, y observemos que la longitud de dicha circunferencia es π, así comoquesuárea es π; por tanto cualquier sector circular de amplitud radianes, tiene un arco de longitud ysuárea es Desde el punto de coordenadas U(, 0) llevamos el segmentode longitud sobre la circunferencia, y nos determina un punto P, de tal forma que el centro de la circunferencia O, el punto U (, 0) y P determinan un sector circular cuyo arco mide ysuárea es. Definición. Se define el sin como la ordenada del punto P yelcos como la abcisa. Observemos que si es mayor que π el punto P, se enrrollará varias veces sobre la circunferencia y nos determinará un punto sobre ella cuyas coordenadas son su coseno y seno respectivamente, y dichas funciones son periódicas de periodo π, la longitud de la circunferencia. Además cos 0 sin π ycosπ ; y por el teorema de Pitágoras sin +cos Proposición. Para cualesquiera, y se verifica cos( y) cos cos y +sin sin y Demostración. Para demostrar esta proposición, basta aplicar el producto escalar a los vectores (cos y, sin y) y (cos, sin ). (cos y, sin y) (cos, sin ) cos cos y +sin sin y Por otra parte, el producto escalar es el producto de los módulos (ambos valen ) por el coseno del ángulo que forman y, es decir: (cos y, sin y) (cos, sin ) cos( y) de donde se sigue el resultado. Propiedades. El dominio de las funciones sin y cos es R. La imagen es el intervalo [, ], por tanto: sin cos 3

27 Trigonometrıa 3. La función seno es impar y coseno es par, es decir, sin( ) sin cos( ) cos 4. sin( + π )cos() cos( + π ) sin() sin sin y sin( y cos cos y sin( y )sin( + y ) )sin( + y ) 7. La gráfica del seno es:... π/ π 3π/ π La gráfica del coseno es:... π/ π 3π/ π... 4

28 Trigonometrıa.4.. La tangente, cotangente, secante y cosecante Definición.3 La función tangente tg, la función cotangente ctg, la función secante sec y la función cosecante cosec se definen a partir de las funciones seno y coseno mediante las fórmulas tg sen cos, cos ctg sen, sec, cos ec cos sen Ejercicio. Cuáles son los dominios de estas funciones?.4.3. Funciones trigonométricas inversas Se conocen con el nombre de funciones trigonométricas inversas las de una colección de funciones que son casi, pero no totalmente, inversas de las funciones tigonométricas. La función seno no es inyectiva, por lo que no puede hablarse estrictamente de inversa de la función seno. Sin embargo, la restricción de la función seno al intervalo [ π/,π/] es estrictamente creciente, luego es inyectiva, y su conjunto imagen es el intervalo [, ] La inversa de la restricción de la función seno al intervalo [ π/,π/] es, por definición, la función arco seno: arcsin : [, ] [ π/,π/], de manera que será una función estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado [, ] arcsin y y [ π/,π/] y sin y con lo cual sin(arcsin ) para todo [, ], mientras que arcsin(sin ) para todo [ π/,π/]. Ejercicio. Dado n Z,seaf : [nπ π,nπ+ π ] f() sin R.. Comprobar que f es inyectiva y epresar su inversa f en términos de la función arco seno.. Dibujar las gráficas de las funciones sin arcsin y arcsin sin. La restricción al intervalo [0,π] de la función coseno, es estrictamente decreciente cuyo conjunto imagen es [, ]. Podemos definir la función arcocoseno: arccos :[, ] [0,π] como la inversa de la restricción de la función coseno al intervalo [0,π]. Es una función estrictamente decreciente y acotada, con el mismo dominio que la función arco seno, pero con distinto codominio. Dado [, ], se tiene arc cos y y [0,π]y cosy, con lo cual cos(arc cos ) para todo [, ], mientras que arc cos(cos ), [0,π]. La función arco tangente arctg : R ( π/,π/) 5

29 Trigonometrıa es por definición la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo abierto ( π/,π/). Es una función estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado R arctg y y ( π/,π/) y tgy, con lo cual tg(arctg) para todo R, mientras que arctg(tg) ( π/,π/). Ejercicio.3 Sea f () cos arc cos. con f : [, ] R, probar que f puede definirse como 6

30 Capítulo 3 Números complejos Sumario. Introducción al cuerpo de los números complejos. Operaciones. Formas de representar un número complejo. Fórmula de Euler. Ejercicios. 3.. Introducción Aunque parezca que los complejos se introducen a partir de la resolución de la ecuación + 0, nada más lejos de la realidad, esta era rechazada así como log, osin, eran irresolubles. Los complejos hacen su aparición a raiz de la ecuación cúbica. Supongamos que queremos resolver la ecuación 3 6 4, la forma de proceder fue similar a la de la ecuación de segundo grado, es decir, una solución por radicales, obtenida por del Ferro en 55. Teorema 3. Una solución de la ecuación cúbica reducida del tipo 3 m + n vine dada por 3 n n + 4 m n n 4 m3 7 Demostración. Sea 3 p + 3 q, elevando al cubo ambos miembros, obtenemos: igualando, se tiene: 3 p +3 3 p 3 q +3 3 p 3 q + q p + q +3 3 pq ( 3 p + 3 q) p + q +3 3 pq m + n y sumando y restando, las ecuaciones: { { ( p + q n m ) 3 ( m ) pq m pq ;4pq n (p + q) p + q +pq ( m ) 3 n 4 p + q +pq 4pq (p q) 3 p + q n p q n 4 ( m 3 7 ) 3

31 Numeros complejos se tiene: de donde, la solución es: p n + n 4 ( m q n n 4 ( m 3 ) 3 3 ) 3 3 n n + 4 m n n 4 m3 7 Ejemplo 3. Resolver Ejemplo 3. Resolver ( + ) + ( ) Solución que causo gran estupor en el siglo XVI, hasta que Argand y Gauss no dan una interpretación de los números complejos, se les calificaba como anfibios entre el ser y no ser. La solución de la ecuación cúbica completa 3 + a + b + c, se obtiene mediante el cambio de variable (z a),y reduciendola a la anterior El cuerpo de los números complejos Llamamos número complejo, a un elemento z (, y) R C, diremos que dos números complejos (, y) y(,y ) son iguales, cuando e y y, a se le denomina parte real y a y parte imaginaria, escribiremos Re(z) ey Im(z). Definimos la suma z + z (, y)+(,y )( +,y+ y ) y el producto z z ( yy,y + y ). Con estas operaciones C tiene estructura de cuerpo. 8

32 Numeros complejos 3.3. Inmersión de R en C Consideramos el conjunto de puntos de la forma (, 0) R {0} y la aplicación: p : R R {0} C definida por p () (, 0). Esta aplicación es un isomorfismo, es decir, es biyectiva y + y p ( + y) p ()+p (y) y p ( y) p () p (y) y podemos identificar (, 0) con. Además (, y) (, 0) + (0,y)(, 0) + (y, 0) (0, ) + yi, definiendo (0, ) i. Observemos que i (0, ) (0, ) (, 0), es decir, i es solución de la ecuación + 0. A z + yi se le llama forma binómica. Si Re (z) 0az se le denomina imaginario puro y si Im (z) 0az se le llama real. Ejemplo 3.3 Efectúa i, +i7 3+i i y +3i i( i) +3i Observemos que: i 3+i i 3+i 3 i 3 i 3i i 3i ( ) 3 i 9 ( ) 3i i i 0,i i, i,i 3 i, i 4,i 5 i, i 6,i 7 i,... +i 7 i i i +3i i ( i) +3i +3i i + i +i i +3i +3i +3i i 3i +3i 3i i 3i 3 i i i 0 Ejemplo 3.4 Resuelve la ecuación +0 ± 4 ( ± ) ± 4 8 ± ± i ± 4 ± 4 Definición 3. Se denomina conjugado de un número complejo z a + bi a z a bi. Evidentemente Re (z) z + z eim(z) z z. i Propiedades Si z y z son dos números complejos cualesquiera. 9

33 Numeros complejos z z z R z z z es imaginario puro z z z + z z + z z z z z Observemos que z z a + b R + z ( ) z a a + b a + b, b a + b Ejercicio 3. Comprueba que la suma z + nunca puede ser imaginario puro, salvo que z también z lo sea. Sea z + iy z + y y + y i z + z + iy + + y para que sea imaginario puro, tiene que ser: + + y 0 y + y i + ( + ( + y + i y ) 0 + y ) y + y Ejercicio 3. Qué condiciones tiene que cumplir z para que z + z sea real? z + z + iy + + y y + y i + para que sea un número real, tiene que verificar: y ( y + y 0y ) + y ( + y + i y ) y + y y 0 + y 0 + y o z es un número real o bien su afijo se encuentra sobre la circunferencia unidad de centro (0, 0). Ejercicio 3.3 Dado el polinomio +3 +p(), demuestra que p(z) p(z) cualesquiera que sean los z para los que p(z) R Sea z a + bi, por las propiedades de la conjugación, sabemos que p(z) p(z) p (z) p (z) R, luego, (a + bi) +3(a + bi)+ R a b +abi +3a +3bi + R ab +3b 0 Ejercicio 3.4 Calcula el producto i i i 3 i 00 ylasumai + i + i i 00. i i i 3 i 00 i i 5050 i +4 6 i (i 4) 6 i i + i + i i 00 i i00 i i 30 i i i 0

34 Numeros complejos 3.4. Representación geométrica de los números complejos Supongamos que en R tenemos un sistema de referencia. Consideramos la aplicación de C en el plano R, que asocia a cada número complejo z a + bi el punto de coordenadas (a, b), adicho punto se le denomina afijo del punto z. Ejercicio 3.5 Representa en el plano complejo los números que verifican:. z + z. z z i. z + z + iy + iy 4. z z i + iy ( iy) yi i y Módulo y argumento Definición 3.3 Se llama módulo de un número complejo z + yi al número real positivo z a + b De la definición se sigue que:. z z z z. Re (z) z 3. Im (z) z Propiedades Sean z y z números complejos, se verifica: P z 0y z 0 z 0 P z z z z P3 z + z z + z Definición 3.4 Utilizando coordenadas polares, tenemos que:.... b ρ θ a 3

35 Numeros complejos a ρ cos θ b ρ sin θ a + bi ρ cos θ + ρi sin θ ρ (cos θ + i sin θ) arctan ( y ) si 0 π donde ρ z. Se define arg (z) θ +kπ, es decir, θ si 0e y>0 si 0e y<0 La epresión z ρ (cos θ + i sin θ) se denomina forma trigonométrica, y a ρ θ se le llama forma módulo-argumental. Teorema 3.5 Fórmula de Euler.- Para todo número real,se verifica: e cos + i sin Demostración. Tomamos y sin arcsin y, de donde: { } dy y iz arcsin y y dy idz deshaciendo el cambio, se tiene: ar sin y i log i ( y i + 3π dz ( i log z + ) +z +z idz i z ) +(iy) i i log ( iy + ) y ( ) log ( i sin +cos) log log cos i sin ( ) cos + i sin log cos +sin log (cos + i sin ) e i cos + i sin. ( cos + i sin cos i sin Así, podemos escribir: e z e a+bi e a e ib e a (cos b + i sin b) donde, e a es el módulo y b es el argumento del número complejo e z. Observación: e iπ cosπ + i sin π, e iπ es solución de la ecuación e ) Corolario 3.6 Demostración. (cos θ + i sin θ) n (cosnθ +sinnθ) ( ) e iθ n e inθ (cos θ + i sin θ) n cos(nθ)+i sin (nθ) 3

36 Numeros complejos Corolario 3.7 La función e i es periódica de periodo πi. Demostración. Observemos: {. ρ θ σ ϕ. ρ θ σ ϕ ρ σ θ+ϕ 3. ρ ( θ ρ ) σ ϕ σ θ ϕ e i+iπ e i(+π) cos( +π)+i sin ( +π) cos + i sin ρ σ θ ϕ kπ 4. Fórmula de Moivre ( θ ) n ( n ) nθ nθ, es decir: [ (cos θ + i sin θ)] n n (cos nθ +sinnθ) Ejercicio 3.6 Describe el conjunto de puntos z tal que:. Re (z) 0;Re(z) > 0; z ; z > ; Im (z) ;Im(z) < ; < z <.. z ; z < ; z z + 3. Re (z) + Im (z) ; z Re(z)+; z 5 z +5 6; z 3 + z +3 8 Solución.. Si z + iy Re (z) 0 que representa una recta, el eje de ordenadas; Re (z) >0 es un semiplano. z + y + y circunferencia de centro (0, 0) y radio. < z < es una corona circular de radios y respectivamente.. z es la circunferencia de centro (, 0) y radio. z < el circulo de centro (, 0) y radio. z z + es el lugar geométrico de puntos del plano que equidistan de los puntos (, 0) y (, 0), es decir, la mediatriz de ese segmento. 3. Re (z) + Im (z) + y es un cuadrilátero de vértices (, 0), (0, ), (, 0) y (0, ). El conjunto dado por z 5 z +5 6 lugar geométrico de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (llamados focos (5, 0) y ( 5, 0)) es constante, es decir, una hipérbola. z 3 + z +3 8 es el lugar geométrico de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) (3, 0) y ( 3, 0) es constante, es decir, una elipse. z Re(z) + lugar geométrico de puntos del plano equidistantes de un punto fijo y una recta, es decir, una parábola. 33

37 Numeros complejos 3.6. Raíces de números complejos Nos proponemos resolver la ecuación z n z 0 0, es decir, hallar la raíz n-ésima de un número complejo;el problema tiene fácil solución en forma módulo-argumental. Sea z 0 r ϕ, entonces, z φ es solución,siverifica: pero ( φ ) n r ϕ { ( φ ) n n nφ r ϕ n r nφ ϕ +kπ al ser y r números reales positivos, siempre eiste n r;yφ ϕ + kπ n n sólo son distintos aquellos que se obtiene para k 0,,...,n. Ejemplo 3.5 Resolver la ecuación z 3. las soluciones son: observemos que { 0 ( φ ) 3 3 3φ 0 0, π 3 3 3φ 0+kπ 0, π, 4π 3 3 e π 3 i e π 3 i w, 4π 3 { e 4π 3 i e 4π 3 i verificándose que + w + w 0yquew 3 w w w ww w. Veamos un ejemplo donde se hace uso de estas propiedades. con k Z, de los cuales φ kπ ; k 0,, 3 ( e π 3 i ) w Ejemplo 3.6 Demostrar que para cualquier número natural n el polinomio ( +) 6n+ 6n+ es divisible por ( + +). Vamos a demostrar que las raíces de ( + +) dividen a ( +) 6n+ 6n+ conloque estará probado. ( ) ( + + ) 3 luego las raíces de + +sonlasraíces complejas de z 3, es decir, w y w w, ylas w raíces de ( + +) son w y w 4 w 3 w w. yalser (w +) 6n+ w 6n+ { w + w } ( w ) 6n+ w 6n+ ( w ) 6n+ w n+ w n w [ w 3] 4n w w w 6n+ ( w 3) n w w de donde (w +) 6n+ w 6n+ w w 0 Análogamente procedemos con la otra raíz, w. 34

38 Numeros complejos 3.7. Aplicación al cálculo trigonométrico La fórmula de Moivre nos sirve para realizar cálculos trigonométricos, por ejemplo, epresar sin a, cos 3a, cos 4a,...,cos a, cos 3 a,... En efecto, aplicando la citada fórmula, podemos escribir: (cos a + i sin a) n cosna + i sin na y sólo tenemos que desarrollar por la fórmula del binomio el primer término. Así tendremos, por ejemplo, para n (cos a + i sin a) cosa + i sin a cos a +i cos a sin a + i sin a cosa + i sin a { } cos cos a sin a +i cos a sin a cosa + i sin a a sin a cosa cosa sin a sina cos a ( cos a ) cosa cos a +cosa ysin cos a a También podemos obtener el seno de una suma o diferencia a partir de la fórmula de Euler: e i cos + i sin pero, por otra parte: e ia e ib e i(a+b) cos(a + b)+i sin (a + b) (cos a + i sin a)(cosb + i sin b) cosa cos b sin a sin b + i (cos a sin b +sinacob) igualando las partes reales e imaginarias obtenemos: cos (a + b) cosa cos b sin a sin b sin (a + b) cosa sin b +sina cos b Las transformaciones de productos de senos y/o cosenos, son muy utililes en el cálculo de primitivas, veamos un procedimiento sencillo basado en la fórmula de Euler. Ejemplo 3.7 Transformar sin sin en sumas de senos y/o cosenos. Sea e i cos + i sin, y e i e i( ) cos( )+i sin ( ) cos i sin. Sumando y restando, obtenemos: cos ei + e i sin ei e i i 35

39 Numeros complejos de donde, sin ei e i i sin ei e i i y multiplicando sin sin ei e i e i e i ( e 3i e i e i + e 3i) i i 4 [( e 3i + e 3i) ( e i + e i)] [ ] (e 3i + e 3i ) (ei + e i ) 4 [cos 3 cos ] La importacia de los números complejos radica en que es un cuerpo cerrado, es decir, toda ecuación algebraica de coeficientes, reales o complejos, tiene por lo menos, una raíz real o imaginaria. A este resultado se le conoce como teorema fundamantal del Álgebra Ejercicios Ejercicio 3.7 Hallar z (+i)00 ( i) 50 z ( + i)00 ( i ) 50 z Pasamos los número complejos a su forma polar { arg (z0 ) arctan z 0 +i } π 4 z 0 + { arg (z0 ) arctan z i π 4 z +( ) z 50 5π 5 5 π π 4 Ejercicio 3.8 Calcular f (n) f (n)(n>0 entero) 75 3π 4 37 ( + i)00 ( i) 5 z 0 π z π 4 } 50 5π z π z π 4 ) ( cos 3π 4 + i sin 3π 4 37 ( +i) ( +i ) n + ( i ) n para n,, 3, 4 y probar que f (n +4) ( ) n ( ) n +i i f (n) + ( e π i) n ( 4 + e π i) n nπ 4 e 4 i + e nπ 4 i ( nπ ) ( nπ ) ( cos + i sin +cos nπ ) ( + i sin nπ ) ( nπ ) ( nπ ) ( nπ ) ( nπ ) ( nπ cos + i sin +cos i sin cos ) 36

40 Numeros complejos de donde ( π ) f () cos ( 4 ) π f () cos 4 ( ) 3π f (3) cos 4 ( ) 4π f (4) cos 4 0 f (n +4) ( ) (n +4)π cos 4 ( nπ ) cos 4 + π cos nπ 4 f (n) Ejercicio 3.9 Girar 45 o el vector z 3+4i y etenderlo el doble. Girar una figura o un vector 45 o, equivale a multiplicarlo por el número complejo z 45 o π cosπ + i sin π i y para etenderlo el doble basta con multiplicar por. ( ) (3 + 4i) + i +7i Ejercicio 3.0 Calcular la suma cos a +cosa +cos3a + +cosna Consideramos z cosa +cosa +cos3a + +cosna + i (sin a +sina + +sinna) cosa + i sin a +cosa + { i sin a + +cosna + i sin na } suma de n términos de e ia + e ia + + e ina eina e ia e ia una progresión geométrica e ia e ia eina cos na + i sin na +cosna + i sin na e ia eia eia cos a + i sin a +cosa + i sin a na na na na na ia sin + isin cos sin + icos e na ia sin e sin a na ia sin e sin na sin a sin a + isin a cos a sin a ( na i sin + i cos na i sin a + i cos a na e i( sin a ) na sin a cos n + a + i sin n + a na ia sin e sin a na ia sin e sin a na e i( + sin a ) na sin a de donde, igualando la parte real y la imaginaria, tendremos: cos a +cosa +cos3a + +cosna sin a +sina +sin3a + +sinna ) sin a + icos a na na sin cos sin a cos a e i (n+)a sin na sin a sin na sin a cos n + a sin n + a 37

41 Numeros complejos Ejercicio 3. Demostrar las fórmulas de Moivre: +cos π n +cos4π n sin π n +sin4π n ) π + +cos(n n ) π + +sin(n n 0 0 Ejercicio 3. Hallar las raices de la ecuación ( + i) z 3 i 0 Ejercicio 3.3 Escribir en forma binómica e i. Ejercicio 3.4 Resolver la ecuación z Ejercicio 3.5 Resolver la ecuación z Ejercicio 3.6 Resolver la ecución (z +) 3 + i (z )

42 Capítulo 4 Polinomios Sumario. Operaciones con polinomios. Factorización de polinomios. Ejercicios. 4.. Factorización de polinomios. Teorema 4. Teorema fundamental del Álgebra.- Todo polinomio con coeficientes complejos, tiene por lo menos una raíz. Definición 4. Una ecuación P () 0, donde P es un polinomio, diremos que α es una raíz o cero de P si P (α) 0. Proposición 4.3 Si α es una raíz de P,entonces α divide a P (). Proposición 4.4 Si P es un polinomio con coeficientes reales y α C es una raíz, entonces α es también raíz de P. Demostración. Sea P () a n n + a n n + + a 0 y entonces P (α) a n α n + a n α n + + a 0 0 P (α) a n α n + a n α n + + a 0 0 a n α n + a n α n + + a 0 0 a n α n + a n α n + + a 0 0P (α) Corolario 4.5 Si P tiene grado impar con coeficientes reales, entonces P tiene al menos una raíz real. Demostración. Si α es raíz compleja, entonces α también lo es, así que las raices complejas van de dos en dos, luego el número de raices complejas tiene que ser par. 39

43 Polinomios Corolario 4.6 Todo polinomio con coeficientes reales se descompone en factores lineales y/o cuadráticos. Demostración.Sea P () a n α n + a n α n + + a 0 0a n ( α )( α ) ( α n ) Si dos raices son α y α, tendremos que: ( α)( α) ( (a + bi)) ( (a bi)) ( a bi)( a + bi) (( a) bi)(( a)+bi) ( a) b i ( a) + b a + a + b Definición 4.7 Si α es raíz de P () entonces ( α) divide a P (), es decir, ( α) Q () P (). Si ( α) r divide a P () y ( α) r+ no divide a P (), diremos que α es una raíz de P con multiplicidad r, oqueα es una raíz de orden r y escribiremos: con r + s + + z n Ejemplo 4. Descomponer 4 +en R yenc P () ( α) r ( β) s ( ϱ) z Evidentemente en R no tiene raices 4 +, así pues se tiene que descomponer en factores cuadráticos. Como también nos pide descomponer en C, hallamos las raices cuartas de 4 4 π α π ( α ) 4 4 4α de donde: 4 4α π +kπ α π + kπ 4 4 dando a k los valores 0,,, 3, obtenemos que las raices son: π cos π i sin π 4 + i 3π cos 3π i sin 3π 4 + i 5π cos 5π i sin 5π 4 i 7π cos 7π i sin 7π 4 i la descomposición en C sería: ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( + i + i i ( i )) 40

44 Polinomios yenr (( ) )(( ) )(( ) )(( ) ) i + i + + i + i ( ) ( ) ( ) ( ) Si solamente lo hubiesen pedido en R, se podría haber hecho más rápidamente: ( + ) ( ) ( ( + ) )( ( + ) + ) Nota 4.8 En lo que sigue consideraremos polinomios con coeficientes reales. Teorema 4.9 Sea P () a n n + a n n + + a 0, si α es raíz de P () α divide a a 0 Demostración. Si α es raíz de P () a n α n + a n α n + + a 0 0ya n α n + a n α n + + a α a 0 α (a n α n + a n α n + + a ) α divide a a 0 Teorema 4.0 Sea P () a n n + a n n + + a 0, si α es raíz de P () y ± no es raíz (α +)divide a P ( ) Proof P () ( α) Q () P ( ) ( α) Q ( ) ( + α) Q ( ) Teorema 4. Sea P () a n n + a n n + + a 0, si α es raíz de P () y ± no es raíz (α ) divide a P (). Para saber si α es raíz o no de P () a n n + a n n + + a 0 debemos ver si:. α divide o no a a 0. Si no lo divide no es raíz.. (α + ) divide a P ( ). Si no lo diivide no es raíz. 3. (α ) divide a P (). Si no lo diivide no es raíz. 4. P (α) si es cero tenemos la primera raíz, si no, no lo es. Ejemplo 4. Calcular las raices de P ()

45 Polinomios P () 9 P ( ) 3 D (8) {±, ±, ±4, ±8} Si α es raíz (α + ) divide a 3 α +3oα +± α ( ) divide a 9 y P ( ) 0 El polinomio no tiene raices enteras, ni racionales. Teorema 4. Los polinómios mónicos (coeficiente principal ) con coeficientes enteros, si tienen soluciones racionales, estas son enteras. Proof Sea p q irreducible y solución de n + a n n + + a 0, entonces: p n p n q + a n n q + + a n 0 0 p n + a n p n q + + a 0 q n 0 p n q ( a n p n + + a 0 q n ) de donde deducimos que p n divide a q siendo p y q eran primos entre sí. Ejemplo 4.3 Probar que el polinomio no tiene raices racionales. P () 3 P ( ) 3 y ± sonlosúnicos divisores de, luego el polinómio no tiene raices enteras y al ser móniconolas tiene racionales. Ejemplo 4.4 Halla las raices racionales de P () P ( )

46 Polinomios y P () ( ) ( +)q ()( +) q () q ( ) D () {±, ±} Si α es raíz de q () tendremos que: (α + ) divide a α + α y ( ) no divide a q no tiene raices enteras. Ejemplo 4.5 Halla las raices racionales de Ejemplo 4.6 Halla las raices racionales de Nota 4.3 Si dado el polinómio P () a n α n + a n α n + + a 0 queremos obtener las raices racionales p (p divide a a q 0 y q divide a a n ) lo mejor es probar las fracciones más sencillas y si no sale hacer el cambio y a n y reducirlo a un polinómio mónico. Ejemplo 4.7 Halla las raices racionales de Las posibles raices son { ±, ±, ±, ± 3, ± 3, ± } y ( )( + ) (8 + ) ( ) ( +)( +3) 43

47 Polinomios 44

48 Capítulo 5 Funciones lineales y cuadráticas. Circunferencia y elipse Sumario. Funciones reales de variable real. Grfica de una función. Funciones lineales y afines. Ecuación de una recta. Funciones cuadráticas. Parábolas. Circunferencia y elipse. Ejercicios. 5.. Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado Ecuaciones en dos variables. Una línea del plano es el conjunto de puntos (, y), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F (, y) 0, aquellos puntos que no satisfacen la ecuación no estan sobre la línea. Ejemplo 5. y 0 Y y X 45

49 Funciones lineales y cuadraticas. Circunferencia y elipse Ejemplo 5. y 0 Y y X Ejemplo y 0 La solución es el punto (0, 0) Ejemplo y +0 No tiene solución en el cuerpo de los número reales. Ejemplo y 0 Y + y 0 X Ejemplo 5.6 La ecuación + + y 0define una circunferencia. Hallar su centro y su radio. En la ecuación dada, completamos cuadrados para que desaparezca el término en y 0 ( +) + y 46

50 Funciones lineales y cuadraticas. Circunferencia y elipse Y + y 0 X Ejemplo 5.7 Establecer el conjunto de puntos definidos por + y 4 +4y El conjunto de puntos que verifican una desigualdad es una región del plano, el conjunto de puntos que verifican la ecuación + y 4 +4y, es una curva, esta curva delimita la región del plano que buscamos. que completando cuadrados, se transforma en: + y 4 +4y + y 4 4y y y ( ) +(y ) 8 que representa el circulo y la circunferencia de centro (, ) y radio 8. Ejercicio 5. Dados los puntos A y B. Hallar el conjunto de puntos M que están a doble distancia de A que de B Ecuación de primer grado. La recta. Las líneas de ecuación más sencillas que podemos encontrar son de la forma: A + By + C 0 donde A y B no pueden ser simultáneamente cero. Si B 0, representa una recta vertical, C. A Si B 0, podemos escribir: y A B C B a + b que es una función de R R, sib 0, la llamaremos lineal, y si b 0afín, donde b es la ordenada en el origen y a es la pendiente. A α se le denomina ángulo de incidencia, y su tangente es a, la pendiente. Notemos que si α 0, entonces la recta es horizontal, y si α π la recta es vertical. Dado un punto P (a, b) y la pendiente m, la ecuación de la recta es: y b m ( a) 47

51 Funciones lineales y cuadraticas. Circunferencia y elipse Ejemplo 5.8 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, ) y (5, 4). Para obtener la ecuación de la recta, sólo hemos de sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación de la recta, y a + b, yresolverelsistema: } } a3+b 3a + b b 9 } 7 4a5+b 3a a 3 la ecuación de la recta es: y 3 7 Y y 3 7 X También podemos observar, que la pendiente de la recta es: m y la ecuación de la recta: y 3 ( 3) Ejemplo 5.9 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) yformaconelejeox, un ángulo de π rad. 4 La pendiente de la recta es, m tan ( π 4 ), por tanto, y ( ) siendo α, β los ángulos de inci- Ángulo de dos rectas y a + b r Dadas las rectas y c + d s dencia de las rectas r y s. }, sabemos que a tanα c tanβ } tan (β α) tan β tan α +tanβ tan α 48 c a +a c

52 Funciones lineales y cuadraticas. Circunferencia y elipse Nota 5. Si a c, entonces las rectas son paralelas, el ángulo que forman es 0. Nota 5. Si +a c 0, las rectas son perpendiculares, el ángulo que formas es π rad. También podemos obtener el } ángulo entre dos rectas, a partir de sus vectores de dirección. Dadas A + By + C 0 las rectas A + B, sus vectores de dirección son ( B,A) } y + C 0 ( B,A ; y el coseno del ángulo ) que forman es: ( B)( B )+AA cos γ A +( B) (A ) +( B ) Ejemplo 5.0 Hallar el ángulo que forman las rectas r y s de ecuaciones: La tangente del ángulo que forman es: yelángulo es 3π 4 rad. tan (β α) r y +3 s y 3 + tan β tan α +tanβ tan α ( 3) + ( 3) 5 5 Ejemplo 5. Halla la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta y +30 La pendiente de la recta es m, y la ecuación de la recta paralela: y 0( 0) Ejemplo 5. Halla la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta y +30 La pendiente de la recta es m, y por tanto, la pendiente de la recta perpendicular verifica, +m 0; y la ecuación de la recta perpendicular y 0 ( 0) Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto P (a, b), a la recta r de ecuación A+By+C 0, se obtiene sustituyendo las ecuaciones del punto P, en el valor absoluto de la ecuación normal de la recta y, esta se obtiene dividiendo la ecuaión general por el módulo del vector normal. A + By + C 0 Ecuación general A+By+C A +B 0 Ecuación normal Aa+Bb+C A +B d (P, r) Distancia Ejemplo 5.3 Hallar la distancia del punto P(, ) a la bisectriz del segundo cuadrante. La ecuación de la bisectriz es, y. + y 0 + y + 0 d (P, r) + 49

53 Funciones lineales y cuadraticas. Circunferencia y elipse Líneas de segundo orden. Cónicas. La ecuación A + By + Cy + D + Ey + F 0 (), donde A,B y C no son simultáneamente cero, representa a una cónica en el plano. La más sencilla de todas ellas es la circunferencia, lugar geométrico de puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado centro, y a la distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se le llama radio. Ejemplo 5.4 Hallar la ecuación de la circunferencia. Sea C (a, b) las coordenadas del centro y sea R el radio. Si un punto P (, y) es de la circunferencia verifica: que desarrollando, queda de la forma: d (P, C) R ( a) +(y b) R ( a) +(y b) R + y a ay + a + b r 0 Nota 5.3 () es la ecuación de una circunferencia si A C y B 0. Ejemplo 5.5 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (, 4), (6, ) y (, 3). Sustituimos las coordenadas de los puntos en la ecuación de la circunferencia y resolvemos el sistema: A +4 A +D +4E + F 0 6 A + A +6D +E + F 0 ( ) A +3 A D +3E + F 0 la solución es: {D 4A, E A, F 0A, A A}, dandole a A el valor, obtenemos: + y 4 +y 0 0 Que podemos escribir, completando cuadrados, de la siguiente forma: + y 4 +y y +y ( ) +(y +) 5 Ejemplo 5.6 Hallar el centro y el radio de la circunferencia 4 +4y +6 3y y +6 3y 0 + y y 50

54 Funciones lineales y cuadraticas. Circunferencia y elipse + 3 ( ) y y ( + 3 ( + y 4) 3 ) ( ) 3 8 [ (3 ) + 4 ( ) ] 3 8 ( + 4) 3 ( + y 3 ) La elipse es el lugar geométrico de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (F (c, 0) y F ( c, 0)), llamados focos, es constante. La constante a es mayor que la distancia entre los focos c. La ecuación reducida de la elipse es: ysugráfica: Y a + y b b a X A la vista de la gráfica podemos decir que la ecuación de la elipse no representa una función. Sustituyendo y 0, en la ecuación obtenemos ±a, y a los puntos A (a, 0) y A ( a, 0) se les llama vértices y al segmento que determinan se le llama eje mayor y su distancia es a. Análogamente, haciendo 0, obtenemos y ±b, b es la longitud del semieje menor de la elipse. La hipérbola es el lugar geométrico de puntos del plano para los cuales el módulo de la diferencia a dos puntos dados, llamados focos, es constante. Su ecuación reducida es: a y b 5

55 Funciones lineales y cuadraticas. Circunferencia y elipse Y y y... b a b a b a X La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta llamada directriz. La ecuación reducida es y p. El punto F, situado sobre el eje OX y cuya abcisa es p, es el foco de la parábola, y la recta p es su directriz. Cambiando el lugar de e y obtenemos la parábola py, queeslaúnica que es una función real y cuya gráfica adjuntamos. Para obtener la gráfica de la otra parábola basta girar los ejes. Y py p X... y p Las cónicas se pueden definir como el lugar geométrico de púntos P (, y), cuya razón de distancias a un punto fijo F, llamado foco, y a una recta d, llamada directriz, es una constante ε, denominada ecentricidad. d (P, F) d (P, d) ε Ejemplo 5.7 Hallar la ecuación de la elipse de focos (0, ) y (, ) y semieje mayor a Si el punto P de coordenadas (, y) pertenece a la elipse, verificará: ( 0) +(y ) + d (P, F)+d (P, F )a ( ( )) +(y ) 5

56 Funciones lineales y cuadraticas. Circunferencia y elipse ecuación irracional, que se resuelve despejando una de las raices y elevando al cuadrado; ( ) ( ( 0) +(y ) ( +) +(y ) + ) ( 0) +(y ) ( +) +(y ) +8+4 ( +) +(y ) y +4 4 ( +) +(y ) (y + ) ( ) ( +) +(y ) y +4y y y 3y 7y +36y y Ejemplo 5.8 Encontrar la ecuación de la hipérbola de directriz y +30,focoenelpunto (3, ) y ecentricidad 3. y elevando al cuadrado: d (P, F) d (P, d) 3 ( 3) +(y +) 3 y+3 4+ ( 3) +(y +) y ( 3) +(y +) ( y +3) y +y y y 54 5 y y +64y +36y 0 Ejemplo 5.9 Encontrar la ecuación de la parábola de foco (, ) y directriz la bisectriz del segundo cuadrante. d (P, F) d (P, d) ( ) +(y ) y 53

57 Funciones lineales y cuadraticas. Circunferencia y elipse ( ) +(y ) ( ) y ++y y y + y 4 +4+y 4y ( y + y ) y 4y +y 0 Ejemplo 5.0 Encontrar la ecuación de la parábola de foco (, 5) yvértice (, ). La directriz es la recta perpendicular al eje, este es la recta determinada por el foco y el vértice, pasando por el punto simétrico del foco con respecto al vétice. La recta que pasa por el foco y el vértice tiene de ecuación: y 5 ( ) 3( ) y 3 +8 El punto intersección del eje y la directriz, es el simétrico del foco con respecto al vértice, por tanto, si ( 0,y 0 ) son las coordenadas de dicho punto, se verifica: { 0 + y 0 +5 { 0 3 y 0 Así pues, la directriz es la recta perpendicular a y 3 +8, pasando por el punto (3, ) La ecuación de la parábola, se obtiene de: y + ( 3) 3y 60 3 d ((, y), (, 5)) 3y 6 +9 ( ) +(y 5) 3y 6 +9 ( ) +(y 5) ( 3y 6) y 00y 6y +9y +36y y 36y +6y 0 54

58 Capítulo 6 Funciones eponencial y logarítmica Sumario. Función eponencial; propiedades. Propiedades de logaritmos. Función logarítmica. Ejercicios. 6.. Función eponencial Introducción Estamos familiarizados con las potencias de eponente natural, y utilizamos frecuentemente a n a m a n+m y etender esta propiedad a los números racionales es fácil.. a 0 a n a 0+n a n a 0. a n a n a 0 a n a n y como consecuencia de este último: n { }} { a n n a n a n a n a a n n a m { }} { a m n a n a n a n a m n n a m Para definir a con R, es necesario recurrir al concepto de límite. Dado un número real, siempre eiste una sucesión de números racionales, k m k (m k Z,n k N),queconvergea. n k Sea un número real y a un número real positivo, se define a lím k a k 55

59 Funciones eponencial y logarıtmica Definición 6. Se llama función eponencial de base a, siendoa un número real positivo ala función f : R R, a Cuando a>, es estrictamente creciente, si a<, es estrictamente decreciente y si a,esla función constantemente igual a. Por lo que consideraremos a,entonces a es inyectiva. Y a,a>0 X a,a<0 Propiedades.Seanlosnúmeros reales a>0yb>0; n N y, y R. a a y y (La aplicación eponencial es inyectiva). El codominio de la función eponencial de base a es ]0, + [ { }} { 3. a n a a (n ) a... a 4. a a ( a 5. a > 0 6. a +y a a y 7. a a y a y 8. (a ) y a y 9. (a b) a b ) Ejemplo 6. Resolver 8. n Escribimos 8 como potencia de, es decir, 3, como la función es inyectiva, tendremos que 3 4 y 56

60 Funciones eponencial y logarıtmica Definición 6. Se llama función eponencial f() e ep(). Es decir la base es el número e, que es un número irracional; más todavía, es trascendente, lo que significa que no eiste ningún polinomio con coeficientes enteros que se anule en e,este número aparece, por ejemplo, en el lím n ( + n) n. Sus primeras cifras decimales son Ejercicio 6. Resolver las siguientes ecuaciones: ( ) { 6. 3 y y Función logarítmica, La función eponencial es inyectiva y por tanto podemos definir su inversa, esta es la función logarítmica log : ]0, + [ R log y si y solo si e y. Por tanto, log(e ) cualquiera que sea R y e log cualquiera que sea ]0, + [. Sus propiedades son consecuencia de las de la función eponencial. Propiedades. log 0. log e. 3. Dados n N y ]0, + [ a) log( n )n log b) log( n ) log n c) log log log 4. Dados, y ]0, + [ a) log( y) log +logy. 57

61 Funciones eponencial y logarıtmica b) log( )log log y y c) d) log z z log y e y log 5. La gráfica de la función logarítmica se obtiene por simetría de la gráfica de la eponencial con respecto a la recta y, Y log X La función logarítmica es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva. Es una biyección de los reales positivos en R Función logarítmica de base cualquiera La función logarítmica de base a>0 a se define en ]0, + [ como la inversa de la función eponencial de base a, log a y a y Por lo tanto, log log a log a log a log log a Las propiedades son las mismas que para la función log ln log e Observación.- Dado un número real a > 0, la función eponencial de base a se puede epresar mediante a e log a Ejemplo 6. Resolver log 0 +log 0 ( 0, 9) 58

62 Funciones eponencial y logarıtmica Aplicando las propiedades transformamos la ecuación en: log 0 log log 0 ( 0, 9) log 0 (0 9) y como la función log 0 es inyectiva tendremos: 0 9 9y Ejercicio 6. Resuelve:.. { log+y 36 log π y { log3 +log 3 y y 8 Ejercicio 6.3 Calcula log 3log 3 4log 4 5log 5 6 log

63 Funciones eponencial y logarıtmica 60

64 Capítulo 7 Límites y continuidad Sumario. Concepto intuitivo de límite y continuidad. Propiedades de las funciones continuas. Ejercicios. 7.. Límite de una función en un punto Diremos que el límite cuando tiende a a de f es L, si se puede hacer que f () esté tan cerca como queramos de L, haciendo que esté suficientemente cerca de a, sin coincidir con a. Ejemplo 7. Sea f () sin ( ), queremos calcular lím 0 f () que es 0. Es posible hacer que sin esté tan cerca de cero tomando suficientemente pequeño? Probamos con, queremos que f () estéamenosde de 0,es decir, <sin < 000 oloqueesequivalente sin < 000 pero sin sin < 000 para que f () diste de cero menos de una milésima, basta con tomar ]0 3, 0 3 [ Podemos repetir el razonamiento tomando un número positivo cualquiera ε, así pues, para que f () 0 <εbasta tomar 0 < <ε.y podemos escribir lím 0 f () 0 Ejemplo 7. Sea f () sin ( ). Queremos calcular lím 0 f (),veamosquees0. Sea ε R + y queremos saber como hemos de tomar, para que ( ) sin 0 <ε En efecto: ( ) sin 0 ( ) sin <ε < ε 6

65 Lımites y continuidad Definición 7. Decimos que f : X R tine límite en 0 punto de acumulación de X si ε >0 δ (ε) tal que si 0 < 0 <δ(ε) f () l <ε Que también se puede formular de la siguiente manera: Para todo entorno de l, V l eiste un entorno de 0, U 0 tal que f ( U 0 X ) V l. Si no es verdad que lím 0 f () l se tiene que cumplir entonces: Eiste algún ε>0 tal que para todo δ>0, eiste algún para el cual 0 < 0 <δ,pero f () l >ε. Aunque a veces es más fácil usar la siguiente proposición: Teorema 7. La condición necesaria y suficiente para que el lím 0 f () l es que para toda sucesión { n } X { 0 } tal que lím n 0 lím f ( n )l n n Proof La condición necesaria es trivial, la suficiente se prueba por reducción al absurdo. Supongamos que lím 0 f () no eiste, ello quiere decir que ε >0talque δ eiste δ X { 0 } con 0 < 0 δ <δy f () l ε Tomando δ obtenemos n n X { 0 } con 0 < 0 n < y f () l ɛ, así pues, n hemos encontrado una sucesión n de límite 0 tal que la sucesión de sus imágenes no converge a l, en contra de la hipótesis. Observación Esta caracterización del límite se utiliza sobre todo para demostrar que el límite de f no eiste. Ejemplo 7.3 Sea f () sin. Probar que no eiste lím 0 f (). Sea por una parte la sucesión n πn ( ) f ( n )f πn Y sea por otra parte la sucesión y n πn+ π ( ) f (y n )f π +πn 0 cuya sucesión de las imágenes es sin sin πn sin(πn) 0 0 cuya sucesión de las imágenes es ( π +πn ) ( π ) sin +πn, luego, hemos encontrado dos sucesiones que convergen a cero y cuyas sucesiones de imágenes tiene límites distintos; por el teorema anterior no puede eistir lím 0 f (). 6

66 Lımites y continuidad 7... Propiedades Sean f y g funciones definidas en X R ysea 0 un punto de acumulación de X, supongamos que lím 0 f () l ylím 0 g () m. Entonces se verifica:. lím 0 (f ± g)() lím 0 f () ± lím 0 g () l ± m.. lím 0 (f g)() lím 0 f () lím 0 g () l m. ( ) f 3. lím 0 () lím 0 f () g lím 0 g () l. Siempre y cuando sea m 0yg () 0. m 4. lím 0 b f b lím f 0 si b>0. 5. lím 0 ln f () ln(lím 0 f ()) 6. lím 0 f g (lím 0 f ()) g()) (lím 0 7. El límite de f en un punto 0 si eiste, es único. 8. Si f tiene límite m en 0 entonces f está acotada en un entorno reducido de Si f tiene límite m en 0 entonces f tiene límite en 0 yvale m. 0. Si l m y f () h () g () U, entonces eiste lím 0 h () l Ejemplo 7.4 Calcular lím 0 sin sin sin sin ycomolím 0 lím 0 0, resuta que el límite pedido eiste y vale cero Límites laterales Sea Γ un subconjunto del dominio de f, si la restricción de f aγtienelímite cuando 0 Γ, se dice que f tiene límite en 0 según Γ y se escribe lím f (). 0 Γ Consideramos dos subconjuntos del dominio, Γ + { X : > 0 } yγ { X : < 0 }, y calculamos en caso de que eistan los límites según los subconjuntos Γ + yγ. Al límite lím f () lím f () 0 Γ lo llamaremos límite por la derecha y lo denotaremos por lím + f (). Análogamente se considera 0 el límite por la izquierda lím f () lím f () 0 Γ 0 Obviamente para que eista lím 0 f () es necesario y suficiente que eistan los límites laterales y que estos coincidan. Ejemplo 7.5 Calcular lím 0 f () donde f () e e e + e para 0. 63

67 Lımites y continuidad Calculamos los límites laterales e e lím f () lím e + e e 0 + lím +e e lím e e e lím f () lím 0 0 e + e lím 0 e e + e e Dos límites fundamentales. lím 0 sin. Sabemos por el tema anterior que si 0 << π además y cos < sin < cos cos sin 4 lím lím cos 0 sin se deduce de la regla del bocadillo que lím 0. ( ). lím 0 ( + ) e lím + Ejemplo 7.6 Calcula los siguiente límites:. lím 0 cos / cos lím 0 lím sin 0 lím sin 0 4 ( sin ) lím 0. lím 0 ln(+) 3. lím 0 e 4. lím 0 (+) a ln ( + ) lím 0 lím 0 ln ( + ) lne { e hacemos ln(+t) lím 0 0 t 0 } e e ln(+t) lím lím 0 t 0 ln ( + t) lím t t 0 ln ( + t) ( + ) a lím 0 lím 0 e a ln(+) a lím 0 64

68 Lımites y continuidad Funciones equivalentes en un punto. Diremos que f g en el punto a si lím a f() g() Sean f,g y h tres funciones tales que f g cuando a, entonces f h g h en caso de que eista uno de los límites; y también f h g cuando a. h Si 0 entonces sin arcsin tan arctan log ( +) e ( + ) λ λ k log k cos Observación Los límites de la forma, se resuelven de la siguiente forma: A B A B e B ln(+(a )) e B(A ) Ejemplo 7.7 Halla lím 0 ( + sin ) El límite es de la forma lím 0 ( + sin ) lím 0 e (sin ) lím 0 e e Ejemplo 7.8 Calcular log cos 6 lím 0 + log cos 3 log cos 6 lím 0 + log cos 3 lím log ( + [ +cos6]) 0 + log ( + [ +cos3]) lím cos cos 3 (6) 0 + (3) lím 4 Ejemplo 7.9 Calcular lím + sin a Podemos hacer el cambio t ( + t 0+ ) lím sin a + lím sin at lím t 0 + t t 0 + t at a 65

69 Lımites y continuidad Ejemplo 7.0 Calcular ( lím log ) log Hacemos el cambio t (t 0 ) ( lím log ) ( ) lím log log lím t 0 [ lím sin ] tan π t log ( + t) lím t t 0 t El límite es de la forma, y para poder aplicar lo visto anteriormente hemos de hacer un cambio de variable t π. Observemos que π t 0 [ lím sin ] tan π [ ( π )] lím sin t 0 t tan ( π t) ( lím cos t ) cot t t 0 ( lím e L siendo L lím cos t ) cot t t 0 t 0 ahora bien, como cos t (cost ) (cos t +) t t ycot t tan t nos queda t L lím t 0 t yel t lím Ejemplo 7. Calcular el siguiente límite lím 0 [ sin ] tan e π (a ) log ( ) ( ) ( ) h arcsin Teniendo en cuenta que (a ) log a;log( ) ;( ) h h yque arcsin, setiene lím 0 (a ) log ( ) ( ) ( ) h arcsin log a ( ) lím log a 0 h h 7.. Funciones continuas Sea f : D R R y a D. Diremos que f es continua en a, si que es equivalente a: lím f () f (a) a 66

70 Lımites y continuidad oa: ε >0 δ (ε) talquesi D y a <δ(ε) f () f (a) <ε Para toda sucesión { n } D tal que lím n n a lím n f ( n )f (a). Que f sea continua en a, nos indica que podemos permutar la función f yellímite. ( ) lím f () f lím a a por ello, para calcular un límite, lo habitual es sustituir por a { sin si 0 Ejemplo 7. Sea f () 0 si 0. Estudiar la continuidad de f en el punto a 0. lím f () lím sin ya que se trata de una función acotada ( sin ) por una función () que tiende a cero. Como f (0) 0 la función es continua en cero. Ejemplo 7.3 El valor absoluto es una función continua en a 0. { si 0 si <0 y lím 0 0 { 0 si Q Ejemplo 7.4 Estudiar la continuidad de f () si R Q llama de Dirichlet y es discontinua en todos los puntos). en el punto (esta función se La función no es continua, pues no eiste lím 0 límf () ; para demostrarlo tomamos las sucesiones { } { } n 0y 0, la primera de números racionales y la segunda de irracionales, y n lím 0 f ( ( ) n) 0 mientras que lím 0 f. n Diremos que f es discontinua si:. Si eiste el límite pero no coincide con f (a), es decir, si lím a f () l f (a). En este caso la discontinuidad se dice evitable.. No eiste el límite. a) Los límites laterales eisten y son distintos, la discontinuidad se llama de salto. b) Al menos uno de los límites laterales no eiste, la discontinuidad se dice de segunda especie. Ejemplo 7.5 Sea f () sin si 0la función no es continua en cero, pero esta discontinuidad la podríamos evitar, definiendo f (0) 0. Ejemplo 7.6 La función de Dirichlet es discontinua de segunda especie en cada uno de sus puntos. 67

71 Lımites y continuidad 7... Propiedades de las funciones continuas en un punto. Si f es continua en a, entonces f está acotada en un entorno de a.. Si f (a) 0 siendo f continua en a, entonces eiste un entorno de a donde f tiene el mismo signo que f (a). 3. La suma, diferencia y producto de funciones continuas en a, es continua. Si g es continua con g (a) 0, entonces f también es continua en a. g 4. Las funciones elementales son todas continuas en sus dominios de definición. 5. Si f es continua en a y g es continua en b f (a), entonces g f es continua en a. 6. Dadas las funciones f y g continuas en a, las funciones: má (f,g) mín (f,g) f + g f g son continuas. Ejemplo 7.7 Estudiar la continuidad de f () +e e si < si cos( ) si > f + g + f g y cos ( ) Si > f () es continua por diferencia, composiciónycocientedefun- ciones continuas. ( 0) Si < f () +e e yalser e < 0(nonulo)f es continua por suma, diferencia, composición y cociente de funciones continuas. Veamos que ocurre en. Calculamos los límites laterales: cos ( ) lím f () lím + + cos t [ t] lím lím t 0 + t t 0 + t t 0 +e t + e t lím f () lím [ t] lím e t 0 t e t como los límites laterales son distintos, no eiste el límite de f y no es continua, la discontinuidad es de salto. f es continua en R {0} Funciones monótonas continuas e inversas Dada una función f : I R diremos que es monótona creciente en I, si para <zse verifica que f () f (z) ; y la diremos estrictamente creciente, si la última desigualdad es estricta. Dada una función f : I R diremos que es monótona decreciente en I, si para <zse verifica que f () f (z) ; y la diremos estrictamente decreciente si es f () >f(z). 68

72 Lımites y continuidad Fácilmente se comprueba que la condición necesaria y suficiente para que f sea creciente en I, f (z) f () es que 0paratodo, z I. z ( ) f (z) f () Análogamente para funciones decrecientes. 0 z Si f : I R es estrictamente monótona en I, entonces es inyectiva. Demostración. Evidentemente si z f () f (z), ya que si z <zo z< de donde f () <f(z) o al contrario, pero siempre distintos, y f es inyectiva. Además f es biyectiva si restringimos el codominio a Imf. En el caso anterior podemos definir f :Imf I que también es estrictamente monótona. Demostración. Sean t, w Imf, z I tales que f () t y f (z) w. Para ver que es monótona hemos de estudiar el cociente f (t) f (w) z t w f () f (z) y ambos cocientes tienen el mismo signo. Teorema 7.3 Sea f estrictamente monótona y creciente, entonces f es estrictamente monótona y continua Ejercicios Ejercicio 7. Calcular los siguientes límites:. lím lím indeterminado, el numerador y el denominador tienen que ser divisibles por. + lím 3 ( ) lím ( ) ( +) lím ( ) ( +) 0 0 lím (cos ) cot e L 0. lím 0 (cos ) cot L lím 0 (cos ) cot lím 0 ( ) cos sin lím 0 lím 0 (cos )cot e 0 69 ( ) cos 0

73 Lımites y continuidad 3. lím 0 log cos a log cos b log cos a c lím 0 log cos b lím log ( + (cos a )) 0 log ( + (cos a )) cos a lím 0 cos a lím (a) 0 (b) ( a ) b lím (cos ) cot e L 0 ( ) cos L lím (cos ) cot lím 0 0 sin lím 0 4. lím 0 (cos ) cot lím 0 )cot e 0 5. lím 0 a b a b lím 0 a b lím 0 lím 0 a b ( ) cos 0 a b lím lím 0 0 a b a log a b log b lím lím lím lím lím a log a lím b log b loga log b 0 0 lím (cos ) cot g 0 6. lím 0 (cos ) cot g 7. lím 0 cos ( lím (cos 0 )cot g lím e (cos ) cot g lím 0 ) e cos tan 0 e 0 lím e 0 El límite no eiste, cuando tiende a cero, crece hasta infinito, y el seno va oscilando desde hasta. Vamos a demostrar que en efecto no eiste: Tomamos dos sucesiones que tiendan a cero y que las sucesiones de las imagenes tengan límites distintos. ( ) Sea n cos πn cos(πn), que tiene por límite. Consideramos y n π+πn ( ) πn cos cos(π +πn), cuyo límite es.y ellímite no eiste. π+πn ) ( ) ( cos ) cos ( ) cos ycomolím 0 0, por la regla del sandwich, el límite pedido es cero. 8. lím 0 cos ( 70

74 Lımites y continuidad Ejercicio 7. Calcular el valor de a y b para que la siguiente función sea continua en todos los puntos. sin(+) si < + g () a + b si sin ( ) π log si > La función es continua en todos los salvo en yen. Veamos que ocurre en dichos puntos: lím g () lím g () lím lím t 0 sin t t lím + lím 0 + a + b a + b lím lím a + b a + b lím + sin ( ) π log a + b a + b ( π ) lím sin log + e sin( π ) log + lím sin( π e πt ) t + lím lím ( π t) e t 0 + lím e sin( π ( t)) log( t) t 0 + e cos( π t) t t 0 + lím t e 0 Resolviendo el sistema { a + b a + b resulta: b ya 0 Ejercicio 7.3 Estudiar la continuidad de e / si < 0 f () 0 si 0 sin cos si > 0 La función es continua en todo punto distinto del cero, por ser composición de funciones continuas (la función eponencial y una función racional con denominador no nulo, por una parte, por otra, es el producto de la función seno por una composición, una racional con denominador distinto de cero y la función coseno). Veamos que sucede en 0. lím f () lím e / lím e / lím f () lím sin cos 0 (función acotada por un infinitésimo) 0 0 Y la función es continua en todos los puntos. 7

75 Lımites y continuidad Ejercicio 7.4 Escribe una función que sea continua eactamente en dos puntos. { f () si Q 3 si / Q Veamos que es continua sólo en y. Calculamos el límite en un punto cualquiera a R lím a f () Tomamos dos sucesiones que converjan a a. Supongamos que a Q n y n { } ( ) ( ) an an an Q y f a n + n + n + { } ( ) ( ) an an n + R Q y f n + an 3 n + 3a el límite sólo eiste si a 3a a 3a +0, cuya solución es : {a }, {a }. Análogamente se procede si a/ Q. Ejercicio 7.5 Estudiar la continuidad de f () { e si 0 0 si 0 Para 0, la función es continua por ser composición de funciones continuas. En el punto cero calculamos el límite. lím e lím 0 0 e 0 e + y la función es continua en todos los puntos Ejercicio 7.6 Estudiar la continuidad de f () { e si ± 0 si ± La función la podemos obtener como composición de la anterior y de g (), yportanto es continua por ser composición de funciones continuas. 7

76 Capítulo 8 Derivabilidad de funciones Sumario. Derivada de una función. Propiedades de la derivada. Ejercicios. 8.. Derivada Definición 8. Sea f : I R y a I, si eiste el siguiente límite f () f (a) lím a a f (a) diremos que f es derivable en el punto a y su derivada es f (a). De la unicidad del límite resulta que la derivada es única. Para que eista dicho límite deben de eistir los límites laterales lím f() f(a) a + f a + (a), lím f() f(a) a f a (a) y ser iguales, se les denomina derivada por la derecha y por la izquierda, respectivamente. { si 0 Ejemplo 8. Sea f () función que sabemos continua en a 0pero que si 0 no es diferenciable en ese punto. Calculamos las derivadas laterales f () f (0) lím f () f (0) lím lím lím 0 + f + (0) 0 lím 0 0 lím 0 f (0) como las derivadas laterales son distintas, la función no puede ser derivable en 0. Sabemos que la interpretación gráfica de la derivada es que f (a) es la pendiente de la recta tangente a la curva y f () en el punto (a, f (a)), es decir, la ecuación de la recta tangente es y f (a) f (a)( a) 73

77 Derivabilidad de funciones Ejemplo 8. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y sin en el punto de abcisa 0 f () f (a) lím a a y la ecuación de la recta tangente es lím 0 sin 0sin0 0 lím 0 sin y 0sin00( 0), es decir, y 0. lím 0 sin 0 Teorema 8. Si f es diferenciable en un punto a, entoncesf es continua en a. Demostración. Para que f sea continua en a debe ocurrir que lím a f () f (a) 0. f() f(a) Al ser f diferenciable sabemos que lím a a f (a), luego lím f () f (a) a [ ] f () f (a) lím ( a) a a f () f (a) lím lím a a (a) 00 a El recíproco es falso Ejemplo 8.3 f () { si 0 si <0 es continua en 0 y no es derivable en 0 En efecto, f es continua, pues lím f () lím 0 lím ( ) lím f () es decir, lím 0 f () 0f (0). En cambio, las derivadas laterales son distintas f () f (0) lím f () f (0) lím 0 0 lím lím lím lím 0 y por tanto, no eiste f (0) Cálculo de derivadas Definición 8.3 Si f : I R es derivable en cada punto de I, diremos que f es derivable en I, y podemos considerar la función que asocia a cada I f () R, que llamaremos función derivada y la notaremos por f. 74

78 Derivabilidad de funciones Si el intervalo I es cerrado, diremos que f es derivable en a etremo de I, si f tiene derivada lateral. Al conjunto de las funciones derivables, las notaremos por D (I,R) yseverifica y podemos escribir: D (I,R) C(I,R) F(I,R) f D(I,R) f F(I,R) Reglas de derivación Si f, g D(I, R), entonces se verifica f + g D(I,R) y(f + g) f + g f g D(I,R) siendo (f g) f g + f g λ R, (λf) D(I,R), con (λf) λf ) f Si 0 / f (I) f D(I,R), resultando ( f f Regladelacadena Si f D(I,R) yg D(f (I), R) entonces g f D(I,R), y(g f)(a) g (f (a)) f (a) Homeomorfismos diferenciables Si f : I f (I) un homeomorfismo, tal que f D(I,f (I)) y 0 / f (I), entonces f D(f (I), R) yf f f Ejemplo 8.4 Sea f () Hallar f { + si 0 si > 0 a+b (+). Calcular a y b para que f sea derivable en todo punto. Para <0, 0, al no anularse el denominador de f, esta es derivable en todos los puntos, por ser cociente de funciones derivables. Para >0, + 0, y sucede lo mismo que en el caso anterior. Estudiamos el caso 0. Para que f sea derivable, ha de ser continua, luego los límites laterales tienen que ser iguales: a + b lím f () lím ( +) a 0+b (0 + ) b + lím f () lím De donde deducimos que para b, fes continua en 0. Supuesto que b, pasamos a calcular las derivadas laterales: 75

79 Derivabilidad de funciones f + f () f (0) (0) lím lím lím 0 + a + + ( +) a ( ) (+) (a + +) lím 0 + ( +) lím 0 + a + ++ (+) lím 0 + (a + +) ( +) a + f f () f (0) (0) lím 0 0 lím 0 lím 0 + ( ) lím ( ) lím 0 ( +) ( ) lím 0 + la función será derivable en 0, si a 3 yb, siendo ( ) ( +) si < 0 f ( ) () si 0 3(+) (+)( 3 ) si > 0 (+) 4 Ejemplo 8.5 Sea f () sin f continua?. ( ) y f (0) 0. Estudiar la continuidad y derivabilidad de f. Es La función es continua en todos los puntos de R, pues es un producto de funciones, donde uno de los factores es una composición de funciones continuas (la función seno y la función donde el denominador no se anula) y el otro factor es una función polinómica. Veamos que ocurre en 0 ( ) lím 0 sin 0f (0) por ser el producto de una función acotada ( sin ), por una función que tiende a cero ( ), y f es continua en R. Estudiamos la derivabilidad en el 0, en los demás casos un razonamiento análogo al realizado en la continuidad resuelve la cuestión. f f () f (0) (0) lím lím 0 0 y f es derivable en todos los puntos. ( sin ) 0 lím 0 sin ( ) 0 f () { sin + ( ) cos 0 si 0 si 0 y f no es continua en cero, ya que el sustraendo de sin cos no tiene límite para 0. Ejemplo 8.6 Hallar la recta tangente a la curva de ecuación f () sin en el punto de abcisa π. 76

80 Derivabilidad de funciones Calculamos la derivada de f tomando logaritmos: log f sin log f f cos log + sin f f (cos log + ) sin sin (cos log + ) sin ( π ) ( π ) ( sin π f cos π log π + π sin π ) π π y la ecuación de la recta tangente es: y π ( π ) Ejemplo 8.7 Hallar la derivada de arcsin Tenemos que arcsin z sinz e y cos (arcsin ) sin (arcsin ) 77

81 Derivabilidad de funciones 78

82 Capítulo 9 Integrales de funciones. Primitivas Sumario. Concepto intuitivo de integral definida. Primitiva e integral indefinida de una función. Integrales inmediatas. Integración por partes. Integración por cambio de variables. Integrales racionales. Ejercicios. 9.. Concepto de primitiva Definición 9. Sea f : I R R llamaremos primitiva de f a toda función F : I R R derivable, talque F () f (). Notemos que si f admite una primitiva en I, entonces f admite infinitas primitivas. Definición 9. Al conjunto {F F es una primitiva de f}, lo llamaremos integral indefinida de f y lo notaremos por f () d. Como consecuencia inmediata de la definición se obtienen estas cuatro propiedades: ( ) f () d f (). f () d f () kf () d k f () d k R. (f ()+g ()) d f () d + g () d 9.. Integración de funciones elementales Si n f () f n () d f n+ () n + + c Si n f () d log f () + c f () 79

83 Integrales de funciones. Primitivas f () a f() d af() log a + c f () e f() d e f() + c f ()cos f () d sinf ()+c f ()sin f () d cos f ()+c f ()cosh f () d sinhf ()+c f ()sinh f () d coshf ()+c f () d tanf ()+c cos f () f () sin d cot f ()+c f () f () d arcsinf ()+c f () f () d argcoshf ()+c f () f () d argsinhf ()+c +f () 80

84 Integrales de funciones. Primitivas f () d arctan f ()+c +f () f () +f () d +f () log f () + c f ()sec f ()tanf () d secf ()+c f () co sec f ()cotf () d co sec f ()+c f () f () d f ()+c Ejemplo 9. 3 (a + b 3 d con (b 0) ) 3 (a + b ) 3 d 3 b b (a + b ) 3 d 3 (a + b ) 3+ + c b 3+ Ejemplo 9. log 4 d log 4 d log5 + c 5 Ejemplo 9.3 sin 4 cos 4d sin 4 cos 4d 4 (sin 4) sin 3 4 4cos4d 3 + c 4 6 sin c Ejemplo 9.4 ( +) 3 d ( +) 3 d ( +) 3 d ( +)4 + c 4 Ejemplo 9.5 e d e d e ( ) d e + c 8

85 Integrales de funciones. Primitivas Ejemplo 9.6 arcsin d arcsin d ln arcsin + c Ejemplo 9.7 cot d cot d cos d ln(sin)+c sin Ejemplo 9.8 tan d Ejemplo 9.9 sin d tan d sin d ln (cos )+c cos sin sin d d cos + c Ejemplo 9.0 cos d Ejemplo 9. e cos e d cos d tan + c e cos e d sin(e )+c Ejemplo 9. e e d e e d arcsine + c Ejemplo d + d 4 +( ) arctan + c Ejemplo 9.4 d ( + ) d ( + ) d (+( ) ) arctan + c 8

86 Integrales de funciones. Primitivas Ejemplo 9.5 d ( ) + d ( ) + arcsinh ( ) + c Ejemplo 9.6 Ejemplo 9.7 d log ( d (ln log ln ln + )) argcoshlog + c d 5 6 d d ( 4 5 ) 4 arcsin c 9.3. Integración por descomposición Cuando el integrando se puede descomponer como suma algebraica de otras funciones más elementales, aplicamos las propiedades 3 a y4 a. Ejemplo 9.8 (4 +) d (4 +) d d ln + c Ejemplo d Ejemplo 9.0 I (tan +cot) d I ( ) d ( + d + ) +ln( ) + c (tan +cot) d (tan +cot + ) d (+tan ++cot ) d tan cot + c 83

87 Integrales de funciones. Primitivas Ejemplo 9. I d sin cos ( d sin I sin cos +cos ) sin cos d sin sin cos d + cos sin cos d cos d + sin d tan cot + c 9.4. Integración por sustitución Supongamos que tenemos que calcular f () d y tomamos g (t),gdiferenciable, entonces, por la regla de la cadena, se verifica que: f () d f (g (t)) g (t) dt h (t) dt H (t)+c H ( g () ) + c Ejemplo d + t + d t d tdt t + tdt +t t + t +t dt ( +t + t +t ) t + +t dt dt +t ( t arctan t + ln ( +t )) arctan +ln(+)+c Ejemplo d { } + sinht d +sinh t cosh tdt d coshtdt +cosht cosh tdt dt t + sinh t + c 4 t + 4 sinht cosh t + c ( + )+ arcsinh + c Ejemplo 9.4 d + +8 d { d ( + ) d ( + ) d ( ) d ( ) + 5 arctan c } 84

88 Integrales de funciones. Primitivas Ejemplo d +3 I 9 +8 d d d d 9 ln ( 9 +8 ) + 39 d ln ( 9 +8 ) I d I 9 +8 completamos cuadrados { 9 +8(3) (3 ) +4 } de donde I d (3 ) ( 3 d ) + 6 arctan 3 I 9 ln ( 9 +8 ) arctan + c 6 + c Ejemplo d I d d d +4 4 d 4 +4I 4 I { 4 d ( [ + 4) 4 4 ( ) 4 ( ) ] ( ) d arcsin + c } I 4 +4arcsin + c 9.5. Integración por partes Supongamos que f () d u () v () d donde u, v, u,v,están definidas en el mismo dominio que f. Al ser d (uv) udv + vdu 85

89 Integrales de funciones. Primitivas e integrando esta epresión d (uv) uv udv + vdu udv uv vdu fórmula de integración por partes. Si aplicamos la fórmula a f () d, obtenemos: f () d f () df () f () f () d Ejemplo 9.7 ln d ln d ln ln + c Ejemplo 9.8 arctan d arctan d arctan + d arctan ln ( + ) + c El método de integración por partes requiere la elección juiciosa de u y dv. Observemos que si clasificamos las funciones de la siguiente forma Logarítmica Inversa Trigonométrica Algebraica Trigonométrica Eponencial (LIATE) cada función de estas clases tiene su derivada en la misma clase o en la inferior, por lo que la clasificación LIATE nos da la regla para elegir u, de las dos funciones que aparecen en el integrando, debemos elegir u como aquella de ambas que primero aparezca en la clasificación LIATE. Ejemplo 9.9 ln d u {}}{ ( ) 3 ln d ln d ln d (ln ) ln 3 3 d 3 ln 3 d 3 3 ln c Ejemplo 9.30 I arctan d u ( ) { }} { I arctan d arctan d arctan d arctan arctan d + arctan + d + arctan d + arctan + arctan + c + d 86

90 Integrales de funciones. Primitivas Ejemplo 9.3 I ln d I ln d ln d ( ln ) ln ln ln ln d ln [ ln ]+c Ejemplo 9.3 arcsin ( ) 3 d arcsin ( ) 3 d arcsin ( ) ( ) d arcsin ( ) arcsin d d (arcsin ) arcsin d arcsin arg tanh + c Ejemplo 9.33 e d e d de e e d e e d [ ] e de e e e d e [e e ]+c e e +e + c Observemos que hemos integrado por partes dos veces, éste es un hecho que se produce frecuentemente, por ello, cuando la función a integrar es un producto, cuyos factores son una función polinómica y una función eponencial o una circular es conveniente ponerlos en forma de tabla, como sigue: D I + e e e + 0 e 0 e y e d + e e +e 0e. 87

91 Integrales de funciones. Primitivas Ejemplo 9.34 ( +3 ) sin d D +3 + I sin +3 cos sin + 0 cos sin ( +3 ) sin d ( +3 ) cos +( +3)sin +cos + c Ejemplo 9.35 cos d cos d d (tan ) tan tan +lncos + c tan d 9.6. Integración de funciones racionales P () Tratamos ahora de integrar funciones racionales, es decir, donde P y Q son funciones Q () polinómicas. Pueden ocurrir que gr (P ) gr (Q) ogr (P ) <gr(q). Donde se puede reducir el primer caso al segundo, para ello sólo necesitamos efectuar la división euclídea, P () Q () C ()+R (), donde C y R son el cociente y el resto respectivamente. Y P () Q () C ()+R () C ()+ R () Q () Q () Q (). Así supondremos que P es una fracción propia, es decir, gr (P ) <gr(q). Y recordemos que si Q el polinomio Q tiene una raíz compleja, a + bi, entonces también tiene la raíz a bi, yseverifica trivialmente la relación( (a + bi)) ( (a bi)) ( a) + b. Supongamos que Q tiene las raíces reales r,r,.., r s con multiplicidades α,α,..., α s respectivamente, y las complejas a ± b i,..., a t ± b t i con multiplicidades β,..., β t, es decir, Q ( r ) α ( r s ) αs ( ( a ) + b ) β ( ( at ) + b t y descomponiendo en fracciones simples, P Q A ( r ) α + A ( r ) α + + A α + r B + ( r ) α + B ( r ) α + + A α + r M + N + + ( ( a ) ) + b β + + M β + N β ( a ) + + b 88 ) βt

92 Integrales de funciones. Primitivas descomposición que es única, y A,A,..., B,B,..., M,N,... son constantes a determinar. Ejemplo 9.36 Descomponer en fracciones simples quitamos denominadores y le damos a los valores, i y0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) A ( ) + B + M + N + A ( + ) + B ( + ) ( ) + (M + N)( ) A A { i i (Mi + N)(i ) M (Mi + N)( i) M Ni N 0 A B + N B y ( ) ( + ) ( ) Una vez descompuesto en fracciones simples P, se integran cada uno de los sumandos, pudiendo Q presentarse los siguientes casos: Eisten raíces reales simples. Si r es una raíz simple de Q en la descomposición aparecerá un sumando de la forma que tiene por primitiva a A ln r. Ejemplo 9.37 d ( +) ( +) A r Eisten raíces reales múltiples. A + B A ( +)+B (A + B) + A + { { 0A + B B A A d d ( +) d ln ln + + c + Si r es una raíz de Q con multlicidad α, en la descomposición en fracciones simples, aparecen los A A sumandos ( r) α + ( r) α + + A α r ysuintegrales: [ A A ( r) α + ( r) α + + A ] α ( r) α+ d A + + A α ln ( r) r α + 89

93 Integrales de funciones. Primitivas Ejemplo 9.38 d ( ) ( +) I ( ) ( +) A ( ) + B + C + A ( +)+B ( ) ( +)+C ( ) si A A si 4C C 4 si 0 A B + C B 4 e [ ( ) ] d I + ( ) 4 ln ( ) + ln ( +)+c 4 Q tiene raices imaginarias simples. (raices imaginarias multiples no se ve) Si Q tiene la raíz a + bi, también tiene la a bi que las podemos agrupar, y se obtiene el sumando M + N ( a), cuya integral da a lugar a un logaritmo más un arco tangente. + b M + N M Ma + Ma + N I ( a) + b d ( a) d + b M ( a) Ma + N b ( a) d + ( + b b a ) d b + M ln ( ( a) + b ) + Ma + N ( ) a arctan + c b b Ejemplo ( +) d + ( +) A + M + N + (A + M) + N + A ( +) A ( +)+M + N ( +) 0A + M N A M N A + ( +) d [ ] [ + + d ] d ln ln ( + ) + arctan + c 90

94 Integrales de funciones. Primitivas 9.7. Integración de funciones trigonométricas Tratamos de resolver integrales de la forma R (sin, cos ) d donde R es una función racional en sin, cos, aplicando un cambio de variable. { cos t. R es impar en sin arccost ;sin t y d dt t { sin t. R impar en cos arcsint ;cos dt t y d t { tan t 3. R par en sin ycos arctan t ;sin t ;cos y d dt +t +t +t. Ejemplo 9.40 d sin Hacemos cos t Ejemplo 9.4 d sin cos sin +tan d t dt I arg tanh t + c arg tanh cos + c dt t t Como el integrando es impar en cos, hacemos el cambio sin t cos sin +tan d dt t + t t t t 4 +t dt integral racional, se descompone en fracciones simples, integrando y deshaciendo el cambio, se obtiene: cos sin +tan d t arctanh 4 sin +c Ejemplo 9.4 d sin 3 cos 3 La función es impar en sin yencos,y también es par luego, el cambio a emplear puede ser cualquiera, veamos por ejemplo tan t. d sin 3 cos 3 ( t +t ) 3 ( +t dt ( + t ) 3 +t ) 3 t 3 simplificando e integrando, y deshaciendo el cambio se tiene que d sin 3 cos 3 sin cos sin + ln (tan )+c 9 dt +t

95 Integrales de funciones. Primitivas Integración de productos de senos y cosenos de distinto arco Recordemos que: ytambién son muy útiles sina sin B cos(a B) cos (A + B) cosa cos B cos(a B)+cos(A + B) sina cos B sin(a B)+sin(A + B) sin A sina cos A cos A cos A sin A cos A +cosa sin A cos A Ejemplo 9.43 sin cos 4d sin cos 4d sin A eai e Ai i cos A eai + e Ai 4 [sin ( 4)+sin( +4)] d cos cos 6 + c Ejemplo 9.44 sin sin 3 sin 4d sin sin 3 sin 4 [ (cos 3 ) ] cos (3 +) sin 4 cos sin 4 cos 5 sin 4 de donde [sin (4 )+sin(4 + ) {sin (4 5)+sin(4 +5)}] 4 sin sin sin sin sin sin 3 sin 4d 0 cos 5 cos cos 9 4 cos + c Ejemplo 9.45 cos sin 4 d 9

96 Integrales de funciones. Primitivas ( ) cos sin 4 (cos sin ) sin cos sin cos 4 cos 4 ( cos cos 4 +cos cos 4) 6 ( cos cos 4 + ) 6 (cos +cos6) cos sin 4 d 6 64 sin sin 4 + sin 6 + c 64 9 Método alemán.- Las integrales de la forma grado n, se hacen por reducción. P n () a + b + c d Q n () a + b + c + P n () d donde P es un polinomio de a + b + c k a + b + c d siendo Q un polinomio de grado, una unidad inferior a P y coeficientes indeterminados. Ejemplo d d (a + b) + +4+k + +4 d a (a + b)( +) k a ( + +4 ) +(a + b)( +)+k a 3 a +3a +4a + b + b + k 3a + b 4a + b + k 4 { k,b 5,a 3 } I I d + +4 ( 3 + ) d ( +) +3 I { }} { + +4 d 3 d ( + 3 ) + argsinh c ysólo nos falta sustituir en I. 93

97 Integrales de funciones. Primitivas d ( ) + + Las integrales de este tipo, se reducen al anterior mediante el cambio t { } d I ( ) + + t d dt t dt t (+ ) ( ) t t + + t Ejercicios dt ) ( + + t (+ t t dt 5t +4t + dt (5t ) Calcular las siguientes integrales: Ejercicio 9. sin 3 cos d 4 sin4 + c Ejercicio 9. ) + dt (t +) +(t + t)+t dt (5t ) + 5t dt ( 5t+ ) dt 5 arg sinh (5t +)+c (5t +) 5 + d (a + ) n con n N Si n d (a + ) n d (a + ) n (a + ) n+ n + ( a + ) n d Si n Ejercicio d d (a + ) log ( a + ) + c 94

98 Integrales de funciones. Primitivas + d ( + ) d (( + )) 3 3 ( 3 ( + )) + c 3 + c Ejercicio 9.4 Ejercicio 9.5 sin cos d 3 a d 3 3 a d 3 3 sin cos d cos + c Ejercicio 9.6 (a + b ) 3 d con b a 3 d 3 ln 3 a 3 + c sin cos d cos + + c ( a + b )3 d ( a + b )3 d (a + b ) 4 + c 4 Ejercicio d d 9 ( ( + 3 )) 3 + c Ejercicio 9.8 tan cos d tan cos d tan + c Ejercicio 9.9 (ln ) p d Si p Si p (ln ) p d ln(p+) p + + c d log log + c log 95

99 Integrales de funciones. Primitivas Ejercicio d d ( ( ) ln + ) ( 4 ) + c Ejercicio 9. d ( + ln ) 3 ( + ln ) 3 d (+ln) + c Ejercicio ln c Ejercicio 9.3 d (a n + b) Hacemos el cambio {,d dt } t t d (a n + b) dt t ( t a + b ) t n dt (a + bt n ) t n bnt n dt nb a + bt n nb log a + btn + c Ejercicio 9.4 I d Hacemos el cambio t d t dt d t dt t t t dt t ( ) t Completando cuadrados dt t dt t t I t t ( t t + ) (t ) ( ) dt arcsin (t ) + c arcsin (t ) + c 96

100 Integrales de funciones. Primitivas Ejercicio 9.5 sin +cos 3+sin d I sin +cos 3+sin d Hacemos el cambio tan t I t t + sin cos t t + d dt +t sin +cos 3+sin cos t sin +cos 3+sin d + t +t +t 3+ t +t t 3(+t ) dt +4t ( t ) +t t (3t +t +)(t t +3) dt I +t dt t +t +t +t t 3+6t +3t 4 +4t 4t 3 dt para integrar I, lo descomponemos en fracciones simples. +t t (3t +t +)(t t +3) Mt + N 3t +t + + Pt+ Q t t +3 +t t (Mt + N) ( t t +3 ) +(Pt+ Q) ( 3t +t + ) Mt 3 Mt +3Mt + Nt Nt +3N +3Pt 3 +Pt + Pt+3Qt +Qt + Q (M +3P ) t 3 +( M + N +P +3Q) t +(3M N + P +Q) t +(3N + Q) de donde: 3N + Q 3M N + P +Q M + N +P +3Q 0M +3P cuya solución es : { N,P,M 3,Q } I t + 4 3t +t + dt + t t t +3 dt (3t +) 4 3t +t + dt t +4 4 t t +3 dt 8 log ( 3t +t + ) 8 log ( t t +3 ) 4 4 t t +3 dt 8 log ( 3t +t + ) 8 log ( t t +3 ) (t ) + dt 8 log ( 3t +t + ) 8 log ( t t +3 ) ( ) dt t + 8 log ( 3t +t + ) 8 log ( t t +3 ) 97 ( ) t arctan + c

101 Integrales de funciones. Primitivas ysólo nos falta deshacer el cambio: I ( (3 8 log tan ) ) +tan + ( ( 8 log tan ) ) tan +3 (( ) ) tan arctan + c Ejercicio d d + d ( ) + d y tenemos que resolver las integrales + ( ) d + ( ) d resolvemos la primera, la segunda es igual salvo el signo. quitando denominadores: y dando a los valores 0,, resulta: + ( ) + ( ) ( +) A + B + C + +A ( ) ( +)+B( +)+C( ) A B C + d ( ) d + d + d + log +log +log + + c log + c Ejercicio 9.7 d sin cos I La integral es impar en seno, el cambio es: cos t sin d dt 98

102 Integrales de funciones. Primitivas sin sin cos d dt ( t ) t dt ( t)(+t) t procediendo como en el ejercicio anterior, tenemos: dt (t ) ( + t) t ln (t ) ln ( + t)+ t + c log (cos ) Ejercicios propuestos log ( + cos )+ cos + c Ejercicio 9.8 cos 3 sin d sin cos4 sin cos sin + c Ejercicio 9.9 d +cos tan + c Ejercicio 9.0 sin cos d 4 sin cos3 + 8 sin cos c Ejercicio 9. Ejercicio 9. Ejercicio 9.3 d ln ( +9)+ ln ( 3) + c 4 4 d arctan ( ) c arcsin ( ) d arcsin + c Ejercicio 9.4 ln ( ( ) 3 d 3 ln ) + c Ejercicio 9.5 d 4+5 arctanh (4 + 5 )+c Ejercicio d ln 5+ln 5 + c Ejercicio 9.7 cos 4 d 3cos 3 sin + 3cos sin + c Ejercicio 9.8 sin cos 3d 0 cos 5 + cos + c Ejercicio 9.9 cos a sin bd cos(a+b) + cos(a b) + c a+b a b Ejercicio 9.30 ln d ( ln ) ln + + c Ejercicio 9.3 e a cos bd a e a cos b + b e a sin b + c a +b a +b Ejercicio 9.3 sin sin 3 sin 4d cos 5 cos 3 + cos 9 cos + c

103 Integrales de funciones. Primitivas Ejercicio 9.33 cosh d sinh + c Ejercicio 9.34 cosh d 4 cosh sinh + + c Ejercicio 9.35 Ejercicio 9.36 Ejercicio 9.37 d 8 ln ( +4) ln ( ) + c 6 6 d 3 arcsin( + ) + c d + + ( + +) arcsinh ( + )+c Ejercicio d ln ( + + 5) + arctan ( + ) + c Ejercicio 9.39 e sin d ( + ) e cos + e sin + c Ejercicio 9.40 arctan d arctan ln ( + ) + c 4 Ejercicio 9.4 d arctan cosh (e )+c Ejercicio d +ln(+)+ln( +)+ln( +3)+c ( +)( +)( +3) Ejercicio d ln(+) ( +)( ) + c Ejercicio d + ln + ( + +) 3 arctan ( +) 3+c 3 Ejercicio 9.45 d ln ( ) + 4 arctan + + ( ) + 4 arctan + c 00

104 Bibliografía [] G. L. Bradley, Cálculo de una variable, Ed. Prentice Hall. [] G. Thomas y R. Finney, Cálculo de una variable, Ed. Addison Wesley. [3] S. K. Stein, Cálculo y geometría analítica, Ed. McGraw Hill. 0