TEOREMA 61. El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia. (Ver figura 161). Sean AB cuerda diametral y CD una cuerda, no diametral.

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1 96 ARCOS Y CUERDAS TEOREMA 61 El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia (Ver figura 161) Sean AB cuerda diametral y CD una cuerda, no diametral AB OAOB 2r pero r OC OD En el OCD tenemos: OC OD CD por la desigualdad triangular (1) Luego 2r CD (2) Figura 161 Reemplazando (1) en (2) concluimos que AB CD TEOREMA 62 La distancia más corta de un punto a una circunferencia, es la parte del radio o de su prolongación, comprendida entre el punto y la circunferencia (Ver figura 162) El punto considerado puede ser interior o exterior a la circunferencia C( O, 1 Sean: A un punto interior a C( O,, OB un radio que pasa por A y C otro punto cualquiera sobre C( O, Veamos que AB AC

2 Figura 162 En el OAC ; OC OA AC; pero OC OB OA AB ; luego, OA AB OA AC ; de donde se concluye que, AB AC 2 Sean: A ' un punto exterior a C ( O, ; OB ' el radio cuya prolongación pasa por A' y C ' un punto cualquiera de C ( O, Veamos que A' A' C' En el A'OC' ; OA ' A' C' C' O (Desigualdad Triangula (1) Pero OA' O A' ; luego en (1); O A A' C' C' ; de donde se concluye que, A' A' C' TEOREMA 63 1 Dos ángulos centrales congruentes, intersectan arcos congruentes (Figura 163) 2 Si los ángulos no son congruentes, el arco intersectado por el ángulo mayor, es mayor que el arco intersectado por el ángulo menor (Figura 164) Intuitivamente diremos que: a mayor ángulo central, mayor arco intersectado

3 Figura 163 Figura Sean AOB y A' ángulos centrales de las circunferencias congruentes C( O, y C(, ; tales que: AOB A' Veamos que: AB A' En efecto, como AOB A' ; entonces m AOB m A' Además, consecuencia AB A' o o y m AOB m AB ; de donde; m A' m A' m AB m A' y en

4 2 Supongamos m AOB mc D ; demostremos que m AB mcd Podemos E construir C interior a C con E radio de C(, y tal que AOB C E ; luego m AB mce D Como CE ED CD ; entonces mce m ED mcd ; por tanto, mce mcd y en consecuencia, m AB mcd TEOREMA 64 1 Si dos arcos son congruentes, sus correspondientes ángulos centrales son congruentes 2 Si dos arcos no son congruentes, el arco mayor es intersectado por el ángulo mayor TEOREMA 65 1 Si dos cuerdas son congruentes, entonces los arcos subtendidos por ellas son congruentes (Ver figura 165) 2 Si las cuerdas no son congruentes, entonces la mayor de las cuerdas subtiende el mayor de los arcos (Ver figura 166)

5 Figura Sean AB y CD cuerdas de la circunferencia C( O,, tales que: AB CD El arco AB es el arco subtendido por la cuerda AB y el ángulo central AOB El arco CD es el arco subtendido por la cuerda CD y el ángulo central COD Los triángulos: AOB y COD son congruentes (L-L-L) En consecuencia, AOB COD Luego, por el Teorema 63, AB CD Figura Sean AB y CD tales que AB CD En los triángulos: AOB y COD tenemos: AO CO OB OD AB CD ; entonces; m AOB mcod Luego, m AB mcd

6 TEOREMA 66 En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes 1 Arcos congruentes son subtendidos por cuerdas congruentes 2 Si los arcos no son congruentes, el mayor de los arcos es subtendido por la mayor de las cuerdas TEOREMA 67 Todo radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda (respectivamente el arco subtendido) en dos segmentos (respectivamente dos arcos) congruentes (Ver Figura 167) Sean; AB una cuerda y OD un radio perpendicular a AB en C Veamos que: AC CB y El AOB es isósceles y OC AB, luego C es el punto medio de AB y por tanto; AC CB Figura 167 Ahora como OC es también bisectriz de AOB ; entonces AOD BOD y en consecuencia AD DB COROLARIO AD DB Todo radio que biseca una cuerda y al arco respectivo, es perpendicular a la cuerda

7 TEOREMA 68 Dos circunferencias diferentes no pueden tener en común más de dos puntos Sean: C ( O, y C(, r' ) dos circunferencias distintas Supongamos que C ( O, y C(, r' ) tienen tres puntos en común A, B, C; entonces: 1 Si A, B, C son colineales, tenemos que la recta que pasa por ellas corta a C( O, y a C(, r' ) en tres puntos Absurdo (Teorema 58) 2 Si A, B, C no son colineales, entonces existe una única circunferencia que pasa por A, B y C (Teorema 57); en consecuencia C ( O, y C(, r' ) son la misma circunferencia Absurdo TEOREMA 69 1 Cuerdas congruentes equidistan del centro (Ver figura 168) 2 De dos cuerdas no congruentes, la mayor de las cuerdas, es la que dista menos del centro (Ver figura 169) Figura 168 Figura Sean: AB y CD cuerdas tales que AB CD y OE, OG las distancias de O a las cuerdas AB y CD respectivamente Veamos que OE OG

8 En efecto, AOB COD (L-L-L) y por tanto; EAO GCO Luego, EAO GCO (L-A-L) y en consecuencia, OE OG 2 Sean: A ' y C ' D' cuerdas tales que A' C' D' y O ' E', O 'G' las distancias de a las cuerda A ' y C ' D' respectivamente Veamos que E' G' En efecto, ya que A' C' D', A' M C' ND' (Teorema 65) Sea C' F A' y H la distancia de a C' F Ahora la perpendicular G' es menor que la oblicua I, en consecuencia es menor que H Por tanto: H E' (Teorema 13-1) y H G' Conclusión: E' G' Analicemos las siguientes posibilidades: TEOREMA 70 1 Cuerdas equidistantes del centro son congruentes 2 Dadas dos cuerdas, la que dista menos del centro es la mayor TEOREMA 71 Los arcos de una misma circunferencia comprendidos entre rectas paralelas, son congruentes (Ver figura 170) Figura 170

9 1 Las rectas paralelas son secantes Sean los arcos AC y BD; comprendidos entre las cuerdas paralelas AB y CD Tracemos el radio OI perpendicular a AB y en consecuencia a CD El punto I es el punto medio del arco AIB y del arco CID (Teorema 67) Y en consecuencia: m IA m IB m IC m ID Luego por diferencia: m AC m BD ; de donde AC BD 2 Las rectas paralelas son: una tangente y una secante Sean la cuerda CD paralela a la tangente EF El radio OI es perpendicular a EF y por tanto a CD Luego el arco CI es igual al arco ID 3 Las rectas paralelas son tangentes (Se deja como ejercicio)