Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o eléctrico sin la autorización por escrito de los coeditores.

Transcripción

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2 Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE Título original: MEASUREMENT OF A CIRCLE De la traducción: Emilio Méndez Pinto Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o eléctrico sin la autorización por escrito de los coeditores. 2

3 Proposición El área de cualquier círculo es igual a un triángulo rectángulo en el que uno de los lados sobre el ángulo recto es igual al radio, y el otro a la circunferencia del círculo. Sean ABCD el círculo dado y K el triángulo descrito., si el círculo no es igual a K, debe ser mayor o menor. I. Si es posible, sea el círculo mayor a K. Inscríbase un cuadrado ABCD, biséquense los arcos AB, BC, CD, DA, después biséquense (si es necesario) las mitades, y así sucesivamente, hasta que los lados del polígono inscrito cuyos puntos angulares son los puntos de división subtiendan segmentos cuya suma sea menor que el exceso del área del círculo sobre K. Así, el área del polígono es mayor que K. Sea AE cualquiera de sus lados, y ON la perpendicular en AE desde el centro O. ON es menor que el radio del círculo y por tanto menor que uno de los lados sobre el ángulo recto en K. También el perímetro del polígono es menor que la circunferencia del círculo, i. e., es menor que el otro lado sobre el ángulo recto en K. Por lo tanto, el área del polígono es menor que K, lo que es inconsistente con la hipótesis. 3

4 Así, el área del círculo no es mayor a K. II. Si es posible, sea el círculo menor a K. Circunscríbase un cuadrado, y encuéntrense en T dos lados adyacentes, tocando al círculo en E, H. Biséquense los arcos entre puntos de contacto adyacentes y trácense las tangentes en los puntos de bisección. Sea A el punto medio del arco EH, y FAG la tangente en A. el ángulo TAG es un ángulo recto. Por lo tanto, TG > GA >GH. Se sigue que el triángulo FTG es mayor que la mitad del área TEAH. Similarmente, si se biseca el arco AH y se traza la tangente en el punto de bisección, cortará del área GAH más de la mitad. De esta manera, continuando con este proceso, al final llegaremos a un polígono circunscrito tal que los espacios interceptados entre él y el círculo sean juntos menores que el exceso de K sobre el área del círculo. Así, el área del polígono será menor que K. Ahora, como la perpendicular desde O sobre cualquier lado del polígono es igual al radio del círculo, mientras que el perímetro del polígono es mayor que la circunferencia del círculo, se sigue que el área del polígono es mayor que el triángulo K, lo que es imposible. Por lo tanto, el área del círculo no es menor que K. Ya que el área del círculo no es ni mayor ni menor que K, es igual a él. Proposición 2 El área de un círculo es al cuadrado sobre su diámetro como [es] a.

5 Proposición 3 La proporción de la circunferencia de cualquier círculo a su diámetro es menor que 3 7 pero mayor que I. Sea AB el diámetro de cualquier círculo, O su centro, AC la tangente en A, y sea el ángulo AOC un tercio de un ángulo recto. y OA : AC > 265:53...(), OC : CA = 306 :53...(2). Primero, trácese OD bisecando al ángulo AOC y encontrándose con AC en D. Ahora de modo que Por lo tanto, de modo que CO : OA = CD : DA, CO + OA : CA = OA : AD. OA : AD > 57:53...(3). 2 2 OD : AD > 3950: 2309, OD : DA > 59 :53...(). 8 5

6 Segundo, biseque OE al ángulo AOD, encontrándose con AD en E. Por lo tanto, Así, OA : AE > 62 :53...(5). 8 OE : EA > 72 :53...(6). 8 Tercero, biseque OF al ángulo AOE y encuentre AE en F. Obtenemos así el resultado de que Así, OA: AF > 233 :53...(7). OF : FA > 2339 :53...(8). Cuarto, biseque OG al ángulo AOF, encontrando AF en G. Tenemos entonces que 6

7 OA : AG > 673 :53. 2 Ahora el ángulo AOC, que es un tercio de un ángulo recto, ha sido bisecado cuatro veces, y se sigue que AOG = (un ángulo recto). 8 Hágase el ángulo AOH sobre el otro lado de OA igual al ángulo AOG, y encuéntrese GA con OH en H. GOH = (un ángulo recto). 2 dado. Así pues, GH es un lado de un polígono regular de 96 lados circunscrito al círculo Y ya que OA : AG > 673 :53, 2 mientras que AB = 2 OA, GH = 2 AG, se sigue que AB :(perímetro de polígono de 96 lados) > 673 : Pero = 3 + <

8 Por consiguiente, la circunferencia del círculo (siendo menor que el perímetro del polígono) es a fortiori menor que 3 7 veces el diámetro AB. II. Después, sea AB el diámetro de un círculo, y haga AC, encontrando el círculo en C, al ángulo CAB igual a un tercio de un ángulo recto. Únase BC. BD. AC : CB < 35: 780. Primero, biseque AD al ángulo BAC y encuentre BC en d y al círculo en D. Únase BAD = dac = dbd, y los ángulos en D, C son ambos ángulos rectos. Se sigue que los triángulos ADB, BDd son similares. 8

9 Por lo tanto, AD : DB = BD : Dd = AB : Bd = AB + AC : Bd + Cd = AB + AC : BC o BA + AC : BC = AD : DB. Por consiguiente, AD : DB < 29: (). Así, 3 AB : BD < 303 : (2). Segundo, biseque AE al ángulo BAD, encontrando el círculo en E, y únase BE. probamos, del mismo modo que antes, que Por lo tanto, 3 AE : EB < 592 : <592 : <823: 20...(3). 9 AB : BE < 838 : 20...(). Tercero, biseque AF al ángulo BAE, encontrándose con el círculo en F. Así, 9

10 Consecuentemente, 9 AF : FB < 366 : <007 : 66...(5). AB : BF < 009 : 66...(6). 6 Cuarto, sea el ángulo BAF bisecado por AG, encontrando el círculo en G. por lo cual Consecuentemente AG : GB < 206 : 66, por (5) y (6). 6 AB : BC < 207 : 66, BG : AB > 66 : (7). Así, pues, BG es un lado de un polígono regular inscrito de 96 lados. De (7) se sigue que Y (perímetro del polígono) : AB > 6336 : > Mucho mayor es, entonces, la circunferencia del círculo que veces el diámetro. 0

11 Así, la proporción de la circunferencia al diámetro [es] < 3 pero 7 0 > 3. 7