2 CONSTRUCCIONES GRÁFICAS

Transcripción

1 2-1 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato 2 CONSTRUCCIONES GRÁFICAS Clasificación de los triángulos, Rectas y puntos notables del triángulo, Construcción de triángulos, Conceptos de línea, semirrecta, segmento y plano, Perpendiculares, Operaciones con segmentos, Ángulos, Triángulos, División de la circunferencia, Construcción de polígonos regulares, Cuadriláteros, Cuadriláteros inscriptibles, Polígonos estrellados, Rectificación de la circunferencia. TEMPORALIZACIÓN: 5 horas CONCEPTOS Conceptos de línea recta, semirrecta, segmento, ángulo y plano Punto es la intersección de dos rectas (se designa con números o letras mayúsculas) Línea recta es la sucesión ilimitada de puntos organizados en la misma dirección. (Se designa con letras minúsculas). Semirrecta es la sucesión de puntos organizados desde un punto extremo. Segmento es la porción de una recta limitada en sus dos extremos. Se designa Ángulo por una letra minúscula o dos mayúsculas colocadas en los extremos. es la porción de plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen (vértice). Se designa por una letra mayúscula en el vértice, o letra griega minúscula o por un punto de cada uno de sus lados y el vértice. Plano es la superficie definida por un punto y una recta, por 3 puntos no alineados, o por dos rectas que se cortan. Se designan por letras griegas minúsculas.

2 Construcciones gráficas 2-2 PERPENDICULARES Trazar una perpendicular a un segmento por su punto medio (mediatriz de un segmento). Fig.2.1 Con centro en los extremos del segmento AB y un radio mayor que la mitad de dicha recta se trazan dos arcos. Unimos los puntos obtenidos C y D resultando la recta perpendicular. Fig.2.1 Fig.2.2 Trazar una perpendicular a una recta por un punto cualquiera. Fig.2.2 Haciendo centro en el punto D por el que pasará la perpendicular, trazamos dos arcos equidistantes A y B sobre la recta. Con centro en dichos puntos, A y B, dibujamos otros dos arcos que se corten en C. Uniendo C con D tendremos la perpendicular que se pide. Trazar una perpendicular a una recta desde un punto exterior. Fig.2.3 Haciendo centro en el punto D por el que pasará la perpendicular, trazamos un arco que cortará en A y B a la recta dada. Obtenidos A y B el procedimiento es el mismo que para la figura 2.2 Fig.2.3

3 2-3 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Levantar una perpendicular en el punto extremo de una semirrecta. Primer Procedimiento: Fig.2.4 Con centro en el punto B, extremo de la semirrecta, trácese un arco con un radio cualquiera. Llévese dos veces el mismo radio sobre dicho arco, a partir de A. Con centro en C y D, trácense dos arcos que se cortarán en E. Uniendo el punto E con el extremo B de la semirrecta, tendremos la perpendicular. Fig.2.4 Fig.2.5 Segundo procedimiento: Fig.2.5 Con centro en B, trácese un arco con un radio cualquiera. Con centro en A y el mismo radio córtese dicho arco. Con centro en C, llévese otro arco igual. Trácese la recta AE pasando por C. La recta que une E con B será la perpendicular pedida. Tercer procedimiento: Fig.2.6 Con centro en un punto cualquiera O, exterior a la recta, trácese un arco que pase por el extremo B de la semirrecta. Desde el punto A llévese una recta pasando por O, hasta C. Uniendo C con B se obtiene dicha perpendicular. Fig.2.6

4 Construcciones gráficas 2-4 ÁNGULOS Repaso: Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a un ángulo recto, o sea 90 Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si su suma vale un ángulo llano, o sea 180 Ángulos consecutivos: Ángulos consecutivos son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común entre ellos. Ángulos adyacentes: Ángulos adyacentes son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes están en línea recta. Ángulos opuestos por el vértice: Ángulos opuestos por el vértice son dos ángulos tales que los lados del uno son prolongaciones opuestas de los lados del otro, y por tanto iguales dos a dos. Fig.2.7 Trazar la bisectriz de un ángulo. Fig.2.8 Con centro en O, vértice del ángulo, trazamos un arco cualquiera AB. Con centro en A y B, y radio mayor que la mitad del segmento AB trazamos dos arcos que se cortarán en el punto C. La recta que pasa por O y la intersección de los dos arcos C es la bisectriz del ángulo.

5 2-5 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Fig.2.8 Fig.2.9 Trazar la bisectriz de un ángulo cuyo vértice no se encuentra en el dibujo. Fig.2.9 Sea el ángulo formado por los lados AB y CD. Únanse dichos lados por medio de una recta MN. Hallamos la bisectriz de cada uno de los 4 ángulos formados por las rectas. Trazando una recta que una los dos puntos de corte XY, de las bisectrices tendremos la bisectriz de dicho ángulo. Dividir un ángulo recto en tres partes iguales. Fig.2.10 Sea el ángulo BAC. Con centro en A se traza un arco cualquiera. Desde los puntos extremos de dicho arco, trácense con el mismo radio otros dos arcos que cortarán en D y E. Pasando rectas por dichos puntos desde su vértice A, queda dividido dicho ángulo en tres partes iguales. Fig.2.10 Dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales (Trisección del ángulo AOC). Fig.2.11 Uno de los problemas de construcción geométrica que más se han tratado desde tiempos de la Grecia clásica, es el de la trisección de un ángulo cualquiera. No existe solución exacta con regla y compás, aunque existen procedimientos aproximados, uno de los cuales, atribuido a Arquímedes y que sirve para ángulos menores de 90, es el que se expone a continuación. Fig.2.11

6 Construcciones gráficas 2-6 Con centro en el vértice O, se traza una semicircunferencia con cualquier radio y se prolonga el lado OA, por O. En una tira de papel situamos una longitud XY, igual al radio de la semicircunferencia. La colocamos de forma que X quede sobre la prolongación de OA, de modo que la recta XY en su prolongación pase por el punto C, lugar en que el arco corta al ángulo. Trazando desde O, una paralela a XY, obtendremos el punto E al cortar a la semicircunferencia. El ángulo AOE será la tercera parte del dado. Bisectriz de los ángulos mixtilíneo (Fig. 2.12) y curvilíneo (Fig.2.13). Un ángulo se denomina curvilíneo si sus lados son arcos de circunferencia, y mixtilíneo si uno de los lados es una recta. El trazado de la bisectriz se hace con plantilla de curvas. Dados el arco de circunferencia de centro O y la recta r, para hallar la bisectriz del ángulo mixtilíneo procederemos de la siguiente forma: 1.- Se traza por un punto cualquiera A de la recta r, una línea perpendicular s 2.- Se traza por el centro O del arco, una recta t, que lo corte en el punto B. 3.- Se llevan a partir de los puntos A y B, divisiones iguales sobre las rectas s y t. 4.- Se trazan por las divisiones de la recta t, arcos concéntricos de centro O. 5.- Se trazan por las divisiones de la recta s, líneas paralelas a la r, que cortan a los respectivos arcos concéntricos en los puntos de la bisectriz. Fig.2.12 En caso de que el ángulo sea curvilíneo (Fig.2.23), el trazado es muy similar, pero en este caso los lados del ángulo son dos arcos de circunferencia de centros O y O', respectivamente. Fig.2.13

7 2-7 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato

8 Construcciones gráficas 2-8 TRIÁNGULOS Triángulo es la superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Tienen tres lados y tres ángulos. Los puntos de intersección se denominan vértices y los segmentos comprendidos entre cada dos vértices reciben el nombre de lados del triángulo. Los vértices se designan mediante letras mayúsculas, colocadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Las mismas letras empleadas para la designación de los vértices son empleadas para designar el ángulo correspondiente en dicho vértice. Los lados se designan con letras minúsculas, utilizando siempre la misma asignada al vértice opuesto: así, el lado a es el opuesto del vértice A. Propiedades fundamentales - La suma de los ángulos interiores es Un lado cualquiera es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. - A mayor lado se opone siempre mayor ángulo. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos y los dos ángulos opuestos son complementarios puesto que "+$=( siendo (=90 - Toda paralela a uno de los lados de un triángulo divide a los otros dos en partes proporcionales TRIÁNGULOS En función de sus lados En función de sus ángulos EQUILÁTEROS Tres lados iguales y tres ángulos de 60 ISÓSCELES Dos lados iguales y dos ángulos iguales ESCALENOS 3 lados y 3 ángulos desiguales. ACUTÁNGULOS Tres ángulos agudos (Menores de 90 ) RECTÁNGULOS Un ángulo recto (de 90 ) OBTUSÁNGULO Un ángulo obtuso (Mayor de 90 )

9 2-9 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Mediatriz: Cada una de las tres perpendiculares a los lados de un triángulo en sus partes medias. Las mediatrices de los tres lados de un triángulo cualquiera concurren en un punto que equidista de los vértices del mismo llamado circuncentro del triángulo. El circuncentro es el centro de una circunferencia que pasa por los vértices del triángulo, puesto que al pertenecer simultáneamente a las tres mediatrices, equidista de los extremos de los lados, vértices del triángulo. Si el triángulo es acutángulo, el circuncentro es interior al triángulo. Si es obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo y si el triángulo es rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa. Bisectriz: Es la línea recta que divide el ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices de los tres ángulos interiores de un triángulo cualquiera pasan por un punto, llamado incentro del triángulo; este punto es el centro de una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo (circunferencia inscrita), debido a que el incentro, por pertenecer simultáneamente a las tres bisectrices, equidista de los tres lados del triángulo. Altura: Es la perpendicular trazada desde el vértice al lado opuesto de un triángulo. Fig.2.14 Las alturas correspondientes a los tres lados de un triángulo cualquiera tienen como intersección un punto, llamado ortocentro del triángulo.

10 Construcciones gráficas 2-10 Mediana: Es el segmento comprendido entre cada vértice y el punto medio del lado opuesto. Las medianas correspondientes a los tres lados de un triángulo cualquiera tienen como intersección un punto, llamado baricentro del triángulo. Se encuentra respecto a los vértices a dos tercios de la longitud total de la mediana correspondiente. La mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del valor de la hipotenusa. Apotema: es la perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular a uno cualquiera de sus lados. También es la altura de las caras triangulares de una pirámide regular. Triángulo órtico. Fig Dado un triángulo ABC, se denomina órtico a aquel cuyos vértices son los pies H a, H b, H c de las alturas del triángulo dado. O c es el centro de la circunferencia inscrita en este triángulo. Fig.2.15 Triángulo complementario. Fig Fig.2.16 Triángulo complementario de uno ABC conocido, es aquel cuyos vértices M a, M b, M c son los puntos medios de los lados a, b, c. Los lados de un triángulo complementario son paralelos a los lados del triángulo que lo contiene. Ceviana: es la línea que une un vértice con cualquier punto del lado opuesto. Triángulo podar. Fig.2.17 Se denomina triángulo podar de un triángulo dado ABC a aquel H a, H b, H c cuyos vértices son los pies de las perpendiculares trazadas a los lados desde un punto H definido Fig.2.17

11 2-11 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Relaciones entre los elementos de un triángulo. Fig Llamando p al semiperímetro de un triángulo ABC cualquiera, al que se han trazado las circunferencias, inscrita de centro I (incentro) y exinscritas de centros I a, I b, I c, determinadas por las intersecciones de las bisectrices a sus ángulos exteriores, se cumple que: Fig.2.18 MN=a + b PQ=a + c RS=b + c siendo a, b y c los lados del triángulo y M, N, P, Q, R, S los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas con las prolongaciones de los lados.

12 Construcciones gráficas 2-12 Llamando T a, T b, y T c los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas en los lados del triángulo y X, Y, Z los de la circunferencia inscrita se verifica: NT c = PT b = QY =MZ =a; RT a = MT c = SX = NZ =b; QT b = ST a = RX = PY = c Todas las relaciones consignadas son ciertas puesto que los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto son iguales. De ello se deduce que RC = BS = PC = AQ = MA = NB = p y T c Z = a - b; T b Y = a - c; T a X = c - b, por lo que resulta: AZ = AY = CT b = BT c = CS = BR = p - a BZ = BX = CQ = AP = AT c = CT a = p - b CX = CY = AT b = AN = BT a = BM = p - c las bisectrices interiores AI, BI y CI contienen en sus prolongaciones a los centros I a, I b, I c de las circunferencias exinscritas. Estas bisectrices son perpendiculares a los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos I a, I b, I c, siendo, por tanto, las alturas del mismo. De aquí que el triángulo ABC es órtico respecto al I a, I b, I c. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Construcción de un triángulo conociendo los tres lados. Fig.2.19 Se conocen los lados a=bc, b=ac y c=ab. Se coloca uno de los lados, por ejemplo el a=bc y con centro en B y radio c=ab trazamos un arco que se corte en A con el arco trazado desde C y radio b=ac. El vértice A define el triángulo al unirse con B y C. Fig.2.19 Construcción de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido. Fig.2.20

13 2-13 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Se conocen los lados a=bc, c=ab y el ángulo del vértice B. Se coloca uno de los lados conocido, por ejemplo el a=bc y en el vértice B se construye el ángulo de B con ayuda del arco 1-2; sobre el lado obtenido de este ángulo se lleva c=ba; finalmente se une A con C para completar el triángulo. Fig.2.20 Fig.2.21 Construcción de un triángulo conociendo un lado y los ángulos adyacentes. Fig.2.21 Se conocen el lado c=ab y los ángulos adyacentes A y B al lado c; en el vértice A se dibuja el ángulo de A con ayuda del arco 1-2 y en el vértice B se dibuja el ángulo de B con ayuda del arco 3-4; los lados a y b, de estos ángulos prolongados, se cortan en el vértice C, que completa el triángulo. Construcción de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Fig.2.22 Sean los lados a y c y el ángulo en C opuesto al lado c. Se construye el lado a = CB y se coloca sobre el extremo C el ángulo en C determinado por los puntos 1 y 2; se prolonga el lado que contiene el lado b y con centro en el vértice B, se traza un arco de radio igual al lado c dado, con lo que se obtiene el vértice A. El problema tiene dos soluciones, que son los triángulos ABC y A'BC. Si el valor del lado c es igual a la perpendicular trazada desde el vértice B al lado b el problema sólo tiene una solución. Si el lado c es Fig.2.22

14 Construcciones gráficas 2-14 menor que la perpendicular, el problema no tiene solución. Construcción de un triángulo conociendo un lado y el ángulo opuesto. Fig.2.23 Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo A. Si el lado b=b 1, hay dos soluciones que son los dos triángulos A 1 CB los cuales se obtienen cortando el arco capaz con la circunferencia de centro en B y radio b 1. Si b=b 2, igual al diámetro de la circunferencia que contiene el arco capaz, hay una sola solución, el triángulo A 2 CB. Si b=b 3, mayor que el diámetro de la circunferencia, el problema no tiene solución. Fig.2.23 Construir un triángulo dadas la altura, la mediana y la bisectriz relativa a uno de los lados. Fig.2.24 Se construye un triángulo rectángulo AED, tomando por cateto AE la altura h a y por hipotenusa AD la mediana m a, trazando por D una perpendicular al cateto base ED. Con centro en el vértice A y radio w a, bisectriz conocida, se describe un arco hasta cortar en F al cateto ED. Prolongamos el segmento AF hasta cortar en G a la perpendicular trazada anteriormente por D. La mediatriz del segmento AG corta a la perpendicular ya indicada en el punto O, punto que se toma como centro para trazar una circunferencia auxiliar que pase por A y G. Esta circunferencia corta a las prolongaciones de ED en los puntos B y C, vértices del triángulo solución ABC. Construir un triángulo equilátero dado el lado AB. Fig.2.25 Fig.2.24

15 2-15 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Se traza el lado AB dado. Tomando los extremos como centro y con un radio igual al lado AB, trazamos arcos que se corten en C (vértice del triángulo) y obtendremos los otros dos lados. Fig.2.25 Fig.2.26 Construir un triángulo equilátero conociendo la altura. Primer Procedimiento. Fig.2.26: Construimos un triángulo equilátero cualquiera, según el procedimiento descrito en el párrafo anterior. Dibujamos la altura del triángulo y sobre ésta llevamos la altura dada, con lo que obtendremos el vértice opuesto a la base. Trazamos por este vértice paralelas a los lados del triángulo equilátero auxiliar. Segundo Procedimiento. Fig.2.27: Sobre una recta indefinida se levanta una perpendicular de longitud igual a h. Se traza por su extremo libre A una paralela a la recta libre. Con centro en A y radio arbitrario se describe un cuadrante de circunferencia EF; sin variar el radio y con centro en E, dibujaremos otro arco que corte al anterior en D. Uniendo D con A se obtiene el vértice B sobre la base, el cual se transporta a C, con centro en A. (Según la construcción realizada el ángulo EAD vale 60, con lo que resulta DAF=30 ) Fig.2.27 Dadas tres circunferencias concéntricas, construir un triángulo equilátero apoyando sus vértices en cada una de ellas. Fig.2.28 Sean las circunferencias de radios R 1, R 2 y R 3. Con centro en un punto cualquiera A de la circunferencia mayor y radio R 3 se traza un arco, determinando sobre la misma el punto O1, centro que se toma para trazar una circunferencia de radio R 1. Esta circunferencia corta a la intermedia en dos puntos B y B' que nos definen los segmentos BA y B'A, lados respectivos de dos triángulos equiláteros, soluciones ambas del ejercicio.

16 Construcciones gráficas 2-16 Si al trazar Fig.2.29 Fig.2.28 la circunferencia de centro O 1, resulta tangente a la intermedia, Fig.2.29 el ejercicio presenta una solución, no existiendo ninguna en el caso de que no se corten. Construir un triángulo isósceles conociendo los lados iguales y la altura. Fig Sea BC el lado y AB la altura. Sobre una recta r se toma un punto A arbitrario. Por el punto A se traza una perpendicular a la recta r. Se transporta la altura dada AB sobre la perpendicular, a partir del punto A. Con centro en el punto B y radio igual al lado se describe un arco que corta a la recta r en dos puntos C y D que, junto con el punto B, son los vértices del triángulo. Construir un triángulo isósceles conocida la base y los lados iguales. Fig.2.31 Fig.2.30 Se toma la magnitud de la base a dada y con centro en sus extremos se dibujan arcos de igual radio a b. Fig.2.31

17 2-17 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Construir un triángulo isósceles conocida la base y la altura. Fig.2.32 Fig.2.32 Construir un triángulo isósceles conociendo los lados iguales y el ángulo comprendido entre los mismos. Fig (También puede redactarse: conociendo los lados iguales y el ángulo desigual) Fig.2.33 Fig.2.34 Construir un triángulo isósceles conociendo la base y uno de sus ángulos adyacentes. Fig.2.34 Construir un triángulo isósceles conociendo uno de sus lados iguales y uno de sus ángulos iguales. Fig.2.35 Fig.2.35 Co nst Fig.2.36

18 Construcciones gráficas 2-18 ruir un triángulo isósceles conociendo la base y el ángulo opuesto a la misma. Fig Se construye un ángulo igual al dado, con vértice en uno de los extremos C de la base y sobre su prolongación. La bisectriz del ángulo suplementario nos determina los ángulos adyacentes a la base (siendo la suma de los ángulos de un triángulo igual a 180, los ángulos iguales de un triángulo isósceles valen la mitad del suplemento del ángulo opuesto a la base). Construir un triángulo isósceles conocida la base y el radio de la circunferencia circunscrita. Figs.2.37 y 2.38 Primer Procedimiento. Fig.2.37: Se traza una circunferencia con el radio dado. Por uno de los extremos M del diámetro se traza una perpendicular hacia ambos lados, transportando sobre la misma la base dada (la mitad a cada lado). Fig.2.37 Fig.2.38 Segundo procedimiento. Fig.2.38: Se traza la mediatriz a la base, y con centro en uno de sus extremos y radio r, se describe un arco que corte a la mediatriz en un punto. Este punto será el centro que se toma para trazar la circunferencia circunscrita. El vértice A se encuentra en ambos métodos en la intersección de la mediatriz con la circunferencia. Construir un triángulo isósceles conociendo el semiperímetro y la altura correspondiente al lado distinto. Fig.2.39 Trácese la altura h y el semiperímetro k formando ángulo recto. K=MN La mediatriz del segmento AN determina sobre MN el vértice C, obteniéndose el B por simetría e C respecto de M. Fig.2.39

19 2-19 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Si los datos son el valor del perímetro y la altura, el problema se reduce a hallar el valor del semiperímetro, en función del perímetro. P=2K o K=P72. Construir un triángulo isósceles dada la suma de la altura y uno de los lados iguales, así como el ángulo opuesto a la base. Fig.2.40 Se levanta sobre una recta base cualquiera una perpendicular de longitud igual a la suma conocida. Fig.2.40 Por el extremo E se construye un ángulo igual a la cuarta parte del dado, obteniendo con ello sobre la recta base el vértice B. El A se determina trazando la mediatriz al segmento EB, y el C por simetría del B respecto a D. Construir un triángulo rectángulo isósceles, dada la hipotenusa. Fig.2.41 Con un diámetro igual a la hipotenusa dada se dibuja una semicircunferencia. La mediatriz del diámetro determina sobre la semicircunferencia el vértice del ángulo recto. Fig.2.41 Fig.2.42 Construir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y un cateto. Fig.2.42 Construir un triángulo rectángulo conocido un cateto y el ángulo opuesto. Fig.2.43 Sobre un segmento cualquiera AN se levanta por uno de sus extremos una perpendicular de longitud igual al cateto conocido y por el otro extremo se construye un

20 Construcciones gráficas 2-20 ángulo igual al dado. La hipotenusa del triángulo es el segmento que resulta al trazar una paralela al lado libre del ángulo por el extremo B del cateto. Fig.2.43 Fig.2.44 Construir un triángulo rectángulo conocido un cateto y el ángulo comprendido entre éste y la hipotenusa. Fig.2.44 Se dibuja el cateto b y por uno de sus extremos el ángulo dado. Por el extremo libre del cateto b se levanta una perpendicular que corte al lado del ángulo. Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y uno de los ángulos agudos. Fig.2.45 Fig.2.45 Fig.2.46 Construir un triángulo rectángulo conociendo sus dos catetos. Fig.2.46 Construir un triángulo rectángulo dado un cateto y la mediana correspondiente al otro cateto. Fig.2.47 Se sitúa el cateto conocido levantando por su extremo A una perpendicular. Con centro en el otro extremo B, se describe un arco de radio igual a la mediana, obteniéndose en su intersección M b Fig.2.47

21 2-21 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato con la perpendicular, el punto medio del otro cateto. Llevando sobre la perpendicular, y a partir de M b la distancia M b C = M b A Construir un triángulo rectángulo conocidas las medianas M a y M b correspondientes a la hipotenusa y uno de los catetos. Fig.2.48 Sobre la mediana m b =BM b, como diámetro, se describe una semicircunferencia (arco capaz de 90 ). Con centro en G, punto situado sobre M b a 2/3 de su longitud desde B, se traza un arco de radio 2/3 de m a. Este arco determina sobre la semicircunferencia el vértice A. Unido A con M b obtenemos la mitad del lado del triángulo y por tanto AC al duplicar la longitud. BC será la hipotenusa y G M a (en la prolongación de AG) será el tercer tercio de la mediana. Fig.2.48 Construir un triángulo rectángulo conociendo la mediana m c correspondiente a un cateto y el ángulo adyacente al mismo. Fig.2.49 Sobre un segmento arbitrario ST se trazan por uno de sus extremos S una perpendicular y por el otro extremo se construye el ángulo dado. Donde se corten ambas rectas se encuentra el vértice C. Unamos C con el punto medio de ST, transportando sobre esta semirrecta la mediana. Al dibujar por su extremo D una paralela ST obtendremos al triángulo al cortar en A y B a las prolongaciones de CS y CT. Fig.2.49 Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos. Fig.2.50 Se toma un segmento DC igual a la suma b+c de los dos catetos, construyendo en uno de sus extremos D, un ángulo de 45, y con centro en el otro extremo C se

22 describe un arco de radio igual a la hipotenusa dada. Este arco corta al oblicuo del ángulo en el vértice B. El vértice A se obtiene trazando una perpendicular a DC desde B. El punto B', donde el arco también corta a DE, nos proporciona otra solución, que es simétrica a la obtenida. (Al ser el ángulo ADB de 45 y BA perpendicular a DA, el triángulo DAB es rectángulo e isósceles: al ser BA=DA=c, DC=c+b) Construcciones gráficas 2-22 Fig.2.50 Construir un triángulo rectángulo dadas la mediana m a y la altura h a correspondiente a la hipotenusa. Fig.2.51 Dado que la hipotenusa de un triángulo mide dos veces su mediana correspondiente, el problema se reduce a la construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa. Para ello se toma por hipotenusa un segmento BC Fig.2.51 igual a 2 veces m a describiéndose con centro en su punto medio M a una semicircunferencia. Trazando una paralela a BC a una distancia igual a h a queda determinado en su intersección sobre la semicircunferencia, el vértice A. La intersección A' produce otra solución simétrica. Construir un triángulo rectángulo dados un cateto c y la bisectriz w b correspondiente al otro cateto. Fig.2.52 Se traza una circunferencia de diámetro igual a la bisectriz w b y con centro en B, extremo de este diámetro se transporta sobre la circunferencia el cateto conocido c, obteniendo Fig.2.52 los puntos A y N en uno y otro sentido. Uniendo A con D y B con N se determina el vértice C.

23 2-23 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato W b es la bisectriz del ángulo B al ser los arcos AD y DN iguales por construcción. El ángulo en A es recto por estar inscrito en una semicircunferencia. Construir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y la mediana m b correspondiente a un cateto. Fig.2.53 Describir una semicircunferencia de diámetro BC igual a la hipotenusa dada, trazando concéntricamente a la misma un arco de radio igual a la sexta parte de la hipotenusa. Con centro en uno de los extremos B de la hipotenusa y radio 2/3 de la mediana m b conocida, trazar un nuevo arco que cortará al anterior en el punto G. Prolongar BG en una longitud igual a la mediana y unir su extremo M b con C hasta cortar en A a la semicircunferencia, punto vértice del ángulo recto. Fig.2.53 Según la construcción realizada, G es el baricentro del triángulo rectángulo, toda vez que la mediana correspondiente al ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.

24 Construcciones gráficas 2-24 CUADRILÁTEROS Cuadrilátero: es la superficie plana limitada por cuatro rectas que se cortan dos a dos; los puntos de intersección se llaman vértices y los segmentos entre los vértices reciben el nombre de lados. Al igual que en los triángulos, sus vértices se designan con letras mayúsculas y sus lados con minúsculas.

25 2-25 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Construir un cuadrado conociendo el lado. Fig.2.54 Sea AB el lado. - Sobre un segmento AB igual al lado se traza la perpendicular por uno de sus extremos A. - Sobre la perpendicular trazada, con radio igual al lado AB y centro en A se traza un arco con lo que se obtendrá el vértice D. - Se traza por D una paralela al lado AB. Con centro en D y radio AB obtendremos un punto C. Fig Construir un cuadrado conociendo la diagonal. Fig.2.55 Sea AC la diagonal. - Con la diagonal AC como diámetro, se dibuja la circunferencia de centro O. - Se traza la mediatriz del segmento AC, que corta a la circunferencia en los puntos B y D. Construir un cuadrado conociendo la suma de la diagonal más el lado. Fig.2.56 Fig Se dibuja la recta R, suma de la diagonal más el lado, y en su extremo B se traza la perpendicular a él, en el otro extremo C se construye un ángulo de 22/ 30' (cuarta parte de 90/) hasta que corte en A, a la perpendicular anterior. El segmento AB es el lado del cuadrado pedido. Fig Fig.2.57 Construir un cuadrado conocida la diferencia de la diagonal y el lado. Fig.2.57

26 Construcciones gráficas 2-26 Sobre un cuadrado A-B'-C-D' cualquiera se transporta sobre su diagonal C'A, el lado C'D', trazando un arco con centro en C'. Se obtiene así el punto E. Se une el punto E con el vértice B'. Sobre la diagonal C'A se lleva desde A la diferencia d-l dada. Trazando por el punto G una paralela al segmento EB', hasta cortar en B al lado AB' o su prolongación. BA es el lado del cuadrado pedido. Construir un cuadrado inscrito en un triángulo dado. Fig.2.58 Se traza por uno de los vértices del triángulo dado una paralela al lado opuesto, y de longitud igual a la altura h a correspondiente a ese lado (DA=h a ) Se une el extremo D con el vértice C del triángulo por medio de una recta la cual corta al lado AB en E. Por este punto se traza una perpendicular al lado BC tomado como base, resultando EF el lado del cuadrado pedido. Construir un rectángulo conociendo el semiperímetro y la diagonal. Fig.2.59 Fig.2.58 Sea AE un segmento igual al semiperímetro y AC la diagonal. - Por un punto E, extremo del segmento AE, se traza la recta que forma 45 con dicho segmento. - Con centro en el otro extremo A y radio igual a la diagonal dada, se traza un arco que corta a la recta anterior en un punto C. - Por el punto C se traza la perpendicular al segmento AE que lo corta en el punto B. - Con centros en A y C y radios igual Fig a CB y AB respectivamente, se trazan dos arcos que se cortan en el punto D. Los puntos A, B, C y D son los vértices del rectángulo. Construir un rectángulo conociendo sus lados.

27 2-27 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Sean AB y AD los lados - Por el extremo de un lado AB se traza la perpendicular al mismo, y sobre ésta se traslada la magnitud del otro lado AD. - Con centro en el vértice B y radio igual al lado AD se traza un arco. - Con centro en el vértice D y radio igual al lado AB se traza otro arco que se corta con el anterior en el punto C, cuarto vértice del rectángulo. Construir un rectángulo conociendo un lado y la diagonal. Fig.2.60 Sean AD el lado y AC la diagonal. - Con la diagonal AC como diámetro, se dibuja la circunferencia de centro O. - Haciendo centro en los puntos A y C, radio igual al lado conocido, se trazan dos arcos de circunferencia en sentido contrario hasta cortar a la circunferencia en los puntos B y D. Construir un rectángulo dado un lado y el ángulo que forma con la diagonal. Fig.2.61 Fig En uno de los extremos del lado construir un ángulo igual al dado y por el otro extremo levantar una perpendicular. El corte de ambos determina el vértice C. Construir un Fig.2.61 rectángulo dados el semiperímetro y el ángulo que forman las diagonales. Fig.2.62 Fig.2.62 Sobre un segmento EA igual al semiperímetro se construye en uno de sus extremos un ángulo de 45 y en el otro extremo un ángulo mitad del lado A, obteniéndose en la intersección el vértice C. En la figura puede apreciarse que el ángulo formado por la diagonal y el lado es siempre la mitad al comprendido entre las diagonales.

28 Construcciones gráficas 2-28 Construir un rectángulo dada la diferencia de los lados y el radio del circulo circunscrito (mitad de la longitud). Fig.2.63 Dibujar un segmento S igual a la diferencia de los lados (a-b) y a partir de su extremo un ángulo de 45. A partir del vértice A se traza un arco con un radio igual a dos veces el tamaño del radio r dado (la diagonal de un rectángulo es igual a dos veces el tamaño del radio circunscrito). Este arco corta al ángulo de 45 en el punto C. El resto del rectángulo se construye por paralelas. El triángulo EBC es isósceles, luego EB=BC, de donde el segmento AE = AB-EB = AB-BC = a-b Fig.2.63 Construir un rectángulo dada la suma y la diferencia de los lados. Fig.2.64 Se dibujan los segmentos S y D superpuestos a partir del punto A. Se halla la mediatriz del segmento BC y con centro en el punto M se dibuja una semicircunferencia que corte en E a la mediatriz. Em será uno de los lados del rectángulo. Construir un rectángulo dada la diferencia de los lados y el ángulo que forman las diagonales. Fig.2.65 Fig.2.64 En los extremos de un segmento AE igual a la diferencia de lados conocida, se construyen en el mismo sentido ángulos respectivamente iguales a la mitad del ángulo dado y de 45, cuyos lados, al cortarse en C determinan uno de los vértices del rectángulo. Fig.2.65