ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

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Alba Belén Villanueva Suárez
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1 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería 2009 ÁNGULS EN L IRUNFERENI 1. efinamos... ircunferencia: dado un punto y una distancia r, se llama circunferencia de centro y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto. r (, r) Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta (). uerda: trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia (E). iámetro: cuerda que contiene al centro de la circunferencia (). Secante: recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (P Q) Tangente: recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (T M). T punto de tangencia. P T Q E rco: es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella (E). Ángulo del entro: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma ( F E). Ángulo Inscrito: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta ( F E) E F Ángulo Externo: Es todo ángulo formado por secantes fuera de la circunferencia ( ). Ángulo Interno: Es todo ángulo formado por cuerdas al interior de la circunferencia ( ). 1

2 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería Propiedades on respecto a los ángulos que se forman al interior de una circunferencia, se cumple que 1. En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco. E= E = E 2. Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. β 2 = β jo 1 Si β es un ángulo inscrito que subtiende el y es diámetro, entonces β = 90. β 2

3 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería Todo ángulo interno a una circunferencia tiene como medida la semisuma entre los arcos comprendidos por las cuerdas que lo forman. γ γ + = E = γ 2 4. Todo ángulo externo a una circunferencia tiene como medida la semidiferencia entre los arcos comprendidos por las secantes que lo forman. 2 = E = δ E δ jo 2 En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. jo 3 La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. β + γ = β + δ = 180 o T L γ δ T L 3

4 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería Ejercicios Sin calculadora. Marcar sólo 1 alternativa. 1. uál de las siguientes opciones es falsa? a) El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio. b) La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro. c) En circunferencias congruentes los radios son congruentes. d) l cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro. e) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia. 2. En la circunferencia de centro, es diametro. Si β = 20 o, entonces el valor de es a) 10 o b) 20 o c) 40 o d) 80 o e) 140 β 3. En la circunferencia de centro y diámetro de la figura, cuánto mide el? a) 22 o b) 34 o c) 36 o d) 44 o e) 68 o 68 o 4

5 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería En la circunferencia de centro de la figura, = 70 o y = 40 o. uánto mide el ángulo? a) 10 o b) 20 o c) 15 o d) 30 o e) 25 o 5. En la circunferencia de centro, se cumple que = y + = 3. Entonces la medida del es a) 45 o b) 60 o c) 72 o d) 84 o e) 90 o 6. y E son diámetros de la circunferencia de centro (fig. 2). Si = 2, entonces el mide a) 30 o b) 35 o E c) 45 o d) 600 o e) 120 o 5

6 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería En la figura, T P Q = 140 o y QRP = 15 o. uánto mide el P QT? a) 15 o b) 20 o c) 25 o d) 30 o T R e) 35 o P Q 8. es diámetro de la circunferencia de centro. uánto mide el ángulo? a) 15 o b) 25 o c) 35 o d) 55 o 55 o e) 70 o 9. En la figura, P T es tangente a la circunferencia de centro, en T. uánto mide el P T? a) 10 o T b) 20 o c) 30 o d) 40 o 40 o P e) 50 o 6

7 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería En la circunferencia de centro de la figura, P y P son tangentes en y, respectivamente. uánto mide el ángulo? a) 25 o b) 50 o c) 65 o 50 o P d) 100 o e) 130 o 11. En la figura, el cuadrilatero esta inscrito en la circunferencia. Si β = 145 o y = β δ, entonces γ = a) 35 o δ b) 45 o c) 55 o d) 60 o e) 70 o β γ 12. y son diámetros de la circunferencia de centro. Si el ángulo mide 80 o, cuánto mide el ángulo? a) 20 o b) 30 o c) 40 o d) 45 o e) 50 o 7

8 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería En la circunferencia de centro y diámetro de la figura, cuánto mide el ángulo si = 30 o y = 40 o? a) 70 o b) 100 o c) 125 o d) 140 o e) 160 o 14. y son los centros de las circunferencias de la figura. Si = 40 o, cuánto mide el ángulo? a) 10 o b) 20 o c) 25 o d) 40 o e) 50 o 15. es centro de la circunferencia de la figura, y QRP es cuadrado. uánto mide el ángulo RSP? a) 22,5 o S b) 30 o c) 45 o P d) 60 o e) 50 o Q R 8

9 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería En la circunferencia de centro de la figura, cuánto mide el ángulo P R? a) 35 o b) 40 o c) 45 o T R 70 o Q d) 50 o e) 70 o P 17. En la figura, es el centro de la circunferencia. Si RQ = 36 o y RP = 54 o, cuánto mide el RT P? a) 63 o b) 72 o c) 108 o T Q d) 117 o e) 144 o P R 18. En la circunferencia de centro de la figura, + = 80 o. Entonces, el mide a) falta información. b) 80 o c) 60 o d) 40 o e) 20 o 9

10 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería En la figura, = 40 o y = 30 o. uánto mide el? a) 60 o b) 90 o c) 100 o d) 120 o e) 110 o 20. En la figura, es diámetro y = 16 o. uánto mide el? a) 74 o b) 64 o c) 45 o d) 32 o e) 16 o 21. En la figura, //. Si = 80 o, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) = 40 o II) E = 80 o III) = 100 o a) Sólo I b) Sólo II E c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III 10

11 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería es centro de la circunferencia de la figura, QP = RQ = SR y RS = 72 o. uánto mide el ángulo P T Q? a) 54 o b) 36 o c) 35 o T d) 27 o e) 18 o P Q R S 23. es un cuarto de circunferencia con centro en. Si =, entonces el mide a) 15 o b) 30 o c) 45 o d) 60 o e) 75 o 24. En la figura, la circunferencia tiene centro en. El valor del ángulo x es a) 12,25 o b) 12,5 o c) 25 o a x 50 o a d) 37,50 o e) 50 o 11

12 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería En la circunferencia de centro, = 2. uánto mide el ángulo? a) 36 o b) 45 o c) 60 o d) 72 o e) 90 o 26. En la circunferencia de centro de la figura, se puede conocer el valor de si: (1) = 2 (2) = a) (1) por sí sola. b) (2) por sí sola. c) mbas juntas, (1) y (2). d) ada una por si sola, (1) ó (2). e) Se requiere información adicional. 27. En la circunferencia de centro de la figura, y son diámetros. Se puede conocer el valor de x si: (1) = 110 o (2) + = 70 o a) (1) por sí sola. b) (2) por sí sola. c) mbas juntas, (1) y (2). x d) ada una por si sola, (1) ó (2). e) Se requiere información adicional. 12

13 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería es diámetro de la circunferencia de centro. La medida del se puede determinar si: (1) = 2 (2) = 2 a) (1) por sí sola. b) (2) por sí sola. c) mbas juntas, (1) y (2). d) ada una por si sola, (1) ó (2). e) Se requiere información adicional. 29. En la figura, el cuadrilátero está inscrito en la circunferencia. Se puede saber la medida del si: (1) = 180 o (2) = 100 o a) (1) por sí sola. b) (2) por sí sola. c) mbas juntas, (1) y (2). d) ada una por si sola, (1) ó (2). e) Se requiere información adicional. 30. En la circunferencia de centro de la figura, y son puntos de tangencia. Se puede determinar la medida del si: (1) P = P (2) = 3 P a) (1) por sí sola. b) (2) por sí sola. c) mbas juntas, (1) y (2). P d) ada una por si sola, (1) ó (2). e) Se requiere información adicional. 13

14 Pontificia Universidad atólica de hile entro de lumnos de Ingeniería E E 12 E E E E 30 14

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