FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS TALLER # 5. VOLÚMENES

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS TALLER # 5. VOLÚMENES Grado 11 Taller # 5 Nivel II RESEÑA HISTORICA Los Egipcios en geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (,14). Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. En el siglo V a.c., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos. Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.c., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes. ELEMENTOS TEO6cms RICOS Volumen: es la extensión del espacio ocupado por un sólido o limitado por una superficie cerrada. Geometría del espacio, rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales. Para la geometría los cuerpos tienen formas definibles e indefinibles SON DEFINIBLES 1. Los poliedros: son cuerpos limitados por superficies planas Prisma: es un poliedro comprendido entre dos polígonos iguales y paralelos, y cuyos conos laterales con paralelogramos. 1.. Paralelepípedo: es un prisma cuyas bases son paralelogramos. 1.. Pirámide: es un poliedro limitado por la superficie de un ángulo sólido y un plano que corta a todas sus aristas.. Cuerpos redondos: llamados también sólidos de revolución..1. Cilindro: es el sólido generado por la revolución completa de un rectángulo alrededor de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.. Cono: es el sólido generado por la revolución completa de un triangulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos... Esfera: es un sólido limitado por una superficie cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. Lo anterior se puede resumir en el siguiente esquema. 1

2 F: formas de los cuerpos D: Definibles I: Indefinibles P: Poliedro Q: Prisma S: Paralelepípedo T: Pirámide R: Redondos C: Cilindro E: Esfera K: Cono o: Otros Formulas para calcular algunos volúmenes: Prisma: V = B h 1 Pirámide: V = B h Cilindro: V = π R h 1 Cono: V = π R h 4 1 Esfera: V = π R = D 6 PALABRAS CLAVES: Arista, cara, vértice, apotema, ángulo diedro, paralelepípedo, cubo, cono, pirámide, esfera, cilindro, sólido oblicuo, sólido truncado, poliedro, tetraedro, exaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

3 EJERCICIOS CON ILUSTRACIÓN 1-.Cuál es la profundidad de una piscina cuyo piso rectangular es de 7m de ancho 5-.Si el volumen anterior lo fuésemos a llenar con cubitos de 1,5 cms de arista, por 0m y cuyo contenido de agua pesa cabria exactamente: 80 toneladas? A. 1 m B. 1,5m x x A. 6 B.1 C. 4 1,5 C. m 7 D. 48 D.,5m 0 -.En el problema anterior: si fuésemos a verter el contenido de la piscina llena en un tanque cilíndrico de 10 m de diámetro; hasta que altura llegaría el nivel del agua? A. 0,56 m B.,5 6 m C. 5,6 m D. 56 m h -.Cuántas bolas de cristal de 1,5 cm de radio caben exactamente en una caja de 16 centímetros cúbicos? A. B. 6 C. 9 D En el problema anterior, para que quepan exactamente el número de bolas encontrado; las dimensiones de caja deben ser: A. cmx9cmx9cm B. cmx6cmx9cm C. cmxcmx7cm D. cmsx6cmx6cm 6-.Un cilindro y un cono tienen igual base e igual altura, entonces del volumen del cono puede decirse que: A. Es la mitad del volumen del cilindro. B. Es igual al volumen del cilindro. C. Es 1/ parte del volumen del cilindro. D. Es el doble del volumen del cilindro. 7-.Se vende café en dos tipos de recipientes cilíndricos: el más alto tiene el doble de altura que el otro, pero su diámetro es la mitad del diámetro del más bajo. El más alto cuesta $ y el más bajo $ Cuál es más económico? A. El más bajo. B. El más alto. C. Cuestan igual. D. Faltan datos. 8-.Con una cartulina de 1 cms de ancho por cms de largo, pretendo hacer una caja sin tapa. Para ello recorto cuadrados de cms de lado en sus en cuatro extremos. La caja así armada tiene un volumen de: A. 64 cms cúbicos, B. 88 cms cúbicos. C. 400 cms cúbicos. D. 58 cms cúbicos.

4 9-.Al introducir un trozo de metal de 0 cms de largo por 10 cms de ancho, en un tanque rectangular en parte lleno de agua, el nivel del agua aumenta en,5 cms. Cuál es el volumen del trozo de metal? A. 450 cms cúbicos. B. 550 cms cúbicos. C. 50 cms cúbicos. D. 500 cms cúbicos. 10-.Con una lámina rectangular de 10 cms de largo y 6 cms de ancho, se quiere hacer un cilindro. Cuál el mayor radio de la base que se puede lograr sin cortar la lámina? A.,5 cms B. 1,59 cms C. 1,66 cms D. cms 11-.calcular el volumen de la figura compuesta, sabiendo que la parte superior es un semiesfera, la central un cilindro y la inferior un cono. A. 7,5 cms cúbicos. B. 4,08 cms cúbicos. 6cms r =cms C. 0,409 cms cúbicos. r =cms. D. 9,44 cms cúbicos. cms 14-.Cuál es la longitud máxima que puede tener una barra de acero contenida en una caja cúbica de 1 cms de arista? A. 0,76 cms B. 17, cms C. 1,84 cms D. 8, 6 cms 15-.En un cubo lleno de agua se introduce una pirámide de igual base que el cubo y cuyo vértice llega al mismo nivel del agua. Qué porción de agua ha quedado en el cubo después de introducida la pirámide? A. ¼ B. ¾ C. 1/ D. / 16-.El volumen contenido en un cilindro circular recto de radio r y altura h, equivale al volumen de tres conos rectos de igual radio y altura que la del cilindro. A. Depende del líquido. B. No siempre. C. Siempre. D. Nunca. 1. Un cono de radio cms, se cortado horizontalmente a 4 cms de la base donde el radio del circulo es cms. Cuál es el volumen del tronco de cono así formado? A. 5, π B. 4 π 4 C. 1 π D.,5 π R = 17-. Una esfera de radio R = 1 cm está inscrita dentro de un cilindro. Cuál es el volumen del cilindro? A. /π cms cúbicos. B. π cms. Cúbicos. C. 4/π cms cúbicos. D./π cms cúbicos 4

5 19-. En el problema anterior, el espacio disponible dentro del cilindro es igual a: A. π cms cúbicos. B. 4/π cms cúbicos. C. /π cms cúbicos. D. /π cms cúbicos 0-. Se desea empapelar una pieza (ortoedro) de 4 m de largo, m de ancho, por m de alto. La habitación tiene una puerta de m de alto por 1 m de ancho, y una ventana de 1,5 m de alto por m de ancho. Si cada rollo de papel mide 4 m de largo por 1 m de ancho; entonces el número x de rollos que se necesitarán es tal que. A. 10 < X < 11 B. 11 < X < 1 C. 8 < X < 9 D. 4 < X < 5 EJERCICIOS SIN ILUSTRACIÓN. 1. Se tienen, un tetraedro de 6 cm. de arista y una esfera inscrita en el. Hallar la relación entre el volumen de la esfera y el volumen del tetraedro π A. π B. C. 6π D. 1 6 π E. 5 π 18. Un recipiente cilíndrico de 0 cm. de diámetro se llena con agua. A continuación se sumerge en el una roca, provocando que se derrame algo de agua. Cuando se saca la roca el nivel del agua en el cilindro descendió 5 cm. Cuál es el volumen de la Roca? A cm B cm C cm D cm E cm. Una bola metálica hueca y de forma esférica tiene un diámetro interior de 11cm y su espesor es de ½ cm. Hallar el volumen del metal en la bola A cm B cm C cm D cm E cm 4. Una pieza de fundición, una vez colocada se contrae el 1% en sus dimensiones al enfriarse hasta 0ºC, es decir que, 100mm de longitud se reducen al 99. Cuántos cm se contraerá la pieza, por decímetro cúbico? A cm B. 1.00cm C. 1.41cm D cm E cm 5. Que profundidad de corriente de agua corresponderá a un caudal de 100 litros por segundo, en un cauce de 1.0m de ancho, si la velocidad de aquella es de.0 m/seg. A m B m C m D m E m 6. Un cubo tiene tantos Calcular su arista. A. 0.6 m B. 1.8 m C. 0. m D. 0.9 m E. 0.6 m dm de volumen. 7. a un tanque rectangular de 180m de largo por 80m de ancho afluye el agua por una tubería de 40cm de diámetro, con velocidad de 4.50m por segundo. Calcular el tiempo que se necesitara para elevar el nivel del tanque 5cm. A. 1. minutos B minutos C minutos D minutos E..1 minutos 5

6 8. Calcular la longitud de alambre de acero que contiene un mazo de Kg, si el hilo mide 0.6mm de diámetro. Asuma un peso especifico del material 7.85gr por cm. A m B m C m D. 100 m E m 9. Un cubo de 6m de arista y una pirámide regular con base cuadrada de 6m x 6m, tienen volúmenes iguales. Calcular la altura de la apotema y la arista de la pirámide. A. 18m; 18.48m y 18.49m; respectivamente B. 15.5m, 1.1m y 14.08m; respectivamente C. 1.1m, 14.08m y 15.m; respectivamente. D m; 1.1m y 18.48m; respectivamente. E. 1.1m; 14.08m y 15.m; respectivamente. 10. Un cilindro recto de 6m de diámetro y 6m de altura tiene igual volumen que un cono recto de 6m de diámetro. Calcular la altura y la generatriz del cono. A. 18m y 18.48m, respectivamente. B. 1.60m y 1.00m, respectivamente C y 18, respectivamente D. 16.0m y 18.60m respectivamente. E m y 18.14m, respectivamente 11. En un cono recto de 0cm de base y 0cm de altura, se hace un taladro axial de 5cm de diámetro que llega hasta el vértice. Deduzca el volumen de la parte sobrante. A cm B cm C cm D cm E cm 1. Cuando dos esferas se cortan, el círculo de intersección se halla en un plano perpendicular a la línea de los centros. Suponga que dichas esferas tienen 0cm y 1.5cm de radio y que la distancia entre los centros es de 5cm. Calcular la distancia de cada uno de los centros al plano del círculo de intersección, y el radio de este último. A cm; 9.906cm y 7.65cm B cm; 7.001cm y 5.56cm C ; 8.05cm y 6.15cm D cm; 4.00cm y.cm E. 14.1cm; 8.1cm y 5.46cm 1. Dos esferas de 15 y 0 cm. de radio respectivamente, tienen entre sus centros una distancia de 5cm. Determinar el volumen de la porción común a las dos esferas. A cm B cm C cm D cm E cm 14. Se tiene un cartón cuya forma es la de un triangulo equilátero de 4cm de lado, se pliega en sus tres ángulos para obtener un tetraedro regular. Hallar el volumen de este tetraedro. A. 108 cm B. C. D. E cm 108 cm 108cm 115 cm 15. En una figura (que usted debe dibujar), una esfera esta inscrita en un cono circular recto; AB es el diámetro de la base y C es el vértice del cono. El triangulo ABC es equilátero. Determinar el volumen del cono en términos de R (el radio de la esfera) A. B. C. D. E. 4R (144R 1) 4R 11(4R 1) 4R 5(14R 1) R (144R 1) 5R (144R 1) 6

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