Universidad de Antioquia

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1 Áreas y volúmenes Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matemáticas Grupo de Semilleros de Matemáticas (Semática) Matemática Lógica Taller El área es una medida (número) que cuantifica la extensión de una superficie (objeto geométrico). El área de una superficie plana limitada por lados rectos la podemos calcular partiendo la figura en triángulos que no se solapen y sumando las áreas de cada uno de estos triángulos. Con frecuencia se usa el término área como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el objeto geométrico (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área). La idea de área como medida del tamaño de la región encerrada en una figura geométrica data de la antigüedad. En el Antiguo Egipto por ejemplo, tras las inundaciones de los campos ocasionadas por la crecida anual del río Nilo, surge la necesidad de estimar áreas de parcelas agrícolas con el fin de restablecer sus límites; para el historiador griego Heródoto ( a. C.), este tipo de necesidades dio origen a la geometría. El método para calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos que lo constituyen, fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Posteriormente el filósofo griego Eudoxo ( a. C.) desarrolló el famoso método exhaustivo y consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Este método fue empleado tiempo después por Arquímedes para calcular un valor aproximado del número π. Objetivo general Identificar y aplicar los conceptos de perímetro, área y volumen de algunas figuras y cuerpos geométricas en la solución de problemas. Objetivos específicos 1. Identificar figuras planas y cuerpos geométricos de uso común en geometría. 2. Calcular perímetros de polígonos. 3. Reconocer propiedades de figuras planas para calcular áreas. 4. Reconocer propiedades de sólidos geométricos para calcular volúmenes. Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática,. Esta obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial 2.5 Colombia.

2 2 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 1. Polígonos Definición 1.1 (de polígono). Un polígono es una figura geomérica plana acotada por una sucesión de segmentos consecutivos no colineales. A cada segmento se le denomina lado del polígono y a cada punto de unión de los segmentos se le denomina vértice del polígono. Ejemplo 1.1. Como ejemplos de polígonos tenemos: (a) Triángulo (b) Cuadrado (c) Rectángulo (d) Rombo (e) Paralelogramo Figura 1: Polígonos Observación 1. Como lo indica la figura (1), los polígonos se clasifican en: Triángulo: si tiene tres lados. Cuadrado: si tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos son rectos. Rectángulo: si tiene sus lados opuestos iguales dos a dos y sus cuatro ángulos son rectos. Rombo: si tiene sus cuatro lados iguales y sus ángulos no son rectos. Paralelogramo: si tiene sus lados opuestos paralelos dos a dos. El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en la determinación no sólo de un polígono sino tambíen de una figura geométrica general. El perímetro es la medida del contorno de una figura geométrica. El perímetro de un polígono se calcula sumando las longitudes de todos sus lados. 2. Áreas 2.1. Triángulo La base b del triángulo puede ser cualquiera de sus lados. La altura h correspondiente a un lado del triángulo es la perpendicular a dicho lado, trazada desde el vértice opuesto. El área o superficie A del triángulo está dada por 2.2. Cuadrado A = b h 2 Cada uno de los cuatro lados a son iguales. El área o superficie A del cuadrado está dada por A = a 2 El área también se puede calcular por medio de su diagonal d: A = d2 2

3 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Rombo D es la diagonal vertical. d es la diagonal horizontal. El área o superficie A del rombo está dada por el semiproducto de sus diagonal A = D d Trapecio El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no. B es la base mayor. b es la base menor. h es la altura(segmento perpendicular que une las dos bases). El área o superficie A del rombo está dada por: 2.5. Círculo (B +b) h A = 2 Una circunferencia es una línea curva (plana y cerrada) en la cual todos sus puntos equidistan de un punto O llamado centro. Un círculo es una región del plano limitada por una circunferencia. Un radio de una circunferencia es cualquier segmento de recta que une un punto cualquiera de la circunferencia con su centro O. La magnitud de este segmento se denota por r. Un diámetro de una circunferencia es cualquier segmento de recta que pasa por su centro y une dos puntos de la cirunferencia. La magnitud de este segmento se denota por d = 2r. El perímetro o longitud l de una circunferencia de radio r está dada por: l = 2πr El área de un círculo de radio r está dada por: A = πr 2 El símbolo π denota una constante que representa la razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. Su valor aproximado es π Sector circular Un sector circular es la porción de un círculo comprendida entre un arco de circunferencia s y sus respectivos radios delimitadores de magnitud r. O r

4 4 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, r: radio de la circunferencia. s: longitud del arco. θ: medida en radianes del ángulo central subtendido por el arco s, está dada por θ = s r El área del sector circular está dada por: 3. Poliedros A = πr2 θ 2 Definición 3.1 (de poliedro). Un poliedro es un cuerpo geométrico tridimensional cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. Ejemplo 3.1. Como ejemplos podemos mencionar los sólidos pitagóricos: poliedros cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. (a) Tetraedro (b) Cubo (c) Octaedro (d) Dodecaedro (e) Icosaedro Figura 2: Sólidos pitagóricos El volumen es una medida fundamental no sólo cuando se trata de poliedros, sino también en el caso de cuerpo geométricos generales. Un sólido muy importante es el paralepípedo, un poliedro de seis caras (hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. 4. Voúmenes 4.1. Prisma triangular Un prisma es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. De acuerdo a su base, los prismas se clasifican en triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc. h: altura del prisma A b : área de la base El volumen V del prisma está dado por V = A b h 4.2. Paralepípedo rectangular Un paralepípedo rectangular o tambíen llamado ortoedro es un poliedro cuyas caras forman entre sí ángulos diedros rectos. θ r s

5 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 5 a: altura b: longitud c: profundidad El volumen V es igual al producto de sus tres dimension 4.3. Cubo V = a b c Un cubo es un caso particular de un paralepípedo rectangular u ortoedro en el que sus aristas son todas iguales. a: lado o arista La superficie total S de un cubo es la suma de las áreas de sus caras: S = 6a 2 El volumen V de un cubo es igual al cubo de su arista: 4.4. Cilindro V = a 3 Un cilindro (o cilindro circular recto) es el cuerpo geométrico generado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. r: radio del cilindro h: altura del cilindro (perpendicular trazada desde una base a la otra). La superficie lateral S está dada por: S = 2πrh El volumen V del cilindro está dado por: 4.5. Esfera V = πr 2 h Un esfera es el cuerpo geométrico generado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro. r: radio de la esfera La superficie S de la esfera está dada por: S = 4πr 2 El volumen V de la esfera está dada por: V = 4 3 πr3

6 6 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 5. Ejercicios Perímetros 1. La figura está formada por hexágonos regulares de lado 1 cm. El perímetro de la región sombreada a) 18 cm b) 20 cm c) 21 cm d) 22 cm 2. En la figura, los cuadrados que conforman la cuadrícula tienen 1 cm de lado. El perímetro en centímetros de la región sombreada a) b) c) d) En la figura se ilustra una pista automovilística rectangular cuyos extremos están formados por dos semicírculos. El perímetro de la pista a) 15+5π m b) 15+10π m c) 30+5π m d) 30+10π m 4. La figura está formada por los catetos de un triángulo rectángulo y un semicírculo. El perímetro de la figura a) 100π+28 m b) 20π+28 m c) 10π+28 m d) 10π+14 m 5. En la figura se ilustra un cuadrado de lado 2 que contiene inscritos dos semicírculos tangentes entre sí. El perímetro de la figura sombreada a) 2π+1 b) 2π+2 c) 2π+4 d) 2(π +4) 6. El cuadrado de la figura contiene una circunferencia inscrita de radio 1. El perímetro de la figura sombreada a) 2π+4 b) 2(π +4) c) 2π+6 d) π En la figura se ilustra un cuadrado de lado 2 que contiene inscritos cuatro semicírculos tangentes entre sí. El perímetro de la figura sombreada a) 2π+1 b) 3π c) 4π d) 6π Áreas 8. El área, en centímetros cuadrados, del tríangulo de la figura a) 10 b) 12 c) 24 d) El área,en metros cuadrados,de la figura a) 28 b) 36 c) 44 d) 54

7 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, En la figura se ilustra una ventana rectangular cuya parte superior es en forma de semicírculo. El área de la ventana a) π +16 m 2 b) 2(π +16) m 2 c) 4π+32 m 2 d) 32π+1 m El cuadrado ABCD de la figura tiene 4 metros de lado. Si M,N,P y Q son los puntos medios de sus lados, entonces el área de la región sombreada en metros cuadrados a) 4 b) 6 c) 8 d) Un cuadrado de lado 2 m contiene inscrito una cuarto de circunferencia como ilustra la figura. El área de la región sombreada a) 4 π b) 2π 4 c) π d) π 13. Un cuadrado de lado 2 m contiene inscrito una cuarta parte de dos circunferencia como ilustra la figura. El área de la región sombreada a) 4 8π b) π c) π d) 2π Un cuadrado de lado 2 m contiene inscritos dos arcos de circunferencia como ilustra la figura. El área de la región sombreada a) 4 2π b) 1 4 π c) 1 2 π d) 3 4 π 15. El triángulo ABC es rectángulo y tiene 50 cm 2 área. D es el punto medio de BC y AB = 12.5 cm. Los arcos BC y CD son semicircunferencias. El área de la región sombreada en centímetros cuadrados a) 50+8π b) 50+16π c) 50+24π d) 50+32π 16. En el trapecio indicado en la figura, la base mayor es el triple de la menor. La razón entre el área sombreada y el área del trapecio a) 1 4 b) 1 3 c) 1 2 d) 3 4 [Pregunta (17)] xxx 17. El área de la figura en metros cuadrados a) 40 b) 64 c) 72 d) 112 [Pregunta (18)-(19)] La figura ilustra un cuadradoabcd de lado 4 cm, con M un punto sobre el lado AB.

8 8 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 18. El área del triángulo M CD en centímetros cuadrados a) 2 b) 4 c) 8 d) El porcentaje de área del triángulo MCD respecto al total a) 10% b) 25% c) 50% d) 75% 20. En la figura se ilustran cuatro circunferencias iguales, tangentes entre sí. El área de la región sombreada a) 25 4π cm 2 b) 25 π 4 cm2 c) π cm 2 d) 75π cm El triángulo equilátero de la figura contiene tres arcos de circunferencias tangentes entre sí. El área de la región sombreada en centímetros cuadrados a) π b) π c) π d) π 22. El área de la región sombreada a) 25 b) 45 c) 70 d) Los puntos de la figura indican centros de circunferencias. El área de la región sombreada a) 10π b) 25π c) 40π d) 2+20π 24. El lado del hexágono ABCDEF mide 2 cm. El área de la región sombreada a) 3 2 cm2 b) 3 cm 2 c) 2 3 cm 2 d) 6 cm En la figura se ilustra un triángulo equilatero ABC que se encuentra inscrito en una circunferencia de radio 4 cm. El área de la región sombreada en centímetros cuadrados a) 4(4π 3) b) 4π 3 3 c) 4(4π 3 3) d) 16π 3 3 Volúmenes 26. El volumen del sólido indicado en la figura a) e 3 b) 8e 3 c) 12e 3 d) 24e El volumen del sólido indicado en la figura a) abc b) 2abc c) 3abc d) 6abc

9 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Se tiene una caja de caras rectangulares cuyo volumen es igual a 1000 cm 3. Si el largo es cuatro veces el ancho y la altura es el doble del ancho, entonces, el área superficial de la caja a) 1000 cm 2 c) 700 cm 2 b) 800 cm 2 d) 500 cm Si en la gráfica todos los ángulos son rectos, el volumen de la figura a) 60 b) 64 c) 96 d) La sección transversal del prisma ilustrado en la figura está formada por un rectángulo y un semicírculo. El volumen del prisma en centímetros cúbicos a) 60+25π b) π c) 5( π) d) π 31. Un bloque de hielo, con dimensiones 2 cm 4 cm 5 cm, se derrite para formar cinco cubos de igual volumen. La longitud del lado de cada cubo en cm, 6. Pequeños retos 35. El número máximo de paquetes de dimensiones cm que puede colocarse en una caja de dimensiones cm a) 10 b) 12 c) 18 d) 24 a) 1 b) 2 c) 3 d) Con una cartulina de 12 cm de ancho por 22 cm de largo, se quiere hacer una caja sin tapa. Para ello se recortan cuadrados de 2 cm de lado en sus cuatro extremos. La caja resultante tiene un volumen de: a) 264 cm 3 c) 400 cm 3 b) 288 cm 3 d) 528 cm Al introducir un trozo de metal de 20 cm de largo por 10 cm de ancho, en un tanque rectangular lleno parcialmente de agua, el nivel del agua aumenta en 2.5 cm. El volumen del trozo de metal en centímetros cúbicos a) 1 b) 2 c) 3 d) Un sólido está formado por dos cílindros I y II y como se indica en la figura. El volumen del sólido a) 7πr 2 +h b) 10πr 2 h c) 2πrh d) 10πrh Sobre una pared dividida en cuadros de 1 m de lado se pinta una letra Z como lo indica la figura. El áreade la figurapintada en metros cuadrados

10 10 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, a) 18 b) 20.5 c) 21 d) La razón entre el área sombreada y el área total de la figura a) 1 4 b) 1 3 c) 3 8 d) Una barra de acero en forma de paralelipedo rectangular,con dimensiones 2 cm x 3 cm x 4 cm, se funde para formar tres cubos de igual volumen. La longitud del lado de cada cubo en cm Referencias [1] M. Sánchez, Aritmética, editorial Playor, [2] I. Stewart, Historia de las matemáticas. Crítica, a) 1 b) 2 c) 3 d) Dos cuadrados de lados 6 y 4 unidades, respéctivamente, se traslapan como lo muestralafigura.ladiferenciaentrelasáreasque no se traslapan a) 30 b) 26 c) 20 d) Si el área de la figura es 84 cm 2, entonces el valor de x en cm a) 6 b) 7 c) 12 d) 14 [3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, undécima edición, editorial Thomson, 2006.