Matemáticas 3º E.S.O. 2013/14

Transcripción

1 Matemáticas º E.S.O. 01/14 TEM 6: Cuerpos geométricos Repaso eamen 1.- Estoy construyendo una piscina de 5 metros de largo, 15 metros de ancho y metros de alto. Quiero cubrir las paredes y el fondo con azulejos de forma cuadrada de de lado. Cuántos azulejos necesitaré? (Sol: azulejos) m 15m 5m Primero hay que calcular la superficie que queremos cubrir: Como se trata de un prisma, Perímetro altura + Área (solamente se cuenta una vez el área de la porque solamente se recubre el suelo de la piscina, ya que por arriba está abierta). BSE: 5m 15m Perímetro m altura m sí: Perímetro altura + Área m hora calculamos la superficie que tienen los azulejos: lado 9 Por último se calcula el número de azulejos que se necesitan para cubrir la piscina: Para ello basta dividir la superficie que se quiere cubrir entre la superficie de los azulejos con los lo vamos a hacer. ntes, como la superficie de la piscina está en metros cuadrados y la de los azulejos en centímetros cuadrados, tenemos que hacer un cambio de unidades para que haya concordancia. 1

2 piscina 55 m piscina azulejo Número de azulejos: ,44 azulejos, pero como los azulejos se compran 9 enteros, podríamos decir que necesitaríamos azulejos.- Una madre compra a su hija una caja de sus bombones favoritos. La caja tiene forma de prisma triangular de 0 de larga y 4 de lado de la. Cuál es la cantidad de papel mínima que se necesita para envolverla? (Sol: 5,84 ) 4 0 Lo que hay que calcular es la superficie de la caja de bombones. prisma Perímetro altura + Área BSE: Perímetro altura 4, ,9 1,84 Como no tenemos la altura del triángulo, hay que calcularla. Para ello se aplica el teorema de Pitágoras: ,46 sí: Perímetro altura + Área , , 84 5,84

3 .- Se va a restaurar el lateral y la parte superior de una torre con forma de prisma octogonal de 0 m de alta. La es un octógono regular de 6 m de lado y metros de apotema. Si la empresa de restauración cobra 75 euros por cada metro cuadrado, cuál será el precio de la restauración? (600 ) 0m m 6m Primero calculamos los metros cuadrados que hay que restaurar: prisma Perímetro altura + Área (solamente ponemos el área de una porque se va a restaurar, además del lateral la torre, la parte superior de la misma). BSE: Perímetro m m 6m perímetro apotema 48 m 48 Como sabemos lo que cuesta restaurar un metro cuadrado (75 ), para calcular el precio de la restauración basta multiplicar el precio del metro cuadrado por el área que hay que restaurar: Precio restauración euros 4.- Una pizzería hace pizzas de varios tamaños y las vende en cajas heagonales de 0 de lado y 4 de alto. Qué cantidad de cartón se necesita para cada caja? (Sol: 596,40 ) 4 0 Habría que calcular el área de la caja: prisma Perímetro altura + Área

4 BSE: Perímetro perímetro apotema 4676, ,98 8,0 Como no tenemos la apotema de la, hay que calcularla, y para ello aplicamos el teorema de Pitágoras. Recordar también que en el heágono el radio mide lo mismo que el lado: ,98 sí el área de la caja es: prisma Perímetro altura + Área , , , Sabiendo que la arista lateral de una pirámide mide 1 y cuya es un heágono regular de 10 de lado, calcula: a) La altura de la cara de la pirámide. (Sol: 1 ) El triángulo rojo es un triángulo rectángulo en el que los catetos y la hipotenusa son: 1 ltura cara lateral rista lateral 1 10 Mitad lado 5 plicando el teorema de Pitágoras obtenemos lo que estamos buscando: b) La altura de la pirámide. (Sol: 8,1 ) Para calcular la altura de la pirámide tenemos otro triángulo rectángulo dentro de ella en el que uno de los catetos es lo que queremos calcular: 4

5 1 ltura pirámide rista lateral 1 10 Radio 10 (recordar que en un heágono el radio mide lo mismo que un lado) 10 plicando el teorema de Pitágoras obtenemos lo que estamos buscando: ,1 6.- Considera una pirámide de cuadrada cuya arista de la mide 40 y cuya arista lateral mide 56. Calcula: a) La apotema de la pirámide. (Sol: 5,1 ) 56 Recordar que la apotema de la pirámide es lo que hemos llamado en clase altura de la cara. Podemos calcularla aplicando el teorema de Pitágoras en el siguiente triángulo: ltura cara lateral rista lateral Mitad lado ,1 b) La altura de la pirámide. (Sol: 48,4 ) De la misma manera, aplicándole el teorema de Pitágoras al siguiente teorema obtenemos lo que buscamos: ltura pirámide ltura cara lateral 5,1 potema : 0 5

6 5,1 0 76, , 4 6, 4 48,4 7.- Hallar el área lateral de una pirámide pentagonal que tiene de lado de la 6 y tal que la arista lateral de la pirámide es de 9. (Sol: 17,0 ) lateral Perímetro altura cara 9 Para calcular el área lateral nos hace falta el perímetro de la que se puede calcular fácilmente y la altura de la cara que tampoco nos la dan. 6 Cálculo del perímetro de la : P Cálculo de la altura de la cara: para calcular la altura de la cara, al igual que hemos hecho en los ejercicios anteriores, vamos a aplicarle el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que he dibujado en rojo dentro de la pirámide cuyos lados son los siguientes elementos de la pirámide: ltura cara lateral rista lateral 9 Mitad lado ,48 Ya tenemos toda la información que nos hace falta para calcular el área lateral: lateral Perímetro altura cara 0 8,48 lateral 54,40 lateral lateral 17,0 6

7 8.- Se quiere levantar un monumento en forma de pirámide. Su será cuadrada, y la altura prevista, de 0 metros. Si se necesitan 811, m de piedra, cuál es la medida de la arista de la? (Sol: 9,01 m) cordaros que cuando el problema os dé como dato el área o el volumen de la figura, debéis escribir la fórmula, ya que con ella podréis calcular alguno de los elementos que os hagan falta para resolver el ejercicio. En este caso nos dan el volumen: altura pirámide Sustituyendo los datos nos queda la siguiente ecuación: altura pirámide 0 811, 811, , 10 81,1 m Pero la es un cuadrado, y sabemos que el área del cuadrado es l. Sustituyendo el área que acabamos calcular el esta fórmula nos vuelve a quedar una ecuación con la que podemos calcular el lado de la, o lo que es lo mismo, la arista de la que es lo que nos piden: l 81,1 l 81, 1 l l 9,01 m 9.- El diámetro de la y la generatriz de un cono miden 1. Halla la altura del cono. (Sol: 11,6 ) La altura del cono se puede calcular aplicándole el teorema de Pitágoras al siguiente triángulo rectángulo que hay dentro del ltura 1 cono (dibujado en rojo): ltura cono Generatriz 1 1 Radio 6,5 (recuerda que el radio de una circunferencia es la mitad del diámetro) 1 6, , 5 16, 75 16, 75 11,6 7

8 10.- Una copa tiene forma de cono de 10, de generatriz y 9,5 de diámetro de la circunferencia superior. a) Cada vez que se limpia, qué superficie de cristal hay que limpiar? (Sol: 15,1 ) Hay que calcular el área lateral del cono. No hace falta calcular el área total porque la copa está abierta, por lo tanto no tiene : lateral π radio generatriz,14 4,75 10, lateral lateral 15,1 b) Qué cantidad de líquido cabe en la copa? (Sol: 1,5 ) radio altura π Pero la altura no nos la da el problema, así que habrá que calcularla, y para ello se aplica el teorema de Pitágoras en el mismo triángulo rectángulo que antes: ltura cono Generatriz 10, - Cálculo de la altura: 10, 4,75 104,04, 56 Radio 4,75 (recuerda que el radio de una circunferencia es la mitad del diámetro) 81, 48 81, 48 9,0 hora ya tenemos toda la información que necesitamos para calcular el volumen: radio altura π,14 4,75 9,0 69,74 1, Una esfera tiene un área de 45. Calcular el radio y el volumen de la esfera. (Sol: 5,88 y 851,14 ) Cálculo del radio: 4 π radio 45 r 4,14 45 r 1,56 45 r r 4, 6 1,56 r 4, 6 r 5,88 Cálculo del volumen: 4 π radio 4,14 5,88 55,4 851,14 8

9 1.- Una esfera tiene un volumen de 10 dm. Calcula el área de la esfera. (Sol: 1,4 ) Para calcular el área necesitamos el radio. Para calcularlo utilizamos la fórmula del volumen de una esfera: 4 π radio 4,14 r ,56 r 0 1,56 r r 0 1,56 r, 9 r, 9 r 1,4 1.- El volumen de un cilindro es 40,18 dm y su altura mide 4 dm. Cuál es su radio? (Sol: 15 dm) π radio altura 40,18,14 r 4 40,18 106,76 r 40,18 r 106,76 r 5,11 r 5, 11 r 15 dm 14.- Una lata de conservas tiene 16,6 de altura y 8,4 de radio de la. a) Qué cantidad de metal se necesita para su construcción? (Sol: 118,8 ) π radio altura + π radio,14 8,4 16,6 +,14 8,4 875, , 1 118,8 b) Cuál es el volumen de la lata? (Sol: 677,87 ) π radio altura,14 8,4 16, 6 677,87 9