14 CUERPOS GEOMÉTRICOS. VOLÚMENES

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1 14 UERPOS GEOMÉTRIOS. VOLÚMENES EJERIIOS PROPUESTOS 14.1 Qué condiciones debe cumplir un prisma triangular para ser regular? ibújalo Para que un prisma triangular se regular su base tiene que ser un triángulo equilátero y sus cara regulares rectángulos. 14. ibuja el desarrollo plano de un ortoedro y el de un cubo. F E G H F E G H F E G H F E G H 14. ibuja una pirámide que no sea regular y describe sus elementos. Vértice ara lateral ltura ase 14.4 ibuja una pirámide regular, de modo que tenga cinco caras laterales. Qué polígono forma su base? 14.5 La base de esta pirámide es un pentágono. Elige como base de una pirámide un triángulo rectángulo. Puedes construir con esta base una pirámide regular? No se puede construir una pirámide regular eligiendo como base un triángulo rectángulo pues este no es un polígono regular. 68

2 14.6 on un cuadrado como base, podrías dibujar una pirámide que fuera poliedro regular? on un cuadrado como base no se puede dibujar una pirámide que sea poliedro regular pues el poliedro no tendría todos sus lados iguales: la base sería un cuadrado y las caras laterales triángulos ibuja un cilindro y señala sus elementos. Generatriz ltura ase 14.8 Una cartulina tiene forma de rectángulo. uántos cilindros distintos puede generar? ibújalos. Puede generar dos cilindros: uno con generatriz el lado, y el otro con generatriz el lado ibuja un cono y señala sus elementos. Generatriz Radio Vértice ltura ase Una cartulina tiene forma de triángulo rectángulo escaleno. uántos conos distintos puede generar? Puede generar dos conos, eligiendo como eje de giro cada uno de los dos catetos ibuja una esfera y señala sus elementos. iámetro Radio entro 69

3 14.1 Señala los elementos que obtienes al cortar una esfera por un plano secante. asquete esférico R asquete esférico 14.1 etermina el volumen de los siguientes cuerpos, tomando como unidad un cubo. a) b) a) 8 cubos b) 7 cubos verigua el volumen del cuerpo de la figura si cada cubo representa 1 decímetro cúbico. El volumen del cuerpo es: dm etermina el volumen de este ortoedro si las medidas vienen dadas en centímetros. V 6 1,5 18 cm 6 1, alcula el volumen, en decímetros cúbicos, de los ortoedros cuyas medidas se indican. a) a 4 dm b dm c 7 dm b) a 0,5 dm b 5 cm c 1 dm c) a 0,07 m b 0,8 dm c 4,5 cm d) a 8 m b 80 dm c 800 cm a) V dm c) V 0,7 0,8 0,45 0,8 dm b) V 0,5,5 1 1,5 dm d) V dm dm 70

4 14.17 alcula el volumen de estos poliedros si las medidas vienen expresadas en centímetros. a) 5,88 b) 9 4, a) V base h p a h 9,4 4, ,49 cm b) V 1 base h cm La base de un prisma es un hexágono regular de lado 7 centímetros y apotema 6,06 centímetros. Halla el volumen del prisma sabiendo que su altura mide 10 centímetros. V base h p a h 4 6, ,6 cm El volumen del prisma es de 1 7,6 cm La base de una pirámide es un cuadrado de 5 centímetros de lado, y la altura es el triple del lado de la base. Halla el volumen de la pirámide. ltura de la pirámide: 5 15 cm V 1 base h cm 14.0 alcula el volumen de estos cilindros sabiendo que las medidas vienen dadas en centímetros. a) b) a) V base h r h, ,8 cm b) V base h r h,14, cm 14.1 alcula el volumen de estos conos cuyas medidas vienen dadas en centímetros. a) b) a) V 1 r h 1, ,67 cm b) V 1 r h 1, ,4 cm 71

5 14. alcula el volumen de estas esferas cuyas medidas vienen dadas en centímetros. a) b) 1,4 a) V 4 r 4,14,49 cm b) V 4 r 4,14 6,7 1 59,194 cm 14. El diámetro de un balón reglamentario de fútbol mide, centímetros. alcula su volumen en decímetros cúbicos. V 4 r 4,14 11, ,540 cm 14.4 alcula el volumen de la siguiente semiesfera. 4 cm V 1 4 r 1 4,14 4 1,97 cm RESOLUIÓN E PROLEMS 14.5 e un bloque de madera con forma de ortoedro y dimensiones 90, 48 y 6 centímetros, queremos obtener piezas cúbicas del mayor tamaño posible sin que nos sobre nada de madera. a) uáles son las dimensiones de las aristas de los cubos? b) uántos cubos podemos obtener? a) Para obtener a partir del ortoedro un número exacto de cubos, la arista de cada cubo tiene que ser divisor de 90, 48 y 6. Y para que sea del mayor tamaño posible, la medida de la arista tiene que ser el máximo común divisor de dichas dimensiones: m.c.d.(90, 48, 6) 6 La arista de cada cubo debe ser de 6 centímetros. b) Volumen del bloque de madera: cm Volumen de cada cubo: 6 16 cm Número de cubos: Un fabricante de zapatos, los empaqueta en cajas de dimensiones 50, 0 y 0 centímetros. Quiere transportar las cajas en contenedores cúbicos lo más pequeños posibles, de modo que en ellos quepan exactamente las cajas. a) uál es el volumen del contenedor? b) uántas cajas pueden transportarse en cada contenedor? a) Para que en el contenedor cúbico quepan un número exacto de cajas, la medida de la arista del contenedor tiene que ser múltiplo de la medida de las aristas de las cajas: 50, 0 y 0 cm. Y como el contenedor ha de ser lo más pequeño posible, su arista tiene que ser el mínimo común múltiplo de 50, 0 y 0: m.c.m.(50, 0, 0) 5 00 El volumen del contenedor es: cm. b) Volumen de cada caja: cm cajas 7

6 ÁLULO MENTL 14.7 Las siguientes cantidades vienen dadas en metros, y corresponden a distintas habitaciones. alcula el volumen de cada una de ellas. a) 4 b) 10 8 c) a) V 4 6 m b) V m c) V m 14.8 etermina el volumen de las siguientes cajas cuyas medidas vienen dadas en centímetros. a) 4 6 c) 5 4 b) 15 4 d) 6 5 a) V cm c) V cm b) V cm d) V cm 14.9 verigua las aristas de los ortoedros sabiendo el volumen que ocupan. a) 4 cm d) 50 cm b) 18 cm e) 00 cm c) 0 cm f) cm Respuesta abierta, por ejemplo: a) cm, cm, 4 cm d) 5 cm, cm, 5 cm b) 6 cm, cm, 1 cm e) 10 cm, 5 cm, 4 cm c) 5 cm, cm, cm f) cm, 1 cm, 1 cm 14.0 ado el volumen y la altura de los siguientes ortoedros de base cuadrada, halla el lado de la base. a) 100 cm ; 4 cm b) 80 cm ; 5 cm c) 108 cm ; cm a) cm 5 cm b) cm 4 cm c) cm 6 cm 14.1 El primer dato corresponde al área de la base de un prisma y el segundo, a la altura. alcula el volumen de cada prisma. a) 6 cm ; 4 cm b) 10 cm ; 8 cm c) dm ; 0 cm a) 4 cm b) 80 cm c) cm 14. alcula el volumen que contienen los vasos cilíndricos cuyos radios y alturas se indican. a) Radio 10 cm ltura 10 cm b) Radio 1 dm ltura 10 cm c) Radio 5 cm ltura 4 cm a) V r h, cm b) V r h, cm c) V r h, cm 7

7 EJERIIOS PR ENTRENRSE Poliedros 14. alcula la suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice de los poliedros regulares. Qué observas? TETREO: En un vértice concurren tres triángulos equiláteros; UO: En un vértice concurren tres cuadrados; OTERO: En un vértice concurren cuatro triángulos equiláteros; OEERO: En un vértice concurren tres pentágonos regulares; IOSERO: En un vértice concurren cinco triángulos equiláteros; Observamos que en todos los casos la suma de los ángulos es menor de uál de estos dos desarrollos planos daría lugar a un ortoedro? ibújalo. El segundo desarrollo es el que da lugar a un ortoedro Si una pirámide tiene 8 aristas, qué polígono es su base? ibuja la pirámide. La base es un cuadrado Existe alguna pirámide con 9 aristas? Razona la respuesta. NO. El número de aristas de una pirámide es la suma de las aristas de la base más las aristas que no están en ella; ambos números de aristas son iguales, porque en los dos casos coinciden con el número de vértices de la base, por tanto, el número total de aristas de una pirámide siempre es par porque es el resultado de multiplicar por dos el número de vértices de la base ibuja una pirámide cuya base sea un cuadrilátero y su desarrollo plano. 74

8 uerpos redondos 14.8 La altura de un cilindro mide 10 centímetros y el radio de sus bases, 4 centímetros. uáles son las medidas del rectángulo de su desarrollo plano? LTUR: es igual a la altura del cilindro, es decir, 10 cm. SE: es igual a la longitud de la circunferencia de su base, es decir, 4 5,1 cm 14.9 Indica cuáles de estas figuras generan un cono al girar en torno a uno de sus lados. a) Un cuadrado. b) Un pentágono regular. c) Un triángulo rectángulo. d) Un triángulo equilátero. Solamente el triángulo rectángulo, que puede generar dos conos diferentes, eligiendo como eje de giro cada uno de los dos catetos El radio de un cono mide 10 centímetros. uánto mide el arco del sector circular correspondiente a su desarrollo? La longitud del arco del sector circular del desarrollo del cono es igual a la longitud de la circunferencia de la base del mismo: 10 6,8 cm Los radios de dos esferas miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. Si la distancia entre sus centros es de 14 centímetros, cuántos puntos tienen en común? Las esferas tienen un único punto en común, ya que son tangentes El diámetro de una pelota de plástico mide 1 centímetros. uánto mide la circunferencia máxima? La circunferencia máxima mide: 1 7,7 cm Volumen del prisma 14.4 alcula el volumen de las siguientes cajas. a) b) cm m cm 4 cm 4 m 1,5 m a) V 4 16 cm b) V 4 1,5 18 m El área de la base de este prisma mide 6,16 centímetros cuadrados. alcula su volumen. 8 cm V base h 6, ,8 cm 75

9 14.45 alcula el volumen de este prisma.,5 cm,5 cm 8 cm V base h,5,5 8 5 cm Volumen de la pirámide alcula el volumen de esta pirámide. 8 cm 5 cm cm V 1 base h cm La base de la pirámide representada en la figura es un rectángulo, de largo el doble que de ancho. alcula su volumen. 1 cm cm Largo de la base: cm 6 cm V 1 base h 1 (6 ) 1 7 cm La base de la siguiente pirámide es un cuadrado. uál es su volumen? 10 cm 4 cm V 1 base h , cm 76

10 Volumen del cilindro y del cono alcula el volumen de los cilindros sabiendo que las medidas de la altura y el radio de la base son las siguientes. a) h 8 cm r 50 mm b) h 0 cm r 1 dm c) h,5 dm r 15 cm a) V r h, cm b) V r h, cm c) V r h, ,5 cm Halla el volumen de los conos sabiendo que las medidas de la altura y el radio de la base son las siguientes. a) h 0,5 dm r 1 cm b) h 0 cm r 1 dm c) h r r 50 mm 5 a) V 1 r h 1, , cm b) V 1 r h 1, , cm c) V 1 r h 1, mm 5, cm alcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 5 centímetros y el diámetro de su base 18 centímetros. Para calcular la altura del cono aplicamos el teorema de Pitágoras: h , cm V 1 r h 1,14 9, 1 977,069 cm h 9 cm 5 cm Volumen de la esfera 14.5 alcula el volumen de las esferas de radio el indicado. Expresa el resultado en centímetros cúbicos. a) 1,1 cm b) 1,5 dm c) 0,05 m a) V 4 r 4,14 1,1 5,57 cm b) V 4 r 4, cm c) V 4 r 4,14 5 5, cm 14.5 El diámetro interior de una esfera hueca mide medio metro. Expresa su capacidad en litros. Radio: 1 0,5 0,5 m,5 dm V 4 r 4,14,5 67,417 dm omo 1 dm 1 L, la capacidad de esta esfera es de 67,417 litros. 77

11 14.54 Observa las figuras y estima cuál tiene mayor volumen, un cubo de 1 metro de arista o una esfera de 1 metro de diámetro. 1 m 1 m omprueba tu estimación calculando los volúmenes de ambos cuerpos. Observando ambas figuras vemos que el cubo tiene mayor volumen que la esfera, ya que esta se podría introducir en el cubo, quedando huecos en el mismo. V cubo a 1 1 m V esfera 4 r 4,14 0,5 0,5 m PROLEMS PR PLIR La arista de un depósito cúbico mide 1,5 metros. on cuántos litros de agua se llenará? V a 1,5,75 m 75 dm 75 L El depósito se llena con 75 litros Para construir parte de los cimientos de un edificio se ha tenido que hacer un cilindro de 6 metros de diámetro y 5 metros de profundidad. uántos metros cúbicos de tierra se han tenido que extraer? V r h, , m El radio de la Tierra mide 6 69 kilómetros, y el de la Luna, 1 78 kilómetros. uántas veces es mayor el volumen de la Tierra que el de la Luna? V Tierra 4 r 4, km V Luna 4 r 4, km V Tierra , V Luna 1 78 El volumen de la Tierra es 49, veces mayor que el de la Luna alcula el volumen de este salón. El volumen del salón es igual al de un ortoedro de 6 m de largo, 4 m de ancho y m de alto, menos el volumen de la esquina, que es otro ortoedro de 1 m de largo por 1 m de ancho y m de alto. V ortoedro salón m V salón 7 69 m V esquina 1 1 m 78

12 14.59 Se han fabricado unos radiadores eléctricos para calentar recintos de entre 60 y 65 metros cúbicos. omprarías un radiador de este tipo para un salón que tiene 6 metros de largo,,8 metros de ancho y,8 metros de alto? V salón 6,8,8 6,84 m omo el volumen del salón está comprendido entre 60 y 65 m, sí compraríamos el radiador Una torre tiene forma de pirámide hexagonal regular. El lado de la base mide metros y la apotema 1,7 metros. La altura de la pirámide mide 6 metros. Halla su volumen. V 1 base h 1 p a h 1 1 1,7 6 0,64 m En un recinto ferial se ha instalado una carpa, siendo la parte inferior cilíndrica y la superior cónica. El diámetro de la parte cilíndrica mide 0 metros y su altura 10 metros. La altura de la parte cónica es de 8 metros. uál es el volumen del circo? V cilindro r h, m V cono 1 r h 1, m V circo m m m 14.6 Un bloque de madera de forma de ortoedro tiene 1 metro de largo, 1 metro de ancho y medio metro de alto. uál es el máximo número de bloques cúbicos de 1 decímetro de arista que se pueden obtener serrando adecuadamente el bloque? La arista del cubo cabe 10 veces en el largo del ortoedro. La arista del cubo cabe 10 veces en el ancho del ortoedro. La arista del cubo cabe 5 veces en el alto del ortoedro. El número máximo de bloques cúbicos será: El diámetro de la base de un vaso cilíndrico mide 4,5 centímetros, y la altura, 5 centímetros. on el refresco de una botella de 1,5 litros, cuántos vasos se pueden llenar? V vaso r h,14,5 5 79,481 cm V botella 1,5 L 1,5 dm cm ,481 18,87 Se pueden llenar 18 vasos Las aristas de una caja de madera miden, y decímetros. a) uántas bolas de 1 decímetro de diámetro caben en la caja? b) alcula el volumen de la caja que queda sin ocupar. a) En un piso se pueden colocar 4 bolas. Se pueden formar pisos. Luego caben 1 bolas. b) V una bola 4 r 4,14 0,5 0,5 dm V 1 bolas 1 0,5 dm 6,76 dm V caja 1 dm El volumen de la caja que queda sin ocupar es: 1 dm 6,76 dm 5,74 dm La altura de una torre cónica es 5 del diámetro, que mide 8 metros. alcula el volumen de la torre. ltura de la torre: 5 8 m 4,8 m V 1 r h 1,14 4 4,8 80,84 m 79

13 14.66 os canicas de 1 centímetro de diámetro se guardan en un tubo del mismo diámetro y 5 centímetros de longitud. a) Qué volumen queda sin ocupar en el tubo? b) Es mayor o menor que el de una canica? a) V tubo r h,14 0,5 5,95 cm V canica 4 r 4,14 0,5 0,5 cm V dos canicas 0,5 cm 1,046 cm V sin ocupar,95 cm 1,046 cm,879 cm b) El volumen que queda sin ocupar en el tubo es mayor que el de una canica Observa las medidas de la pieza y calcula el volumen del material del que está construida. V total cm V agujero cm V pieza 160 cm 40 cm 10 cm Observa las medidas del tubo y calcula el volumen del material del que está construido. V total r h, cm V cilindro vacío r h, cm V tubo 86 cm 1 56 cm 6 80 cm Prismas y pirámides REFUERZO ibuja un poliedro regular cuyas caras sean cuadrados. Señala sus elementos. Vértice ara UO rista 80

14 14.70 Un prisma cuya base es un rectángulo, es regular? Y una pirámide? ibújalos. Si la base de un prisma es un rectángulo el prisma no puede ser regular, porque el rectángulo no es un polígono regular. Si la base de una pirámide es un rectángulo, la pirámide no puede ser regular porque el rectángulo no es un polígono regular Expresa en decímetros cúbicos el volumen de un cubo de arista 0,8 metros. V a 0,8 0,51 m 51 dm 14.7 alcula el volumen de este prisma. 4 cm,75 cm 10 cm V base h p a h 0, cm 14.7 alcula el volumen de esta pirámide. 7 cm cm cm V 1 base h 1 ( ) 7 1 cm 81

15 14.74 La base de un prisma recto es un cuadrado de 49 centímetros cuadrados, y su altura mide el triple del lado de la base. alcula el volumen de este prisma. Lado de la base: 49 7 cm ltura del prisma: 7 cm 1 cm V base h cm uerpos redondos ibuja un cilindro, un cono y sus desarrollos planos. Indica en ellos sus elementos. ase V V r Radio Superficie lateral ase r g Radio g ibuja un plano que corte una esfera y marca los dos casquetes esféricos. Señala el radio de la sección. Sección asquete esférico Radio r de la sección R R asquete esférico etermina el volumen de estos cuerpos cuyas medidas se indican en las siguientes figuras. a) b) 5 cm 70 cm cm 4 dm a) V r h,14 5 6,8 cm b) V 1 r h 1, ,667 cm alcula el volumen de estas esferas y expresa los resultados en centímetros cúbicos. a) b) 1,5 cm 10 dm a) V 4 r 4,14 1,5 14,1 cm b) V 4 r 4, ,67 cm 8

16 14.79 El diámetro de un vaso cilíndrico mide 7 centímetros y la altura 8 centímetros. alcula su volumen. V r h,14,5 8 07,7 cm Se tiene una canica de 1 centímetro de radio y otra de centímetros. a) alcula el volumen de cada canica. b) uántas veces es mayor el volumen de una canica respecto al de la otra? a) V 4 r 4,14 1 4,187 cm V 4 r 4,14,49 cm b),49 4, El volumen de la canica de radio es 8 veces mayor que el de la otra canica. MPLIIÓN Un depósito tiene forma de prisma hexagonal regular. El lado de la base mide 1 metro, y la altura del prisma metros. Se echa agua a razón de 100 litros por minuto. alcula el tiempo que tarda en llenarse. Para calcular la apotema, se aplica el teorema de Pitágoras: a 1,5 0 0,75 0,87 m V base h p a h 6 0,87 5, m 5 0 dm 5 0 L ,0 minutos 5 min 1 seg a 1 cm 0,5 cm 14.8 Un recipiente cilíndrico de plomo sin tapa tiene de dimensiones exteriores las siguientes: 17 centímetros de diámetro y 16 centímetros de altura. El espesor de la base mide 6 milímetros y el de la parte lateral, 4 milímetros. uánto pesa el recipiente si un decímetro cúbico de plomo pesa 11,4 kilogramos? V total r h,14 8, ,84 cm imensiones del cilindro vacío: iámetro de la base: 17 cm 0,4 cm 17 cm 0,8 cm 16, cm Radio de la base: 16, cm 8,1 cm ltura: 16 cm 0,6 cm 15,4 cm 16 cm 8,5 0,4 V cilindro vacío r h,14 8,1 15,4 17,64 cm V material 69,84 cm 17,64 cm 457, cm 0,457 dm Peso del recipiente: 0,457 11,4 5,1 kilogramos. 0, Una pelota de plástico tiene 50 milímetros de diámetro exterior y 4 milímetros de espesor. uántos kilogramos de plástico necesita una fábrica que produce pelotas, sabiendo que 1 decímetro cúbico de plástico pesa 0,85 kilogramos? V pelota 4 r 4,14,5 65,417 cm imensiones de la esfera vacía: iámetro: d 5 0,4 5 0,8 4, cm Radio: r 4, cm,1 cm V esfera vacía 4 r 4,14,1 8,77 cm V material 65,417 cm 8,77 cm 6,644 cm 0,06644 dm Masa de cada pelota: 0, ,85 0,06 kilogramos. Masa total: 0,06 kg kg de plástico necesita. 8

17 14.84 El área total de un cubo hueco es 16 decímetros cuadrados. Podrá contener este cubo un número exacto de ortoedros de base cuadrada de lado centímetros y centímetros de altura? Área de una cara: dm Longitud de la arista: 6 6 dm 60 cm La arista del cubo es múltiplo de y de : a lo largo caben 0 ortoedros; a lo ancho, 0, y a lo alto, 0. El cubo sí puede contener un número exacto de ortoedros: ortoedros. PR INTERPRETR Y RESOLVER Midiendo la lluvia Paco y su vecino han colocado en sus tierras recipientes como los que aparecen en la figura, para medir el agua que cae cuando llueve. alcula la altura alcanzada por el agua en cada recipiente tras una tormenta en la que cayeron 15 litros por metro cuadrado. 10 m 8 cm 6 cm Primera figura: Habrá recogido ,15 litros 150 cm plicando la fórmula del volumen de un cilindro: V 10 h 150 espejando el valor de la altura: h ,5 cm 100 Segunda figura: Habrá recogido ,07 litros 7 cm plicando la fórmula del volumen de un ortoedro: V 8 6 h = 7 espejando el valor de la altura: h 7 1,5 cm 48 84

18 14.86 aminos de hormigas La figura representa un cubo y su desarrollo. Señala sobre el desarrollo los vértices que faltan por nombrar, y sobre el cubo, el trayecto PQRGS que ha seguido una hormiga al caminar sobre su superficie. H E G F Q S H R G E F P Q S E F H R G P Q S H R G F E H E F UTOEVLUIÓN 14.1 Indica qué tipo de cuerpo geométrico representa cada una de las siguientes figuras. a) b) c) d) e) f) a) ilindro b) Ortoedro c) ono d) Semiesfera e) asquete esférico f) Pirámide 85

19 14. alcula el volumen de los siguientes poliedros. a) 6 cm b) 4,5 cm 8 cm 7 cm 4,1 cm a) V base h 4, cm b) V 1 base h 1 0 4,1 7 14,5 cm 6 cm 14. El diámetro de un cono mide 1, decímetros. La altura mide los 4 del diámetro. etermina el volumen de este cono. d 1, dm 1 cm r 6 cm h 4 1 cm 9 cm V 1 r h 1, ,1 cm 14.4 Un recipiente de plástico tiene forma de semiesfera, de 4 centímetros de diámetro. Halla el volumen de líquido que puede contener y exprésalo en centímetros cúbicos, y su capacidad, en litros. V semiesfera r, ,8 cm,617 dm,6 L 14.5 Las medidas de una piscina son 50 metros, 1 metros y 18 decímetros. Se llena hasta los cuatro quintos de su capacidad. uántos metros cúbicos de agua se necesitarán para llenarla? V ,8 m m Los cuatro quintos: m 1 51 m Se necesitan 1 51 m para llenar la piscina Un gran depósito de agua de forma cilíndrica de 10 metros de diámetro y 8 metros de altura, abastece a otros depósitos más pequeños de forma cúbica y arista 1,5 metros. cuántos depósitos puede abastecer hasta llenarlos de agua? V cilindro r h, m 68 m V cubo a 1,5 m,75 m 68, depósitos 14.7 uántos paquetes se pueden colocar en la caja del dibujo? V caja h V paquete h El número de paquetes que caben en la caja son:

20 MURL E MTEMÁTIS Jugando con las matemáticas ONSTRUYENO REIPIENTES Tenemos una cartulina rectangular que mide 40 por 60 centímetros. Todos sabemos que si la enrollamos obtenemos un cilindro. laro que dependiendo de cómo la enrollemos, por el lado más largo o por el más corto, los cilindros que conseguimos son diferentes. Pero tienen los dos el mismo volumen? L base 60 cm r 60 r 9,55 cm V r h,14 9, ,455 cm h 40 cm L base 40 cm r 40 r 6,7 cm V r h,14 6, cm h 60 cm Tienen diferente volumen. 87