Límites cuando x c. Límites laterales. Unidad 7: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Límites cuando x c. Límites laterales. Unidad 7: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD"

Transcripción

1 Unidad 7: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 7..- IDEA GRÁFICA DE LOS LÍMITES DE FUNCIONES Límites cuando c. Límites laterales Límite lateral por la izquierda: límite de la función f cuando se acerca a c por la izquierda, esto es, cuando toma valores menores que c. Límites cuando + f( l f( + f( También puede ocurrir que el límite no eista. Veamos dos ejemplos: f( l c f( + c f( c Límite lateral por la derecha: Límite de la función f cuando se acerca a c por la derecha, esto es, cuando toma valores mayores que c. f( no eiste Límites cuando f( no eiste f( l c f( + c Límite de la función cuando c: f( c Si f está definida a la izquierda y a la derecha de c, para que eista f( es necesario que tenga límites finitos a los c dos lados, y coincidan. f( l f( + f( f( l f( l f( l c c + c

2 No eiste límite en estos casos: Veamos un caso concreto. Vamos a demostrar que ε (e imaginamos ε muy pequeño. Cómo tiene Tomamos > 0 que ser para que la distancia de f( a 5 sea menor que ε? f( c f( c 7..- DEFINICIÓN DE LÍMITE Cómo definir con precisión que f(l + f( c La idea es que f( se acercará mucho a l cuando se haga muy grande. f( l Dicho con más precisión: f( l Podemos conseguir que f( esté tan próimo a l como queramos sin más que darle a valores suficientemente grandes. Dado un número positivo ε (arbitrariamente pequeño, podemos encontrar un h (tan grande como sea necesario tal que: si > h entonces f( l < ε f( 5 < ε 5 < ε < ε 5 Es decir, h < ε > > +. Hemos quitado el valor absoluto porque para valores grandes de, ε Por ejemplo, si ε 5 0, 00 h , Esto quiere decir que si > 5 00, entonces dista de 5 menos de una milésima (haz la prueba con la calculadora y dale a el valor 500. Ejercicio propuesto (pág. 08 ε ε 5 > 0 0 Sabiendo que, aplica lo que acabamos de ver 00 para calcular h en función de ε. Averigua después para qué valor de h se verifica que si > h, entonces f( < 0,0. 4

3 Definición precisa de otros límites Cuando + la función tiende a + f( + Podemos conseguir que f( sea tan grande como queramos sin más que tomar tan grande como sea necesario. Dicho con más precisión: f( Dado un número k (arbitrariamente grande, podemos encontrar otro número h (tan grande como sea necesario tal que: si < h entonces f( < k Dicho con más precisión: f( + Dado un número k (arbitrariamente grande, podemos encontrar otro número h (tan grande como sea necesario tal que: si > h entonces f( > k Cuando c la función tiende a + f( + c El límite de f( cuando tiende a c por la izquierda es + si al acercarse a c tomando valores menores que c, f( toma valores tan grandes como se quiera. Cuando la función tiende a f( Podemos conseguir que f( sea tan negativo como queramos sin más que tomar tan negativo como sea necesario. f( + c Dado un número k, podemos encontrar un δ > 0 tal que: si c δ < < c, entonces f( > k 5 6

4 Cuando f( l c c la función tiende a l Si queremos que f( sea muy próimo a l, podremos conseguirlo sin más que darle a valores tan próimos a c como sea necesario.. f( g( f( g( a b 4. Si b 0, f( a g( b f( g( f( l c Dado ε > 0, podemos encontrar un δ > 0 tal que: si c y c δ < < c + δ, entonces f( l < ε 5. Si f( > 0, g( g( b f( f( a Nota: Las funciones potencia, g( f( o definidas para valores positivos de la base. f( g(, sólo están Si n es impar n n 6. f( n f( a o si n es par y f( > 0 7. Si α > 0 y f( > 0, log f( log f( log a α α α Algunas operaciones con límites infinitos 7..- SENCILLAS OPERACIONES CON LÍMITES FINITOS Operaciones con límites finitos Si f( a y g( b, entonces se cumplen las siguientes relaciones (todas ellas valen para +,, c, c + y c:. f( + g( f( + g( a + b. f( g( f( g( a b Del mismo modo que se manejan de forma obvia las operaciones con límites finitos, hay muchas operaciones en las que intervienen funciones con límites infinitos cuyo resultado es también obvio. Por ejemplo: Si f( + y g( +, entonces: f( + g( Ponemos, a continuación, algunos resultados de operar con funciones infinitas. No trates de memorizarlos. Mira bien cada uno de ellos, haz algunas pruebas, ponte algunos ejemplos y acaba viéndolos tan razonables que los recuerdes cuando te los encuentres. 7 8

5 ( + + l ( + ( + + ( + ( + ( + l ( ( + ( + ( + ( + ( ( l 0 ( ± l ( ±, si l 0 0 ( + + ( + ( + 0 l Si l > 0, ( + ( + Si l < 0, ( + l 0 Si l < 0, l 0 SUMAS PRODUCTOS ( + ( ( ( ( + Si l > 0, Si l < 0, COCIENTES ( ± ± ± POTENCIAS INDETERMINACIONES Si l >, ( + l ( + ( l ( ( + l ( ( l ( + Si 0 < l <, ( + l ( + ( l 0 ( + l 0 ( l ( + Con el símbolo ( + + ( + ( + estamos diciendo que, con seguridad, la suma de dos funciones que tienden a +, cualesquiera que sean, es otra función que también tiende a +. Qué resultado podemos aventurar para ( + ( +? Veamos, con los siguientes ejemplos, que puede ocurrir cualquier cosa: 9 f( f( + + g( + h( + g( 5 h( f( g( ( + ( + g( f( ( + ( + g( h( ( + ( + Las epresiones anteriores son del tipo ( + ( +. Sus límites son: ( ( ( f( g( g( f( 5 + g( h( Como hemos visto, ( + ( + ha significado, según los casos, +, ó 5. Es decir, con solo saber que dos funciones tienden a infinito, no podemos saber a qué tiende su diferencia. Si f( + y g( +, cuánto vale f( g(? Para contestar a la pregunta, no queda más remedio que analizar más a fondo cada caso concreto. Una indeterminación es el reconocimiento de que con solo conocer los límites de las funciones que intervienen no podemos asignar límite al resultado de la operación. Hay que efectuar una investigación más profunda que nos permita llegar al valor de dicho límite. 0

6 En los próimos apartados aprenderemos algunos métodos para resolver los casos más frecuentes de indeterminación. Los más importantes son: ( ± ( ±, ( 0 ( 0, + +, ( COMPARACIÓN DE INFINITOS. APLICACIÓN A LOS LÍMITES CUANDO ± Si +, es claro que tanto como ±, ( + ( 0, ( 0 ( 0, ( ( +, ( tienden a +. Recuerda que cuando + hay tres grandes familias de funciones infinitas (que tienden a ± cuando + : Potencias de eponente positivo:,, 5, Eponenciales de base mayor que :,5,, e, Logarítmicas de base mayor que : log, log, ln,5 Aplicación a los límites cuando ± Es fácil comprobar las siguientes afirmaciones: También es claro que que. tiende a + mucho más deprisa Dadas dos potencias de, la de mayor eponente es un infinito de orden superior. Diremos, pues, que es un infinito de orden superior a. Para qué sirve esto? Para saber que, cuando compiten el uno con el otro, gana el que más puede. Generalizando, si f( ± y g( ±, se dice que f( es un infinito de orden superior a g( si: f( ± o, lo que es lo mismo, g( g( 0 f( / Dadas dos funciones eponenciales de bases mayores que, la de mayor base es un infinito de orden superior. 000,5 + Cualquier función eponencial de base mayor que es un infinito de orden superior a cualquier potencia de. son infinitos del mismo orden si: f( l 0 g(,

7 Tanto las funciones eponenciales de base mayor que como las potencias de son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica. Dos polinomios del mismo grado son infinitos del mismo orden y mismo orden son infinitos del Dos eponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden. 00 y 0,0 son infinitos del mismo orden. Si en una suma hay varios sumando infinitos, el orden de la suma es el del sumando de mayor orden es un infinito del mismo orden que 0 + 7, es un infinito del mismo orden que Ejercicio propuesto (pág. 4.,. a Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos: 5 4,5 log b Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula: 5 log, CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO + Cociente de polinomios El cálculo de límites de fracciones algebraicas (cocientes de dos polinomios se resuelve con toda sencillez si prestamos atención a los términos de mayor grado del numerador y del denominador. (Recuerda que cuando +, el protagonismo de una función polinómica lo desempeña su término de mayor grado. f( Si p > q, Si p q, Si p < q, Por ejemplo:.. p p a + a' +... q q b + b' +... se comporta como a pq b f( ± (el signo del límite depende de los signos de a y b a f( b f(

8 ( Cociente de otras epresiones infinitas La regla anterior también es válida cuando en el numerador, en el denominador o en ambos, hay epresiones radicales. Para aplicarla, tendremos que tener en cuenta que: p n a +... se comporta como p n/p a cuando + p n a... + no tiene límite cuando + si a es negativo y p es par, pues no está definido para valores grandes de. Por ejemplo: / Diferencia de epresiones infinitas Estudiaremos tres casos: I. Cuando se aprecia a simple vista que las epresiones cuya diferencia se nos propone son infinitos de orden distinto, podemos atribuirles directamente, límite + o. Por ejemplo: (Porque el minuendo es de grado / y el sustraendo es de grado. ( 5 4, 5 (Porque una eponencial con base mayor que es un infinito de orden superior a una potencia. II. Cuando puede efectuarse la operación Si el límite no se aprecia a simple vista, intentaremos efectuar la diferencia indicada y, después, calcularemos el límite. Por ejemplo:

9 III. Cuando hay radicales cuadráticos Si en el minuendo, f(, en el sustraendo, g(, o en ambos, hay una raíz cuadrada, la operación no es inmediata. Entonces se procede multiplicando y dividiendo por f( + g(, con lo que desaparece la diferencia de raíces, que obstaculizaba el cálculo del límite. Por ejemplo: ( Ejercicio propuesto (pág. 5 Calcula los siguientes límites: a ( + b ( c ( + d ( e ( f ( log 5 Ejercicio propuesto (pág. 5 Calcula los siguientes límites: a c b + d ( + + e ( + f ( + + Límite de una potencia El límite de una potencia, en muchos casos, se puede calcular sin más que conocer los límites de la base y del eponente. Por ejemplo: ( + +, pues es del tipo ( , pues es del tipo +. ( + 0 +, pues es del tipo. Sin embargo, cuando f( g( f( y que estudiar en cada caso. g( +, el límite es una indeterminación del tipo +, que hay 7 8

10 Epresiones del tipo ( Regla práctica Estas indeterminaciones se resuelven relacionándolas con el número e. Recuerda la definición del número e como límite de la sucesión +, esto es, n n + e n n + Si tenemos una función h(, tal que entonces h( + e h( n h( +, Veamos una regla práctica para resolver las indeterminaciones del tipo +. Dem: Si f( y g( +, entonces: f( g( g( f( e + g( g( g( f( { + f( } + f( f( g( f( + f( f( g( + f( f( f( g( f( g( f( + f( f( g( e + Ejercicio resuelto (pág. 7 Calcula el siguiente límite: + + Como es del tipo +, podemos aplicar la regla anterior: 9 0

11 + ( e e + Ejercicio propuesto 5 (pág. 7 Resuelve estos límites aplicando la regla anterior. a b CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO Para el cálculo de límites de una función cuando se utilizan los mismos procedimientos que vimos en los apartados anteriores. Ejemplos: Este límite no eiste porque el radicando, 5, toma valores negativos cuando e e e Ejercicio propuesto (pág. 9 Sin operar, calcula los siguientes límites: a ( + b ( + c ( d ( e ( g ( h f ( 5 5 h ( 4 + j ( Ejercicio propuesto (pág. 9 Calcula los siguientes límites: a b + c ( + + d ( + + e ( g + + f 5+ h + + +

12 7.8.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONTINUIDAD Vamos a recordar y sintetizar algunos resultados que ya conocemos: Límite en un punto y límites laterales Sea f( una función que está definida a la izquierda y a la derecha de c. Si eisten los límites laterales y coinciden f( f( l + c c entonces decimos que el límite de f( eiste y es igual a l. f( l c f no está definida en c f no tiene límite en c f( f(c Cuando una función es discontinua en c pero eiste el límite en dicho punto, se dice que la discontinuidad es evitable. En los demás casos, la discontinuidad es inevitable. Puede deberse a un salto finito (los dos límites laterales son finitos, pero distintos, un salto infinito (uno de los dos límites laterales, o ambos, son infinitos, o bien carecer de límites laterales. Por ejemplo: c Continuidad en un punto Se dice que una función f es continua en un punto de abscisa c cuando se cumple que: f( f(c c Observa que esta definición lleva implícitas tres condiciones: Salto finito l f( f( l a a + Salto infinito f( + a No eiste f( a - La función está definida en c. Es decir, eiste f(c. - Eiste (y es finito el límite f(. c - El límite anterior coincide con el valor de la función. Por tanto, una función puede dejar de ser continua en un punto por no cumplir alguna de esas condiciones: CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO c Límites en puntos donde la función es continua Parece razonable decir que Sí, parece 4 lo más adecuado, pero cuál es el fundamento teórico que nos permite hacer esto? Veámoslo: 4

13 ( + es una función continua en todo R y, por supuesto, en 4. Por tanto, el límite de la función en 4 coincide con el valor de la función en 4. En general, esto le ocurre a todas las funciones elementales (todas las que manejamos habitualmente en todos los puntos en los que están definidas. Si f( es una función habitual dada por su epresión analítica y está definida en el punto c, entonces: Funciones definidas a trozos. Límites en el punto de ruptura Veamos este apartado con el siguiente ejemplo: Calcula el límite en de la siguiente función: + si < f( + > f( si f( + 4 Como los límites laterales coinciden, eiste el igual a. para hallar f( calcularemos, sencillamente, f(c c f( y es 5 Ejercicio propuesto (pág. Halla los siguientes límites: + a c ( sen 0 d Ejercicio propuesto (pág. b e + 4 Halla el límite cuando 5 de las siguientes funciones: 5 + si 5 f( 4 si > 5 Indeterminaciones cuando c si < 5 g( ( si 5 ( 0 Cociente de polinomios, indeterminación ( 0 Si Q(c 0, entonces P( P(c c Q( Q(c Si Q(c 0, pueden darse dos casos: (no es indeterminación - P(c 0. Entonces la fracción puede simplificarse dividiendo numerador y denominador por c, y se tiene que: ( ( P( P( c P( Q( Q( c Q( c c c 6

14 - P(c 0. Entonces el límite es ±. Puede ser distinto el límite a la izquierda y a la derecha de c. Para averiguarlo, se recomienda obtener con la calculadora el resultado del cociente para valores de próimos a c por uno y otro lado. Veamos algunos ejemplos: ( + ( (4. ± (0 (En este caso es a la derecha de y + a la izquierda. ( 0 Otros cocientes, indeterminación ( 0 Veamos otras epresiones ( en las que también se presenta la 0 indeterminación 0. Para resolver esta indeterminación, hemos de reducir a índice común las dos raíces: ( 6 ( ( ( Por tanto: ( ( + Diferencias, indeterminación ( + ( + La mejor forma de deshacer estas indeterminaciones es efectuar la operación (resta y estudiar la epresión resultante. Por ejemplo: ( ( ( ( + 5 Indeterminación ( + + f( f( + + no eiste Utilizamos la misma regla que vimos cuando estudiamos los límites de una función cuando ±. Por ejemplo: + 6 ( 0 ( 0 Si f( y g( +, entonces: c + c f( g( g( c f( e c 7 8

15 Ejercicio propuesto (pág. Calcula los siguientes límites: a Ejercicio propuesto 4 (pág. Calcula los siguientes límites: a + + Ejercicio propuesto 5 (pág. Calcula Ejercicio propuesto 6 (pág. Calcula b 4 + b 4 + Los límites del tipo f(, donde es, + o un g( ( 0 número, si dan lugar a una indeterminación del tipo ( ± ( ± 0 o, pueden obtenerse derivando numerador y denominador y calculando (si eiste el límite del cociente de sus derivadas. A veces, después de ese primer paso, se llega a otra indeterminación, por lo que se puede repetir el proceso., ( Hay epresiones del tipo, que, como veremos en algunos ejemplos, se pueden poner en forma de cociente para que se les pueda aplicar la regla de L Hôpital. Ejemplos: e e e e e + e. 0 sen 0 cos 0 cos ( 0 indet. tipo ( 0 Regla de L'Hôpital REGLA DE L HÔPITAL La regla de L Hôpital utiliza la derivación para hallar límites de cocientes. Y, con un poco de habilidad, se puede hacer etensiva a otros tipos de límites (productos, potencias,. Veamos lo que dice dicha regla:. ( cos 0 Para poner logaritmos neperianos: indet.tipo ( cos en forma de cociente, tomamos ln cos A ( cos lna ln ( cos ln ( cos 9 0

16 ln cos lna ( 0 indet. tipo ( 0 Regla de L'Hôpital ( sen cos tg + tg ( 0 indet. tipo ( 0 Regla de L'Hôpital lnf( 6 f( e sen + cos c 0 cos e e e d sen 0 cos + sen f 0 g 4 h CONTINUIDAD EN UN INTERVALO Se dice que una función es continua en un intervalo (finito o infinito de R si es continua en cada punto del intervalo. sen cos. 0 sen 0 sen 0 sen + cos ( 0 indet. tipo ( ( indet.tipo ( 0 sen 0 0 0cos + cos + ( sen ( 0 indet. tipo 0 Regla de L'Hôpital Ejercicio propuesto (pág. 5 Hallar los siguientes límites aplicando la regla de L Hôpital: a + + e + b + 0 Re gla de L'Hôpital Las funciones elementales que utilizamos habitualmente son continuas en todos los puntos en los que están definidas. Por ejemplo, las funciones polinómicas, las trigonométricas seno y coseno o las eponenciales son continuas en todo R; las funciones a continua en 0, + ; etcétera. log son continuas en 0, + ; la función es Podemos, no obstante, construir funciones discontinuas. Por ejemplo: f( si a y f( si > a Las funciones definidas a trozos presentan discontinuidades en los puntos de empalme, salvo que en ellos los límites laterales coincidan. Es decir, salvo que f(a f(a.

17 Para estudiar la continuidad de una función en un intervalo, atenderemos a todo lo ya dicho y estudiaremos en detalle la continuidad en los puntos conflictivos. Eisten una serie de importantes teoremas relativos a funciones continuas en un intervalo. Con ellos, el hecho de que una función sea continua nos asegura poder realizar ciertas afirmaciones sobre algunos comportamientos, obvios pero importantes, de la función que se estudia. Vamos a verlos. Teorema de Bolzano Si f es continua en un intervalo cerrado y en sus etremos toma valores de distinto signo, entonces, con seguridad, corta al eje X en ese intervalo. Es decir: Si f( es continua en a,b y signo de f(a signo de f(b, c a,b tal que f(c 0 entonces eiste Ejercicio resuelto (pág. 6 Probar que la ecuación tiene alguna raíz real. Aproimar su valor hasta las décimas. Consideramos la función f( + 40, f( es continua enr por ser una función polinómica. Calculamos el valor de f en distintos puntos para encontrar dos con distintos signos. Así encontramos que f( 4, f(. f es continua en 4, y signo de f( 4 signo de f(. Por tanto, por el teorema de Bolzano, podemos afirmar que eiste un c ( 4, tal que f(c 0. c es una raíz de la ecuación. Tanteando con valores decimales, obtenemos: f(,74,0964 f(,7 0,06589 Por tanto, podemos asegurar que hay una raíz de la ecuación en el intervalo (,74,,7 y que el número,7 se aproima en menos de una décima a una raíz de la ecuación dada. Como tal teorema, habría que demostrarlo, pero, a pesar de lo evidente que es el resultado, la demostración es sumamente complicada, superando el nivel de este curso. 4

18 Consecuencia del teorema de Bolzano Teorema de los valores intermedios (Darbou Si f es continua en a,b, entonces toma todos los valores intermedios entre f(a y f(b. Es decir, cualquiera que sea el número k comprendido entre f(a y f(b, eiste un número s, a < s < b, tal que f(s k. Teorema de Weierstrass Si f es continua en a,b, entonces tiene un máimo y un mínimo absolutos en ese intervalo. Es decir, eisten sendos números c y d, del intervalo a,b para los cuales se cumple que: f(d f( f(c para cualquier a, b El teorema de los valores intermedios es una consecuencia inmediata del teorema de Bolzano. Veamos otra: Si f y g son funciones continuas en a,b f(b g(b >, entonces eiste un número s ( a,b f(s g(s. y f(a < g(a y tal que Ejercicio resuelto (pág. 7 Probar que las gráficas de las funciones f( ln y g( e se cortan en algún punto. f( ln 0 g( e 0,7 f( < g( f( ln 0, 69 g( e 0, 4 f( > g( Como ambas son continuas en todo su dominio de definición y, más concretamente, en el intervalo,, podemos asegurar que se cortan en algún punto comprendido entre y. 5 6

19 A. (Eamen de la PAEG en UCLM de septiembre de 05 Calcula los siguientes límites: ln( + 0 e sen ( + tan + 0 sen B. (Eamen de la PAEG en UCLM. Reserva. 0 a Calcula para qué valores del parámetro a R se verifica la igualdad ( cos ( a 0 e. b Calcula el límite ( +. A. (Eamen de la PAEG en UCLM de septiembre de 0 a Calcula el valor de a R, a > 0, para que la función B. (Eamen de la PAEG en UCLM. Reserva. 0 Calcula el valor del parámetro a R, a > 0, para que se verifique la igualdad e + a 0 0 cos B. (Eamen de la PAEG en UCLM. Reserva. 0 Calcula los siguientes límites: a sen cos b 0 A. (Eamen de la PAEG en UCLM de junio de 00 a Enuncia el Teorema de Bolzano. e e a f( sea continua en 0 si < 0 si 0 b Se puede aplicar dicho teorema a la función f( + en algún intervalo? c Demuestra que la función f( anterior y g( se cortan al menos en un punto. b Calcula el límite f(. A. (Eamen de la PAEG en UCLM de junio de 0 a Enuncia el Teorema de Bolzano. b Razona que las gráficas de las funciones 5 4 f( y g( e se cortan en algún punto con coordenada de abscisa entre y

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x = Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite

Más detalles

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=

Más detalles

Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos

Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función

Más detalles

Infinito más un número Infinito más infinito. Infinito por infinito. OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito. Productos con infinito

Infinito más un número Infinito más infinito. Infinito por infinito. OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito. Productos con infinito OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito Infinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito Productos con infinito Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes

Más detalles

TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD

TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD 6.. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Dada la función f() = 2, a qué valor se aproima f() cuando se aproima a 2? Dada la función f() =?, a qué valor se aproima f() cuando

Más detalles

lím lím Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en 1: x 1 (3x2 )-lím 8 x 1 =2 x 1 x)2 -lím x 1 8 =

lím lím Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en 1: x 1 (3x2 )-lím 8 x 1 =2 x 1 x)2 -lím x 1 8 = LÍMITES LECCIÓN 7 Índice: Cálculo de ites en un punto. Epresión indeterminada L/0. Epresión indeterminada 0/0. Algunos ites de funciones irracionales. Otras técnicas básicas para el cálculo de ites. Problemas..-

Más detalles

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo

Más detalles

2º) El límite de la función f(x)=x, tanto en - como en + : Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en + :

2º) El límite de la función f(x)=x, tanto en - como en + : Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en + : LÍMITES LECCIÓN 6 Índice: Cálculo de ites en el infinito. Epresión indeterminada -. Epresión indeterminada /. Epresión indeterminada 0. Epresión indeterminada ±. Límites de sucesiones. Cálculo de ites

Más detalles

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y). TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:

Más detalles

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2 UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como

Más detalles

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad y Laterales Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: y Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico y Esquema Laterales 1 Laterales 2 y Esquema Laterales

Más detalles

2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x)

2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x) Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función.. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable ) La forma de comportarse una función para valores muy grandes

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad 9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 9 Límites y continuidad 9. Límite y continuidad de una función en un punto Definición 9.- Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si,

Más detalles

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas

Más detalles

Límites y continuidad de funciones reales de variable real

Límites y continuidad de funciones reales de variable real Límites y continuidad de funciones reales de variable real Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M. a M. salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es Índice 1. Definiciones 3 2. Herramientas 10 2.1. Funciones

Más detalles

26 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

26 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU Unidad. Funciones.Continuidad TEMA FUNCIONES. CONTINUIDAD. 1. Definición de Continuidad. Tipos de discontinuidades 3. Continuidad de las funciones

Más detalles

TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA : CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1. Continuidad de una función en un punto Entre las primeras propiedades de las funciones aparece el concepto de continuidad. Durante mucho tiempo fue asumida como una idea

Más detalles

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES

Más detalles

INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES.

INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de sucesiones, al campo de las funciones. Se inicia recordando el concepto de función

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad Límites y continuidad.. Límites El ite por la izquierda de una función f en un punto 0, denotado como 0 f() es el valor al que se aproima f() cuando se acerca hacia 0 por la izquierda. De igual forma,

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es decir el valor al que tienden

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad Límite funcional 6 6. Límite funcional 79 6.2 Límites infinitos y en el infinito 8 6.3 Cálculo de límites 83 6.4 Continuidad 84 6.5 Teorema del valor intermedio 87 6.6 Monotonía 89 6.7 Ejercicios 9 La

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO. Análisis Matemático

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO. Análisis Matemático Análisis Matemático Unidad 4 - Límite de una función en un punto Límite de una función en un punto El límite de una función para un valor de x es el valor al que la función tiende en los alrededores de

Más detalles

Derivadas 6 ACTIVIDADES. 1. Página 140. Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página Página Página

Derivadas 6 ACTIVIDADES. 1. Página 140. Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página Página Página Derivadas 6 ACTIVIDADES 1. Página 140 Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página 140 3. Página 141 4. Página 141 5. Página 142 211 Derivadas 6. Página 142 Las derivadas laterales no existen, por

Más detalles

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo

Más detalles

ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA

ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Una ecuación no polinómica es, en general, más difícil de resolver que una

Más detalles

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2 UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como

Más detalles

matemáticas 4º ESO exponenciales y logaritmos

matemáticas 4º ESO exponenciales y logaritmos coleio martín códa departamento de matemáticas matemáticas º ESO eponenciales logaritmos eponenciales una eponencial es cualquier epresión de la forma: a donde a (que se denomina base) es un número distinto

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:

FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales: FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.

Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.

Más detalles

Aproximación intuitiva al concepto de límite de una función en un punto

Aproximación intuitiva al concepto de límite de una función en un punto Aproimación intuitiva al concepto de límite de una función en un punto ) Consideremos el siguiente gráfico Cuando los valores de se aproiman a 8 por la derecha, las imágenes de se acercan a 4 Cuando los

Más detalles

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el

Más detalles

DERIVADAS. TVM (a, b) = = h. La tasa de variación media se puede interpretar como la pendiente de la recta AB de la figura siguiente:

DERIVADAS. TVM (a, b) = = h. La tasa de variación media se puede interpretar como la pendiente de la recta AB de la figura siguiente: Tasa de variación media DERIVADAS La tasa de variación media TVM de una unción ( en un intervalo (x, x se deine como: TVM (a, b ( x ( x x x Si consideramos x x + h, podemos expresar la TVM como: Interpretación

Más detalles

Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales.

Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales. Tema 1: Números Reales 1.1 Conjunto de los números Naturales (N): 0, 1, 2, 3. Números positivos sin decimales. Sirven para contar. Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos

Más detalles

Límites de funciones de varias variables.

Límites de funciones de varias variables. Límites continuidad de funciones de varias variables Límites de funciones de varias variables. En este apartado se estudia el concepto de límite de una función de varias variables algunas de las técnicas

Más detalles

1. Halle el dominio de la función f(x) = ln(25 x2 ) x 2 7x + 12 ; es decir, el conjunto más grande posible donde la función está definida.

1. Halle el dominio de la función f(x) = ln(25 x2 ) x 2 7x + 12 ; es decir, el conjunto más grande posible donde la función está definida. Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas resueltos, 0-3 y 03-4 (segunda parte) Preparado por los profesores de la asignatura: Pablo Fernández, Dragan Vukotić (coordinadores), Luis Guijarro,

Más detalles

ƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.

ƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}. SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f

Más detalles

Matemáticas de 2º de bachillerato página 1 Integral indefinida. Integral indefinida

Matemáticas de 2º de bachillerato página 1 Integral indefinida. Integral indefinida Matemáticas de º de bachillerato página Integral indefinida Integral indefinida.introducción.- La integración es el proceso recíproco de la derivación, es decir, en la derivación se trata de hallar la

Más detalles

Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 } LOS NÚMEROS REALES TEMA 1 IDEAS SOBRE CONJUNTOS Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto. Los conjuntos se pueden

Más detalles

ASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

ASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN ASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN La gráfica de una función elemental puede presentar ninguna una o varias asíntotas verticales y además puede presentar a lo sumo una asíntota horizontal o una asíntota

Más detalles

ECUACIONES.

ECUACIONES. . ECUACIONES... Introducción. Recordemos que el valor numérico de un polinomio (y, en general, de cualquier epresión algebraica) se calcula sustituyendo la/s variable/s por números (que, en principio,

Más detalles

DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 2 El procedimiento mediante el cuál se obtiene la derivada de una función se conoce como derivación. Llamaremos funciones elementales a las funciones polinómicas,

Más detalles

DERIVADAS (1) Derivada de una constante. LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Derivada de una función potencial: Forma simple.

DERIVADAS (1) Derivada de una constante. LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Derivada de una función potencial: Forma simple. DERIVADAS (1) Derivada de una constante f ( ) K K F ( ) 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº 1) nº ) nº 3) nº 4) nº 5) nº 6) Derivada de una función potencial: Forma simple r f ( ) r f ( ) r. r 1

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas:

1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas: LIMITE DE FUNCIONES Tema: Introducción a límite 1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas: a) Cuál es el valor de la función si x = 2? b) Cuál es el valor de la función

Más detalles

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]

Más detalles

Es evidente la continuidad en En el punto, se tiene:

Es evidente la continuidad en En el punto, se tiene: Tema 3 Continuidad Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Estudia la continuidad de la función La función puede expresarse como Para representarla basta considerar dos arcos de parábola: Es evidente la continuidad

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta

Más detalles

Tema 7.0. Repaso de números reales y de funciones

Tema 7.0. Repaso de números reales y de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números

Más detalles

Límite y continuidad de una función

Límite y continuidad de una función UNIDAD Límite y continuidad de una función E n esta Unidad, de forma descriptiva, sin usar un aparato matemático ecesivamente riguroso, aunque manejando la notación habitual, se introduce el cálculo infinitesimal:

Más detalles

UNIDAD 6.- Funciones reales. Propiedades globales (temas 6 del libro)

UNIDAD 6.- Funciones reales. Propiedades globales (temas 6 del libro) (temas 6 del libro). EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera ila o columna iguran los valores

Más detalles

4.2. Continuidad de una función en un punto. (A) Una función f es continua en un punto x=a, cuando se cumplen las siguientes condiciones:

4.2. Continuidad de una función en un punto. (A) Una función f es continua en un punto x=a, cuando se cumplen las siguientes condiciones: 4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 4.. Noción intuitiva de continuidad de una unción en un punto. La mayor parte de las unciones que manejamos a nivel elemental, presentan en sus gráicas una propiedad característica

Más detalles

27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7

27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7 β 27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7 Notación en un triángulo: En un triángulo cualquiera llamaremos a, b y c a sus lados y A, B y C a sus vértices de forma que A sea el vértice formado por los lados

Más detalles

En las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x 0. (en este caso, para x 0 =2)

En las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x 0. (en este caso, para x 0 =2) UNIVERSIDAD DEL VALLE PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO CONTINUIDAD. 1.- Continuidad en un punto. Continuidad lateral..- Continuidad en un intervalo. 3.- Operaciones con funciones continuas 4.- Discontinuidades.

Más detalles

José Vicente Ugarte Susaeta. Profesor de la Universidad Comercial de Deusto

José Vicente Ugarte Susaeta. Profesor de la Universidad Comercial de Deusto MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA Y EMPRESA CÁLCULO DE UNA VARIABLE José Vicente Ugarte Susaeta Profesor de la Universidad Comercial de Deusto Con la colaboración de Miguel Ángel Larrinaga Ojanguren Profesor de

Más detalles

Universidad de Antioquia

Universidad de Antioquia Polinomios Facultad de Ciencias Eactas Naturales Instituto de Matemáticas Grupo de Semilleros de Matemáticas (Semática) Matemáticas Operativas Taller 8 202 Los polinomios forman una clase mu importante

Más detalles

1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz.

1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones reales: Solución x 1 + x = 0 ; 3 x = 3 ; ln(x 1) + 4 = ln 3 Ecuaciones con raíces: No todas las ecuaciones de este tipo son sencillas de resolver, pero podemos intentar

Más detalles

2 x. log = logaritmo, por definición, debe ser positiva, es decir, x > 0. Luego x=2. 8 no es exacto, pues

2 x. log = logaritmo, por definición, debe ser positiva, es decir, x > 0. Luego x=2. 8 no es exacto, pues EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO http://ficuspnticmeces/apis000 ) Hallar el eponente al que ha que elevar 7 para obtener 0 Piden hallar para que 7 0 7 7 7 7 ) Calcular el aritmo en

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Unidad 3: Razones trigonométricas.

Unidad 3: Razones trigonométricas. Unidad 3: Razones trigonométricas 1 Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. Se define

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 7. UNIDAD 7 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado

Más detalles

Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o

Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o DERIVADAS Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3) - f(-1) =

Más detalles

TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial

TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UAH Funciones reales de variable real 1 Tema FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento

Más detalles

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Página 8. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora: a) Cuántos radianes corresponden

Más detalles

Continuidad, límites y asíntotas

Continuidad, límites y asíntotas 9 Continuidad, ites y asíntotas. Funciones especiales Piensa y calcula Completa la siguiente tabla: Parte entera de Parte decimal de Valor absoluto de 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 Ent () Dec () 3,9 0,3 0,3,8,8

Más detalles

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo

Más detalles

Departamento de Matemáticas http://matematicasiestiernogalvancom 1 Desigualdades e inecuaciones de primer grado Hemos visto ecuaciones de 1º y º grados, en los cuales el número de soluciones era siempre

Más detalles

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 página 1/20 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 Hoja 2. Problema 2 Resuelto por Carmen Jiménez Cejudo (diciembre 2014)

Más detalles

Dos inecuaciones se dice que son equivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones.

Dos inecuaciones se dice que son equivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones. 10. INECUACIONES Definición de inecuación Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. 2x + 3 < 5 ; x 2 5x > 6 ; x x 1 0 Inecuaciones equivalentes Dos inecuaciones se dice que son

Más detalles

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN . DOMINIO CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN inio de o campo de eistencia de es el conjunto de valores para los que está deinida la unción, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente.

Más detalles

(x a) f (n) (a) Los polinomios de Taylor en el punto a = 0, suelen denominarse polinomios de McLaurin. n,a(a) = f (k) (a):

(x a) f (n) (a) Los polinomios de Taylor en el punto a = 0, suelen denominarse polinomios de McLaurin. n,a(a) = f (k) (a): 0 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 0 Polinomios de Taylor Hemos visto el uso de la derivada como aproimación de la función (la recta tangente) y como indicadora del comportamiento de la función

Más detalles

UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 10.1 Estudio elemental de la ecuación de segundo grado. Expresión general. 10.2 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas. 10.3 Planteamiento

Más detalles

La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula. f(x) f(a) x a. x a

La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula. f(x) f(a) x a. x a 3 Derivación 3.. La derivada La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula f (a) = lím a f() f(a) a El cociente f() f(a) a es la pendiente de la recta secante a la función

Más detalles

FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 1 FUNCIONES FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una relación que asocia a cada número real, (variable independiente),

Más detalles

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x) CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros

Más detalles

«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto»

«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto» TEMA 10 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f (a): Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a la variable independiente x un pequeño incremento

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones de varias variables

Límites y Continuidad de funciones de varias variables 1- Se construe un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro de su altura h - Determinar

Más detalles

Unidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante.

Unidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante. Unidad II Integral indefinida y métodos de integración. 2.1 Definición de integral indefinida. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones

Más detalles

Fabio Prieto Ingreso 2003

Fabio Prieto Ingreso 2003 Fabio Prieto Ingreso 00. INECUACIONES CON UNA VARIABLE.. Inecuación lineal Llamaremos desigualdad lineal de una variable a cualquier epresión de la forma: a + b > 0 o bien a + b < 0 o bien a + b 0 o bien

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio

Más detalles

I. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades. lim =

I. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades. lim = Ejercicios resueltos I. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades ) 3 + 2 4 3 + 2 4 = (2) 3 + 2 (2) 2 - (2) - 4 Sustituir la por el 2 = 8 + 8-2 - 4 = 0 Aplicar límite a cada término

Más detalles

Identificación de inecuaciones lineales en los números reales

Identificación de inecuaciones lineales en los números reales Grado Matematicas - Unidad Operando en el conjunto de Tema Identificación de inecuaciones lineales en los números reales Nombre: Curso: A través de la historia han surgido diversos problemas que han implicado

Más detalles

Unidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.

Unidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto

Más detalles

FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO

FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO 2007-2008 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría

Más detalles