CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

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1 LOS NÚMEROS REALES.. FRACCIIONES CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS Los números surgen de la necesidad de contar. Pero el Hombre no se limitó sólo a contar, sino que acumulaba o intercambiaba o repartía bienes. Estas actividades tan cotidianas tuvieron respuesta en operaciones tan sencillas como la suma, la resta, la multiplicación o la división. A medida que estos cálculos se complicaron fueron apareciendo distintas clases de números. El conjunto más amplio con el que vamos a trabajar durante esta etapa es el de los números reales,. El conjunto de números naturales, está formado por los números que utilizamos para contar. {,,,,... } Trabajando sólo con los números naturales no podríamos expresar numéricamente el segundo sótano o tres grados bajo cero o la situación económica de una persona que dispone de 00 para pagar un deuda de 00. La introducción del signo, es decir, de los números negativos permitió que las situaciones anteriores pudieran describirse como la planta, º y 00 respectivamente. Surge un nuevo conjunto, el de los números enteros. El conjunto de los números enteros,, contiene a los naturales. Todo número natural es entero, pero no todo número entero es natural. El número es natural y entero, sin embargo, el número es entero pero no es natural. {...,,,,,, 0,,,,,... } Cuando vamos a una tienda podemos encontramos productos por valor de, o podemos comprar una botella de litro y medio de agua o pedir tres cuartos de jamón serrano. Hemos utilizado números que no se encontraban en los ejemplos anteriores, son los números racionales. Los números racionales, cuyo conjunto se representa por expresar como cociente de dos números enteros. son los números que se pueden...,,,,,, 0,, 0,,,, 0...,... } El cociente de dos números enteros a y b, con b 0, se puede expresar de la forma b a. Esta nueva representación de a:b se llama fracción. En el apartado de fracciones se explica más detalladamente. Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

2 Los números que se pueden representar de esta forma son: Números naturales y enteros: 8 Números decimales, con un número finito de cifras decimales:, 0,,, Los números periódicos puros: Son números decimales en los que la parte decimal está formada por una cifra o un grupo de cifras (periodo), que a partir de la coma, se repiten de forma ilimitada.,..., , Los números periódicos mixtos: Son números decimales en los que la parte decimal está formada por un grupo de cifras (anteperiodo) al que le sigue otro (periodo) que se repite de forma ilimitada. 0,8... 0,8,...,,..., 0 Por lo tanto, los números naturales y enteros están dentro del conjunto de los números racionales y éstos dentro de los reales. A quién no le suena el número pi, π,?. En realidad, su verdadero valor es,, que es un número con infinitas cifras decimales no periódicas. Por lo tanto, no lo podemos representar mediante una fracción, tenemos un número irracional. Los números irracionales, son los números reales que no pueden ser expresados mediante una fracción. Estos números forman un conjunto aparte de los racionales...,, π,,,.. En definitiva, los números reales están formados por la unión de los dos conjuntos que no tienen nada en común, la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales Resumiendo, los números reales se clasifican según el cuadro que aparece a continuación: Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

3 NATURALES: ; ; ; ; ; ENTEROS: NÚMEROS REALES RACIONALES: Se pueden representar mediante fracciones Enteros negativos y el 0 (números no naturales) : -, -, -, ; Números fraccionarios:,;,... ; ; -,. Los números decimales cuya parte decimal es exacta o tiene un grupo de cifras que se repite infinitamente IRRACIONALES: ; ; π;... No se pueden representar mediante fracciones. Son números en los que, en su expresión decimal, la parte decimal tiene infinitas cifras que no forman periodo, es decir, que no se repiten. Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

4 Cuando nos pidan clasificar un número tendremos que especificar el nombre o nombres del o de los conjuntos en el o los que está incluido dicho número (sólo habrá que señalar a cuál o cuáles de los conjuntos, que en el esquema anterior aparecen en mayúsculas, pertenece el número dado). Ejemplo.: Marca con una X la casilla o casillas que correspondan a cada número: Número Natural Entero Racional Irracional Real -, 8 - -, 0, 0, π OPUESTO DE UN NÚMERO: El opuesto de un número real x, es x. Para calcular el opuesto de un número sólo hay que cambiarle el signo. Ejemplo.: Número Opuesto - - Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

5 VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto de un número real x se designa x y se define como: x x x si si x < 0 x 0 Para calcular el valor absoluto del número x sólo nos tendremos que fijar en su signo y cambiárselo a positivo o eliminarlo en el caso de que sea negativo. Ejemplo.: NÚMEROS ENTEROS REPRESENTACIÓN Y ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Los números enteros se representan en una recta a uno de cuyos puntos se le ha asignado el cero; a la derecha de éste se sitúan los números enteros positivos, y a su izquierda, los números enteros negativos Números enteros negativos Cero Números enteros positivos Así, los números enteros quedan ordenados en la recta numérica, de izquierda a derecha, de menor a mayor. Dados dos números enteros cualesquiera, el menor de ellos será el que se encuentre a la izquierda del otro. Por lo tanto, cualquier entero negativo es menor que el cero y que cualquier entero positivo. Por ejemplo: - <, - < 0, < 0, - < -, 0 < Cuando un número aparece sin signo se entiende positivo,. Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

6 OPERACIONES CON ENTEROS: Suma y resta:. Sumas y restas sencillas () Si tienen el mismo signo, sumamos los números y luego les ponemos el signo que tenían ambos. ( ) Si tienen distinto signo, restamos sus valores absolutos y colocamos el signo del que tenía mayor valor absoluto. Ejemplo.:. El signo de y es. Sumamos y que son Ejemplo.:. El signo de y es distinto. Calculamos -, que es. es mayor que, el signo del resultado será el signo que tenía, es decir, Ejemplo.:. El signo de y es distinto. Calculamos -, que es. es mayor que, el signo del resultado será el signo que tenía, es decir, Ejemplo.: 0. El signo de y 0 es. Calculamos 0, que es 0. Sumas y restas La operación () ( ) parece más complicada que las anteriores porque en ella aparecen muchos signos. Antes de calcularla nos interesa realizar alguna simplificación de signos teniendo en cuenta el cuadro que aparece en el margen derecho. ( a) a ( a) a (a) a (a) a Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

7 Aplicando lo anterior a nuestro caso particular, obtenemos: () ( ) 8 Ejemplo 8.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) 8 Ejemplo.: ( ) () () ( 8) ( ) 8 8 Ejemplo 0.: Reordenamos colocando juntos los positivos y los negativos. ( ) ( ) 8 Multiplicación y división: Para multiplicar o dividir dos números enteros se multiplican o dividen como si se tratarán de números naturales y luego se decide el signo según la siguiente regla de los signos: Multiplicación División () () () ():() () () ( ) ( ) ():( ) ( ) ( ) () ( ) ( ):() ( ) ( ) ( ) () ( ):( ) () Ejemplo.: ( ) ( ). Calculamos, que es. El signo () () () () () Ejemplo.: () ( ). Calculamos, que es 8. El signo () ( ) ( ) () ( ) 8 Ejemplo.: ( ):( ). Calculamos :, que es. El signo ( ) ( ) () ( ):( ) Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

8 Cálculo de expresiones con las cuatro operaciones: Reglas de prioridad:.- Se calculan los paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera..- Se calculan las multiplicaciones y divisiones..- Se calculan las sumas y restas. Ejemplo.: Efectuamos la multiplicación (-) [ ( )] : ( ) [ ] : ( ) [ ] : ( ) 8 ( ) 8 Calculamos el corchete Realizamos la división : (-) Ejemplo.: [ ( ) ] ( ) [ 0 ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( 0) 0 0 LAS FRACCIONES Una fracción es una expresión de la forma b a, en la que a y b son números enteros, con b 0. En dicha expresión llamaremos: a numerador b denominador La lectura de las fracciones se hace como sigue: El numerador se lee con el nombre del número. El denominador se lee así: Si es,,,,,, 8 o, se lee: medio, tercio, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo y noveno, respectivamente. Si es 0, se lee décimos, y es mayor de 0, se lee el numero añadiendo la terminación avo. Matemáticas º E.S.P.A. Pág.8 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

9 Ejemplo.: Fracciones Numerador Denominador Lectura 0 Un tercio Dos quintos Siete quinceavos 0 Tres décimos Cinco medios SIGNIFICADO DE FRACCIÓN: Una fracción se puede entender como una parte de la unidad, como un operador o como una división.. La fracción como parte de la unidad Las fracciones expresan las partes iguales en las que se divide un todo que llamamos unidad y cuántas de esas partes se toman. En la fracción b a sus términos representan b número de partes iguales en que se divide la unidad o el todo a número de partes que se toman de la unidad Ejemplo.: En nuestro ejemplo el todo, el rectángulo, lo hemos dividido en doce partes iguales. De estas partes iguales hemos coloreado cinco. La fracción que representa las partes coloreadas es. Ejemplo 8.: Pinta los de este triángulo. Para poder hacerlo es necesario dividir dicho triángulo (que en este ejemplo es la unidad o el todo) en dieciséis partes iguales, como muestra la siguiente figura. Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

10 Ahora coloreamos de verde nueve triángulos pequeños. La parte coloreada representa los de. La fracción como cociente La fracción b a, expresa el cociente de dos números enteros a y b (a:b). Calculamos su valor dividiendo el numerador entre el denominador. Ejemplo.: Tenemos 8 gominolas iguales para repartir entre niños. El número de gominolas que le corresponde a cada niño es 8 8 : gominolas le tocan a cada niño. Las fracciones que tienen el numerador igual que el denominador son iguales a la unidad, y recíprocamente, el se puede expresar como una fracción en la que coinciden numerador y denominador. Ejemplo 0.: 8,, 8,. La fracción como operador Una fracción puede actuar como operador de un número: se multiplica el número por el numerador y se divide entre el denominador (o se divide el número por el denominador y el resultado se multiplica por el numerador). (c a):b a de c b (c:b) a Ejemplo.: de, se lee, los tres cuartos de veinticuatro. Para calcularlo tenemos que dividir en partes, :, que salen elementos en cada parte y tomamos de esas partes, que harían un total de,, dieciocho. de (:) 8 de 8 Matemáticas º E.S.P.A. Pág.0 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

11 También de ( ): : 8 Ejemplo.: de 00 (00 : ) 0 0 Ejemplo.: Un albañil, para iniciar una obra, cobra por adelantado los 00. A cuánto asciende la factura? del presupuesto. Si le hemos dado En el enunciado nos dicen que los de la factura son 00, es decir, que tenemos que averiguar de qué cantidad los son 00. de la factura 00 de la factura de la factura la factura TIPOS DE FRACCIONES Fracciones propias: el numerador es menor que el denominador. Ej.: Fracciones impropias: el numerador es igual o mayor que el denominador. Ej.: Fracciones decimales: el denominador es la unidad seguida de ceros. Ej.: 000 Números mixtos: son fracciones impropias que se expresan dando la parte entera y la parte b fraccionaria, siendo esta última una fracción propia. Se denotan a. c a b c NO significa que estamos haciendo el producto de a por la fracción c b, es sólo una forma de expresar este tipo de números, lo que significa es que tenemos a enteros y la parte b b fraccionaria, es decir, tenemos a. Mediante este último cálculo se obtiene la c c fracción impropia a la que corresponde la expresión mixta, aunque no será necesario realizarlo, ya que las calculadoras científicas permiten la transformación de forma directa. Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

12 Ejemplo.: a) significa que tenemos uno y medio Escrito como fracción serían: Escrito como decimal sería: 0,, (se convierte la parte fraccionaria en decimal y se suma a la parte entera ya conocida) 0, b) significa que tenemos enteros y tres quintas partes Escrito como fracción serían: Escrito como decimal sería: 0,, 0, c) Transforma la fracción en número mixto. Hacemos el cociente que nos indica dicha fracción: Entonces, tenemos como parte entera y la parte fraccionaria saldría de continuar dividiendo entre cinco, es decir, de hacer :, o lo que es lo mismo. Por tanto, como número mixto, se trata del (Como decimal sería el,8) Fracción irreducible: es aquella que no se puede simplificar. El máximo común divisor del numerador y del denominador es uno, es decir, son primos entre sí. Ejemplo.: La fracción no es irreducible, 8 y 8 son divisibles por : 8 8: y son divisibles por : : y no tienen divisores comunes es la fracción irreducible de. 8 Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

13 Podríamos haber llegado directamente a la fracción irreducible calculando previamente el máximo común divisor de y 8 (el mayor divisor que tienen en común y 8). 8 8 Por lo tanto, M.C.D.(, 8). Dividimos numerador y denominador por y obtenemos la fracción irreducible. : 8 8: Fracción inversa de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera fracción, y por denominador, el numerador. Ejemplo. Fracción inversa de b a b a Fracción Fracción inversa - FRACCIONES EQUIVALENTES Son fracciones que tienen el mismo valor. Propiedad fundamental de las fracciones. Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número, distinto de cero, se obtiene una fracción equivalente. CÓMO OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES: Para obtener fracciones equivalentes a una dada podemos utilizar uno de los métodos siguientes: amplificación y simplificación. Amplificación: Consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción dada por un mismo número Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

14 Ejemplo.: Calcula tres fracciones equivalentes a Multiplicamos el numerador y el denominador por. 0 Multiplicamos el numerador y el denominador por. Por lo tanto, 0 Simplificación: Consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción dada entre un divisor común a ambos. Ejemplo 8.: Busca fracciones equivalentes a por simplificación. 8 Los divisores comunes a y 8 son, y, obtendremos fracciones equivalentes a la dada dividiendo numerador y denominador por dichos números. : Dividimos el numerador y el denominador por. 8 : 8 : 8 : 8 : 8 : 8 : : Dividimos el numerador y el denominador por. CÓMO RECONOCER FRACCIONES EQUIVALENTES: Existen varias formas de reconocer si dos fracciones son o no equivalentes. Realizando los cocientes que representan cada una de las fracciones y comprobando que obtenemos el mismo resultado. Por ejemplo: y (ambas valen,) 8 Multiplicando en cruz para ver si resulta el mismo número, es decir, si se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Por ejemplo: 8? ;? 8 ; Son equivalentes Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

15 ?? ; 0 ; 80 0 No son equivalentes 0 Comprobando que hemos obtenido una de ellas multiplicando (o dividiendo) el numerador y denominador de la otra por la misma cantidad. Por ejemplo: : 8 Son equivalentes; 0 No son equivalentes : Cuando se conoce ya la operación de división de fracciones, para ver si son equivalentes dos fracciones, basta realizar el cociente entre ellas y comprobar que el resultado es. En caso contrario, no serían equivalentes. ORDENACIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES Para ordenar o comparar fracciones se puede seguir uno de estos métodos: Reduciendo a común denominador las fracciones y luego ordenándolas o comparándolas según el valor de los numeradores. Ejemplo. Compara las fracciones y Como tienen distinto denominador, calculamos el m.c.m. (, ) Escribimos las fracciones equivalentes a las del enunciado pero con denominador Comparamos las fracciones equivalentes obtenidas > > Ejemplo 0. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones, 8 0 y Tienen distinto denominador, buscamos el m.c.m.(8, 0, ) 80 Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. La forma más sencilla de calcular el denominador común es hacer el mínimo común múltiplo de los denominadores. Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

16 Las fracciones equivalentes a las dadas son: Ordenamos las fracciones equivalentes de mayor a menor 80 > 0 80 > 80 > 8 > 0 Calculando el valor decimal de cada fracción y después ordenando o comparando las fracciones según su valor decimal. Ejemplo. Compara las fracciones y :,, >,. :,. > OPERACIONES CON FRACCIONES: Suma: Si los denominadores son iguales, la suma es una fracción que tiene el mismo denominador que las anteriores y como numerador el resultado de operar los numeradores. Ejemplo.: Si los denominadores son distintos, reduciremos las fracciones a común denominador (mediante el mínimo común múltiplo de los denominadores) y transformaremos los numeradores correspondientes para proceder después como en el apartado anterior. Ejemplo.: Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, m.c.m. (,, ) 8. Sustituimos las fracciones del ejercicio por otras equivalentes a las dadas y con denominador Por lo tanto, Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

17 Producto: se multiplica en línea d b c a d c b a Ejemplo.: 8 0 Ejemplo. Calculemos el producto de las fracciones del ejemplo. - Cociente: se divide multiplicando en cruz c b d a d c : b a Ejemplo.: : Operaciones combinadas con fracciones: Cuando en un ejercicio de operaciones con fracciones se mezclan distintos tipos de operaciones hay que seguir las siguientes reglas de prioridad:.- Se calculan los paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera..- Se calculan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha..- Se calculan las sumas y restas de izquierda a derecha. Ejemplo.: a) Primero realizamos la operación entre paréntesis 8 El producto de una fracción y su inversa es uno. m.c.m. (, ) Simplificamos, 8 Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

18 Segundo efectuamos la multiplicación 8 Tercero calculamos la suma m.c.m. (, )0 Por lo tanto, b) : 0 Simplificando c) - : Simplificando d) : - : Simplificando 0 e) Matemáticas º E.S.P.A. Pág.8 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

19 PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES SUMA Conmutativa Asociativa Neutro e identidad Distributiva Si se cambia el orden de los sumandos, la suma no varía: Ejemplo: a b b a 0 Los sumandos se pueden agrupar de diferentes formas sin que varíe el resultado: (a b) c a (b c) Ejemplo: El 0 es el elemento neutro de la suma, pues, al sumarlo, el resultado no varía: Ejemplo: 0 (-) - a 0 a El producto de un número por una suma es la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos: a (b c) a b a c Ejemplo: ( ) MULTIPLICACIÓN Si se cambia el orden de los factores, el producto no varía: Ejemplo: a b b a (- ) (- ) - Los factores se pueden agrupar de diferentes formas sin que varíe el resultado: Ejemplo: 0 (a b) c a (b c) El es el elemento identidad de la multiplicación, pues, al multiplicar por él, el resultado no varía: Ejemplo: a a Efectivamente, porque: ( ) 8 y 0 Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

20 PROBLEMAS ARITMÉTICOS CON NÚMEROS FRACCIONARIOS Fracción de una cantidad Problema. Cálculo de una fracción En un maratón han tomado la salida participantes, pero durante la prueba han abandonado 0. Qué fracción del total de los inscritos ha llegado al final? Solución: Problema. Cálculo de la parte En un maratón han tomado la salida participantes. Durante la prueba han abandonado de los corredores. Cuántos han llegado a la meta? Solución: Nº de abandonos de 0 Nº de los que terminan - 0 Suma y resta de fracciones Problema. Cálculo de la fracción Un hortelano siembra de su huerta de melocotones y de la huerta de peras. Qué parte del terreno queda aún libre? Solución: Libre Aún quedan libres del terreno Matemáticas º E.S.P.A. Pág.0 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

21 Problema. Cálculo de la parte Un agricultor siembra de su huerta de melocotones y de peras. Si la huerta tiene 000 m, qué superficie queda sin sembrar? Solución: Sembrado Libre 000 Superficie libre de m Multiplicación y división de fracciones Problema : Producto Un frasco de perfume tiene una capacidad de de litro. Cuántos litros se necesitan para llenar 0 0 frascos? Solución: litros Para llenar 0 frascos, se necesitan cuatro litros y medio de perfume Problema : Cociente Con un bidón que contiene litros de perfume, se han llenado 0 frascos iguales. Cuál es la capacidad de un frasco? Solución: Capacidad de un frasco :0 litro 0. litros 0 0 Problema : Cociente Un frasco de perfume tiene una capacidad de de litro. Cuántos frascos se llenan con un 0 bidón que contiene siete litros y medio? Solución: Una forma es trabajar con números decimales y fracciones: 0 0. :. 0 frasos 0 Otra forma, sería expresar el número decimal en forma de fracción: Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

22 Siete litros y medio : 0 Frascos 0 Fracción de otra fracción Problema 8: Cálculo de la fracción De un depósito de riego que estaba lleno, se han extraído, por la mañana, de su contenido y, por la tarde, de lo que quedaba. Qué fracción de depósito queda al final del día? Solución: Al final del día quedan del depósito Matemáticas º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño