MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1/ 18

Transcripción

1 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1/ 18

2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2/ 18 Expresiones algebraicas Ejemplos Variable es una letra que puede representar cualquier número de un conjunto dado de números. Expresión algebraica es una combinación de variables y números reales las cuales se unen a través de las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación

3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3/ Monomio es una expresión algebracia de un solo término y es de la forma ax k, donde a es un número real y k es un número entero no negativo Binomio es una suma de dos monomios Trinomio es una suma de tres monomios.

4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4/ 18 Polinomio Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma: a n x n + a n!1 x n!1 + a n!2 x n!2 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 donde a n, a n!1, a n!2,, a 2, a 1, a 0 son números reales y n es un número entero no negativo. Si a n 6 0, entonces el polinomio es de grado n. Los monomios a k x k son llamados los términos del polinomio. Ejemplos Polinomio Tipo Términos Grado 7 2x 2 + 4x 2x 3 + 4x 2! 5x 6! 3y 4! 3y 5 + y 7

5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5/ 18 Suma y resta de polinomios Se suman y restan polinomios usando las propiedades de números reales discutidos en la sección 1.1. El objetivo es combinar términos semejantes (es decir, términos con las mismas variables y que tienen las mismas potencias) y use la propiedad distributiva. Nota Al restar polinomios, debe recordar que si un signo menos precede a una expresión en paréntesis, entonces el signo de cada término dentro del paréntesis se cambia cuando se eliminan los paréntesis. Multiplicación de expresiones algebraicas Para multiplicar polinomios o expresiones algebraicas, se usa la propiedad distributiva las veces que sea necesaria. Por ejemplo para multiplicar dos binomios, se tiene: (a + b)(c + d) " " " " F O I L FOIL F: primeros, O: extremos, I: internos, L: últimos

6 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6/ 18 Ejemplos Halle la suma, diferencia o producto de: a. (2x! 6) + (3! 3x)! b x! 3x 2 "!! 4! 2x! 4x 2" c. 2 (5 + 2y) + y (y + 3)! y 2 (4! y) aplicando propiedad distributiva d. (4x + 3y)(3x! 4y) aplicando FOIL

7 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7/ 18 1 e. (3x + y)(2x + 3y! 2) aplicando la propiedad distributiva Fórmulas de productos especiales Si A y B representan a cualquier número real o a expresiones algebraicas, entonces: Producto de una suma por 1. (A + B)(A! B) A 2! B 2 una diferencia con los mismos términos 2. (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2 Cuadrado de una suma 3. (A! B) 2 A 2! 2AB + B 2 Cuadrado de una diferencia 4. (A + B) 3 A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Cubo de una suma 5. (A! B) 3 A 3! 3A 2 B + 3AB 2! B 3 Cubo de una diferencia

8 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8/ 18 Ejemplos Use las fórmulas de productos especiales para hallar el producto: 1 (3 + y) 2 2 (4! 3x)(4 + 3x) # p $# 2z 2! p $ 2z 4! z! 2 z " 2 5! 2! x 2"3 6 (2 + 3r) 3

9 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9/ 18 Factorización Es el proceso de representar una expresión algebraica como el producto de dos o más factores que son expresiones irreducibles. Factor común: ocurre cuando cada término tiene un factor en común. Ejemplos Halle el factor común de cada una de las siguientes expresiones: 1.!3x + 9x x x 5! 26x 2 3. (2x! 4) (2x! 4)(x! 2)

10 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 18 Factorizar x 2 + bx + c Se requiere determinar dos factores de c, r y s, que satisfagan: r + s b, rs c tal que: x 2 + bx + c (x + r)(x + s) Ejemplos Factorice cada expresión algebraica: 1 x 2! x! 12; c!12, : 12 x 2! x! 12 2 x 2! 9x + 20; c 20, se puede expresar: 20 x 2! 9x + 20

11 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 18 3 x 2 + 3x! 54

12 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 18 Factorizar ax 2 + bx + c Se requiere determinar dos factores de c, r y s, ydos factores de a, p y q, que satisfagan: pq a, qr + ps b, rs c tal que: ax 2 + bx + c (px + r)(qx + s). Ejemplos Factorice cada expresión algebraica: 1 2x 2 + 5x! 12; c!12, a 2; se pueden expresar 12 p, q ; r, s y se tiene: 2x 2 + 5x! 12

13 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / x 2! x! 12; c!12, a 6; se pueden expresar 12 p, q ; r, s y se tiene: 6x 2! x! x 2 + 2x! (a + b) (a + b)! 3

14 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 18 MATE 3171 Fórmulas especiales de Factorización 1. A 2! B 2 (A + B)(A! B) Diferencia de cuadrados 2. A 2 + 2AB + B 2 (A + B) 2 Cuadrado perfecto 3. A 2! 2AB + B 2 (A! B) 2 Cuadrado perfecto 4. A 3 + B 3 (A + B)! A 2! AB + B 2" Suma de cubos 5. A 3! B 3 (A! B)! A 2 + AB + B 2" Diferencia de cubos

15 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / 18 Ejemplos.3.10 Factorice cada expresión algebraica: 1. x 2! x 2! y 2! 4 "! 16! y 2! 4 " 3. z 2! 16z + 64 es un trinomio cuadrado perfecto p ; p y16z z 2! 16z + 64 (z! ) x x + 36 similar al ejemplo anterior 5. x 9! 64y 6 es una diferencia de cubos p p 3 ; 3 x 6! 27y 9 6. x z 12 similar al ejemplo anterior, pero es una suma de cubos

16 Otros casos de factorización : Se explicarán a través de ejemplos Ejemplos.3.11 Factorice cada expresión algebraica: 1. 4x 3! 8x 2! x + 2 por agrupación 4x 3! 8x 2! x x 4 + x 3! 8x! 8 por agrupación x 4 + x 3! 8x! x!1/2 + 4x 1/2 + x 3/2 se factoriza la variable x con el menor exponente 3x!1/2 + 4x 1/2 + x 3/2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / 18

17 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 17 / (2x! 1) 2 (2)(x + 3) 1/2 + (2x! 1) 3! 1 2 " (x + 3)!1/2 se factorizan las expresiones comúnes con el menor exponente 3 (2x! 1) 2 (2)(x + 3) 1/2 + (2x! 1) 3! 1 2 " (x + 3)!1/2

18 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 18 / 18