POTENCIAS. Una multiplicación sucesiva de un valor por sí mismo. Propiedades. Signo. Sumar o restar. Multiplicar o dividir (+) ( )

Transcripción

1 a n ( a) n con n par a 1 = a a 0 = 1 a n = ( 1 a ) n (a n ) m = a n m Otras con a 0 a n = a a a... (n veces) a (racional): BASE n (entero): EXPONENTE Cómo se opera? Una multiplicación sucesiva de un valor por sí mismo. Qué es? Propiedades Tiene POTENCIAS Generalidades Para Signo Sumar o restar Multiplicar o dividir No tiene (+) ( ) Igual base Igual exponente Si Solo si a n a m = a n + m b n : b m = b n m a n b n = (a b) n a n : b n = (a : b) n Base (+) o exponente par Base ( ) y exponente impar

2 MATEMÁTICA Ejercicios PSU A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos = A) B) ( ) 2 C) ( 7 5 ) D) ( 7 5 ) E) ( 7 5 ) Si N = 2, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) 0 N = 0 II) N 0 = 1 III) N N = 1 4 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 2

3 CUADERNILLO 3. (2 5 ( 3) 5 ) 2 ( 6) 4 = A) 6 14 B) 6 11 C) 6 11 D) 6 40 E) Ninguno de los valores anteriores. 4. El triple del cuadrado de 3 5 es igual a A) 3 10 B) 3 11 C) 3 12 D) 3 16 E) Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a ( )? I) (3 2 3 ) 4 II) III) A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. 6. En un lejano sistema solar existe un planeta y su satélite. El planeta tiene una masa de 9 27 kg, mientras que el satélite posee una masa de 9 9 kg. Cuántos de esos satélites se necesitarían para igualar la masa del planeta? A) B) 9 36 C) 9 18 D) 9 3 E)

4 MATEMÁTICA 7. ( 3 2 ) = A) B) C) D) 1 E) Ninguno de los valores anteriores ( 5 2 ) 1 = A) B) C) D) E)

5 CUADERNILLO 9. (1 + ( 2 3) 1) 1 ( 4 5 ) 1 = 1 A) 1 10 B) 5 27 C) 5 12 D) 1 2 E) Ninguno de los valores anteriores. 10. La expresión ( ) equivale a A) 2 11 B) 2 20 C) 4 20 D) 4 11 E) Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) 9 27 = 3 6 II) (9 + 27) 2 = III) = A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 5

6 MATEMÁTICA 12. Cuál de los siguientes valores NO es divisor de la expresión ( )? A) 19 B) 5 4 C) 5 2 D) 5 3 E) 5 3 b 13. Se define e = b e, con b y e reales no negativos y distintos entre sí. Se puede determinar que el resultado de una multiplicación de dos números es cero, si: 0 (1) El segundo número es 2 (2) El primer número es 1 0 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. Estrategia de síntesis En el casillero de la segunda fila, completa con la letra correspondiente a la expresión equivalente de la primera fila (considerando a las variables a, b, n y m como números enteros positivos). A B C D E F G (a n ) m (a b) n a 0 a n + m a n : a m ( a b ) n ( a b ) n a n m a n b n a n m 1 a n b n ( b a ) n a n a m 6

7 CUADERNILLO 14. El cuadrado de ( 7y 6 ), con y un número real, siempre es A) 49y 12 B) 49y 8 C) 14y 12 D) 14y 12 E) 49y Sean p y q números enteros positivos. Cuál de las siguientes igualdades es siempre verdadera? A) p q + p q = p 2q B) p q : p p = p p q C) 3 p 3 q = 3 pq D) p p q = p q + 1 E) p q = q p q La expresión [(5m) 2 (2m) 3 ], con m un número real, es siempre igual a A) 10m 5 B) 60m 5 C) 60m 6 D) 200m 2 E) 200m Sea p un número real distinto de cero. Entonces, la expresión ( 1 3 p 4 ) 2 es siempre igual a A) B) 1 9 p8 1 3 p 6 C) 6p 8 D) 9p 8 E) ninguno de los términos anteriores. 7

8 MATEMÁTICA 18. Si m 0 y n 0, entonces ( m 4 n 10 m 6 ) es igual a A) 1 B) ( m n ) 10 C) D) E) m 10 n m n 1 n 10 m Si a es un número real distinto de cero, entonces el valor de ( a igual a A) a B) a 5 C) a 10 D) a 1 E) a 5 1 a 2 a 3 a 4... a 9 a 10 a a 2 a 3 a 4... a 9 a ) es Si a es un número real distinto de cero, entonces (4a 2 ) 6 + (8a 3 ) 4 es igual a A) 2 12 a 12 B) 2 13 a 12 C) 12a 12 D) 12a 24 E) 56a Si a = b 2 y c = b 3, con a, b y c números reales distintos de cero, entonces ( a términos de b, es igual a A) b 19 B) b 2 C) b D) b 2 E) b 5 2 b 3 c 4 ), en 8

9 CUADERNILLO 22. Al simplificar la expresión ( 2n n n ), con n en los enteros, siempre resulta A) 2 n B) 2 n + 4 C) 2 D) 16 2 n + 2 E) 2 2 n Si a y b son números reales distintos de cero, entonces la expresión ( siempre equivalente a ( a b ) 2 + [( a b ) 2 ( a b 2 )3 ] 1 ) es A) 2b 3 a B) ( a b ) 4 (a 4 + b 4 ) C) b 4 ( 1 + ( b a ) 5 ) D) 2b 4 a E) 0 9

10 MATEMÁTICA 24. Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) (x 6 ) 5 = ( 1 x ) 30, con x 0. II) ( 9 13 ) 2 26 = 18 III) q 17 q 17 = q0, con q 0. A) Solo I B) Solo III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. 25. Se puede determinar el valor numérico de la expresión ( 2m + n n m 2 ), con n y m números enteros positivos, si se conoce: (1) El valor de 2 n. (2) El valor de 2 m. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 10

11 CUADERNILLO Torpedo Números Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación. Conjuntos numéricos Naturales (N): {1, 2, 3, 4, } Enteros (Z): {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Racionales (Q): son aquellos que pueden escribirse como fracción. Irracionales (Q*): son aquellos que no pueden escribirse como fracción. Reales (R): unión entre el conjunto Q y Q*. Imaginarios (I): son de la forma bi, con b un número real e i la unidad imaginaria. Complejos (C): son de la forma a + bi, con a y b números reales e i la unidad imaginaria. Conceptos claves Inverso aditivo u opuesto: el opuesto de un número es tal que al sumarlos, el resultado es 0. Ejemplo: el inverso aditivo de a es a, ya que a + ( a) = 0. Multiplicativo o recíproco: el recíproco de un número es tal que al multiplicarlos, el resultado es 1. Ejemplo: el opuesto multiplicativo de a b es b a, ya que a b b = 1, con a y b distintos de cero. a Números pares: son de la forma 2n, con n un número entero ({, 4, 2, 0, 2, 4, 6, }). Números impares: son de la forma (2n 1), con n un número entero ({, 5, 3, 1, 1, 3, 5, }). Múltiplos de un entero: son aquellos que se obtienen al multiplicar un cierto número entero por otro. Ejemplo: los múltiplos de 4 son {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, }. Mínimo común múltiplo (m.c.m.): el m.c.m. de dos o más números enteros positivos corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: el m.c.m. entre 8 y 12 es 24, ya que 8 3 = 24 y 12 2 = 24. Divisores de un entero: son aquellos números enteros que dividen exactamente a un cierto entero, es decir, el resto es cero. Ejemplo: los divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Máximo común divisor (M.C.D.): el M.C.D. de dos o más números enteros positivos corresponde al mayor de los divisores que tienen en común. Ejemplo: el M.C.D. entre 12 y 18 es 6, ya que 12 : 6 = 2 y 18 : 6 = 3. Números primos: son aquellos números enteros positivos que solo tienen dos divisores: el uno y sí mismo. Ejemplo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, }. 11

12 MATEMÁTICA Regla de los signos Adición: al sumar dos números con igual signo, se suman y se mantiene el signo. Si tienen distinto signo, se calcula la diferencia entre los números y se mantiene el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos: 3 + ( 5) = 8 ; = 2 Sustracción: la diferencia entre dos números es igual a la suma entre el minuendo y el inverso aditivo del sustraendo. Es decir, a b = a + ( b). Ojo: a ( b) = a + b. Ejemplos: 5 9 = 5 + ( 9) = 4 ; 2 ( 3) = = 5 Multiplicación y división: se calcula el producto o cociente entre los números. El resultado será positivo si ambos tienen igual signo, y el resultado será negativo si ambos tienen distinto signo. Ejemplos: 7 ( 2) = 14 ; 20 : 5 = 4 Prioridad en las operaciones. 1º Paréntesis, de los interiores a los exteriores. 2º Potencias. 3º Multiplicación y división, de izquierda a derecha. 4º Adición y sustracción, de izquierda a derecha. Amplificación y simplificación de fracciones Multiplicar o dividir el numerador y el denominador por el mismo número, sin alterar el valor de la fracción. Operaciones en los racionales Suma y resta de fracciones: si dos fracciones tienen igual denominador, los numeradores se suman o se restan dependiendo de la operación. En el caso contrario, se amplifican de modo que tengan igual denominador. Multiplicación de fracciones: se multiplican ambos numeradores y ambos denominadores. División de fracciones: se obtiene invirtiendo el divisor, para así obtener un producto de fracciones. Ejemplos: 5 9 = = ; = 15 : 5 20 : 5 = 3 4 Ejemplos: = = = = = Ejemplo: = = : 12 = : 12 = 1 10 Ejemplo: 10 9 : 5 12 = = = = : 15 = 45 : 15 =

13 CUADERNILLO Tabla de corrección Ítem Clave Habilidad Dificultad Estimada 1 Comprensión Fácil 2 Aplicación Media 3 Aplicación Media 4 Aplicación Media 5 Aplicación Media 6 Aplicación Media 7 Aplicación Media 8 Aplicación Media 9 Aplicación Media 10 Aplicación Media 11 ASE Fácil 12 ASE Difícil 13 ASE Media 14 Comprensión Fácil 15 Comprensión Fácil 16 Aplicación Media 17 Aplicación Fácil 18 Aplicación Media 19 Aplicación Difícil 20 Aplicación Media 21 Aplicación Media 22 Aplicación Media 23 Aplicación Media 24 ASE Media 25 ASE Media 13

14 MATEMÁTICA Mis apuntes 14

15 CUADERNILLO Mis apuntes 15

16 Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias. Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.