Estadística Inferencial

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1 Estadística Inferencial

2 1 Sesión No. 7 Nombre: Pruebas de hipótesis para diferencia de medias y proporciones. Contextualización En la sesión anterior se mostró como realizar una prueba de hipótesis cuando se trata de una sola media poblacional o de una sola proporción poblacional. En esta sesión se continúa el estudio de la inferencia estadística mostrando la forma de realizar pruebas de hipótesis cuando se tienen dos poblaciones y lo que interesa es la diferencia entre dos medias poblacionales o entre dos proporciones poblacionales. Fuente:

3 2 Introducción al Tema Por ejemplo, quizá necesite realizar una prueba de hipótesis para determinar si hay alguna diferencia entre la proporción de piezas defectuosas producidas por el proveedor A y la proporción de partes defectuosas producidas por el proveedor B. El estudio de inferencia estadística para dos poblaciones muestra cómo realizar una prueba de hipótesis para la diferencia entre las medias de dos poblaciones en el caso que se considera que se conocen las desviaciones estándar de estas dos poblaciones. Para inferencias acerca de diferencias entre dos poblaciones se seleccionan dos muestras aleatorias independientes. Fuente:

4 3 Explicación Pruebas de hipótesis acerca de µ 1 - µ 2 D o denota la diferencia hipotética entre µ 1 y µ 2, las tres formas que puede tener una prueba de hipótesis son las siguientes: En muchas aplicaciones D o = 0 con un ejemplo de una prueba de hipótesis de dos colas, cuando D o = 0 la hipótesis nula es H o : µ 1 - µ 2 = 0. En este caso, la hipótesis nula es que µ 1 y µ 2 son iguales. Rechazar H o lleva a la conclusión de que H a : µ 1 - µ 2 0 es verdadera: µ 1 y µ 2 no son iguales. Los pasos presentados en la sesión anterior para realizar pruebas de hipótesis son aplicables aquí. Hay que elegir un nivel de significancia, calcular el valor del estadístico de prueba y encontrar el valor crítico para determinar se acepta o se rechaza la hipótesis nula. En el caso de dos muestras aleatorias independientes cuando los tamaños de las muestras son suficientemente grandes la distribución se puede considerar normal. En este caso el estadístico de prueba para la diferencia entre dos medias poblacionales cuando se conoce su desviación estándar está dado por:

5 4 Ejemplo: Como parte de un estudio para evaluar las diferencias en la calidad entre dos centros de enseñanza, se aplica un examen estandarizado a los estudiantes de ambas escuelas. La diferencia de la calidad se evalúa comparando las medias de las puntuaciones obtenidas en el examen. Las medias poblacionales para cada una de las escuelas están dadas por: µ 1 = exámenes del centro A µ 2 = exámenes del centro B Debemos de partir de la suposición de que NO hay diferencia entre la calidad de la capacitación en uno y otro centro de enseñanza. Por lo tanto: Paso 1. Crear las hipótesis H o : µ 1 - µ 2 = 0 H a : µ 1 - µ 2 0 Paso 2: Es una distribución normal y su nivel de significancia es de α = 0.05 (cuando no se menciona en el problema este nivel será utilizado ya que es el más apropiado) Paso 3: Valor critico Z c = ± 1.96 Paso 4: En exámenes estandarizados practicados con anterioridad se obtuvo una desviación estándar cercana a 10 puntos. Teniendo las siguientes muestras simples independientes de cada centro: Centro A: n 1 = 30 Centro B: n 2 = 40 Y las medias muestrales correspondientes son x = 1 82 y x = 78. estos datos 2 indican que existe una diferencia significativa entre las medias poblacionales de las escuelas?.

6 5 Encontraremos el estadístico de prueba y lo compararemos contra los valores del valor crítico, si este valor esta fuera de los límites de este valor se rechaza la H o y se considerara que existe diferencia significativa entre las medias poblacionales de las dos escuelas. z = ( x x ) D ( 82 78) o = = 2 2 σ 1 n 1 σ 2 + n Como el estadístico de prueba está dentro de los límites del valor crítico, NO se rechaza H o. Paso 5: Se acepta H 0 y se considera que no hay evidencia suficiente para creer que existe una diferencia significativa entre las medias poblacionales de las dos escuelas. Prueba de hipótesis para p 1 p 2. Ahora se consideraran las pruebas de hipótesis acerca de la diferencia entre las proporciones de dos poblaciones. En tal caso, las tres formas de las pruebas de hipótesis son las siguientes: Si se supone que H o, considerada como igualdad, es verdadera, se tiene que p 1 p 2 = 0, que equivale a decir que dichas proporciones poblacionales son iguales p 1 = p 2. Como no se conoce p, se combinan los estimadores puntuales de las dos muestras con el objeto de obtener un solo estimador puntual de p.

7 6 La fórmula general de estadístico de prueba es: Por ejemplo: una empresa que se dedica a la elaboración de declaraciones de impuestos desea realizar una prueba de hipótesis para determinar si las proporciones de errores en las dos oficinas son diferentes. Para esto se requiere una prueba de hipótesis de dos colas: Paso 1: Crear las hipótesis H o : p 1 p 2 = 0 H a : p 1 p 2 0 Paso 2: Es una distribución normal y como nivel de significancia se usara α=0.10 Paso 3: Valor critico Z c = ± 1.65 Paso 4: En los datos muestrales recogidos previamente se encuentra que p1 = 0.14 en una muestra de n 1 = 250 declaraciones de la oficina 1 y p = en una muestra de n 2 = 300 declaraciones de la oficina 2. Calcularemos el estimador combinado:

8 7 z = n p + n p n + n (.14) + 300(.09) = = Ahora calcularemos el estadístico de prueba: z = ( p p ) = 1 1 p(1 p) + n1 n2 ( ) 1 2 = ( ) Como el estadístico de prueba z= 1.85 está fuera de los límites del valor critico Z c = ± 1.65 se rechaza H o Paso 5: Se considera que hay evidencia suficiente para concluir que las proporciones de errores de las dos oficinas difieren.

9 8 Conclusión En esta sesión se estudiaron los procedimientos para realizar pruebas de hipótesis cuando se tienen dos poblaciones. Primero se mostró como hacer inferencia acerca de la diferencia entre dos medias poblacionales con muestras aleatorias simples independientes y con desviaciones estándares conocidas. Se usó la distribución normal estándar z que nos ayudó al cálculo del estadístico de prueba. Después estudiamos el caso de la diferencia entre dos proporciones poblacionales. En la siguiente sesión estudiaremos el último caso de las pruebas de hipótesis estas se realizaran con el estadístico de la varianza poblacional y se hará inferencia acerca de dos varianzas poblacionales. Fuente:

10 9 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Contraste de hipótesis para diferencias de medias y proporciones poblacionales. Consultado el día 30 de diciembre del 2013: otesis_para_diferencias.pdf Video relacionado con: (26 de mayo del 2010). Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales. Consultado el día 30 de diciembre del 2013: (06 de enero del 2013). Pruebas de hipótesis para la diferencia de dos proporciones. Consultado el día 30 de diciembre del 2013: Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

11 10 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de las Pruebas de hipótesis para diferencia de medias y proporciones, resuelve el siguiente ejercicio: Se aplicó un examen a dos grupos de alumnos, el primero con 40 y el segundo con 50 estudiantes. En el primer grupo, la calificación media fue de 74 con una desviación estándar de 8, mientras que en el segundo grupo la calificación media fue de 78 y una desviación estándar de 7. Hay diferencia significativa entre el desempeño de las dos clases a un nivel de significancia de a) 0.05 y b) 0.10? Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma.

12 11 Bibliografía Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning. ISBN: Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y Estadística. (3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: