PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

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1 Universidad de la República Facultad de Ingeniería PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Curso Segundo Semestre Práctico 5: Variables Aleatorias I Actividad 1 Razonando por improbable Actividad En su libro The Design of Experiments, Ronald A. Fisher cuenta que en una típica tarde inglesa: Una señora declara que al probar una taza de té con leche se puede discriminar si la leche o la infusión de té se añadió primero en la taza. Vamos a considerar el problema de diseñar un experimento mediante el cual esta afirmación pueda ser probada. [...] Consiste en mezclar ocho tazas de té con leche, cuatro de una manera y cuatro de la otra, y su presentación a la señora en un orden aleatorio. A la señora se le ha dicho en qué consistirá la prueba, a saber, se le pedirá probar las ocho tazas, de las cuales habrá cuatro de cada tipo [...]. Es la señora efectivamente capaz de discriminar las dos maneras de servir el té? Notar que basta con decir en qué cuatro tazas el té fue servido antes que la leche. Suponer que la señora tira a embocar. 1. Simular en la computadora el experimento. 2. Realizar varias veces el experimento: a) Graficar la frecuencia con la cual la señora acierta (el orden en el cual fueron servidas) en 0, 1, 2, 3 o 4 tazas. Ver cómo varian dichas frecuencias con el numero de veces que se repite el experimento. b) Indicar moda, mediana y promedio de los datos obtenidos. 3. De cuántas maneras posibles puede la señora acertar (el orden en el cual fueron servidas) en 0, 1, 2, 3 o 4 tazas? a) Usando la computadora, listar y contar todas las posibilidades. b) Deducir una fórmula general. c) Qué relación tienen con las frecuencias calculadas en la parte 2? 4. Defina una variable aleatoria conveniente para modelar el problema. Indique su recorrido y su función de probabilidad. Volviendo a la realidad: que le dirías a la señora si acierta el orden en 0, 1, 2, 3 o 4 tazas? Y si en vez de 8 fueran 20 tazas, divididas en 10 y 10? Ejercicio 1 Ejercicios Se tiene un conjunto de números aleatorios del cuál se asume que siguen la Ley de Benford (ver práctico 1). Sea X la variable aleatoria que representa el primer dígito distinto de cero de cada número. 1. Hallar el recorrido de la variable aleatoria X y su función de probabilidad. 2. Hallar la probabilidad de que al seleccionar un número al azar de dicho conjunto: a) el primer dígito sea par b) el primer dígito sea mayor que cinco 3. Hallar P (X > 1), P (X 5) y P (X [3, 7]). 1

2 Ejercicio 2 De un grupo de 16 estudiantes de los cuales 5 estudian economía, 4 contabilidad y 7 administración se eligen 3 al azar para formar una comisión. 1. Hallar la probabilidad de que los 3 estudien economía. 2. Hallar la probabilidad de que al menos 2 estudien economía. 3. Sea X la variable aleatoria que cuenta la cantidad de estudiantes de economía que integran la comisión. Hallar la función de probabilidad de X. Ejercicio 3 1. Se tiene una caja con una bolilla roja y 5 bolillas verdes. Se extraen con reposición 4 bolillas al azar. a) Calcular la probabilidad de: 1) no sacar nunca la roja 2) la roja aparezca exactamente una vez 3) la roja aparezca exactamente dos veces b) Los resultados obtenidos en cada extracción son independientes? Justifique su respuesta. 2. Se considera un cuestionario con 4 preguntas múltiple opción. Cada pregunta tiene 6 opciones y una sola es correcta. Un estudiante contesta al azar las 4 preguntas. Por cada pregunta bien contestada se obtiene 1 punto. Sea X el puntaje obtenido por el estudiante: a) Calcular la probabilidad de: 1) obtener 0 punto 2) X = 1 3) X = 2 b) Comparar los resultados obtenidos con la parte 1.a. 3. Repetir la parte 1, asumiendo que las bolillas se extraen sin reposición. Ejercicio 4 1. Un envío contiene 30 interruptores de los cuales 3 son defectuosos. Se extrae un interruptor al azar: a) Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b) Sabiendo que el primer interruptor fue defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el segundo sea defectuoso? c) Comparar el resultado anterior si se sabe que el primer interruptor no fue defectuoso. 2. Repetir la parte anterior si el envío contiene interruptores de los cuales 3000 son defectuosos. El resultado de la comparación es el mismo que en la parte anterior? Ejercicio 5 Supongamos que un bolillero contiene N bolillas que pueden ser rojas, blancas o azules. Supongamos que hay r bolillas rojas y b blancas (y por lo tanto N (r + b) azules), con r 1, b 1. Tomamos una muestra de n bolillas elegidas al azar con reposición. Se definen: X = número de bolillas rojas observadas en la muestra, Y = número de bolillas blancas observadas en la muestra, Z = número de bolillas azules observadas en al muestra. 1. Calcular las funciones de probabilidad de X, de Y y de Z 2. Calcular E (X) y E (Y ). 3. Hallar la función de probabilidad de X + Y. Calcular E (X + Y ). 2

3 4. Los sucesos {X = i} e {Y = j} son independientes? Justifique la respuesta. 5. Supongamos que N = Si se repite 2500 veces de manera independiente la experiencia de muestrear 10 bolillas con reposición y se obtiene una cantidad promedio de 3,2 bolillas rojas y 4,6 bolillas blancas, le parece creíble que en el bolillero haya más de 1250 bolillas azules? Ejercicio 6 Una compañia recibe un lote de 1000 unidades. Para aceptarlo se seleccionan 10 unidades de forma aleatoria y sin reposición. Si ninguna resulta defectuosa, entonces el lote es aceptado. Si el lote contiene 5 % de defectuosas unidades defectuosas, 1. Calcular la probabilidad de aceptar el lote. 2. Aproximar la probabilidad anterior asumiendo que las unidades se seleccionan con reposición. 3. Aproximar la probabilidad de aceptar el lote, asumiendo que el número de unidades defectuosas sigue una distribución Poisson. Ejercicio 7 Considerar los datos de cantidad de chips de chocolates en las galletitas Toddy obtenidos en clase y disponibles en el eva. Sea X la variable aletoria que cuenta el número de chips de chocolate por galletita. Indicar qué distribución discreta se ajustaría a X. Con los datos, dar valores aproximados al o los parámetros de X. Ejercicio 8 Una editorial es muy estricta en la tolerancia a errores tipógraficos en sus libros, de modo que la probabilidad de que alguna página no contenga errores es de Los errores se asumen independientes de una página a otra. Se considera una de sus novelas con 400 páginas. 1. Cuál es la probabilidad de que contenga exactamente una página con errores? 2. Cuál es la probabilidad de que contenga al menos tres páginas con errores? 3. Cuántas páginas con errores esperaría encontrar? Ejercicio 9 Una pequeña empresa de alquiler de bicicletas tiene un stock de 12 bicicletas. La experiencia indica que la demanda diaria de bicicletas (D) es una variable aleatoria Poisson con parámetro λ = a) Hallar la probabilidad de que un día la demanda supere al stock. b) Hallar la probabilidad de que un día sean alquiladas menos de tres bicicletas. 2. a) Hallar la mayor moda θ de D y calcular la probabilidad de que un día la demanda supere el valor θ. b) Hallar el valor esperado de D y calcular la probabilidad de que un día la demanda supere dicho valor. 3. Hallar el mínimo número de bicicletas en stock necesarias para que la probabilidad de que la demanda supere al stock sea menor que Se considera una semana de 6 días laborables: Ejercicio 10 a) Hallar la probabilidad de que ningún día de la semana la demanda supere al stock. b) Hallar la probabilidad de que al menos dos días de la semana la demanda supere al stock. Sean 0 < p < 1 y R X el conjunto de enteros positivos. 1. a) Probar que p X : R X [0, 1] dada por p X (k) = (1 p) k 1 p es una función de probabilidad. Si una variable aleatoria discreta X tiene por función de probabilidad p X como antes se dice que X tiene distribución Geométrica de parámetro p y se denota X Geo (p). 3

4 b) Dar un ejemplo de un experimento aleatorio cuyo resultado pueda modelarse mediante una variable aleatoria con distribución Geométrica. 2. El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una línea desocupada para sus llamadas. Puede ser de interés saber el número de intentos necesarios que se requieren para tener una línea disponible. Suponga que p = 0,05 es la probabilidad de tener línea durante la mayor congestión de llamadas. Ejercicio 11 a) Calcular la probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para lograr una comunicación. b) Calcular el número esperado de intentos. Sea X el número de intentos independientes (de un experimento aleatorio) que hay que realizar para observar por k-ésima vez (k 1) el suceso A, con P (A) = p. Esta distribución se llama Binomial Negativa de parámetros k y p y se escribe X BN (k, p). 1. Hallar la función de probabilidad puntual de X. 2. En una población con personas donde 1800 son portadores de una enfermedad, se realiza un muestreo aleatorio Cuál es la probabilidad de obtener una muestra con 4 enfermos sin tener que seleccionar más de 8 personas? 3. Hallar la probabilidad de que una persona que lanza al aire tres monedas obtenga ya sea sólo caras o sólo cruces por segunda ocasión en el quinto lanzamiento. Ejercicio 12 Se sabe que una ciudad de de habitantes, el número de personas que concurrieron a la última obra del ballet nacional fue de El director del ballet, decide salir a la calle y preguntar a los transeúntes si concurrieron a ver dicha obra. Solo se queda tranquilo cuándo encuentra a una persona que lo haya hecho. 1. a) Calcular la probabilidad de que haya tenido que preguntar a una sola persona. b) Calcular la probabilidad de que haya tenido que entrevistar al menos a 50 personas. c) Dado que el director ya entrevistó a 10 personas, cuál es la probabilidad de que tenga que entrevistar a una sola persona más? d) El director calcula que le lleva 1 minuto obtener una respuesta de una persona. Le indica a su secretaria que estará de vuelta en menos de una hora. Le parece creíble la afirmación? 2. Dado que no tiene suficiente tiempo, decide que va a preguntar hasta encontrar a una persona o hasta haber consultado a 10 personas. Hallar la distribución de X en este caso. Si llamamos Y al número de personas consultadas que concurrió al ballet, hallar el recorrido y la función de probabilidad de Y. 3. Si decide preguntar hasta encontrar a 5 personas que hayan concurrido a la obra, Cuál es la probabilidad de que haya entrevistado al menos a 200 personas? Ejercicio 13 Sean p 1,..., p k 0 tales que p X : R X [0, 1] tal que k i=1 p i = 1 y R X p X (x 1,..., x k ) = = {(x 1,..., x k ) : x i N, k i=1 x i = n}. Se sabe que n! x 1!... x k! p 1 x1... p k x k define una función de probabilidad. Si una variable aleatoria discreta X = (X 1, X 2,..., X k ) tiene por función de probabilidad p X como antes se dice que X tiene distribución Multinomial de parámetros p 1, p 2,..., p k y n, y se denota X M (p 1,..., p k, n). 1. Se distribuyen n bolas al azar en k recipientes tal que la probabilidad de que cada bola caiga en el recipiente i es igual a p i. Sea X i la cantidad total de bolas que cayeron al recipiente i. Mostrar que X i Bin(n, p i ) y que X = (X 1,..., X k ) M(p 1,..., p k, n). 4

5 2. Sean A y B dos jugadores de ajedrez que se han enfrentado muchas veces en el pasado. Se sabe que el jugador A ganó el 40 % de los partidos disputados, mientras que el jugador B lo hizo el 35 % siendo el resto empates. Se tiene por delante una ronda de 7 partidos. Cuál es la probabilidad de que el jugador A gane en 3 ocasiones, el jugador B lo haga en otras 3 y la restante sea empate? Preguntas Conceptuales 1. En cada una de las siguientes situaciones, indicar si es razonable suponer que la distribucin de la variable X es binomial. Justificar. a) Un fabricante de autos escoge uno cada hora de producción para llevar a cabo una inspección detallada de calidad. La variable X es el número de defectos en el acabado de la pintura. b) Se han preseleccionado 100 personas al azar entre los residentes de una gran ciudad para formar parte de un tribunal popular. A cada una de las personas preseleccionadas se le pregunta si está a favor o en contra de la pena de muerte; X es el número de personas que dicen Sí. c) Jaime compra cada semana un cinco de oro. X es el número de veces que gana algún premio en un año. d) Cincuenta estudiantes asisten a un curso sobre distribuciones binomiales. Después de terminarlo, todos los estudiantes hacen un examen. X es el número de estudiantes que aprueban. e) Un químico repite una prueba de solubilidad 10 veces con el mismo producto. Cada prueba se lleva a cabo a una temperatura que supera en 10 a la prueba anterior. X es el número de veces que el producto se disuelve completamente. 2. Una moneda es lanzada 10 veces. Hallar la probabilidad de que hay exactamente dos caras en los primeros 5 lanzamientos y 4 caras en los últimos Una caja contiene 3 bolillas rojas y 2 verdes. Se extraen 5 bolillas al azar. Usted gana 100 pesos si 3 son rojas y 2 son verdes. Preferiría que la extracción fuera con o sin reposición? Justifique su respuesta. 4. Se considera una caja con 2 bolillas rojas, una blanca, una negra, una verde y una azul. Se extraen con reposición 10 bolillas, pero justo antes de la última extracción se saca de la caja la bolilla azul. Verdadero o falso: la probabilidad de obtener exactamente dos rojas es C2 10 (2/6) 2 (4/6) Se lanza una moneda equilibradad 20 veces, la probabilidad de obtener 0 caras se puede aproximar por e 10. Verdadero o falso. 6. Se lanza una moneda hasta obtener cara por primera vez. Sabiendo que ya se ha lanzado 5 veces, la probabilidad de tener que lanzar una vez más es igual a 0.5. Verdadero o falso? 7. Estudios recientes muestran que la probabilidad de morir por causa de una cierta vacuna es de Si se administra la vacuna a personas y se asume que son un conjunto independiente, Cuál es la probabilidad que mueran no más de dos personas a causa de la vacuna? 5