Probabilidad 1. Tarea 2

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1 Probabilidad 1. Tarea 2 Prof. Daniel Cervantes Filoteo Ayud. Fernando Rojas Linares Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas justificando sus respuestas. Entregue sus resultados, por equipos de 6 a 8 integrantes, en un formato limpio y ordenado. 1. Sean f(x) y g(x) funciones de densidad de probabilidades. Demuestre o dé un contra ejemplo: Las siguientes son funciones de densidad de probabilidades: a) f(x) + g(x) b) f(x)g(x) c) f(g(x)) d) αf(x) + (1 α)g(x) con 0 α 1 e) f(x + c) con c R f ) f(e x ) 2. Calcule el valor de la constante c R tal que las siguientes funciones son de densidad de probabilidades: ( ) x 1 a) f(x) = c (1 p) x r I {r,r+1,r+2,... } (x) r 1 b) f(x) = cx 2 I {0,1,2,...n} (x) c) f(x) = c x I {1,2,...n}(x) 3. Grafique la siguiente función de distribución y calcule la densidad de probabilidades correspondiente: F (x) = 0, si x < si 1 x < si 3 x < si 3.5 x < si 4 x < 6 1 si 6 x 4. Sean F (x) y G(x) funciones de distribución discretas. Demuestre o dé un contra ejemplo: Las siguientes son funciones de distribución: a) F (x) + G(x) b) F (x)g(x) c) F (G(x)) d) αf (x) + (1 α)g(x) con 0 α 1 e) F (x + c) con c R f ) F (e x ) 5. Sea X v.a., discreta con Sop X = N y función de densidad de probabilidades f X (x). Encuentre la función de densidad de Y en términos de f X (x) si: a) Y = 2X b) Y = X + n; n N ( ) πx c) Y = cos 2 d) Y = X (mod 2) 6. Un dado equilibrado se lanza 2 veces consecutivas. Sea X la diferencia entre lo obtenido en el primer lanzamiento y el segundo. Encuentre la función de densidad de probabilidades de X. 7. Sea X v.a., con función de densidad de probabilidades: Calcule la probabilidad de que X sea impar. P [X = x] = 2 3 x I {1,2,3,... }(x)

2 8. Dos dados justos son lanzados. Sea X igual al producto de las caras de los dos dados. Calcule P [X = i] para i = 1, matemáticos y 5 actuarios son clasificados de acuerdo al resultado obtenido en un examen. Asuma que todos los resultados son diferentes y que todas las posibles clasificaciones son equiprobables. Denotamos a X como el lugar en la clasificación más alto logrado por un actuario. (Por ejemplo, X = 1 si la persona con la clasificación más alta fue un actuario.) Calcule P (X = i) para i = 1,..., Sea X v.a.d. no negativa con Sop X = {1, 2,... }. Demuestre las sigueintes identidades: 11. Demuestre que: P [X > i] = E[X] i=0 ip [X > i] = 1 ( E[X 2 ] E[X] ) 2 i=0 n i=1 λ λi e i! = 1 n! λ e x x n dx 12. Sea X v.a. con distribución geométrica de parámetro p. Definimos Y = mín{x, M}. Para algún M R. Calcule la función densidad de probabilidades de Y. 13. Se lanza una moneda justa 4 veces. Sea X el número de soles obtenidos. Grafique la función de densidad de probabilidades de la variable Y = X Sea X v.a. con distribución Poisson de parámetro λ Qué valor k maximiza P [X = k]? 15. Sea X v.a.d. con E[X 2 ] <. Demuestre que: E[(X a) 2 ] Var(X) a R 16. Una urna contiene N bolas numeradas y se extraeran sin reemplazo n de ellas (n < N). Sea Y el número más grande seleccionado. Dé una expresión para la función de densidad de probabilidades de Y. 17. Diga si las siguientes funciones son de densidad de probabilidades o para qué valores de θ lo son. Demuestre o dé un contraejemplo según su respuesta y de ser afirmativa, encuentre la función de distribución y la esperanza de la variable aleatoria asociada. Suponga que n es un natural fijo. ( ) x 1 a) f(x) = θ 2 2 x I {1,2,3,... } (x) ( ) (1 p)p x 1 b) f(x) = sin(θ) 1 p n I {1,2,3,...,n} (x); p (0, 1) c) f(x) = θ2 x I {1,2,3,...,n} (x) ( θ d) f(x) = 3 x ) I {1,3,5,... } (x) + ( ) θ 4 x I {2,4,6,... } (x) 18. Diga si la siguiente función es de densidad de probabilidades. En caso de serlo calcule E[X], para X la variable aleatoria asociada. ( ) 1 f(x) = I {1,2,3,... } (x) x(x + 1) 19. El Guasón es colocado en el asílo de Arkham. Él descubre 3 puertas: La puerta 1 conduce a un túnel cuyo recorrido dura un día y regresa a la prisión, la puerta 2 conduce a un túnel cuyo recorrido dura tres días y también regresa a la prisión. La puerta 3 lleva a la libertad después de dos días de recorrido. Cada vez que toma un túnel y vuelve a la prisión debe esperar un día antes de intentar de nuevo. Si el Guasón escoge al azar la puerta que tomará cada vez hasta quedar libre. Calcule el número esperado de días que tardará en quedar libre.

3 20. Suponga que se lanzan dos monedas. En la primer moneda caerá sol con probabilidad 0.6, en la segunda, caerá sol con probabilidad 0.7. Asuma que los resultados de las monedas son independientes, y sea X el número total de soles que se obtienen. a) Encuentre P [X = 1]. b) Encuentre E[X]. 21. Una urna contiene inicialmente una bola roja y una azul. A cada instante se seleccionará al azar una bola de la urna y se devolverá con otra del mismo color. Sea X el número de selección en el que sale la primer bola azul. a) Calcule P [X > i], i 1 b) Calcule E[X] 22. Un juego popular en los casinos de Nevada es el Keno. Se juega como sigue: 20 números son seleccionados al azar por el casino del conjunto de números del 1 al 80. El jugador puede seleccionar de 1 a 15 números. El jugador gana si una fracción de los números que selecciona están en el conjunto de 20 (que selecciono la casa). La ganancia es función del número de elementos en la selección del jugador y del número de aciertos. Por ejemplo (caso A): El jugador selecciona solo un número (gana si ese número está en el conjunto de 20). En este caso la ganacia (de ganar el juego) es de 2.2 dólares por cada dólar apostado. Otro ejemplo (caso B): El jugador selecciona 2 números y si ambos están en el conjunto de 20, gana 12 dólares por cada dólar apostado. Denotaremos por P n,k a la probabilidad de que exactamente k de los n números seleccionados estén en el conjunto de 20. a) Cuál es la ganacia justa por las apuestas en A y B? b) Calcule P n,k. c) Una forma típica del Keno consiste en seleccionar 10 números. Las ganancias están determinadas de acuerdo al cuadro 1. Son justas? Calcule el valor esperado de la ganancia. Cuadro 1: Pagos en el Keno con 10 números seleccionados Aciertos Ganacia (por cada dólar apostado) de 0 a Dos equipos de atletismo compiten en una serie de juegos; el primer equipo en ganar cuatro juegos es declarado el ganador de la serie. Suponga que el equipo A es más fuerte y puede ganar cada juego con probabilidad 0.6 independientemente del resultado de los juegos anteriores o siguientes. a) Sea X la v.a. que representa el número de juegos jugados. b) Sea Y la v.a. que representa el número de juegos que le tomará al equipo A ganar la serie (considere que Y = 8 cuando A pierde la serie). Determine el Sop X y Sop Y, sus funciones de densidad de probabilidades, sus esperanzas y varianzas. 24. Suponga que de un conjunto de 100 objetos, 6 son defectuosos y 94 no lo son. Si X representa el número de objetos defectuosos en una muestra aleatoria de diez objetos del conjunto, encuentre: a) P (X = 0)

4 b) P (X > 2) 25. Sea X una variable aleatoria discreta con valores en 0, 1, 2,... y tal que para cualquier x, y = 0, 1,... se cumple la igualdad P (X > x + y X > x) = P (X > y) Demuestre que existe un número p (0, 1) tal que X tiene distribución geo(p) 26. Demuestre que si X es variable aleatoria que se distribuye Poisson con parámetro λ; X P oisson(λ), entonces E (X n ) = λe ((X + 1) n 1) 27. Sea X variable aleatoria con distribución Binomial con parámetros (n, p). Demuestre que Y = n X tiene distribución Binomial (n, 1 p). Encuentre el valor de p que hace que P (X = k) sea máximo. 28. Una persona tira una moneda hasta que un águila aparezca por primera vez. Si el águila aparece en el n-ésimo volado, la persona gana 2 n pesos. Sea X la variable aleatoria que representa las ganancias del jugador. Muestre que E(X) =. 29. Una caja contiene 5 bolas azules y 5 bolas rojas. Dos bolas son extraídas aleatoriamente de la caja. Si se sacan dos bolas del mismo color, se gana $1,10; si son diferentes entonces pierde $1,00. Calcule el valor esperado de la ganancia obtenida. 30. Un estudiante se prepara para presentar un examen, y le preocupa la posibilidad de tener un día bueno o un día malo. El se da cuenta que cuando tiene un día bueno entonces responderá correctamente todas las preguntas que realice, cada pregunta independiente de la otra, con probabilidad 0,8, mientras que si tiene un día malo, esta probabilidad se reduce a 0,4. Suponga que el estudiante aprobará el examen si responde la mayoría de las preguntas correctamente. Si el estudiante siente que tiene el doble de probabilidad de tener un día malo que tener un día bueno, debería pedir un examen que tenga 3 preguntas o 5 preguntas? 31. Considere una ruleta con 38 números, del 1 al 36, 0 y el 00. Si un jugador siempre apuesta a que el resultado siempre será un número entre 1 y 12, calcule lo siguiente a) La probabilidad de que el jugador pierda sus primeras cinco apuestas; b) La probabilidad de que su primer acierto ocurra en su cuarta apuesta. 32. Suponga que el número de accidentes que ocurren en una carretera cada dia es una variable aleatoria Poisson de parámetro λ = 3. a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 3 o más accidentes el día de hoy. b) Repita el inciso anterior bajo la suposición de que al menos un accidente ocurre hoy. 33. Sea X variable aleatoria con distribución Binomial Negativa con parámetros r y p, y sea Y una variable aleatoria Binomial con parámetros n y p. Muestre que P (X > n) = P (Y < r) 34. A una entrevistadora se le da una lista de personas a las cuales puede entrevistar. Si la entrevistadora necesita entrevistar a 5 personas, y cada persona, independiente de la otra, accede a ser entrevistada con probabilidad 2/3, cuál es la probabilidad de que su lista de personas le permita obtener el número de entrevistas necesarias si a) la lista es de 5 personas? b) la lista es de 8 personas? 35. Una compañía de seguros vende un seguro para autos por un año con deducible 2. La probabilidad de que el asegurado sufra pérdidas es Si hay una pérdida, esta será de N con probabilidad K para N = 1,..., 5 y K una constante. N Esas son las únicas posibilidades de pérdidas. Calcule el pago esperado que deberá hacer la compañía por una poliza. 36. Una cierto periódico contrata a dos tipos de columnistas. El número promedio de errores por artículo es de 3 cuando es redactado por el columnista 1, y de 4.2 cuando es redactado por el columnista 2. Si un nuevo artículo tiene la misma probabilidad de ser redactado por el columnista 1 o el 2, calcule la probabilidad de que no vaya a tener errores.

5 37. El número de veces que una persona contrae un resfriado en un año es una variable aleatoria Poisson con parámetro λ = 5. Suponga que una nueva medicina, con grandes cantidades de vitamina C, que ha sido lanzada al mercado reduce el parámetro Poisson a λ = 3 para el 75 % de la población, mientras que para el 25 % restante la medicina no tiene efecto alguno. Si una persona toma el medicamente durante un año y se contagia 2 veces de resfriado, qué tan probable es que la droga haya surtido efecto en él o ella? 38. En cuatro autobuses son transportados 173 estudiantes con 20, 43, 45 y 55 estudiantes respectivamente. El Guasón ha seleccionado al azar uno de los 173 estudiantes y le puso una bomba en la mochila. Sea X el número de estudiantes en el autobus donde va la bomba. Por otro lado uno de los cuatro conductores es Batman (él seleccionó uno de los autobuses al azar e independientemente de la elección del Guasón) y denotamos Y al número de estudiantes en el autobus que Batman conduce. a) Calcule E[X] y E[Y ] Por qué no son iguales? b) Calcule el total de víctimas (Debe suponerse que Batman salvará el autobus que conduce). 39. Bajo las corcholatas de cerveza de cierta marca hay seis diferentes tipos de símbolos. Asumiremos que en el mercado las cervezas fueron distribuidas uniformemente. Si te retan a beber cervezas hasta hayar los seis símbolos cuál es el número esperado de cervezas que tomarás? 40. Para las 9 familias paramétricas vistas en clase demuestre que las funciones de densidad de probabilidades realmente lo son y calcule para cada variable aleatoria: esperanza, varianza, función generadora de momentos y función generadora de probabilidad.