ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA (0260)

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1 ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA (0260) Tema. Introducción a la Probabilidad Guía de Problemas Propuestos Mayo 203. Sea E el conjunto con todos los posibles resultados del experimento elegir una persona al azar. Sean los sucesos: M: la persona es mujer, R: la persona es rubia, C: la persona tiene ojos claros. A continuación se muestran 4 diagramas de Venn (D, D2, D3, D4) donde la zona sombreada representa un suceso. El suceso hombres de ojos oscuros se encuentra representado en el diagrama D D2 D3 D4 a. D b. D2 c. D3 d. D4 2. Sean A, A 2 y A 3 eventos de un espacio muestral. El evento no ocurre ninguno se expresa como: A A A a. 2 3 b. A A2 A3 c. A A2 A3 d. Ninguna de las anteriores 3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 determine: a. P(A) b. P(B) c. P(A B) d. P(A B) e. P(A B) f. P(A B) Prof. José Luis Quintero

2 4. Sean A y B dos eventos cualesquiera de un espacio muestral. Emplee un diagrama de Venn para demostrar que P(A B) = P(A) P(A B). 5. Sean A, A2 y A 3 eventos de un espacio muestral. Dibuje mediante diagramas de Venn, los siguientes eventos: a. Los tres eventos ocurren b. Ocurre sólo A c. Ocurren A y A 2 pero no A 3 d. Ocurre al menos uno de los tres eventos e. No ocurre ninguno f. Ocurren al menos dos g. Ocurren a lo sumo dos 6. Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo: Mujer (M) Hombre (H) Totales Administración (A) Operación de planta (O) Ventas (V) Totales a. Si se elige aleatoriamente un empleado: Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas? Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración? b. Determine las siguientes probabilidades: P(A M) P(A M) P(O H) 7. De 50 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades cardíacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. Qué porcentaje de los pacientes tenían uno u otro de los padecimientos? 8. Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se encontró que 00 aprendian francés, 80 aprendian español y 60 ambos idiomas. Si de este grupo de 200 estudiantes, se selecciona uno al azar, a. cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español? b. cuál es la probabilidad de que no se encuentre aprendiendo ninguno de los dos idiomas? 9. Un dado tiene tres caras negras numeradas, 2 y 3; las otras tres caras son blancas y numeradas 4, 5 y 6. Si se lanza este dado, cuál es la probabilidad de que aparezca un número par o una cara blanca? Prof. José Luis Quintero 2

3 0. Un dado está cargado de modo tal que la probabilidad de que salga la cara i es proporcional a k. Halle la probabilidad de cada uno de los eventos: a. El resultado de arrojar el dado es un número par. b. El resultado es menor que 6.. Suponga que A, B y C son eventos para los cuales se tiene: P(A) = P(B) = P(C) =, P(A B) = P(C B) = 0 y P(A C) =. Halle la probabilidad de que al menos uno de los eventos, A, B o C ocurra Se está realizando la inspección final de aparatos de televisión después del ensamble. Se identifican tres tipos de defectos como críticos, mayores y menores y una empresa de envíos por correo los clasifica en: A, B y C, respectivamente. Se analizan los datos con los siguientes resultados: Aparatos que sólo tienen defectos críticos: 2 % Aparatos que sólo tienen defectos mayores: 5 % Aparatos que sólo tienen defectos menores: 7 % Aparatos que sólo tienen defectos críticos y mayores: 3 % Aparatos que sólo tienen defectos críticos y menores: 4 % Aparatos que sólo tienen defectos mayores y menores: 3 % Aparatos que tienen los tres tipos de defectos: % a. Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos? b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente. Qué porcentaje corresponde a esta categoría? 3. Se selecciona al azar una pelota de una caja que contiene pelotas rojas, blancas, azules, amarillas y verdes. Si la probabilidad de seleccionar una pelota roja es /5 y la de seleccionar una pelota blanca es 2/5, calcule la probabilidad de seleccionar una pelota azul, amarilla o verde. 4. Sean A, B y C tres eventos tales que P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(A B) = 0., P(A C) = 0., P(B C) = 0, P(A C) = 0.7. Obtenga la probabilidad de que ocurra exactamente solo uno de dichos eventos. 5. En una determinada población, el 60% de las personas son mujeres, el 25% de la gente es rubia y el 35% de la gente tiene ojos claros. Por otro lado, el 0% de la población son mujeres rubias, el 20% de la población son mujeres de ojos claros, el 5% de la población son personas rubias y de ojos claros y el 5% de la población son mujeres rubias de ojos claros. Calcule la probabilidad de que al elegir una persona al azar, esta sea a. mujer no rubia y de ojos oscuros b. hombre no rubio y de ojos oscuros c. persona rubia o de ojos claros 6. Un club tiene 25 miembros y se debe elegir un presidente y un secretario. Cuál es el número total de formas posibles para ocupar estos cargos? Prof. José Luis Quintero 3

4 7. Se tienen 6 libros distintos para colocar en una estantería. De cuántas formas distintas se pueden ordenar estos libros? 8. Un club tiene 20 miembros y se debe elegir un grupo de 8 personas para realizar una actividad. Cuántos grupos distintos se pueden hacer? 9. Se tiene una caja con tres pelotas rojas, diez pelotas amarillas y cinco pelotas negras. Determine la cantidad de grupos de tamaño tres que se pueden extraer si a. la extracción es de forma simultánea b. la extracción es de forma serial con reposición c. con una pelota de cada color d. con tres pelotas de igual color 20. De cuántas maneras pueden sentarse 0 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles? 2. En una clase de 0 alumnos van a distribuirse 3 premios. Determine el número de maneras en las que puede hacerse si a. los premios son diferentes y la persona no puede recibir más de un premio b. los premios son iguales y la persona no puede recibir más de un premio c. los premios son diferentes y la persona puede recibir más de un premio d. los premios son iguales y la persona puede recibir más de un premio 22. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. De cuántas maneras puede hacerse? 23. Determine la cantidad de números de 4 dígitos que se pueden formar con las cifras 0,,,9 (no permitiendo que el primer dígito sea cero) a. permitiendo repeticiones b. sin repeticiones c. si el último dígito ha de ser cero y no se permiten repeticiones 24. En un grupo de 0 amigos, determine todas las distribuciones de sus fechas de cumpleaños que pueden darse al año. 25. Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si hombres y mujeres deben quedar alternados? 26. Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si los hombres se sientan juntos? 27. Cuál es la probabilidad de que al escoger una placa de un automóvil compuesta por 3 letras y 3 números, las letras sean distintas y los números sean distintos? 28. Se dispone de 7 hombres y 0 mujeres para seleccionar un comité de 5 personas. La selección se realizará al azar. Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por dos hombres y tres mujeres? Prof. José Luis Quintero 4

5 29. Se van a alinear al azar 6 pelotas negras y 2 blancas. Cuál es la probabilidad de que las 2 pelotas blancas queden juntas? 30. Sea el experimento aleatorio de seleccionar al azar un número de tres cifras comprendido entre 00 y 999, incluyendo a ambos. Cuál es la probabilidad de que el número escogido tenga al menos un uno? 3. Se escogen al azar cinco resistencias en una caja que contiene 30 resistencias de las cuales 7 son defectuosas. Halle la probabilidad de que: a. ninguna sea defectuosa b. se escojan dos defectuosas c. por lo menos una sea defectuosa 32. En una estantería se desean colocar 4 libros diferentes de matemática, 6 libros diferentes de física y 2 libros diferentes de química. Calcule la probabilidad de que a. los libros de cada materia queden juntos b. solo los libros de matemática queden juntos c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos 33. El código de área de un número telefónico se compone de tres dígitos. Se están considerando los dígitos del al 5 para formar dichos códigos de área, seleccionando un dígito a la vez de forma aleatoria y sin repetición. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos: a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados b. El código es un número par c. El código no debe tener ni ni Un alumno tiene que elegir 7 de las 0 preguntas de un examen. De cuántas maneras puede elegirlas? Y si las 4 primeras son obligatorias? 35. A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. Determine las formas en las que puede hacerse si a. todos son elegibles b. un físico en particular ha de estar en esa comisión 36. En la síntesis de proteínas hay una secuencia de tres nucleótidos sobre el ADN que decide cuál es el aminoácido a incorporar. Existen cuatro tipos distintos de nucleótidos según la base, que puede ser A (adenina), G (guanina), C (citosina) y T (timina). Cuántas secuencias distintas se podrán formar si se pueden repetir nucleótidos? 37. Cuál es la probabilidad de que entre r personas al menos dos cumplan años el mismo día? 38. En el juego del KINO TÁCHIRA, calcule la probabilidad porcentual de lograr al menos 2 aciertos en un cartón participante. 39. Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo: Prof. José Luis Quintero 5

6 Mujer (M) Hombre (H) Totales Administración (A) Operación de planta (O) Ventas (V) Totales Determine las siguientes probabilidades: a. P(A/M) b. P(M/A) c. P(H/V) 40. Dos jugadores A y B se turnan para lanzar una moneda equilibrada. A lanza de primero y B lanza después, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga cara. Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores? 4. Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de una compañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran interés para el inversionista. Con base en esta información, se observa que la cotización se relaciona con el Producto Nacional Bruto (PNB). Si el PNB aumenta, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0.. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determine la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses. 42. Una universidad está formada por tres facultades: La primera facultad tiene el 50% de estudiantes, la segunda facultad posee el 25% de estudiantes y la tercera facultad alberga el otro 25% de estudiantes. Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo 60% del total en cada facultad. a. Cuál es la probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad? b. Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno varón? 43. Se lanza una moneda dos veces y en una caja vacía se colocan tantas bolas blancas como número de caras obtenidas y tantas negras como el número del lanzamiento donde se obtiene sello por primera vez multiplicado por dos, si es que se obtiene. Se extraen sin reposición dos bolas de la caja. Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color? 44. Tres sucursales de una tienda tienen 8, 2 y 4 empleados de los cuales 4, 7 y 0 son mujeres, respectivamente. Se escoge una sucursal al azar y de ella se escoge a un empleado. Si este empleado es una mujer, cuál es la probabilidad de que ella trabaje en la sucursal que tiene 2 empleados? Prof. José Luis Quintero 6

7 45. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del tipo III. 46. Pruebe que para cualesquiera dos eventos, A y B, P(A B) + P(A B) =, con tal de que P(B) Pruebe que si P(B / A) = P(B / A) entonces A y B son independientes. 48. Demuestre que si A y B son eventos independientes, también lo son 49. Si A,...,A n son eventos independientes, demuestre que P A = ( P(A )) n n i i. i= i= c A y c B. 50. Sean A y B eventos independientes, tales que con probabilidad /6 ocurren simultáneamente, y con probabilidad /3 ninguno de ellos ocurre. Halle P(A) y P(B). 5. Los eventos A,A 2,...,A n son eventos independientes y n para el cual donde H es un número fijo. P A H n i, i= p(a j) = p, j =,2,...,n. Halle el menor 52. Cuál es el menor valor de n para el cual la probabilidad de obtener al menos un 6 en una serie de n lanzamientos de un dado sea mayor que 3 4? 53. Sean A, B y C tres eventos independientes entre sí tales que 4P(A) = 2P(B) = P(C) > 0 y P(A B C) = 4P(A). Obtenga P(A), P(B) y P(C). 54. Se lanza una moneda diez veces y en todos los lanzamientos el resultado es cara. Cuál es la probabilidad de este evento?, cuál es la probabilidad de que en el undécimo lanzamiento el resultado sea cruz? 55. La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0.9. Un aparato contiene dos de éstos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga, por lo menos, uno de los componentes. a. Sin importar cuál de los dos componentes funcione o no, cuáles son los posibles resultados y sus respectivas probabilidades? (Puede suponerse independencia en la operación entre los componentes.) b. Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? Prof. José Luis Quintero 7

8 56. En una caja hay R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se realiza un MSR de tamaño tres. Cuál es la probabilidad de que las tres pelotas sean rojas? 57. En una caja hay 4 bombillos malos y 6 buenos. Se sacan 2 bombillos a la vez. Cuál es la probabilidad de que ambos bombillos resulten buenos? 58. Se lanza un par de dados balanceados. Calcule la probabilidad de que la suma sea 7, dado que: a. La suma es impar b. La suma es mayor que 6 c. El resultado del primer dado fue impar d. El resultado del segundo dado fue par e. El resultado de al menos un dado fue impar f. Los dos dados tuvieron el mismo resultado g. Los dos dados tuvieron distintos resultados h. La suma de los dados fue Se tienen dos cajas con pelotas. En la caja hay X pelotas blancas y Y pelotas rojas. En la caja 2 hay Z pelotas blancas y W pelotas rojas. Se selecciona al azar una pelota de la caja y se coloca en la caja 2. Seguidamente se escoge una pelota de la caja 2. Cuál es la probabilidad de que esa pelota sea blanca? 60. Una caja contiene 2000 transistores de los cuales el 5% es defectuoso. Una segunda caja contiene 500 transistores de los cuales el 40% es defectuoso. Otras dos cajas contienen 000 transistores cada una con un 0% de defectuosos. Se selecciona al azar una caja y de ella se toma un transistor. Cuál es la probabilidad de que ese transistor esté bueno? 6. Se dispone de una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se lanza un dado perfecto y se obtiene como resultado un valor N, con N variable entre uno y seis; si N es menor que 4 se extraen 2 pelotas sin reposición, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición. Cuál es la probabilidad de que no se extraigan pelotas rojas? 62. Tres jugadores A, B y C se turnan para lanzar un dado perfecto. A lanza de primero, B lanza después y por último C, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga un número par. Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores? 63. N jugadores se turnan para tomar parte en un juego de azar. La participación se hace en serie hasta que el primero de ellos obtenga la ocurrencia del evento de interés definido previamente que tiene probabilidad p (0 < p < ). Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores? 64. Sea S { a,b,c,d,e } A = { a,d,e } y B { c,d,e } =, con P(a) =, P(b) =, P(c) =, P(d) =, P(e) =. Sean los eventos =. Calcule P(B / A) Prof. José Luis Quintero 8

9 65. Se tienen cinco cajas con cinco bolas cada una, distribuidas como sigue: la caja i tiene i bolas blancas y 5-i bolas negras. Se selecciona una bola al azar. Cuál es la probabilidad de haber sacado una bola de la caja i si ésta es de color negro? 66. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del tipo I. 67. Un detector de mentiras muestra una señal positiva (señala una mentira) 0% de las veces que alguien dice la verdad, y 95% de las veces que alguna persona miente. Si dos personas son sospechosas de un crimen que se sabe ha cometido uno solo de ellos, y ambos dicen ser inocentes, cuál es la probabilidad de que una señal positiva del detector corresponda al culpable? 68. Un estudiante responde una pregunta de un examen de múltiple escogencia que tiene cuatro respuestas posibles. Suponga que la probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta a la pregunta es 0.8 y la probabilidad de que adivine es 0.2. Si el estudiante adivina, la probabilidad de que acierte es Si el estudiante responde acertadamente la pregunta, cuál es la probabilidad de que el estudiante realmente supiera la respuesta? 69. Suponga que la probabilidad de estar expuesto a un virus que produce una enfermedad es 0.6. Se sabe que cierta vacuna impide, en un 80% de los casos, que una persona vacunada y expuesta al virus contraiga la enfermedad producida por el virus. Una persona no vacunada tiene probabilidad 0.9 de sufrir la enfermedad si entra en contacto con el virus. Dos personas, una vacunada y otra no, son capaces de realizar cierta tarea muy especializada en una compañía. Suponga que estas personas no están en la misma localidad, no están en contacto con las mismas personas ni pueden contagiarse entre sí. Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sufra la enfermedad? 70. Sea una caja denominada caja X con 8 artículos de los cuales n son defectuosos y el resto son artículos buenos y otra caja llamada caja Y con 5 artículos buenos y 2 defectuosos. El lunes en la noche se extrae al azar un artículo de la caja X y se coloca en la caja Y. El martes en la mañana se elige un artículo de cada caja. Se sabe que la probabilidad de que el lunes se haya pasado un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y dado que los dos artículos obtenidos el martes son defectuosos es igual a 3/8. Determine la cantidad de artículos defectuosos que originalmente tenía la caja X. 7. Tres cajas contienen dos monedas cada una. En la primera, C, ambas son de oro; en la segunda, C 2, ambas son de plata y en la tercera, C 3, una es de oro y otra es de plata. Se escoge una caja al azar. Si la moneda es de oro. Cuál es la probabilidad de que venga de la caja que contiene dos monedas de oro? Prof. José Luis Quintero 9

10 72. Tres enfermedades distintas y excluyentes A, B y C producen el mismo conjunto de síntomas H. Un estudio clínico muestra que las probabilidades de contraer las enfermedades son 0.0, y 0.02 respectivamente. Además, la probabilidad de que el paciente desarrolle los síntomas H para cada enfermedad son 0.90; 0.95 y 0.75 respectivamente. Si una persona enferma tiene los síntomas H, cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad A? 73. El 5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control? 74. Se lanza una moneda con una probabilidad de 2 3 que el resultado sea cara. Si aparece una cara, se extrae una pelota, aleatoriamente, de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es cruz se extrae una pelota, de otra urna, que contiene dos rojas y dos verdes. Cuál es la probabilidad de extraer una pelota roja? 75. Una bolsa contiene cuatro metras blancas y dos negras, y una segunda bolsa contiene tres de cada color. Se escoge una bolsa al azar y luego se selecciona una metra, también al azar. Cuál es la probabilidad de que la metra sea blanca? 76. Se lanzan tres dados. Calcule la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes, justificando en cada caso su respuesta: a. En cada cara aparece el mismo número b. En dos caras aparece el mismo número y en la otra un número distinto c. En todas las caras aparecen números distintos 77. De entre 20 tanques de combustible fabricados para un transbordador especial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques: a. Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tanques se encuentre defectuoso? b. Cuál es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos? 78. Se arrojan simultáneamente 4 monedas. a. Cuántos resultados posibles se pueden obtener? b. Cuántos casos hay en los que salgan 2 caras y 2 sellos? 79. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos. Entre éstos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehículos seleccionados tiene defectos. Cuál es la probabilidad de aceptar el embarque? 80. Una urna contiene 0 bolas negras y 5 bolas rojas. Se extraen 3 bolas al azar, con reposición. Calcule la probabilidad de que sean a. Calcule la probabilidad de que sean 2 negras y roja b. Calcule la probabilidad de que sean las 3 negras c. Repita los dos cálculos anteriores, suponiendo que la extracción es sin reposición Prof. José Luis Quintero 0

11 RESPUESTAS [] d [2] c [3] a b c. 0.8 d. 0 e f. 0.9 [6] a ,, b.,, [7] 73.33% [8] a. 3 b [] 5 8 [2] a. 75% b. 8% [3] 2 5 [9] 2 3 [4] 0.7 [5] a b. 0.2 c [0] a. 4 7 b. 5 7 [6] 600 [7] 720 [8] [9] a. 86 b. 40 c. 50 d. 3 [20] 5040 [2] a. 720 b. 20 c. 000 d. 220 [22] 2880 [23] a b c. 504 [24] [25] [26] [27] [28] [29] 0.25 [30] 0.28 [3] a b c [32] a. 230 b. 55 c. 33 [33] a. 3 0 b. 2 5 c. 0 r [34] [35] a. 350 b. 50 [36] 64 i [37], 2 r [38].82% [39] a. 9 b. 2 c. 5 3 i= 2 [40] P(A) =, P(B) = [4] 0.4 [42] a. 0.3 b. 0.4 [43] [44] 49 5 [45] [50], [52] 8 [53] P(A) =, P(B) =, P(C) = [54] 2 3 R R R 2 [55] b [56].. R + A R + A R + A 2 [57] [58] a. b. 2 c. d. e. 2 f. 0 g. h. 0 [59] (X+ Y)Z + X ( + ) [62] 4, 2, [63] [6] A A A 2 R + A R + A R + A p( p) i ( p) N (X+ Y)(Z+ W+ ) [60] , i =,...,N [64] ( ), [65] 5 i, i =,...,5 [66] [67] [68] 0.94 [69] [70] 3 0 [7] 2 3 [72] 0.33 [76] a. 36 b. 5 2 c. 5 9 [78] a. 6 b. 6 [79] [80] a. 4 9 b [77] a b c., 9 9 Prof. José Luis Quintero