CALCULO DE PROBABILIDADES I. Tarea 3

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1 CALCULO DE PROBABILIDADES I Tarea 3 1. Un punto es seleccionado aleatoriamente en el cuadrado unitario, y se sabe que está en el triángulo delimitado por x = 0, y = 0, x + y = 1, encuentre la probabilidad que el punto también se encuentre en el triángulo delimitado por y = 0, x = 1, y x = y.. Un cierto componente de la máquina de un cohete falla 5% de la veces cuando el cohete es lanzado. Para lograr una mejoría en el funcionamiento de la máquina, este componente es duplicado n veces. La máquina falla solo si todos los n componentes fallan. Supongamos que las fallas de los componentes ocurren independientemente. Cuál es el mínimo valor de n que puede usarse para garantizar que la máquina trabaje al menos el 99% de la veces? 3. Un hombre tiene n llaves, y solamente una de ellas abre la cerradura de la puerta de su casa. Él intenta abrir con una llave a la vez y en cada intento escoge aleatoriamente una llave de las que no ha probado. Encuentre la probabilidad de que la r-ésima probada sea la llave correcta. 4. Un autobús empieza su recorrido con 6 personas y realiza 10 paradas en diferentes lugares. Suponga que todos los pasajeros tienen la misma probabilidad de bajarse en cualquier parada. Encuentre la probabilidad de que no bajen dos o más pasajeros en la misma parada. 5. Suponga que una persona tiene r cajas y que aleatoriamente coloca pelotas en las cajas, una por una, hasta que alguna caja tenga pelotas. Encuentre la probabilidad de que esto ocurra con la n-ésima pelota. 6. Si Samuel y Pedro están en una fila de n personas formadas aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que exactamente k personas estén en medio de ellos? 7. Se seleccionan al azar, una por una, cartas de una baraja con 5 cartas, hasta que aparece el primer rey. Encuentre la probabilidad de que esto ocurra con la n-ésima carta seleccionada. 8. En una población compuesta de r elementos se tiene k elementos con cierta característica A. De esta población se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n. a) Encuentre la probabilidad de que ninguno de los elementos con la característica A se encuentre en la muestra, si la selección se realiza: a.1) con reemplaza y a.) sin reemplazo. b) Si la selección se realiza sin reemplazo, cuál es la probabilidad de que todos los elementos con la característica A se incluyan en la muestra? 9. Una caja contiene 50 fusibles de los cuales 10 están defectuosos. Si se seleccionan al azar 10 fusibles de la caja, cuál es la probabilidad de que ninguno de los fusibles sea defectuoso? 10. Cuál es la probabilidad de que las manos de bridge correspondientes a una pareja de jugadores (un total de 6 cartas) tengan exactamente 3 ases? 11. Usted posee 3 boletos de una rifa en la cual se vendieron n boletos. Si se van a dar 5 premios, cuál es la probabilidad de que usted gane al menos un premio? 1. Se tienen dos cajas y cada una contiene r bolas numeradas 1,,..., r. Una muestra aleatoria de tamaño n r es tomada sin reemplazo de cada caja. Encuentre la probabilidad de que las muestras contengan exactamente k bolas con los mismos números. 13. Cuatro bebedores (I, II, III y IV) van a catalogar 3 diferentes marcas de cerveza (A, B y C) en una prueba ciega. Cada bebedor califica las 3 cervezas asignando 1 a la que considera la mejor, a la siguiente y 3 a la menos preferida. Posteriormente se suman las calificaciones de los cuatro bebedores para cada marca.

2 Suponga que los bebedores no pueden en realidad discriminar entre las cervezas, es decir, cada calificación es asignada aleatoriamente. a) Cuál es la probabilidad de que la cerveza A reciba una calificación total de 4? b) Cuál es la probabilidad de que alguna cerveza reciba una calificación total de 4? c) Cuál es la probabilidad de que alguna cerveza reciba un calificación total de 5 o menos? 14. Los siguientes 3 problemas son considerados problemas clásicos en probabilidad. a) (Galileo y Duque of Toscani) Compare la probabilidad de un total de 9 con un total de 10 cuando 3 dados honestos son lanzados una vez. b) (Chevalier de Méré) Compare la probabilidad de que se obtenga al menos un 6 en 4 lanzamientos de un dado honesto con la probabilidad de que se obtenga al menos un doble 6 en 4 lanzamientos de dos dados honestos. c) (Correspondencia a Newton) Compare la probabilidad de obtener al menos un 6 cuando seis dados son lanzados con la probabilidad de obtener al menos dos seises cuando doce dados son lanzados. 15. Un vendedor tiene una docena de pequeños motores eléctricos, dos de los cuales no funcionan. Un cliente está interesado en la docena de motores. El vendedor puede empaquetar los 1 motores en una caja o bien poner 6 en cada una de dos cajas. Él sabe que el cliente va a inspeccionar de los 1 motores si todos están una caja, o uno de cada caja si están en dos cajas. El vendedor tiene 3 estrategias para vender los dos motores fallidos: i) empacar los 1 en una caja; ii) poner uno de los motores fallidos en cada caja chica; o iii) poner ambos motores fallidos en una caja chica y en la otra ningún motor fallido. Cuál es la probabilidad de que el cliente no encuentre los motores fallidos en cada una de las estrategias? 16. La probabilidad de que al lanzar una moneda deshonesta se obtenga sol es p. Hugo, Paco y Luis tiran la moneda sucesivamente y Hugo es el que comienza los lanzamientos. El primero que obtenga un sol gana. Encuentre la probabilidad de ganar de cada uno de ellos. 17. La tradición nos dice que en ciertas áreas rurales de Rusia el matrimonio de una joven se determinaba de la siguiente manera: La joven sostenía en su mano 6 listones por la parte media, de manera que las puntas se encontraran por arriba y por abajo de la mano. El joven pretendiente debía amarrar por pares las 6 puntas que salían por arriba, y después amarrar las 6 puntas de abajo, también en pares. Si el joven amarró los 6 listones en un solo círculo, entonces la boda se realizaría en menos de un año. a) Cuál es la probabilidad de que se forme un solo círculo si los listones fueron amarrados aleatoriamente? b) Cuál es la probabilidad de que se formen dos o más círculos? 18. Mr. Bandit, un bien conocido ranchero pero no bien conocido ladrón de ganado, tiene 0 cabezas de ganado listas para vender. Dieciséis de estas cabezas son suyas y consecuentemente llevan su propia marca. Las otras cuatro llevan marcas ajenas. Mr. Bandit sabe que el inspector de marcas revisa el 0% del ganado de cualquier cargamento. Él tiene dos camiones, uno de los cuales puede cargar a las 0 cabezas a la vez, y el otro puede cargar sólo 10 cabezas. Mr. Bandit considera 4 estrategias en su intento de llevar el ganado al mercado para venderlo sin que sea descubierto: 1) enviar en un solo cargamento las 0 cabezas, ) enviar dos cargamentos de 10 cabezas cada uno, en donde las 4 cabezas robadas se encuentran en uno de los viajes, 3) se envían dos cargamentos de 10, uno con 3 cabezas robadas y el otro con una, y 4) se envían dos cargamentos de 10, cada uno con dos cabezas robadas. Qué estrategia minimiza la probabilidad de que Mr. Bandit sea descubierto? 19. Considere una urna que contiene 10 pelotas, de las cuales 5 son negras. Escoja al azar un número entero n en {1,...,6}, y después seleccione una muestra de n pelotas sin reemplazo de la urna. Encuentre la probabilidad de que todas las pelotas en la muestra sean negras. 0. Un distribuidor de semillas de sandía determinó, después de muchas pruebas, que el 4% de una gran cantidad de semillas no germina. Él vende las semillas en paquetes de 50, y garantiza al menos un 90% de germinación. Cuál es la probabilidad de que un paquete no cumpla la garantía?

3 1. Mr. Stoneguy, un experimentado comerciante de diamantes, decide recompensar a su hijo permitiéndole escoger una de dos cajas. Cada caja contiene 3 diamantes. En una de las cajas de los diamantes son reales y el otro es una excelente imitación; en la otra caja uno es real y los otros dos son imitaciones. Si el hijo escoge aleatoriamente entre las dos cajas, su oportunidad de conseguir diamantes verdaderos es 1/, por lo que Mr. Stoneguy decide ayudarlo de la siguiente manera: permite a su hijo sacar un diamante de una de las cajas y examinarlo para ver si es un verdadero diamante; si el diamante examinado es real, el hijo se queda con esa caja, y se queda con la otra caja en el otro caso. Cuál es la probabilidad de que el hijo se quede con verdaderos diamantes?. Un jugador tira un par de dados dos veces. Él gana si los dos totales obtenidos no difieren en más de dos con las siguientes excepciones: si obtiene un 3 en el primer tiro, debe obtener un 4 en el segundo tiro; si obtiene un 11 en el primer tiro, debe obtener un 10 en el segundo. Cuál es la probabilidad de que gane? 3. Cualquier punto en el intervalo [0,1) puede ser representado por su expansión decimal.x 1 x... Suponga que un punto es elegido aleatoriamente en el intervalo [0,1). Sea X el primer dígito en la expansión decimal del punto. Encuentre la función de densidad de X y construya una gráfica de la misma. 4. Una caja contiene 6 pelotas rojas y 4 pelotas negras. Se seleccionan en forma aleatoria n pelotas. Sea X el número de pelotas rojas seleccionadas. Encuentre la función de densidad de X si la selección se realizó, a) sin reemplazo. Grafique esta función para n = 8. b) con reemplazo. Grafique esta función para n = Sea N un entero positivo y sea f una función dada por x c, x 1,,..., N f( x) 0, e. o. c. Encuentre el valor de c tal que f(x) sea función de densidad. 6. Suponga que X es una variable aleatoria con función de densidad dada por x f(x) Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos: a) X es negativa. b) X es impar. c) X toma valores entre 1 y 8 (incluyendo los extremos). d) P(X = -3 X 0). e) P(X 3 X 0). 7. Una caja tiene 1 pelotas numeradas de 1 a 1. Dos pelotas son seleccionadas aleatoriamente de la caja. Sea X el número más grande de las dos pelotas. Encuentre la densidad de X si las bolas son seleccionadas: a) con reemplazo. Grafique esta densidad. b) sin reemplazo. Grafique esta densidad. 8. Una caja contiene r bolas numeradas 1,,...,r. Se seleccionan n bolas sin reemplazo de la caja. Sea Y el número más grande de las bolas seleccionadas en la muestra y Z el número más chico. a) Encuentre P(Y y). b) Encuentre P(Z z). 9. Un dado se tira hasta que un 6 aparece. a) Cuál es la probabilidad de que a lo más el dado se tire 6 veces? b) Cuántos tiros se necesitan para que la probabilidad de obtener un 6 sea al menos 0.5?

4 30. Sea X una variable aleatoria tal que P( X - 1 = ) = 0. Exprese P( X - 1 ) en términos de la función de distribución acumulada F X (x). 31. Un punto es seleccionado aleatoriamente del interior de un disco de radio R en el plano. Sea X el cuadrado de la distancia del punto al centro del disco. Encuentre la función de distribución acumulada y la función de densidad de X, construya las gráficas de estas funciones. 3. Considere un triángulo equilátero con lados de longitud s. Un punto es seleccionado aleatoriamente de uno de los lados del triángulo. Sea X la distancia del punto escogido al vértice opuesto. Encuentre la función de distribución acumulada de X y construya su gráfica. Calcule la función de densidad de X y grafíquela. 33. Sea (u,v) un punto escogido aleatoriamente del cuadrado 0 u 1, 0 v 1. Sea X la variable aleatoria que asigna al punto (u,v) el valor u+v. a) Encuentre la función de distribución acumulada de X y demuestre formalmente que cumple todas las propiedades requeridas. b) Encuentre la función de densidad de X y grafíquela. 34. Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución acumulada está dada por: 0, x 0 x/3, 0 x 1 F (x) x/, 1 x 1, x Encuentre a) P(1/ X 3/) b) P(1/ X 1) c) P(1/ X 1) d) P(1 X 3/) e) P(1 X ) f) Encuentre f(x) y grafique esta función. 35. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad está dada por: fx ( ) ( 1 ) e x ; - < x < a) Encuentre P( 1 x ). b) Encuentre F(x) (función de distribución acumulada). 36. Sea F(x) la función de distribución acumulada dada por 1 x F( x) ( x 1), - x Encuentre la función de densidad, f(x), correspondiente. Para qué valor de x, F'(x) = f(x)? 37. Sea X el seno del ángulo escogido aleatoriamente del intervalo (-/, /). Encuentre la función de densidad y la función de distribución de X. Grafique estas funciones. 38. Sea X una variable aleatoria continua que tiene función de distribución F y función de densidad f. La función de densidad f es simétrica con centro en a si f(a + x) = f(a - x), - x. Encuentre las condiciones equivalentes en términos de la variable aleatoria X y en términos de la función de distribución acumulada.

5 39. a) Demuestre que las siguientes son funciones de densidad: x f (x) e I (x) 1 f (x) e x (0, ) I (0, ) (x) f (x) ( 1) f1(x) f (x), 0 1 b) Pruebe la verdad o falsedad de la siguiente afirmación: si f 1 (x) y f (x) son funciones de densidad y si los valores 1 y son tales que 1 + = 1, entonces 1 f 1 (x) + f (x) es también una función de densidad. 40. Pruebe que la siguiente es una función de densidad: ( x) x( x) f( x) I(, ) ( x) I(, ] x x ( x) ( x) ( ), 0 >0 41. Encuentre la constante k tal que la siguiente función sea una función de densidad: fx ( ) kx I ( x). ( kk, ) 4. Un experimento consiste en lanzar bolas en 4 cajas de tal manera que cada bola tiene la misma probabilidad de caer en cada caja. Sea X el número de bolas en la primera caja. a) Cuál es la función de distribución acumulada de X? Construya su gráfica. b) Cuál es la función de densidad de X, y cuál es su gráfica? 43. Una moneda honesta es lanzada hasta que un sol aparece. Sea X el número de lanzamientos requeridos. Encuentre la función de densidad de X y haga una gráfica de la misma. 44. El individuo A tiene dos monedas y el individuo B tiene una. Ellos juegan volados hasta que uno de los dos tiene las 3 monedas. Sea X el número de volados requeridos para que el juego se acabe. a) Cuál es la función de densidad de X? b) Cuál es la probabilidad de que B gane el juego? 45. Sea fx( x) ( 1 )[ 1 ( x) ] I (, ) ( x), - < <, > 0 a) Demuestre que f X (x) es una función de densidad. Cómo es la gráfica de esta función para distintos valores de y? b) Encuentre la función de distribución acumulada correspondiente. 46. Sea fx ( x) k ( 1/ )[ 1 - [(x - ) / ] ] I ( -, + ) ( x), -, 0 a) Encuentre k tal que f(x) sea una función de densidad. Cómo es la gráfica de esta función para distintos valores de y? 47. Un avión con bombas vuela directamente arriba de una vía de tren. Si una bomba de las grandes (pequeñas) cae a menos de 40 (15) pies de la vía, ésta se dañará lo suficiente para que el tráfico se interrumpa. Sea X la distancia perpendicular de la vía al punto de caída de la bomba. Suponga que: 100 x fx ( x) I ( 0, 100 )( x ) 5000 a) Encuentre la probabilidad de que una bomba de las grandes interrumpa el tráfico. b) Si el avión puede cargar 3 bombas grandes (8 pequeñas) y usa las tres (ocho), cuál es la probabilidad de que se interrumpa el tráfico? c) Si el avión lleva tres bombas grandes y Y es el número de bombas que dañan la vía, encuentre f Y (y). 48. Una urna contiene pelotas numeradas 1,, 3. Primero se toma una pelota de la urna, luego una moneda se lanza el número de veces que dice la bola. Sea X la variable aleatoria que indica el número de soles. Encuentre la función de densidad de X.

6 49. Dada la función de distribución acumulada: 0 x F(x) x 1, 0.,,, x 0 0 x x 1 x 1 a) Exprese F(x) en términos de funciones indicadoras y construya su gráfica. b) Obtenga f(x) y construya su gráfica. c) Calcule P(0.5 < X < 0.75) d) Calcule P(0.5 < X < 0.5). x Sea FX( x) [ 1exp[ ]] I (, ),,, Verifique que F(x) es una función de distribución acumulada. e x 51. Sea fx ( x), x 01,,,..., > 0 x! Demuestre que f X (x) es una función de densidad. 5. El número de solicitudes de apertura de crédito que se reciben diariamente en una tienda departamental, es una variable aleatoria W con la siguiente función de distribución acumulada, 0, w 0 0.1, 0 w 1 F (w) 0.3, 1 w 0.7, w 4 1, w 4 a) Encuentre la probabilidad de que se reciban dos o más solicitudes en un día. b) Dado que ya se recibió al menos una solicitud, cuál es la probabilidad de que al final del día se hayan recibido tres o menos solicitudes? c) Encuentre la función de densidad de W. 53. Demuestre que: n 1 1 s n1 s n n s P 1 1 s n1