Probabilidad 1. Tarea 1

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1 Probabilidad 1. Tarea 1 Prof. Daniel Cervantes Filoteo Ayud. Fernando Rojas Linares Fecha de entrega: 4 de septiembre. Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas justificando sus respuestas. Entregue sus resultados, por equipos de 6 a 8 integrantes, en un formato limpio y ordenado. Para entrega solo serán 20 ejercicios, la lista se dará en clase. 1. Demuestre o de un contraejmplo, según sea el caso: a) El conjunto potencia P (Ω) es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω b) Toda σ-álgebra contiene a F 0 = {φ, Ω} y está contenida en P (Ω) c) Sean A,B,C eventos de F entonces P (A C) P (A B) + P (B C) 2. Sea Ω un conjunto infinito y F la σ-álgebra de todos los subconjuntos finitos de Ω y sus complementos. Demuestre que { 0, si A es finito P (A) = 1, si A tiene complemento finito no es una medida de probabilidad. 3. Sea Ω = {1, 2, 3}. Se sabe que P ({1}) = 0.3 y P ({2}) = 0.2. Calcule P ({1, 2}), P ({1, 3}) y P ({2, 3}). 4. Considere un juego de lotería donde se escogen 6 números de 49 posibles. Calcule la probabilidad de que los números ganadores a) Sean 1, 2, 3, 4, 5, 6 b) Contengan al número Dos dados son lanzados. Calcule la probabilidad de que el número obtenido al sumar las caras sea a) Igual a 7 b) Mayor que 5 c) Un número par 6. Una urna contiene B bolas blancas y R bolas rojas. Si se seleccionan m bolas aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que de esas m, k sean rojas? 7. Una compañía de seguros tiene los siguientes datos de sus clientes (que aseguraron al menos un auto): a) El 64 % aseguran más de un auto b) El 20 % aseguraron autos deportivos c) De los que aseguran más de un auto, el 15 % asegura autos deportivos Si se selecciona un cliente al azar Cuál es la probabilidad de que éste haya asegurado solo un auto y no sea deportivo. 8. Un closet contiene 10 pares de zapatos. Se seleccionan 8 zapatos aleatoriamente. Calcule la probabilidad de: a) no se complete ningún par. b) se complete exáctamente un par. 9. Si hay n desconocidos en un cuarto: a) Cuál es la probabilidad de que todos celebren su cumpleaños en días distintos? b) Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas tengan la misma fechas de cumpleaños? 10. Cuál es la probabilidad de formar la palabra ABRACADABRA si acomodamos las letras A, A, A, A, A, B, B, C, D, R, R aleatoriamente?

2 11. Suponga que A y B mutualmente exclusivos para los cuales se tiene que P (A) = 0.3 y P (B) = 0.2 a) Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? b) Cuál es la probabilidad de que ocurra A pero no B? c) Cuál es la probabilidad de que ocurran A y B? 12. Demuestre o dé un contraejemplo: a) Si P (A) = 0 A = b) Si P (A) = 1 A = Ω c) P ( n A i) n P (A i) (n 1) d) P (A B) = P (A) + P (B) 2P (A B) e) P (B) P (A) P (A B) f ) Sean A 1, A 2,... eventos: 1) Si P (A n ) = 0 para alguna n P ( A i) = 0 2) Si P (A n ) = 0 para toda n P ( A i) = 0 3) Si P (A n ) = 1 para alguna n P ( A i) = 1 4) Si P (A n ) = 1 para toda n P ( A i) = Siete bolas son extraídas al azar de una urna que contiene 12 bolas rojas, 16 azules y 18 bolas verdes. Encuentre la probabilidad de: a) sacar 3 bolas rojas, 2 azules y 2 verdes b) sacar al menos 2 bolas rojas c) que todas las bolas extraídas sean del mismo color d) que haya exactamente 3 bolas rojas o tres bolas azules 14. Suponga que P (A) = 1 2 y P (B) = 2 3. Demuestre que 1 6 P (A B) Un modelo para el movimiento de una acción en la Bolsa asume que cada día el precio de la acción se puede aumentar una unidad con probabilidad p y bajar una unidad con probabilidad 1 p. Los cambios diarios se asume que son independientes. a) Cuál es la probabilidad de que después de dos días permanezca en su precio original? b) Cuál es la probabilidad de que después de tres días el precio haya incrementado en una unidad? c) Dado que después de tres días el precio de la acción se haya incrementado en una unidad, Cuál es la probabilidad de que haya aumentado el primer día? 16. Un portafolio de inversión se parte en tres tipos que, dependiendo del riesgo que una persona acepte, se dividen en Bajo, Medio y Alto rendimiento. Ningún inversionista esta en más de un tipo de inversión. La inversión a la que este inscrita el participante se puede dividir a su vez en Moneda Nacional (Pesos) o Extranjera, pero no a ambos. La compañía tiene la siguiente información acerca de sus integrantes dentro del portafolio: La proporción de personas que deseean invertir en Moneda Extranjera es el 45 %. Se sabe que el 27 % y el 52 % son inversionistas de bajo y medio rendimiento, respectivamente. La probabilidad de que tenga inversión en moneda extranjera y de alto rendimiento es de 0.06 Calcule la probabilidad de que un inversionista sea de alto riesgo e invierta en moneda nacional. 17. Demuestre la fórmula de inclusión y exclusión: ( n ) P A i = n P (A i ) 1 i 1<i 2 n P (A i1 A i2 ) + 1 i 1<i 2<i 3 n ( n ) P (A i1 A i2 A i3 ) + + ( 1) n+1 P A i

3 18. En un salón de cierto grupo de Probabilidad I hay 4 hombres y 6 mujeres que estudian la carrera de Actuaría. También hay 6 hombres que estudian Matemáticas. Se sabe que si se selecciona un alumno al azar, el sexo y la carrera de dicho alumno son independientes. Cuántas mujeres que estudian Matemáticas hay en el salón? 19. Se sabe que P (A) = 0.4, P (A B) = 0.6, P (B A) = 0.25, P (C B) = 1 3 y P (C A B) = 0.5. Calcule P (A C B) = Una persona hace dos apuestas. Si gana la primera la probabilidad de ganar la segunda es 0.25 y la probabilidad de ganar cualquier apuesta es 1 3. Calcule la probabilidad de que la persona gane ambas apuestas. 21. Antonio tiene una cita con Lucia, sin embargo ha olvidado la hora en que llegará Lucia al lugar pactado, solo sabe que será entre las 3:00 y las 3:30. Cuando ella llegue esperará 10 minutos y se irá. Si Antonio llega aleatoriamente entre las 3:00 y las 3:30, espera 20 minutos y se va cuál es la probabilidad de que se encuentren? 22. Una empresa encuestadora busca saber cuál es la proporción de la población que canta mientras se baña. Sin embargo podría resultar vergonzoso para los encuestados admitir que son cantantes de regadera. Es por ello que se les propone el siguiente proceso. El encuestado lanza un dado y solo él verá el resultado, si el resultado es un 1 entonces contesta NO, si es un 6 contesta SI pero si el resultado es 2,3,4 o 5 entonces debe contestar sinceramente a la pregunta. Si la probabilidad de obtener un SI en esta encuesta es 2 3 seleccionado al azar cante cuando se baña? Cuál es la probabilidad de que un sujeto de la población 23. Una pequeña comunidad consiste en veinte familias de las cuales, cuatro tienen un hijo, ocho tienen dos hijos, cinco tres hijos, dos tienen cuatro hijos y una tiene cinco hijos. a) Si una de estas familias es escogida al azar, Cuál es la probabilidad de que tenga i hijos? Con i = 1,..., 5. b) Si uno de los hijos es escogido al azar, Cuál es la probabilidad de que el niño venga de una familia con i hijos? Con i = 1,..., Tres prisioneros son informados por el carcelero de que uno de ellos ha sido escogido al azar para ser ejecutado al día siguiente y los otros dos serán dejados en libertad. El Prisionero A le pide al carcelero que le cuente en secreto cuál de sus compañeros será dejado en libertad, argumentando que esa información no es importante porque él sabe que al menos uno de ellos saldrá libre. El carcelero se rehusa a contestar, explicando que si A sabe quién de sus compañeros saldrá libre, entonces la probabilidad que tiene A de ser ejecutado incrementaría de 1 3 a 1 2 porque sería seleccionado de un grupo de dos prisioneros. Cuál es tu opinión del razonamiento del carcelero? 25. Los genes relacionados con el albinismo son denotados por A y a. Solo aquellas personas que reciben el gen a de ambos padres son albinos. Las personas que tiene ambos genes son normales en apariencia pero aún pueden transmitir el riesgo a sus descendientes son llamados portadores. Suponga que una pareja normal tienen dos hijos, de los cuales uno es albino. Suponga que el niño no albino empieza a salir con una persona que es conocida por portar el gen del albinismo. a) Cuál es la probabilidad de que su primer descendiente sea albino? b) Cuál es la probabilidad condicional de que su segundo descendiente sea albino dado que el primer hijo no es albino? 26. Demuestre que si P (A) > 0, entonces: P (A B A) P (A B A B) 27. Una urna contiene 10 bolas: 4 rojas y 6 azules. Una segunda urna contiene 16 bolas rojas y un número desconocido de bolas azules. Se selecciona al azar una bola de cada urna. La probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color es Calcule el número de bolas azules en la segunda urna. 28. Hay 3 monedas en una caja I, II y III: La moneda I tiene en ambos lados soles, la moneda II es una justa y la III cae sol con probabilidad 0.75 y águila con probabilidad Se selecciona y se lanza una moneda, si el resultado es sol Cuál es la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la I?

4 29. Sean A y B eventos tales que P (A) = 0.8 y P (B) = 0.9. Calcula el valor más grande que puede tomar P (A B) P (A B) parejas se sientan de una manera aleatoria en una fila con 10 lugares. Cuál es la probabilidad de que ninguna pareja quede junta? Resuelve el problema bajo el supuesto de que las parejas se sientan en una mesa redonda. 31. Una casa dispone de una cerradura electrónica que se abre únicamente si se introduce el número secreto que consta de 4 cifras. Cuántos intentos debemos hacer para estar seguros de abrirla? Desanimados por el gran número de intentos necesarios, nos fijamos en que los dígitos 2, 5, 7 y 8 aparecen más desgastados que los demás. Cuántas claves distintas tendremos que probar si el número secreto está formado por esos dígitos? Y si los números desgastados fuésen sólo 2, 5 y 8? 32. A partir de 8 matemáticos y 9 físicos se desea formar un comité de 3 matemáticos y 3 físicos De cuántas maneras se podrá hacer si: a) Todos son elegibles? b) Un físico en particular debe estar en el comité? c) Dos físicos en concreto no pueden estar en el comité? 33. Supongamos que una urna contiene B bolas blancas y N bolas negras. Un primer experimento consiste en extraer aleatoriamente una bola de la urna, observar su color, y regresarla junto con C bolas más del mismo color a la urna. a) Sea B 1 el evento de observar una bola blanca en la primera extracción. Calcula P (B 1 ) b) Supongamos que después de que ocurre el primer experimento, se procede a extraer otra bola de manera aleatoria. Sea B 2 el evento de extraer una bola blanca en la segunda extracción. Calcula P (B 2 ). Cómo es con respecto a la probabilidad del inciso anterior? c) Si este experimento se continua repitiendo, pruebe por inducción que P (B n ) = P (B 1 ) n Una compañía de encuestas, para el torneo de fútbol de la temporada anterior, determinó que los equipos Real Madrid, Juventus y Bayern Munich eran tres favoritos para ganar la Champions League. En una encuesta realizada a fanáticos del fútbol, se les pide que ordenen a estos tres equipos del más probable al menos probable para ganar la copa. La encuesta arroja que el 50 % pone a Real Madrid en primer lugar, 30 % pone a Real Madrid en segundo lugar, 30 % pone a Juventus en segundo lugar, 50 % pone a Juventus en tercer lugar, 20 % a Real Madrid primero y Juventus en segundo. De los fanáticos que han puesto a la Juventus en primer lugar, encontrar la porción de los que han puesto a Real Madrid en último lugar. 35. Tres corredores A, B y C participan en una misma carrera. Denotaremos al evento A vence a B como AB, A vence a B que vence a C como ABC. Sabemos que P (AB) = 2 3, P (AC) = 2 3, P (BC) = 1. Además P (ABC) = 2 P (ACB), P (BAC) = P (BCA) y P (CBA) = P (CAB). Calcular P (A), P (B) y P (C). Son AB, AC y BC independientes?. 36. Una prueba diagnistica cáncer con una certeza del 95 % cuando el paciente tiene cáncer y tiene un error del 2 % detectando la enfermedad en pacientes que no la tienen. Se sabe que un 0.04 % de la población tiene cáncer. Si se elige una persona al azar: a) Cuál es la probabilidad de que la prueba salga positiva? b) Dado que la prueba dio positivo Cuál es la probabilidad de que la persona sí padezca la enfermedad? 37. Una mujer tiene n llaves, de las cuales solo una abre su puerta a) Si ella prueba las llaves de manera aleatoria, descartando las que no abren la puerta. Cuál es la probabilidad de que abra la puerta en su k-ésimo intento?. b) Cuál sería la probabilidad si no descartara las llaves que no abrieron la puerta?

5 38. * En un concurso, se tienen participantes con el mismo nivel de habilidades y la probabilidad de que uno de dos jugadores en especifico gane es de 0.5. En un grupo de 2 n jugadores, los jugadores se juntan en parejas aleatoriamente para competir entre ellos. Los 2 n 1 jugadores que ganan se vuelven a juntar en parejas aleatoriamente, y así consecutivamente hasta que solo queda un ganador. Considere dos jugadores en específico, el jugador A y el jugador B, y definamos los eventos A i, i n, E, como: a) Encuentra P (A i ), i = 1,..., n b) Encuentra P (E) c) Sea P n = P (E). Demuestra que: A i : el jugador A participa exactamente en i rondas. E : los jugadores A y B jamás se enfrentan. P n = 1 2 n 1 + 2n 2 2 n 1 ( ) 2 1 P n 1 2 Y usa esta fórmula para verificar tu respuesta del inciso anterior. Hint: Encuentra P (E) condicionando sobre en cúal de los eventos A i ocurre. Para simplificar tu respuesta, usa la identidad algebráica: n 1 ix i 1 = 1 nxn 1 + (n 1)x n (1 x) 2 Para otra aproximación de como resolver el problema, nota que hay un total de 2 n 1 partidas jugadas. d) Explica por qué son jugadas 2 n 1 partidas. Numera estas partidas y denota a B i como el evento en el que A y B se enfrentan uno al otro en la partida i, i = 1,..., 2 n 1 e) Encuentra P (B i ) f ) Usa el inciso anterior para encontrar P (E) 39. Suponga que se realizan n experimentos independientes,en cada uno de ellos el resultado puede ser 0, 1 ó 2, con probabilidades p 0, p 1, y p 2 respectivamente, 2 i=0 p i = 1. Encuentre la probabilidad de que los resultados 1 y 2 sucedan al menos una vez. 40. * Suponga que colecciona continuamente cupones y que hay m tipos diferentes de cupones. Suponga también que cada vez que obtiene un cupón nuevo, es un cupón de tipo i con probabilidad p i, i = 1,..., m. Suponga que acaba de conseguir su n-ésimo cupón (n < m). Cuál es la probabilidad de que este cupón sea de un nuevo tipo?