MÓDULO I. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES EZEQUIEL ZAMORA VICE-RECTORADO DE PLANIFICACIÓN Y DESARROLLO SOCIAL PROGRAMA CIENCIAS SOCIALES Y JURIDICAS SUBPROGRAMA ADMINISTRACIÓN SUBPROYECTO: ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRADORES II Distribuciones de Probabilidad MÓDULO I. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD De lo visto anteriormente en probabilidades y espacio muestral, se concluye que muchos experimentos son muy complejos dados los múltiples resultados. Una forma de suavizar o canalizar el tema de las probabilidades es por medio de fórmulas que asocien el experimento con una función o distribución de probabilidad de acuerdo con sus características. Por ejemplo, son muchos los experimentos que tienen que ver con solo dos posibles resultados (defectuoso-no defectuoso, ganar-perder, vivir-morir, vender-no vender, etc.); otros experimentos, tienen que ver con el número de resultados en un intervalo de tiempo o región específica (número de llamadas por minuto a un conmutador, número de artículos defectuoso por lote, número de clientes en un banco por mes, etc.); otros experimentes tienen que ver con la toma de una medida y bajo una situación normal (peso, tiempo, estatura, dimensiones, temperatura, área, etc.). Las fórmulas o distribuciones de probabilidad son una herramienta muy importante para solucionar problemas bajo incertidumbre sin necesidad de desarrollar todos los posibles resultados del experimento y de acuerdo con las características de la situación. Existen dos tipos de distribuciones; distribuciones de probabilidad para variables discretas y para variables continuas. Para una variable discreta, la distribución de probabilidades es, por lo general, una tabla que asocia una probabilidad a cada valor que puede tomar la variable aleatoria. La probabilidad de que la variable esté dentro de un rango de valores se halla por medio de la suma de todos los enteros que estén dentro del rango, incluyendo los extremos. Al considerar las variables continuas se encuentra uno el problema de que, lo más probable, los datos que se puedan recabar no sean completamente exactos, o dos o más de ellos no coincidan, por lo que se tienen que trabajar en intervalos y, en ese momento, modelar una función se convierte en un problema serio.

2 Distribuciones Discretas Distribución Binomial Características En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A y su contrario A, como por ejemplo, defectuoso-no defectuoso, ganó-perdió, sobrevivió-no sobrevivió, cara-sello, etc. El suceso A se conoce como éxito (se representa por p) y el suceso contrario A se conoce como fracaso (se representa por q y es igual a 1-p. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. El éxito y, por ende, el fracaso se dan en términos de probabilidad y son parámetros poblacionales obtenidos de conocimientos y/o experiencias de estudios anteriores. El experimento consta de un número n de pruebas o muestras. El objetivo de la distribución binomial es buscar la probabilidad de éxito en la muestra. Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial. A la variable x, que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, se le llama variable aleatoria binomial. La variable binomial es una variable aleatoria discreta y sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Para hallar la probabilidad de obtener x-éxitos en la muestra ( ) Dónde: P = Probabilidad q = El complemento de P. Las veces que no se obtiene éxito o fracaso p = Éxito r = Veces que deseo obtener éxito n = veces del proceso de observación

3 Parámetros de la Distribución Binomial Ejercicio 9. La probabilidad de que una determinada vacuna surta efecto es de 0,8. Calcule la probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes: a) A ninguno le surta efecto b) A 12 les surta efecto. c) A máximo 3 no les surta efecto. d) A mínimo 13 les surta efecto e). De 10 a 12 no les surta efecto Ejercicio 10. Una empresa productora sabe por experiencia que el 10% de sus artículos salen defectuosos. Un cliente interesado en los artículos decide hacer un pedido significativo, siempre y cuando al seleccionar una muestra aleatoria de tamaño 5, no más de un artículo salga defectuoso. Cuál es la probabilidad de que haga el pedido? Ejercicio 11. La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 8 por 100. Hallar: a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 548 b) La varianza y la desviación típica. Distribución de Poisson La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Trabaja con la probabilidad de ocurrencia en un tiempo determinado o región específica, teniendo como parámetro de la distribución el promedio de ocurrencias en el mismo intervalo de tiempo o región específica. Por ejemplo, el número de llamadas telefónicas que entran a un conmutador por hora; número de personas que se inscriben a la universidad por semestre, número de artículos defectuosos que salen por hora, etc. Condición: Los eventos deben ser independientes

4 Su distribución de probabilidad está dada por: Dónde: e = es la base del logaritmo natural x! = es el factorial de x = es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Parámetros de la Distribución de Poisson Ejercicio 12. Si en promedio ocurren 5 accidentes por día, hallar las siguientes probabilidades: a). Probabilidad de que en un día ocurran 3 accidentes. b). Probabilidad de que en un día ocurran más de 2 accidentes. c). Probabilidad de que en un día ocurran menos de 4 accidentes. d). Probabilidad de que en un día ocurran entre 4 y 6 accidentes. e). Probabilidad de que en un MEDIO día ocurra 1 accidente. Distribuciones Continúas Distribución Normal La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución continua de probabilidad más importante de toda la Estadística, debido a que su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas. Distribución Normal Estándar La probabilidad de que la variable aleatoria (que sigue una distribución normal) se encuentre entre dos valores determinados será en general difícil de calcular (hay que usar la integral de la función de probabilidad). Para ello, existen tablas que dan estos valores directamente.

5 Para tipificar la variable de interés X, se lleva a la fórmula: El valor de Z debe quedar con dos decimales Ejercicio 13. El peso promedio de las bolsas de café tiene una distribución aproximadamente normal con un peso promedio de 501 gramos y una desviación estándar de 15 gramos. a. Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso menor a 532,05 gms? b. Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso mayor a 448,5 gms? c. Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso entre 456 y 513,75 gms? d. Cuál es el peso máximo para que cubra el 59.10% de las bolsas de café?