PROBABILIDAD. - Lanzar dos monedas y observar los resultados. - Contar el número de piezas defectuosas que produce una máquina cada hora

Transcripción

1 . ALGEBRA DE SUCESOS SUCESOS: PROBABILIDAD Si fuesemos a lanzar un dado sabemos que podemos obtener como resultado,2,3,4,5 ó 6 ;pero hasta que no lo lancemos no sabremos que resultado que vamos a obtener. Si posteriormente lanzamo nuevamente el dado, seguramente obtendremos otro resultado. A los experimentos en los cuales los resultados no son siempre los mismos, pese a que los realizamos bajo las mismas condiciones, los llamamos experimentos aleatorios - Lanzar dos monedas y observar los resultados - Contar el número de piezas defectuosas que produce una máquina cada hora - Sacar una bola de una bolsa que contiene 6 bolas rojas y 8 negras, y mirar el color son ejemplos de experimentos aleatorios. ESPACIO MUESTRAL -Llamamos espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En estos apuntes lo representaremos por E - Si lanzamos,una tras otra,dos monedas,el espacio muestral es E = { CC, CX, XC, XX}, donde indica C="Sacar cara en una moneda" y X = "no sacar cara en una moneda" ; de forma que, por ejemplo CC es el resultado que consiste en sacar cara en la primera moneda y no cara en la segunda moneda. - Si lanzamos dos dados y contamos los puntos obtenidos, el SUCESOS espacio muestral es xxxxxxxx E = { 2,3,4,5,6,7,8,9,0,,2} Dado un espacio muestral podemos obtener subconjuntos de él; así en el caso del lanzamiento de dos dados tenemos, por ejemplo, el subconjunto: A = { 4,8,2}

2 A cualquiera de los subconjuntos de un espacio muestral lo llamamos un suceso. Así el suceso A lo podemos definir indicando el conjunto de sus resultados { 4,8,2 } o también indicando una propiedad que cumplen todos los resultados que entran en el conjunto "resultados que son mútiplos de 4" o lo que es lo mismo { x x es múltiplo de 4} El suceso que se compone de un solo resultado se llama suceso elemental, mientras que si se compone de varios resultados se denomina suceso compuesto; por ejemplo: Los sucesos B { } = 5 y C = "sacar un 0" al lanzar dos dados son sucesos elemetales; mientras que el suceso D = "sacar un número par" es un suceso compuesto. De igual manera el suceso A { CX } = al lanzar dos monedas, una tras otra, es un suceso elemental, mientras que el suceso B = "Sacar al menos una cara" es un suceso compuesto Resumiendo: A Suceso A E Si A es unitario A suceso elemental Si A no es unitario A suceso compuesto Se llama suceso imposible a cualquier suceso que no sea posible como resultado del experimento aleatrorio; por ejemplo Sacar un 3 al lanzar dos dados y sumar sus resultados. Lo representamos por Se llama suceso seguro al suceso que siempre se verifica al realizar un experimento elatorio; por ejemplo Sacar un número entre el y el 6, ambos inclusive, al lanzar un dado El suceso imposible lo representamos por y el suceso seguro por E El conjunto de todos los subconjuntos del espacio muestral los representamos por P( E ); luego PE ( ) representa el conjunto de todos los posibles sucesos que podemos encontrar en una experiencia aleatoria. Normalmente en el conjunto de sucesos que componen PE ( ) se incluyen a y E 2

3 Se llama suceso contrario del suceso A, a aquel suceseso que ocurre cuendo no ocurre A ; lo representamos por A Sea, por ejemplo, el suceso B = "Sacar, al menos, una cara" al lanzar dos monedas; el suceso contrario del suceso B será B = "no sacar ninguna cara", o en forma descriptiva: B = { CC, CX, XC} mientras que B { XX} =. ALGEBRA DE SUCESOS Con los sucesos podemos realizar las siguientes OPERACIONES: - Inclusión: Dado dos sucesos A y B del espacio muestral E, decimos que el suceso A está incluido en el suceso B, A B, si siempre que ocurre A ocurre B En la experiencia de lanzar un dado, el suceso está incluido en el suceso A= sacar multiplo de 3 = {3,6} B= sacar un número igual o mayor que 3 = {3,4,5,6} En forma gráfica, podemos representar la inclusión mediante el siguiente diagrama en el que E representa el espacio muestral y los sucesos A y B se han respresentado por circulos que contiene sus sucesos elementales - Unión de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un espacio muestral E, se llama suceso unión de A y B, A B, al suceso que se verifica cuando ocurre, al menos, uno de los dos sucesos. 3 En el espacio muestral asociado al lanzameinto de un dado, definimos los sucesos A= sacar un número par ={2,4,6} y el suceso B= Sacar un múltiplo de 3 = {3,6}, el suceso unión será: A B = "sacar un número par o un multiplo de tres" = 2,3,4,6} {

4 que lo podemos respresentar en forma gráfica: - Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un espacio muestral E, se llama seceso intersección de A y B, A B,al suceso que se verifica cuendo suceden simultáneamente A y B En el espacio muestral asociado al lanzameinto de un dado, definimos los sucesos A= sacar un número par ={2,4,6} y el suceso B= Sacar un múltiplo de 3 = {3,6}, el suceso intersección será: A B = "sacar un número par y multiplo de tres" = 6} que lo podemos representar en forma gráfica: { - Diferencia de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un espacio muestral E, se llama suceso diferencia.a-b, al suceso que se verifica cuando ocuure A, pero no ecurre B 4 En el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado, definimos los sucesos A= Sacar un número par y el suceso B= Sacar un número mayor que 3, el suceso diferencia A-B será: A-B = "Sacar un 2" = { 2}

5 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS: OPERACIÓN PROPIEDAD UNIÓN INTERSECCIÓN CONMUTATIVA A B=B A A B=B A ASOCIATIVA (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) DISTRIBUTIVA A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) COMPLEMENTARIA A A = E A A = LEYES DE MORGAN (A B) = A B (A B) = A B 2. CALCULO DE PROBABILIDADES Para cuantificar la posibilidad de que suceda cierto suceso en una experiencia aleatoria, empleamos el concepto de probabilidad Hemos tirado una moneda al aire y hemos anotado el número de veces en que aparece el suceso sacar cara Nº de tiradas Nºde caras, frecuancias) Frecuencias relativas

6 En la misma tabla hemos anotado las frecuencias relativas del suceso sacar cara, dividiendo el número de veces en que ha aparecido cara por el número de tiradas. Si repetimos muchas veces la experiencia, la frecuencia relativa tiende a aproximarse a un valor fijo; a ese valor fijo lo definimos como rpobabilidad del suceso. De forma intuitiva, definimos la probabilidad de un suceso aleatorio A, que representamos por PA, ( ) como el límite: número de casos favorabes PA ( ) = lim f( A) = lim n n n Siendo n = número de pruebas realizadas Esta forma de definir la probabilidad se llama Probabilidad experimental, y siempre nos dará un valor aproximado de la medida de la seguridad del que suceso A ocurra;valor que podremos aproximar al límite anterior aumentando el número de veces que realizamos la experiencia. Laplace definió lo que se llama Probabilidad a priori o teórica del suceso A como. número de casos favorables a que ocurra A PA= ( ) número de casos posibles siempre que los sucesos elementales del espacio muestreal tengan la misma probabilidad de ocurrir Si lanzamos una moneda al aire, la probabilidad del suceso A= obtener cara es: casos favorables PA= ( ) = = 0,5 casos posibles 2 Observamos que ambas definiciones de probabilidad cumplen las siguientes ppropiedades: - La probabilidad de un suceso es un valor entre 0 y - La probabilidad del suceso seguro es - Si A y B son dos sucesos incompatibles. A B= se cumple que P(A B)= P(A)+ P(B) 6

7 Tanto la definición de probabilidad a posteriori como la de probabailidad a priori son difíciles de manejar,ya que la primera requiere un número infinito de repeticiones, mientras que en la segunda no siempre sabemos si los sucesos elemenales, que comforman el espacio muestral, tienen la misma probabilidad. Por ello definimos la Probabilidad axiomática en la forma: - Sea E un espacio mestral y ( E) el algebra de todos los sucesos de E. - Se llama probabilidad a la aplicación P P: ( E) [0,] del todos los conjuntos que forman el algebra de sucesos en el intervalo cerrado [0,], que vesifica las siguientes condiciones: a) PE ( ) = b) Si A y B son incompatibles, A B =, entonces: P( A B) = P( A) + P( B) De estas tres condiciones se deducen las siguientes consecuencias: - Si A es el suceso contrario de A PA ( ) = PA ( ) - La probabilidad del suceso imposible es cero: P( ) = 0 ; pues - Si A y E = E y E = P( ) + P( E) = P( E) = P( ) = 0 B son dos sucesos, entonces: PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) como se puede concluir mirando la figura 7

8 EXPERIMENTOS ALEATORIOS COMPUESTOS Cuando realizamos una experiencia simple varias veces decimos que hemos realizado una experiencia aleatoria compuesta Una caja tiene 5 bolas blancas y 4 rojas. La experiencia de sacar una bola y mirar el resultado es un experimento aleatorio simple; pero el sacar dos bolas, una tras otra, y mirar sus resultados es una experiencia ateatoria compuesta. El espacio muestral en una experiencia aleatoria compuesta es el conjunto de resultados de la misma: El espacio muestral en la experiencia de sacar dos bolas, una tras otra, de una caja que contien 5 bolas blancas y 4 rojas es: {(B,B),(B,R),(R,B),(R,R)} E = donde en cada par ordenado, el resultado ha reflejado el orden de extraccioón de las bolas. Para el estudio de los experimentos compuestos es útil el representar los resultados mediante un diagrama de árbol Podemos respresentar mediante un diagrama de árbol el experimento aleatorio de extrar tres bolas, una tras otra, de una caja que contiene 5 bolas blancas y 4 rojas: 8

9 PROBABILIDAD COMPUESTA : Es la medida de la seguridad de que suceda un suceso aleatorio compuesto. Una caja tiene 6 bolas rojas, 7 bolas blancas y 3 bolas negras. Realizamos la experiencia de sacar, una tras otra, dos bolas. Cuál es la probabilidad de obtener la primera blanca y la segunda roja? Hemos representado en un diagrama de árbol los posibles resdultados de la experiencia El número de casos favorables al resultado será 7 3=2, mientras que el número de casos posibles será en número de combinaciones de 0 6! bolas tomadas de dos en dos, es decir C6,2 = = 20; luego: 2! 4! 2 P(B R) = = Podemos llegar al mismo resultado completando el diagrama de árbol con las probabilidades que hay de obtener cada resultado en cada etapa, como puede verse en el diagrama adjunto; y calcular la probabilidad del resultado final (suceso compuesto) multiplicando todas las probabilidades de las ramas por las que debemos pasar para llegar al resultado buscado 9

10 Para calcular la probabilidad pedida P(B R) multiplicamos que son las probabilidades de los sucesos que tienen que acontecer para obtener el resultado (en el diagrama se ha marcado en rojo): P(B R) = = = 0, PROBABILIDAD CONDICIONADA: En una caja tenemos 5 bolas blancas y 4 rojas. Un alumno extrae,una tras otra, dos bolas. Sean los sucesos: A B A B 2 2 = "Sacar una bola blanca en la primera extracción" = "Sacar una bola roja en la primera extracción" = "Sacar una bola blanca en la segunda extracción" = "Sacar una bola roja en la segunda extracción" Las probabilidades de los distintos sucesos son: P(A 5 4 ) = y P(B ) =, pero las probabilidades de la 9 9 segunda extracción van a depender de la forma en que realizamos la experiencia: 0

11 - a) Si al sacar la primera bola, miramos el resultado y la dejamos fuera de la caja: o Si la primera ha sido blanca: P(A 4 4 2) = = 0,5 y P(B 2) = = 0,5, pues quedarán 8 8 en la caja 4 bolas blancas y cuatro bolas rojas o Si la primera ha sido roja: P(A 5 3 2) = y P(B 2) =, pues quedarán en la caja bolas blancas y 3 rtojas - b) Ahora bien, si al sacar la primera bola, miramos el resultado y la develvemos a la caja, en el momento de realizar la segunda extracción estamos en la misma condición que al principio, luego: P(A 5 4 2) = y P(B 2) = 9 9 en el caso a) los resultados de la segunda extracción están condicionados por el resultado que hemos obtenido en la primera extracción; mientras eque en el caso b) no afecta para nada el resultado de la primera extracción Se llama suceso A condicionado B y se representa por A/B al suceso que produce cuando habiendo sucesido previamente B se da también A PA ( B) PA ( / B) = siendo P (B) > 0 () PB ( ) En el ejemplo anterior, si realizamos la segunda extracción sin reponer la primera, tenemos: P 5 4 P(A A ) = = = = 2 (A 2 / A ) 0.5 P(A 5 ) 8 De la expreión () deducimos: PA ( B) = PB ( ) PA ( / B), que es la forma en que hemos calulado la probabilidad de un suceso compuesto aprovechando el diagrama de árbol. 9

12 Sucesos independientes: Dos sucesos A y B son independientes si: P(A) = P(A/ B) y P(B) = P(B/ A) Si nos independientes los sucesos son dependientes. O de otra manera, dos sucesos A y B son independientes cuando el resultado obtenidos en el primer suceso no influye para nada en el segundo suceso Si realizamos la expereiencia de lanzar una moneda dos veces, los sucesos sacar cara en la primera tirada y sacar cara en la segunda tirada son dos sucesos independiente. Pero si realizamos la experiencia de sacar dos cartas de una baraja, una tras otra, y obsevamos los sucesos sacar oro en la primera extracción y sacar oro en la segunda extracción los sucesos son dependientes, pues el resultado de la segunda extracción está afectado por el resultado de la primera. TEOREMA DE LA PRBABILIDAD TOTAL Dos suceso A y B son incompatibles si A B = Los sucesos sacar oro en la extracción de una carta, de una baraja, y el suceso sacar copas en la extracción de una carta son sucesos incompatibles; pero los sucesos sacar oro en la extracción de una carta y el suceso sacar rey en la extracción de una carta son sucesos compatibles. Los sucesos A,A 2,,A n forman una sistema completo de susceos si se cumple que: - A A 2 An = E - Todos los A i son incompatibles dos a dos, es decir Ai Aj = para cualquier por de sucesos Teorema de la probabilidad total: Dado un sistema completo de suceos, A, de un espacio muestral E, la probabilidad de un suceso cualquiera es: n P(B) = P(A) i P(B/A) i 2 i= i

13 O en forma desarrollada: P(B)= P(A ) P(B/A ) + P(B) P(B/A ) + + P(A ) P(B/A ) 2 n n Tenemos tres cajas: la º contiene 5 bolas rojas y 3 blancas;la 2º contiene 4 bolas rojas y 6 blancas, y la 3º contiene 2bolas rojas y 6 blancas.realizamos la experiencia de sacar una bola de cualquiera de las tres cajas, cúal es la probabilidad de que la bola sacada sea blanca,si las tres cajas tienen la misma probabilidad de ser elegidas? Sean los sucesos: en este caso: A = "sacar una bola de la ª caja" A 2 = "sacar una bola de la 2ª caja" A 3 = "sacar una bola de la 3ª caja" B = " sacar bola blanca" P(B) = P(A ) P(B/A ) + P(A 2) P(B/A 2) + P(A 3) P(B/A 3) = = + + = = 0, A este mismo resultado podemos llegar si desarrollamos gráficamente la experiencia mediante un diagrama de árbol 3

14 Sumando las probabilidades de los obtenemos el mismo resultado tres resultados favorables TEOREMA DE BAYES Si una vez realizada la experiencia de ejemplo anterior observamos que la bola extraida es blanca, nos podemos preguntar por cuál es la probabilidad de que la bola extraida proceda la caja ª?, por ejemplo Cuando nos interesamos por el cálculo de una probabilidad con posterioridad a la realización del experimento hablamos de probabilidad a posteriori ; es decir estamos ineteresados en la probabilidad de que se haya producido un suceso A dado que se ha producido el suceso B. i En nuestro ejemplo estamos interesados por P (A / B) ; si nos fijamos en el diagrama de árbol anterior, vemos que hay un caso favorable de los tres casos posibles (indicados con una flecha roja) y cuyas probabilidades están indicadas en el propio diagrama; luego: 5 P (A 8 8 / B) = = = 0, Sean A i un sistema completo de sucesos y sea B un suceso cualquiera del espacio muestral, entonces: P(A / B) = i P(A i) P(B/A i) P(B) ques es llamado Teorema de Bayes. Este teoream es útil cuando se conocen las P (A i) (probabilidades a priori) y las P (B/A i) (verosimilitudes). Las probabilidades P (A i / B) que queremos calcular se los llama probabilidades a posteriori. Si aplicamos el teorema al ejemplo anterior: P P(A ) P(B/A ) 8 5 P(B) (A / B) = = = 0,27 4