En esta unidad se introduce el concepto de experimento aleatorio y seguidamente se definen suceso y espacio muestral del mismo. Se

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1 Probabilidad PROBABILIDAD En esta unidad se introduce el concepto de experimento aleatorio y seguidamente se definen suceso y espacio muestral del mismo. Se muestran los distintos tipos de sucesos y sus operaciones. Todo ello se acompaña de una amplia variedad de experiencias que permiten reconocer los fenómenos aleatorios y diferenciarlos de los deterministas, así como estimular la realización de predicciones sobre el comportamiento de estos fenómenos. Al introducir la probabilidad de un modo experimental y en un contexto práctico el alumnado confrontará los sistemas de creencias personales, de carácter determinista, con la importancia y utilidad de la estadística para la toma de decisiones, con una base racional y objetiva. En el último epígrafe, partiendo del concepto de frecuencia relativa, se establece la definición clásica de probabilidad de un suceso como el número al que se aproxima la frecuencia relativa del mismo cuando el experimento se realiza un número suficientemente grande de veces. Es un error habitual esperar que la frecuencia real de un suceso se manifieste en muy pocos ensayos. Por ello es importante resaltar el carácter imprevisible de cada resultado aislado, así como la variabilidad de las muestras pequeñas. La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán adquirir varias competencias al mismo tiempo. Comunicación lingüística (CL) El lenguaje estadístico y probabilístico se emplea frecuentemente en los medios de comunicación: para describir realidades sociales o prever su evolución, en las previsiones electorales, en resultados deportivos, etc. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT) La competencia matemática, que ha de ser multifuncional, permitirá afrontar diferentes niveles de dificultad, desde las situaciones conocidas que suponen una aplicación de lo aprendido, a las que plantean alguna modificación respecto a la propia experiencia, hasta llegar a los problemas nuevos cuya resolución requiere una alta competencia. Competencia digital (CD) Se integra en el epígrafe Diagrama de árbol, así como en las secciones de Matemáticas en el día a día y Matemáticas vivas, haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos. Competencias sociales y cívicas (CSC) A lo largo de la unidad se fomenta el razonamiento crítico ante la toma de decisiones basado en la valoración de la evidencia objetiva, apoyada en los datos, frente a criterios subjetivos. Competencia aprender a aprender (CAA) Se incide en el desarrollo de esta competencia desde los contenidos relacionados con la autonomía, la perseverancia y el esfuerzo para abordar situaciones de creciente complejidad, la sistematización, la mirada crítica y la habilidad para comunicar los resultados del propio trabajo. Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE) La situación o contexto en la que se han planteado los problemas juega un papel determinante, asegura que el aprendizaje se aplique a satisfacer necesidades del ciudadano. En la sección de Matemáticas vivas aparece una conexión directa entre los contenidos matemáticos estudiados y la realidad en la que vivimos. Competencia de conciencia y expresiones culturales (CCEC) A lo largo de la unidad aparecen diversos juegos de azar que brindan una oportunidad de recreación sobre una manifestación más de la cultura popular. El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos. Objetivos Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son: Distinguir entre experimentos deterministas y experimentos aleatorios. Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio e iidentificar los distintos tipos de sucesos. 438

2 Probabilidad Reconocer situaciones de equiprobabilidad y calcular probabilidades de sucesos aplicando la regla de Laplace. Emplear las propiedades de la probabilidad. Construir diagramas de árbol para la representación de sucesos compuestos y emplearlos para el cálculo de probabilidades. Relacionar la probabilidad de un suceso con la frecuencia relativa del mismo cuando el experimento se realiza un número elevado de veces. Atención a la diversidad Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Material complementario En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionados con la probabilidad. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre probabilidad y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos. Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar los problemas de probabilidad pueden acceder a las lecciones 1199, 1208, 1210, 1211, 1262 y 1263 de la web PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Experimentos aleatorios. Sucesos Operaciones con sucesos Propiedades de las operaciones con sucesos Probabilidad. Regla de Laplace Propiedades de la probabilidad Diagrama de árbol Frecuencia y probabilidad 1. Reconocer los experimentos aleatorios frente a los deterministas. 2. Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio. 3. Distinguir entre los distintos tipos de sucesos. 4. Determinar la unión e intersección de sucesos. 5. Identificar sucesos aleatorios compatibles e incompatibles. 6. Aplicar las propiedades de las operaciones con sucesos. 7. Asignar un valor a la probabilidad de un suceso. 8. Calcular probabilidades empleando la regla de Laplace. 9. Conocer las propiedades de la probabilidad. 10. Construir diagramas en árbol para representar el espacio muestral de un suceso aleatorio compuesto. 11. Calcular la probabilidad de sucesos de experimentos aleatorios compuestos empleando los diagramas de árbol. 12. Relacionar la probabilidad de un suceso aleatorio con la frecuencia relativa del mismo cuando el experimento se realiza un número elevado de veces Reconoce las situaciones en las que interviene el azar como experimentos aleatorios Expresa de diversos modos el espacio muestral de un experimento aleatorio Identifica el suceso imposible y el suceso seguro Construye el suceso contrario de un suceso dado Expresa de modo conjuntista la intersección y la unión de sucesos Reconoce si dos sucesos dados son compatibles Simplifica expresiones en las que aparecen uniones e intersecciones de sucesos Asigna probabilidades a sucesos Reconoce sucesos equiprobables y emplea la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades Aplica el cálculo de probabilidades para resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana Obtiene la probabilidad de un suceso a partir de su relación con otro Emplea las propiedades de la probabilidad para resolver problemas Emplea el diagrama de árbol para representar todos los casos posibles, junto con sus probabilidades, en los experimentos compuestos Resuelve problemas de probabilidad compuesta, utilizando diagramas de árbol Calcula la probabilidad de un suceso a partir de la frecuencia relativa Conoce y aplica la ley de los grandes números. Relación de actividades del libro del alumno 1, 46 Matemáticas vivas , 48 2, 8, 49 6, , 50, 52, 53 12, 13, 51 15, 54 16, 17, 25 55, 59, 64, P1 18, , 63 19, 20, 24 57, 61, 70 Matemáticas vivas 2, 3 Trabajo cooperativo 26-28, , 60, 62, 65-69, , , 44 84, 86 41, 42, 45, 85 Competencias clave CL CMCT CSC CAA CL CMCT CSC CAA CL CMCT CSC CAA CSIEE CCEC CL CMCT CSC CAA CSIEE CCEC CL CMCT CD CSC CAA CL CMCT CSIEE CCEC 439

3 Probabilidad PARA EL PROFESOR MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD PARA EL ALUMNO Presentación de la unidad Ideas previas Repasa lo que sabes Matemáticas en el día a día Contenido WEB. El estudio de la probabilidad Actividades de Refuerzo Actividades de Ampliación 1. Experimentos aleatorios. Sucesos Propuesta de Evaluación A Propuesta de Evaluación B 2. Operaciones con sucesos Propiedades de las operaciones con sucesos 3. Probabilidad. Regla de Laplace 4. Propiedades de la probabilidad 5. Diagrama de árbol Vídeo. Diagrama de árbol MATERIAL COMPLEMENTARIO 6. Frecuencia y probabilidad Comprende y resuelve problemas Qué tienes que saber? Experimentos aleatorios. Sucesos Regla de Laplace Propiedades de la probabilidad Practica+ Actividades finales Actividades interactivas MisMates.es Lecciones 1199, 1208, 1210, 1211, 1262 y 1263 de la web Matemáticas vivas Sistemas de identificación Estudio del PIN de las tarjetas bancarias Avanza Probabilidad condicionada Trabajo cooperativo Tarea cuya estrategia es Preparar la tarea de David y Roger Johnson Probabilidades en los juegos de azar Falacia del jugador 440

4 Probabilidad PROBABILIDAD IDEAS PREVIAS Operaciones con fracciones. Fracciones y números decimales. Porcentajes. El lanzamiento de una pelota desde cierta altura o el calentamiento de un líquido al aplicarle una fuente de calor son ejemplos de fenómenos deterministas. Esto significa que, al repetir el experimento en las mismas condiciones, se obtiene el mismo resultado: la pelota tarda el mismo tiempo en llegar al suelo, y el líquido alcanza la misma temperatura tras un cierto intervalo de tiempo. Sin embargo, al lanzar los dados en una partida de parchís o al extraer las bolas en el juego del bingo no es posible determinar el resultado; este depende del azar. Se trata de experimentos aleatorios en los que se puede analizar la incertidumbre, es decir, calcular la probabilidad de los distintos sucesos que pueden aparecer en cada prueba del experimento. REPASA LO QUE SABES 1. Halla el resultado de estas operaciones. a) b) c) d) Escribe en forma decimal y como porcentaje. a) 1 b) 2 c) 5 d) 23 e) e) f) f) Halla el tanto por ciento que representan estas afirmaciones. a) Un ciclista ha recorrido 12 km de la ruta de 25 km. b) En una caja de 120 tornillos hay 15 con defectos de fabricación. c) Laura tiene 5 chicles en una bolsa con 20 golosinas. mac3e53 Matemáticas en el día a día [ ] El estudio de la probabilidad permite predecir el tiempo o calcular cuántas posibilidades tenemos de que nos toque la lotería o de que ganemos en un juego de azar. 277 Sugerencias didácticas En la introducción de esta unidad se exponen varios ejemplos de fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios, lo que ayuda a distinguirlos. Empezaremos la unidad proponiendo ejercicios en los que tengan que recordar las operaciones con fracciones, números decimales y porcentajes. Al terminar la unidad debemos asegurarnos de que los alumnos son capaces de resolver problemas con sucesos aleatorios. También haremos hincapié en que los alumnos argumenten y comuniquen sus resultados y conclusiones, en todo momento, mediante la utilización del lenguaje matemático adecuado. Contenido WEB. EL ESTUDIO DE LA PROBABILIDAD En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se explica cuáles son las probabilidades de ganar en los juegos de azar más comunes. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial. Repasa lo que sabes Soluciones de las actividades 1. Halla el resultado de estas operaciones. a) b) c) d) e) f) a) 2 3 c) 3 8 e) 2 3 b) 3 d) Escribe en forma decimal y como porcentaje. a) 1 c) 5 e) b) 2 d) f) a) 0,25 = 25 % c) 0,625 = 62,5 % e) 0,3 = 30 % b) 0,4 = 40 % d) 0,46 = 46 % f) 0,65 = 65 % 3. Halla el tanto por ciento que representan estas afirmaciones. a) Un ciclista ha recorrido 12 km de la ruta de 25 km. b) En una caja de 120 tornillos hay 15 con defectos de fabricación. c) Laura tiene 5 chicles en una bolsa con 20 golosinas. a) 48 % b) 12,5 % c) 25 % f)

5 Probabilidad 1. Experimentos aleatorios. Sucesos Probabilidad Actividades Aprenderás a Identificar el espacio muestral de un experimento aleatorio. Distinguir diferentes tipos de sucesos en un experimento aleatorio. 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS Isabel decide sortear un libro entre seis amigos. Con este fin, asigna un número del 1 al 6 a cada uno de ellos y lanza un dado para regalar el libro a aquel amigo cuyo número coincida con la puntuación obtenida en el dado. Cuál será el resultado? El sorteo de Isabel es un juego de azar. El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio, ya que no podemos determinar cuál será el resultado, aunque sí sabemos que las posibilidades son: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Un experimento aleatorio es aquel que tiene un resultado que no se puede predecir. Los sucesos aleatorios de un experimento son las distintas situaciones que se pueden estudiar y que están relacionadas con él. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral, E Indica razonadamente cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios. a) Hallar el perímetro de un triángulo equilátero cuyas alturas miden 1 cm. b) Sumar las alturas de las cinco primeras personas que nos encontramos en la calle al salir de casa. c) Contar el número de caras que se obtienen al lanzar al aire 30 monedas. d) Determinar el día de la semana correspondiente a una fecha del calendario. Escribe un suceso imposible relacionado con los experimentos del ejercicio anterior que sean aleatorios. Copia en tu cuaderno y completa esta tabla de doble entrada con los resultados posibles al lanzar dos dados. Determina el espacio muestral de este experimento aleatorio. EJERCICIO RESUELTO Lenguaje matemático Para escribir los sucesos aleatorios, podemos indicar sus elementos entre llaves y designarlos mediante una letra mayúscula. Por ejemplo: B = obtener un número par B = {2, 4, 6} Presta atención El suceso contrario del contrario de un suceso dado es este mismo suceso. A = A } Escribe cinco sucesos aleatorios relacionados con el sorteo de Isabel. Solución Algunos sucesos relacionados con este experimento aleatorio son: Salir un 4 al lanzar el dado. Obtener un número par. Obtener un número impar. Salir un número positivo. Salir un 8 al lanzar el dado. Si nos fijamos en el ejercicio anterior, el primer suceso tiene lugar cuando aparece uno de los resultados del espacio muestral; es un suceso elemental. Podemos escribirlo de este modo: A = {4} Sin embargo, el segundo consta de tres resultados posibles: que salga un 2, un 4 o un 6; es un suceso compuesto. Lo representamos así: B = {2, 4, 6} Obtenemos el tercer suceso cuando sale un 1, un 3 o un 5; sin embargo, también podemos pensar que tiene lugar cuando no ocurre el segundo; es el suceso contrario de B. Podemos escribirlo como: B = {1, 3, 5} El cuarto suceso se produce siempre en el lanzamiento de un dado: se trata de un suceso seguro. El quinto, por último, no puede ocurrir nunca al lanzar el dado de seis caras de Isabel: es un suceso imposible. Los sucesos elementales son los sucesos que componen el espacio muestral de un experimento aleatorio. Los sucesos compuestos están formados por dos o más sucesos elementales. El suceso contrario de A, A, es el suceso que ocurre cuando aparecen todos los resultados del espacio muestral salvo los de A. El suceso seguro es aquel que ocurre siempre en un experimento aleatorio. Coincide con la expresión del espacio muestral: E. El suceso imposible es el que no se produce nunca en el experimento aleatorio que se estudia. Se denota por: Cuál es el espacio muestral del experimento aleatorio consistente en sumar las puntuaciones obtenidas en el lanzamiento de dos dados? Son elementales todos los sucesos que forman parte del espacio muestral? Determina el espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire tres monedas de 1. Qué sucesos elementales forman el suceso compuesto obtener una cara y dos cruces? Si A es el suceso obtener una figura al extraer una carta de la baraja, de cuántos sucesos elementales está compuesto el suceso A? Si A es el suceso conseguir un múltiplo de 3 al sumar las puntuaciones obtenidas al lanzar dos dados, de cuántos elementos consta el suceso A? Si se extraen 31 cartas de la baraja, es seguro el suceso coger al menos una carta de cada palo? En tu vida diaria La baraja española está formada por cuatro palos: oros, copas, espadas y bastos. La carta con el 1 de cada palo recibe el nombre de as, y las que tienen los valores 10, 11 y 12 corresponden a las figuras, llamadas sota, caballo y rey, respectivamente. DESAFÍO Sugerencias didácticas Tras exponer que un suceso aleatorio se distingue del determinista en que su resultado es impredecible antes de efectuar el correspondiente experimento, se introduce la noción de espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. A los alumnos con mayor madurez matemática se les puede plantear un asunto que se presta al contraste de ideas. Nos referimos al concepto de suceso con probabilidad nula de ocurrencia. En los espacios muestrales finitos el único suceso con probabilidad nula es el vacío. Sin embargo, si el espacio muestral es infinito aparecen fenómenos intrigantes. Por ejemplo, la probabilidad de que al escoger un número real al azar sea racional es 0, a pesar de que no es el suceso vacío pues hay muchos números racionales. Soluciones de las actividades 1 Indica razonadamente cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios. a) Hallar el perímetro de un triángulo equilátero cuyas alturas miden 1 cm. b) Sumar las alturas de las cinco primeras personas que nos encontramos en la calle al salir de casa. c) Contar el número de caras que se obtienen al lanzar al aire 30 monedas. d) Determinar el día de la semana correspondiente a una fecha del calendario. a) No es un experimento aleatorio, se puede calcular el perímetro mediante ecuaciones. b) Es un experimento aleatorio, no podemos predecir las alturas de las personas que nos encontraremos. c) Es un experimento aleatorio, no se puede saber cuántas caras se van a obtener. d) No es un experimento aleatorio, se puede determinar el día consultando un calendario. 442

6 Probabilidad 2 Escribe un suceso imposible relacionado con los experimentos del ejercicio anterior que sean aleatorios. Respuesta abierta. Por ejemplo: b) La suma de las alturas es superior a 15 m. c) Obtener 31 caras. 3 Copia en tu cuaderno y completa esta tabla de doble entrada con los resultados posibles al lanzar dos dados. Determina el espacio muestral de este experimento aleatorio. E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 4 Cuál es el espacio muestral del experimento aleatorio consistente en sumar las puntuaciones obtenidas en el lanzamiento de dos dados? Son elementales todos los sucesos que forman parte del espacio muestral? E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} No todos los sucesos de este experimento aleatorio son elementales; por ejemplo, se puede obtener que la suma es 4 de tres formas distintas. 5 Determina el espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire tres monedas de 1. Qué sucesos elementales forman el suceso compuesto obtener una cara y dos cruces? E = {(C, C, C), (C, C, X), (C, X, C), (X, C, C), (C, X, X), (X, C, X), (X, X, C), (X, X, X)} A = {(C, X, X), (X, C, X), (X, X, C)} 6 Si A es el suceso obtener una figura al extraer una carta de la baraja, de cuántos sucesos elementales está compuesto el suceso A? Está compuesto por los 28 sucesos correspondientes a extraer una carta que no sea una figura. 7 Si A es el suceso conseguir un múltiplo de 3 al sumar las puntuaciones obtenidas al lanzar dos dados, de cuántos elementos consta el suceso A? Consta de 7 elementos: A = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11} Desafío 8 Si se extraen 31 cartas de la baraja, es seguro el suceso coger al menos una carta de cada palo? Es seguro pues si cogemos cartas de solo 3 palos tomaremos, a lo sumo, 3 10 = 30 < 31 cartas. 443

7 Probabilidad 2. Operaciones con sucesos Probabilidad Actividades Aprenderás a Determinar los sucesos unión e intersección de un experimento aleatorio. Reconocer sucesos aleatorios compatibles e incompatibles. Lenguaje matemático Utilizamos el signo para indicar la unión de dos sucesos: D = A B Empleamos el signo para indicar la intersección de dos sucesos: C = A B 2. OPERACIONES CON SUCESOS Alberto, Beatriz y Carmen quieren organizar un turno para hacer la compra junto con sus padres, Diana y Fernando. Si utilizan una ruleta para sortear quién irá al mercado, qué resultados pueden obtener? Llamamos A, B, C, D y F respectivamente a los sucesos correspondientes a que Alberto, Beatriz, Carmen, su madre y su padre sean los encargados de hacer la compra. Entonces: A = {2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7} C = {2} D = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} F = {1} Observamos que la madre irá a la compra con Alberto, con Beatriz o con ambos al mismo tiempo, pues el suceso D ocurre si el número que sale es primo o par o cumple ambas condiciones a la vez, como sucede con el 2. En este caso, el suceso D es el suceso unión de A y B. Sin embargo, Carmen irá a la compra si van Alberto y Beatriz simultáneamente, pues el suceso C tiene lugar solo si el resultado es un número primo y par a la vez. Diremos entonces que el suceso C es el suceso intersección de A y B. Según la afirmación del padre, él solo irá a la compra si no va la madre, esto es, los sucesos D y F no pueden ocurrir a la vez: son sucesos incompatibles. En un experimento aleatorio: La unión de los sucesos A y B es el suceso que ocurre cuando se produce A, B o ambos a la vez. La intersección de los sucesos A y B es el suceso que tiene lugar cuando se producen A y B simultáneamente. Los sucesos A y B son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez. Entonces: A B = Si dos sucesos A y B tienen elementos comunes, es decir, si A B, son compatibles. Propiedades de las operaciones con sucesos La unión de un suceso y su contrario es el suceso seguro: A A = E La intersección de un suceso y su contrario es el suceso imposible: A A = El contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus contrarios: A B = A B El contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus contrarios: A B = A B Al pesar a los alumnos de una clase de 3.º de ESO observamos que todos los resultados se encuentran entre 45 kg y 80 kg. Describe las operaciones indicadas más abajo, considerando los siguientes sucesos. A = tener un peso superior a 60 kg B = tener un peso inferior a 55 kg C = tener un peso entre 50 y 65 kg a) A B b) B C c) B C d) A C De una urna con diez bolas numeradas del 1 al 10, extraemos una bola y anotamos su número. Describe las operaciones indicadas más abajo, considerando estos sucesos. A = {1, 2, 5, 6} C = {6, 7, 8, 9, 10} B = {1, 2, 3} D = {3, 6, 9} a) A B c) B C e) A D g) B C b) A C d) A B f) A B h) (A B) C Raúl va a extraer una carta de una baraja española para anotar su número. Teniendo en cuenta estos sucesos: A = salir un múltiplo de 2 C = salir un múltiplo de 5 B = salir un múltiplo de 3 D = salir un múltiplo de 6 describe el espacio muestral y los sucesos indicados a continuación. a) A B c) A D e) A D g) (A B) C b) A B d) A B f) C D h) (A C) D Cuál de los sucesos anteriores consta de un mayor número de elementos? Cuál es el que está formado por menos sucesos elementales? Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Un suceso y su contrario son siempre incompatibles. b) Si dos sucesos son incompatibles, entonces uno es el contrario del otro. Lanzamos un dado dodecaédrico y anotamos el número que aparece en la cara superior. Consideramos estos sucesos. A = obtener un número par B = obtener un número primo C = obtener un número menor que 5 D = obtener un número mayor que 6 Indica qué parejas de sucesos son incompatibles en este experimento aleatorio. En el experimento del ejercicio anterior consideramos estos sucesos. A = obtener un número menor que 7 B = obtener un número primo Expresa las operaciones en función de los sucesos elementales. a) A B b) A B c) A B d) A B Qué observas? Comprueba que se verifican las siguientes propiedades distributivas para las operaciones con sucesos. a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C) DESAFÍO Sugerencias didácticas Definimos el suceso unión de otros dos como aquel que sucede cuando ocurren uno u otro (o ambos), mientras que la intersección ocurre si suceden los dos. Conviene señalar que por convención, en el lenguaje matemático «o» tiene siempre un significado no excluyente, lo que implica, a veces, una patente diferencia con el uso del lenguaje ordinario. En cuanto al suceso contrario, un conocimiento elemental del lenguaje permite comprender que el suceso contrario de uno dado es el que acaece cuando no lo hace aquel. También resulta ilustrativa la denominación de incompatibles para designar dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. De las definiciones se deducen directamente las propiedades básicas; un suceso y su contrario son incompatibles y su unión es el suceso seguro. También se deducen semánticamente las leyes de De Morgan, cuya justificación se puede aclarar gráficamente con los denominados diagramas de Venn: el contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de los contrarios y el contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de los contrarios. Soluciones de las actividades 9 Al pesar a los alumnos de una clase de 3º de ESO observamos que todos los resultados se encuentran entre 45 kg y 80 kg. Describe las operaciones indicadas más abajo, considerando los siguientes sucesos. A = tener un peso superior a 60 kg B = tener un peso inferior a 55 kg C = tener un peso entre 50 y 65 kg a) A B b) B C c) B C d) A C a) A B es un suceso imposible b) B C = tener un peso entre 55 y 65 kg c) B C = tener un peso entre 50 y 55 kg d) A C = tener un peso entre 50 y 60 kg 444

8 Probabilidad 10 De una urna con diez bolas numeradas del 1 al 10, extraemos una bola y anotamos su número. Describe las operaciones indicadas más abajo, considerando estos sucesos. A = {1, 2, 5, 6} B = {1, 2, 3} C = {6, 7, 8, 9, 10} D = {3, 6, 9} a) A B c) B C e) A D g) B C b) A C d) A B f) A B h) (A B) C a) A B = {1, 2} c) B C = e) A D = {1, 2, 3, 5, 6, 9} g) B C = {1, 2, 3} = B b) A C = {6} d) A B = {1, 2, 3, 5, 6} f) A B = {5, 6} h) (A B) C = {1, 2, 6, 7, 8, 9, 10} 11 Raúl va a extraer una carta de una baraja española para anotar su número. Teniendo en cuenta estos sucesos: A = salir un múltiplo de 2 C = salir un múltiplo de 5 B = salir un múltiplo de 3 D = salir un múltiplo de 6 describe el espacio muestral y los sucesos indicados a continuación. a) A B c) A D e) A D g) (A B) C b) A B d) A B f) C D h) (A C) D Cuál de los sucesos anteriores consta de un mayor número de elementos? Cuál es el que está formado por menos sucesos elementales? a) A B = {6, 12} c) A D = {6, 12} e) A D = {1, 3, 5, 7, 9, 11} g) (A B) C = {5, 6, 10, 12} b) A B = {3, 9} d) A B = {1, 5, 7, 11} f) C D = {5, 10} h) (A C) D = {6, 10, 12} De estos sucesos, el que consta de más elementos es el del apartado e). Mientras que los que están formados por menos sucesos elementales son los de los apartados a), b), c) y f). 12 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Un suceso y su contrario son siempre incompatibles. b) Si dos sucesos son incompatibles, entonces uno es el contrario del otro. a) Verdadera b) Falsa 13 Lanzamos un dado dodecaédrico y anotamos el número que aparece en la cara superior. Consideramos estos sucesos. A = obtener un número par C = obtener un número menor que 5 B = obtener un número primo D = obtener un número mayor que 6 Indica qué parejas de sucesos son incompatibles en este experimento aleatorio. La única pareja de sucesos incompatibles es la formada por C y D. En el experimento del ejercicio anterior consideramos estos sucesos. A = obtener un número menor que 7 Expresa las operaciones en función de los sucesos elementales. B = obtener un número primo a) A B b) A B c) A B d) A B Qué observas? a) A B = {8, 9, 10, 12} c) A B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} b) A B = {8, 9, 10, 12} d) A B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Se cumple que: A B = A B y A B = A B Desafío 15 Comprueba que se verifican las siguientes propiedades distributivas para las operaciones con sucesos. a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C) a) Observamos que ocurre el suceso A (B C) si ocurre A y, además, o bien sucede B, o bien sucede C. Esto es, si suceden A y B, o bien si se cumplen A y C, es decir, si se cumple el suceso (A B) (A C). b) Ocurre el suceso A (B C) si ocurre A o bien ocurren tanto B como C. En ambos casos también ocurren A B y A C, luego ocurre la intersección (A B) (A C). 445

9 Probabilidad 3. Probabilidad. Regla de Laplace Probabilidad Actividades Aprenderás a Asignar un valor a la probabilidad de un suceso. Reconocer cuándo varios sucesos son equiprobables. Aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de algunos sucesos. Determinar el número de permutaciones posibles en un experimento aleatorio y calcular el factorial de un número natural. Presta atención Para expresar la probabilidad de un suceso, podemos utilizar una fracción, un número decimal o un porcentaje. Por ejemplo, al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener una cara es: P (C ) = 1 = 0,5 = 50% 2 3. PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACE La familia de Alberto intuye que, al utilizar una ruleta, todos los números tienen las mismas posibilidades de aparecer en una tirada; sin embargo, no todos los miembros de la familia tienen las mismas opciones de ir a hacer la compra. Crees que es acertada esta intuición? Como la ruleta tiene 8 números y su aguja solo puede señalar a uno de ellos cada vez, podemos asignar un valor que indique la posibilidad de obtener cada resultado. P(salir 1) = 1 P(salir 2) = 1 P(salir 3) = 1 P(salir 8) = Este valor es la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales de este experimento. Así pues, la intuición de la familia es acertada en cuanto a que todos los números tienen las mismas posibilidades de salir. La probabilidad de un suceso al realizar un experimento aleatorio es un número que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso. Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir al realizar un experimento aleatorio. Calculamos las probabilidades de los sucesos A, B, C, D y F: Alberto irá a hacer la compra si sale par, es decir, en 4 casos de los 8 posibles. Y Beatriz irá si sale un número primo. En estos dos casos: P ( A) = P (B ) = 4 8 = 1 2 Carmen solo irá si sale un número par y primo. Esto únicamente ocurre en 1 caso de los 8 posibles, y su padre irá solo si sale el número 1 así: P (C ) = P (F ) = 1 8 El suceso correspondiente a la madre es: D = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; así: P (D) = 7 8 La familia estaba en lo cierto de nuevo: no todos sus miembros tienen la misma probabilidad de ir a hacer la compra En el dado del ejercicio resuelto anterior, cuál es la probabilidad de que salga un 1? Y de que salga un 3? Cuál es la probabilidad de que, al extraer una carta de una baraja española, sea de oros? Calcula la probabilidad de que, al girar esta ruleta, ocurran estos sucesos. A = salir azul B = salir rojo C = salir verde D = salir amarillo Una urna contiene 3 bolas rojas, 4 negras y 5 verdes. Calcula la probabilidad de que, al extraer una bola, sea roja. Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea verde? De una caja que contiene 3 ovillos de lana roja y 2 de lana negra se extrae un ovillo al azar. Calcula la probabilidad de los sucesos. Exprésalas como porcentaje. A = coger el ovillo de lana roja B = coger el ovillo de lana negra Halla la probabilidad de elegir un número del 1 al 100 que sea múltiplo de 11. EJERCICIO RESUELTO } Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 4 al formar números de cuatro cifras distintas con los dígitos 1, 2, 3 y 4? Solución Para obtener el total de los números de cuatro cifras distintas, tenemos que contar todos los números de la forma: 1234, 1243, 1324, 1342, Para ello se usa el factorial. En total hay: 4! = = 24 permutaciones, ya que para la 1.ª cifra tenemos 4 posibilidades, 3 para la 2.ª, 2 para la 3.ª, y solo 1 cifra diferente para la 4.ª. De estos 24 números son múltiplos de 4 los que acaban en 12, en 24 y en 32. En total hay 6 casos favorables al suceso A = obtener un número múltiplo de 4: P ( A) = 6 24 = 1 4 Recuerda Un número es múltiplo de 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de las que ocupan los lugares impares es 0 o múltiplo de 11. Lenguaje matemático n! = n (n 1) (n 2) 2 1 en el que n es un número natural, se llama factorial de n. EJERCICIO RESUELTO Regla de Laplace. Si los sucesos elementales de un experimento aleatorio son equiprobables, entonces la probabilidad de un suceso A es: número de casos favorables a que ocurra A P ( A) = número de casos posibles del experimento Cuál es la probabilidad de elegir al azar un número de seis cifras distintas formado por 1, 2, 3, 4, 5 y 6 que sea múltiplo de 5? Cuál es la probabilidad de que, al escribir un número de cinco cifras distintas con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, sea par y mayor que 40000? Patricia, Antonio, Luis y Sandra se sientan en un banco. Cuál es la probabilidad de que las dos chicas se sienten juntas? } Enrique tiene un dado con un 1 en una cara, un 2 en dos caras y un 3 en las tres restantes. En el experimento aleatorio que consiste en lanzar el dado al aire, cuál es la probabilidad de que salga un 2? Solución Construimos el espacio muestral con los resultados posibles: E = {1, 2, 3} No podemos utilizar directamente la regla de Laplace para calcular la probabilidad del suceso A = salir un 2 porque los 25 Si dibujamos un cuadrado inscrito en un círculo y elegimos un punto en su interior al azar, cuál es la probabilidad de que este punto esté situado dentro del cuadrado? DESAFÍO sucesos elementales no son equiprobables. Como la puntuación es 2 en dos caras del dado: P ( A) = 2 6 = Sugerencias didácticas En este epígrafe los alumnos aprenderán la regla de Laplace, que reduce el cálculo de la probabilidad de un suceso a la comparación entre el número de situaciones en las que se produce el suceso cuya probabilidad buscamos y el número de casos posibles. Es imprescindible insistir en que para poder aplicar esta regla los resultados del experimento deben tener todos las mismas posibilidades de ocurrir. El primer ejercicio resuelto incide en esta cuestión. En el segundo ejercicio resuelto se introduce también el concepto de factorial de un número natural para realizar el recuento de casos posibles de un experimento. Soluciones de las actividades 16 En el dado del ejercicio resuelto anterior, cuál es la probabilidad de que salga un 1? Y de que salga un 3? B = salir 1 C = salir 3 P (B) = 1 6 P (C ) = 3 6 = Cuál es la probabilidad de que, al extraer una carta de una baraja española, sea de oros? A = extraer una carta de oros P ( A) = =

10 Probabilidad 18 Calcula la probabilidad de que, al girar esta ruleta, ocurran estos sucesos. A = salir azul B = salir rojo C = salir verde D = salir amarillo P ( A) = 1 10 P (B) = 4 10 = 2 5 P (C ) = 2 10 = 1 5 P (D) = Una urna contiene 3 bolas rojas, 4 negras y 5 verdes. Calcula la probabilidad de que, al extraer una bola, sea roja. Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea verde? R = extraer una bola roja P (R) = 3 12 = 1 4 V = extraer una bola verde P ( V ) = De una caja que contiene 3 ovillos de lana roja y 2 de lana negra se extrae un ovillo al azar. Calcula la probabilidad de los sucesos. Exprésalas como porcentaje. A = coger el ovillo de lana roja B = coger el ovillo de lana negra P ( A) = 3 5 = 60% P (B) = 2 5 = 40% 21 Halla la probabilidad de elegir un número del 1 al 100 que sea múltiplo de Los múltiplos de 11 son: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99, por tanto la probabilidad pedida es: Cuál es la probabilidad de elegir al azar un número de seis cifras distintas formado por 1, 2, 3, 4, 5 y 6 que sea múltiplo de 5? El total de los números de seis cifras distintas es 6!, y los múltiplos de 5 son los que terminan en 5, por tanto: 5! Así, la probabilidad pedida es: 5! 6! = Cuál es la probabilidad de que, al escribir un número de cinco cifras distintas con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, sea par y mayor que ? El total de los números de cinco cifras distintas es 5!, y los pares mayores que son los que empiezan por 4 y terminan en 2 o empiezan por 5 y terminan en 2 o en 4, esto es: 3! + 2 3! = = 18 Luego la probabilidad pedida es: = Patricia, Antonio, Luis y Sandra se sientan en un banco. Cuál es la probabilidad de que las dos chicas se sienten juntas? El número de disposiciones que pueden utilizar las cuatro personas para sentarse es: 4! Las chicas pueden sentarse juntas en un lado del banco, en el centro o en el otro lado, y en cada uno de esos casos pueden intercambiar sus posiciones, por tanto, el número de situaciones en las que se sientan juntas es: 12 Luego, la probabilidad pedida es: = 1 2 Desafío 25 Si dibujamos un cuadrado inscrito en un círculo y elegimos un punto en su interior al azar, cuál es la probabilidad de que este punto esté situado dentro del cuadrado? Si r es lo que mide el radio del círculo, aplicando el teorema de Pitágoras, el lado del cuadrado mide: r 2 + r 2 = 2r Entonces la probabilidad de que un punto esté dentro del cuadrado es: 2r ( ) 2 πr 2 = 2 π = 0,64 447

11 Probabilidad 4. Propiedades de la probabilidad Probabilidad Actividades Aprenderás a Utilizar las propiedades de la probabilidad para resolver problemas. 4. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD Tomás acaba de regalarle a su amiga Lola una baraja española. En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de la baraja consideramos el suceso sacar un valor mayor que 20. Este suceso no puede darse en este experimento; es un suceso imposible. Como no hay casos favorables al suceso, al aplicar la regla de Laplace: P( ) = 0 Si consideramos el suceso sacar un valor menor que 20, todas las cartas tienen un valor menor que 20; se trata de un suceso seguro. Como el número de casos favorables coincide con el de casos posibles, la probabilidad del suceso es: P(E) = 1 La probabilidad del suceso imposible es: P( ) = 0 La probabilidad del suceso seguro es: P(E) = 1 Para cualquier suceso, A, se verifica que: 0 P(A) 1 A continuación, Tomás pregunta: Cuál es la probabilidad de extraer una carta con una figura? A lo que Lola responde: Y la de que no sea una figura? El suceso que propone Tomás ocurre si extraemos una de las 12 figuras que hay entre las 40 cartas de la baraja, así que su probabilidad es: P (F ) = = 3 10 En consecuencia, el suceso del que habla Lola tiene = 28 casos favorables, y su probabilidad es: P (F ) = = 7 10 = 1 3 = 1 P (F ) 10 Después, Lola plantea: Cuál es la probabilidad de extraer una carta con un as o con un caballo? Tomás, por su parte dice: Y de que sea as o bastos? Consideremos los sucesos: A = sacar as B = sacar bastos C = sacar caballo P ( A) = 4 40 = 1 10 P (B) = = 1 4 P (C ) = 4 40 = 1 10 Como A y C son sucesos incompatibles, el número de casos favorables coincide con la suma de los casos favorables en ambos sucesos. Por tanto, la probabilidad es: P ( A C ) = 8 40 = 1 5 = = P ( A) + P (C ) 40 Sin embargo, los sucesos A y B son compatibles, así que el número de casos favorables coincide con la suma de los casos favorables en ambos sucesos con la excepción del as de bastos, que es común a los dos. Así, la probabilidad es: P ( A B) = = = P ( A) + P (B) P ( A B) 40 Para cualquier suceso, A, se verifica que: P( A ) = 1 P(A) Si dos sucesos, A y B, son incompatibles, la probabilidad del suceso unión es la suma de las probabilidades de A y B. Si A B =, entonces: P(A B) = P(A) + P(B) Si dos sucesos, A y B, son compatibles, la probabilidad del suceso unión es la suma de las probabilidades de A y B menos la probabilidad de su intersección. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Halla la probabilidad de extraer una bola que no sea negra de la urna de la figura. En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, considera los siguientes sucesos. A = salir un número par B = salir un múltiplo de 3 C = salir un número menor que 5 Calcula la probabilidad de los sucesos A B y A C. En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de una baraja española, considera estos sucesos. A = salir una sota B = salir un rey C = salir una carta de espadas Calcula la probabilidad de los sucesos A B y A C. Considera el experimento aleatorio que consiste en hacer girar esta ruleta. Calcula la probabilidad de los sucesos A B y A C, si A = sacar un número par, B = sacar amarillo y C = sacar azul. 30 Una moneda está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es el doble que la de obtener cruz. Calcula la probabilidad de que, al lanzar la moneda, salga una cruz. EJERCICIO RESUELTO } El 45 % de los alumnos de una clase de 3.º de ESO ha visitado París, y el 70 % ha estado en Londres. Si el 90 % de los alumnos ha visitado alguna de las dos ciudades, cuál es el porcentaje de estudiantes que ha visitado las dos ciudades? Solución Llamamos A al suceso ser un alumno que ha visitado París. Entonces: P(A) = 0,45 Designamos con B al suceso ser un estudiante que ha estado en Londres. Así, P(B) = 0,7 Como el 90 % de los alumnos ha visitado alguna de las dos ciudades: P(A B) = 0,9 Sabemos que: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Si despejamos: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 0,45 + 0,7 0,9 = 0,25 Por tanto, el porcentaje de estudiantes que ha visitado las dos ciudades es del 25 %. 31 El 39 % de los socios de un club deportivo practica el tenis, y el 73 % de ellos juega al fútbol. Si el 95 % de los socios está apuntado a alguno de los dos deportes, cuál es la probabilidad de elegir un socio al azar que practique tenis y fútbol? En cuál de las ruletas es más probable el suceso A B, si A = sacar azul y B = sacar un número par? DESAFÍO Sugerencias didácticas A partir de las preguntas planteadas a lo largo del epígrafe, los alumnos pueden deducir las propiedades de la probabilidad. Es importante que entiendan que la probabilidad de un suceso ha de estar comprendido entre 0 (si se trata del suceso imposible) y 1 (si es el suceso seguro). Para explicar qué relación existe entre las probabilidades de dos sucesos, la de su unión y la de su intersección pueden ser útiles los diagramas de Venn, pues ayudan a poner de manifiesto que si para contar los elementos de la unión de dos conjuntos sumamos el número de elementos de ambos estamos contando dos veces los elementos comunes. En esto consiste la fórmula que afirma que la probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades menos la de su intersección. En particular, si los sucesos son incompatibles resulta que la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades y, como caso particular, se deduce que la suma de la probabilidad de un suceso y la de su contrario vale 1. Soluciones de las actividades 26 Halla la probabilidad de extraer una bola que no sea negra de la urna de la figura. N = extraer una bola negra P (N ) =

12 Probabilidad 27 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, considera los siguientes sucesos. A = salir un número par B = salir un múltiplo de 3 C = salir un número menor que 5 Calcula la probabilidad de los sucesos A B y A C. P ( A B) = = 2 3 P ( A C ) = = En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de una baraja española, considera estos sucesos. A = salir una sota B = salir un rey C = salir una carta de espadas Calcula la probabilidad de los sucesos A B y A C. P ( A B) = = 1 P ( A C ) = = Considera el experimento aleatorio que consiste en hacer girar esta ruleta. Calcula la probabilidad de los sucesos A B y A C, si A = sacar un número par, B = sacar amarillo y C = sacar azul. P ( A B) = = 1 2 P ( A C ) = = Una moneda está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es el doble que la de obtener cruz. Calcula la probabilidad de que, al lanzar la moneda, salga una cruz. P (C ) = 2P ( X ) ( X ) = 1 P ( X ) = P (C ) + P ( X ) = 1 3P El 39 % de los socios de un club deportivo practica el tenis, y el 73 % de ellos juega al fútbol. Si el 95 % de los socios está apuntado a alguno de los dos deportes, cuál es la probabilidad de elegir un socio al azar que practique tenis y fútbol? T = elegir un socio que juega al tenis F = elegir un socio que juega al fútbol Entonces: P(T) = 0,39 P(F) = 0,73 P(T F) = 0,95 La probabilidad pedida es: P(T F) = 0,39 + 0,73 0,95 = 0,17 Desafío 32 En cuál de las ruletas es más probable el suceso A B, si A = sacar azul y B = sacar un número par? En la primera ruleta: P ( A B) = = 3 4 En la segunda: P ( A B) = = 3 4 Y en la tercera: P ( A B) = = 5 6 Por tanto, la probabilidad de A B es mayor en la tercera ruleta. 449

13 Probabilidad 5. Diagrama de árbol Probabilidad Actividades Aprenderás a Calcular la probabilidad de sucesos de un experimento aleatorio compuesto usando un diagrama de árbol. 5. DIAGRAMA DE ÁRBOL Yaiza participa en la feria solidaria de su barrio montando un puesto en el que reta a los visitantes con un juego: si sale un múltiplo de 3 al lanzar el dado, tendrán que extraer una bola de la urna A y, si es roja, deberán donar 1 ; en caso contrario, sacarán una bola de la urna B: si es verde, obtendrán un premio de 2 y si es roja, donarán 1. Qué es más probable: donar o recibir dinero? Una urna contiene 4 bolas blancas y 2 rojas; otra, 3 bolas blancas y 3 rojas, y una tercera, 1 bola blanca y 5 rojas. Se elige al azar una urna y de ella se extrae, también al azar, una bola. Cuál es la probabilidad de que sea roja? En una bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 5 negras; en otra, 3 bolas blancas y 4 negras; y en una tercera, 2 bolas blancas y 3 negras. Se lanza un dado y se extrae una bola de la primera bolsa si la puntuación obtenida es par, de la segunda si es un 5 o de la tercera si es un 1 o un 3. Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra? En este diagrama de árbol están indicadas las probabilidades de algunos de los sucesos de un experimento compuesto. Halla las probabilidades que faltan. 0,7 0,3 P 2 0,2 El juego de Yaiza tiene dos fases: primero hay que lanzar un dado y después extraer una bola. Se trata de un experimento aleatorio compuesto. Para obtener el espacio muestral de este experimento, podemos elaborar un diagrama de árbol en el que representar todas las opciones posibles. P 1 P 3 0,1 0,1 0,6 mac3e54 De este modo, podemos determinar los sucesos del espacio muestral recorriendo los caminos, las ramas del árbol, correspondientes a cada uno de ellos. Así, la probabilidad del suceso G = ganar dinero, que ocurre si recorremos el último camino, viene dada por el producto de la probabilidad de sacar un número que no sea múltiplo de 3 y la de extraer una bola verde de la urna B. Esto es: Una caja contiene tres monedas. La primera está equilibrada, la segunda tiene cara por los dos lados, y la tercera está trucada de forma que la probabilidad de obtener cruz es de 0,2. Si se elige una moneda al azar y se lanza al aire, cuál es la probabilidad de obtener cara? Se coloca un ratón en un laberinto como el de la figura y se deja que elija libremente si avanza por la derecha o por la izquierda. Cuál es la probabilidad de que consiga comer queso y librarse del cepo? Presta atención La suma de las probabilidades de los sucesos cuyas ramas tienen el mismo origen vale 1. P (G) = = 2 9 Sin embargo, la probabilidad del suceso D = donar dinero, que tiene lugar al recorrer dos caminos, viene dada por la suma de las probabilidades de ambos. Es decir: P (D) = = = = Como 2 9 < 26, es más probable donar dinero para la causa solidaria. 45 Un experimento aleatorio compuesto es aquel que se desarrolla realizando varios experimentos simples. Para representar el espacio muestral de un experimento aleatorio compuesto, se puede utilizar un diagrama de árbol. La probabilidad de un suceso correspondiente a uno de los caminos del diagrama de árbol es el producto de las probabilidades de las ramas que lo constituyen. La probabilidad de un suceso que ocurre por varios caminos del árbol es la suma de las probabilidades de dichos caminos En un grupo de 50 estudiantes hay 20 chicas. El 60 % de las chicas estudia inglés, y el resto, francés; mientras que, entre los chicos, solo el 10 % estudia francés, frente al 90 %, que aprende inglés. Calcula la probabilidad de que, al elegir un alumno al azar, resulte ser una chica que va a clases de francés. En una fábrica tienen tres máquinas que producen bombillas. La primera se encarga del 20 % de la producción; la segunda, del 30 %, y la tercera, del 50 % restante. Se sabe que el porcentaje de bombillas defectuosas producidas por la primera máquina es del 1 %, mientras que el de la segunda asciende al 2 % y el de la tercera al 3 %. Calcula la probabilidad de que, al elegir una bombilla al azar, salga defectuosa. DESAFÍO Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos bolas del otro color. Calcula la probabilidad de que al extraer una segunda bola sea verde Sugerencias didácticas En muchas situaciones de la vida cotidiana necesitamos hallar la probabilidad de un suceso cuya ocurrencia depende a su vez de lo que haya sucedido en un experimento aleatorio anterior. A estos experimentos se les denomina compuestos. Un ejemplo estándar es la extracción de una bola de una urna entre dos urnas dadas cuyas composiciones son diferentes, de modo que la decisión acerca de la urna de la que se efectúa la extracción depende, por ejemplo, del resultado obtenido previamente en el lanzamiento de un dado. Los posibles resultados y las probabilidades correspondientes se esquematizan muy sencillamente mediante un diagrama en árbol, de cada uno de cuyos nodos salen diversas ramas sobre cada una de las cuales se coloca la probabilidad del suceso que la rama representa. Hecho esto la probabilidad del suceso compuesto se calcula mediante el denominado Principio aditivo-multiplicativo: hay que sumar los productos de las probabilidades situadas sobre las ramas que corresponden al suceso cuya probabilidad deseamos calcular. Vídeo. DIAGRAMA DE ÁRBOL En el vídeo se construye, paso a paso, el diagrama de árbol correspondiente al ejemplo propuesto en este epígrafe. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del procedimiento a seguir para construir un diagrama de árbol o como recurso para que los alumnos lo repasen. Soluciones de las actividades 33 Una urna contiene 4 bolas blancas y 2 rojas; otra, 3 bolas blancas y 3 rojas, y una tercera, 1 bola blanca y 5 rojas. Se elige al azar una urna y de ella se extrae, también al azar, una bola. Cuál es la probabilidad de que sea roja? R = extraer una bola roja P (R) = =