INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN

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1 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COUNIDD DE DRID PRUEB DE CCESO ESTUDIOS UNIVERSITRIOS (LOE) EEN ODELOCURSO - TEÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERLES DE CLIFICCIÓN INSTRUCCIONES: El lumno deberá elegir un de ls dos opciones o B que figurn en el presente emen contestr rondmente los cinco ejercicios de los que const l opción elegid. Pr l relición de est prueb se puede utilir clculdor científic, siempre que no dispong de cpcidd de representción gráfic o de cálculo simbólico. CLIFICCIÓN: L puntución máim de cd ejercicio se indic en el encbemiento del mismo. TIEPO: Un hor treint minutos. OPCIÓN Problem.- (Clificción máim: puntos) Considérese l mtri 8 ) Determínese pr qué vlores de R es invertible. b) Resuélvse pr el sistem. L condición necesri suficiente pr que un mtri teng invers es que su determinnte se distinto de cero. : Pr, ; por lo tnto l mtri tiene invers. b. 8 8 Sistem homogéneo Infinits soluciones Indetermindo. Determindo. Solución trivil comptible : rg *Sistem rg * Pr,, por lo tnto sistem comptible determindo, siendo su únic solución l trivil. ; ; Problem.- (Clificción máim: puntos) Determínese l mtri que verific Se despej l mtri :

2 En el primer miembro se sc fctor común de l mtri por l derech: Se sumn ls mtrices del corchete Se despej l mtri multiplicndo los dos miembros de l ecución por l invers de por l derech (tener en cuent que el producto de mtrices no es conmuttivo, por lo que se debe multiplicr por l mism mtri los dos miembros en el mismo orden). Teniendo en cuent que el producto de un mtri por su invers es l mtri identidd, que l mtri identidd es el elemento neutro del producto de mtrices: I I Cálculo de l invers: dj t t Resolviendo: Problem.- (Clificción máim: puntos) Se consider l función rel de vrible rel: f ) Estúdiense determínense sus síntots. b) Determínense sus intervlos de crecimiento decrecimiento.. síntots verticles: Son rects de l form, donde es un número que no pertenece l dominio en el que se cumple que k f [ ] { } { } R : R D f ± ± : verticl síntot un es : verticl : síntot un es : síntots horiontles: Son rects de l form L, donde R f L ± es horiontl No tiene síntots L ± ± ± m

3 síntot oblicu. Son rects de l form m n, donde: f ( ) m ± ± ± ± ( ) ( ) n f m ± ± ± ± ± ± síntot oblicu: b. L monotoní de l función se soci l signo de l primer derivd, en los intervlos donde l derivd se positiv, l función es creciente, en los intervlos donde l derivd es negtiv l función es decreciente. f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) grupndo ordenndo l derivd: f El estudio del signo de l derivd se hce prtir de los ceros los polos de l derivd. Ceros (vlores de que nuln l derivd, son los ceros del numerdor). : : ( ) : : ± Polos (vlores de que hcen infinit l derivd, son los ceros del denomindor) : : ± ± Los ceros los polos se representn sobre un rect Rel se estudi el signo de l derivd dndo un vlor de cd intervlo l derivd clculndo su signo. ( ) f, ( ) (, ) f < f es decreciente (, ) (, ) (,) (, ) f > f es creciente

4 Problem.- (Clificción máim: puntos) En un polígono industril se lmcenn lts de refresco procedentes de ls fábrics, B C prtes igules. Se sbe que en cducn 8 lts de l fábric, procedentes de l B que proceden de l fábric C. ) Clcúlese l probbilidd de que un lt elegid l r cduque en. b) Se h elegido un lt de refresco letorimente cduc en, cuál es l probbilidd de que proced de l fábric? Sucesos dtos: Lt procedente de l fábric. p B Lt procedente de l fábric B. p ( B) C Lt procedente de l fábric C. p ( C) 8 9 p( D ) D Lt que cduc en. p( D ) p( D ). p ( D) p( ( D) ( B D) ( C D) ) p( D) p( B D) p( C D) b. ( D) 9 p p( D ) p( B) p( D B) p( C) p( D C) p D ( D) p( D) % 9 p p p p( D ) p( D) p D % El problem tmbién se puede resolver epresndo los dtos en un cudro. B C CDUC 8 7 NO CDUC nº de lts que cducn 7 p nº de lts totles p D. ( CDUCR ) b. ( Se de l fbric H Cducdo) % nº de lts de l frbric que hn cducdo 8 p nº de lts que hn cducdo 7 p Se de l fbric H Cducdo %

5 Problem.- (Clificción máim: puntos) El tiempo dirio que los dultos de un determind ciudd dedicn ctividdes deportivs, epresdo en minutos, se puede proimr por un vrible letori con distribución norml de medi μ desconocid desvición típic σ minutos. ) Pr un muestr letori simple de hbitntes de es ciudd se h obtenido un tiempo medio de dedicción ctividdes deportivs de 9 minutos dirios. Clcúlese un intervlo de confin l 9% pr µ. b) Qué tmño mínimo debe de tener un muestr letori simple pr que el error máimo cometido en l estimción de µ por l medi muestrl se menor que minuto con el mismo nivel de confin del 9%?. Tiempo dirio dedicdo ctividdes deportivs en minutos. Vrible continu con distribución Norml : Nµ, ( σ). Pr muestrs de tmño, l distribución de medis muestrles de l vrible tmbién siguen un distribución Norml : N µ, σ El intervlo de confin pr l medi poblcionl prtir de un medi muestrl viene ddo por: El vlor critico σ σ α, α n n α de l estimción se clcul prtir del nivel de confin ( α,9) α, α φ φ φ 9,, 9, (,9), ( 87,9 ; 9,) Con un nivel de confin del 9% se puede estimr que l medi de tiempo dirio dedicdo por los dultos de l ciudd, v estr comprendido entre 87,9 9, minutos. b. El tmño muestrl se relcion con el error máimo medinte l ecución: σ σ εmá > α n > α n ε má n >, 8, n 8 elementos

6 OPCIÓN B Problem.- (Clificción máim: puntos) Se consider el sistem de ecuciones lineles, dependiente del prámetro rel : ) Discútse el sistem pr los diferentes vlores de. b) Resuélvse el sistem en el cso.. El sistem viene definido por ls mtrices: * n rg * rg * Si el, el n rg * rg, sistem comptible determindo, por lo tnto, el tipo de solución del sistem se discute pr los vlores del prámetro que nuln el determinnte de. 9 : Discusión: i. Si,, el n rg * rg, sistem comptible determindo ii. Si,, rg <. rg * De los menores orldos solo qued por estudir el formdo por l ª, ª ª column. rg rg * Sistem incomptible. b. Pr. Sistem comptible determindo. L solución se puede clculr por el método de Crmer o de Guss. étodo de Crmer: ; ; ; ;,, étodo de Guss: E E E E E E ; ;,,

7 Problem.- (Clificción máim: puntos) Se consider l función rel de vrible rel f() ) Represéntese gráficmente l función f. b) Clcúlese el áre de l región cotd del plno delimitd por l gráfic de f el eje de bsciss. b. Prábol: Vértice v ; v f 9. V(, 9) (, ) Cortes con los ejes: O( ): : (, ), c, OY( ): b. Áre ( ) d Áre u Problem.- (Clificción máim: puntos) Dd l función rel de vrible rel f e ) Clcúlese su función derivd. b) Determínense sus intervlos de concvidd ( ) conveidd ( ).. f e e b. Los intervlos de curvtur de un función se socin l signo de l segund derivd. Si f < f es cóncv ( ) f > f es cónve Si f e ( ) e ( ) e e ( ) - > R. Por definición, l eponencil siempre es positiv e ± - < L cución no tiene soluciones reles. < f > en todo su dominio (R). R, f() es conve 7

8 Problem.- (Clificción máim: puntos) Ls probbiliddes de que cinco jugdores de bloncesto encesten un lnmiento de tiro libre son, respectivmente, de,8;,9;,7;,9;,9. Si cd jugdor ln un tiro libre siguiendo el orden nterior considerndo los resultdos de los lnmientos como sucesos independientes, clcúlese l probbilidd de que: ) Todos los jugdores encesten su tiro libre. b) l menos uno de los tres primeros jugdores enceste.. Si se denomin como i l suceso el jugdor que ln en l posición i encest su tiro: p INDEPENDIENTES ( ) p p( ) p p( ) p( ) ( ),8,9,7,9,9,8,8% p b. Es el cso contrrio que ninguno de los tres primero enceste. p p( ) p p( ) ( p( )) ( p( )) p( ),8,9,7,99 99, % Problem.- (Clificción máim: puntos) El precio (en euros) del metro cudrdo de ls viviends de un determindo municipio se puede proimr por un vrible letori con distribución norml de medi µ desconocid desvición típic σ euros. ) Se tom un muestr letori simple se obtiene un intervlo de confin (, 7;, ) pr µ, con un nivel de confin del 9%. Clcúlese l medi muestrl el tmño de l muestr elegid. b) Tommos un muestr letori simple de tmño. Clcúlese el error máimo cometido en l estimción de µ por l medi muestrl con un nivel de confin del 99%.. L medi de l muestr es l medi ritmétic de los etremos del intervlo.,7, El tmño de l muestr se puede obtener el error máimo dmitido: σ σ ε α n α n ε El error máimo dmitido se clcul como l mitd de l mplitud del intervlo. 9, mplitud de intervlo,,7 9,ε 79, El vlor de α se obtiene del nivel de confin: α α φ, : φ α,9 α Nivel de confin,9 Sustituendo los vlores en l epresión, se clcul el tmño de l muestr. n,9 elementos 79, b. σ α, ε α : α φ : α φ, 7 n α Nivel de confin,99 σ ε α,7,8 n 8