Integrales múltiples. Capítulo Integrales dobles. a) Definición: Integral doble sobre un rectángulo. La aproximación: Sumas de Riemann

Transcripción

1 Cpítulo Integrles múltiples Se estlee en este pítulo un teorí e integrión pr funiones eslres e vris vriles. L efiniión que proponemos es un generlizión iret e l Integrl e iemnn pr funiones. Peimos, emás, iert regulri ls funiones integrno porque liger l eposiión sin perer ls priniples pliiones ásis (álulo e áres y volúmenes e uerpos regulres, istriuiones e proili multiimensionles, álulo e momentos e ineri, entro e mss e un sólio, et ). Sin emrgo, eisten proeimientos pr efinir l integrl múltiple que miten integrnos más generles. ese el punto e vist plio un integrl múltiple se present e form nturl umulno en un onjunto un mgnitu istriui en él, meinte un funión e ensi. Tmién puee ourrir que se mneje un nuev mgnitu umulno otr y onoi, que ps ser su funión e ensi. L fuerz que se ejere en el trnsporte e un ms, por ejemplo, lo lrgo e un tryetori es l ensi (por uni e espio reorrio) e l mgnitu físi trjo esrrollo en el trnsporte. L Estísti ofree muhos ejemplos e funiones e ensi e proili istriuis sore vriles letoris multiimensionles.. Integrles oles un funión f : y un suonjunto (regulr) A e su ominio, pretenemos lulr el volumen omprenio entre l gráfi e f y el propio A. iho volumen es un interpretión geométri e l mgnitu umul sore A uy ensi (por uni e superfiie) es f(, y) en punto e A. ) efiniión: Integrl ole sore un retángulo Se f : un funión ontinu en un retángulo [, ] [, ] ontenio en su ominio, que suponemos un ominio en el plno XY. Supongmos iniilmente que f es positiv. Entones pretenemos lulr el volumen enerro por ejo e l superfiie z f(,y) y por enim el retángulo. L ie es relizr un proeso e proimión simultáneo, onstruyeno proimiones por eeso y por efeto, el número que é iho volumen, e un moo similr omo se hizo en l efiniión e integrles efinis simples. L figur (. ) ilustr l onstruión. L proimión: Sums e iemnn s os prtiiones, P { < < < n < n }, e [, ], se otiene un prtiión P el P { y < y < < y m < y m }, e [, ] retángulo en n m suretángulos: ij [ i, i ] [y j, y j ] ( i n, j m), uys imensiones enotmos i i i, y j y j y j. y y figur. (osérvese que se mien en ls misms unies que ls vriles e y) Posteriormente se etiene l onstruión funiones ontinus trozos

2 . Cálulo II Pr suretángulo ij se tomn los números: m ij mín{f(,y) : (,y) ij }, M ij má{f(,y) : (,y) ij } (. ) mos eisten, por ser f ontinu y ij ompto (retángulo erro y oto), en virtu el teorem e Weierstrss sore máimo y mínimo solutos. Los eslres m ij i y j, M ij i y j son un proimión por efeto y otr por eeso el volumen entre l superfiie y el retángulo ij. (Si f(,y) es l ensi e un mgnitu istriui en, se hrá proimo l nti e ih mgnitu umul en ij ). L sum e esos eslres pr toos los retángulos ij será un proimión el volumen totl jo l superfiie. En prtiulr será un proimión por efeto l por l Sum inferior e iemnn e f reltiv l prtiión P, que enotmos s(f;p): n m s(f;p): mij i yj sum inferior; (. ) i j y será un proimión por eeso l por l Sum superior e iemnn que enotmos S(f;P): n m S(f;P) : Mij i yj sum superior; (. ) i j Evientemente, por onstruión, result que P prtiión e se umple: s(f;p) volumen uso S(f;P) Mejorí e l proimión por refinmiento e l prtiión L figur (. ) permite omprener el efeto e ñir un punto l prtiión P sore el eeso e ls sums superiores. Es nálogo si se ñe en P y, en sum, poremos mejorr l proimión si tommos prtiiones on más puntos (suele eirse más fins e inirse on el símolo entre l menos y l más fin). En efinitiv si P y P* son prtiiones e tles que P P* se umplirá: s(f;p) s(f;p*) volumen uso S(f;P*) S(f;P) Conepto e integrl y e funión integrle L mejorí e l proimión es progresiv uno el número e puntos e l prtiión ument, y, en el límite, ls figur.- sums e iemnn oinien y efinen el número rel que represent el volumen geométrio. Más preismente, esto sugiere l siguiente efiniión forml, que no hy inonveniente en plir funiones muy generles : efiniión [. ]: Un funión ot f : se ie integrle sore un retángulo uno ε > P ε ( prtiión e que epene e ε) t.q. P prtiión e : P ε P S(f; P) s(f; P) < ε. En ese so ls sums superiores e inferiores tienen un límite omún pr n, m, l que llmmos integrl ole e f sore y representmos on l integrl ole e f sore : n m n m f(, y) y: lim Mij i yj lim mij i yj (.-) n.m n.m i j i j Se otiene un onstruión equivlente tomno f(u i,v j ) en un punto ritrrio e ij, en lugr e m ij y M ij en los límites y en too el proeso nterior. Si f no es positiv l integrl no represent el volumen geométrio sino un volumen ritmétio one se h resto el volumen que orrespone l prte negtiv e f.

3 CÁLCULO II Cpítulo - Integrles múltiples. Coniión sufiiente e integrili En lo suesivo será sufiiente plir este resulto funiones ontinus o ontinus trozos. Y puee prorse l integrili e ls primers: Teorem [. 4]: To funión ontinu sore un retángulo es integrle en. Un funión isontinu es integrle si el onjunto e sus isontinuies es finito o si se pueen grupr en un serie finit e urvs, un on áre. emostrión: Es onseueni e que i,j : M ij m ij se puee her ritrrimente pequeño on tl e tomr ij eumente pequeño, por ser f ontinu sore, ompto, y ser, por tnto, uniformemente ontinu. Más preismente: Fijo ε >, semos que δ > tl que (,y), (*,y*) : (,y), (*,y*) < δ f(,y) f(*,y*) < ε. Por otr prte, se pueen elegir ls prtiiones e mner que el myor suretángulo teng iámetro (longitu e l igonl) menor que δ. Entones: S(f;P) s(f;p) i j (M ij m ij ) i y j ε (sieno el áre o mei e ). Luego se puee her es ifereni ritrrimente pequeñ, sieno, pues, f integrle. Ls funiones ontinus trozos son integrles por ls propiees e esomposiión e l integrl que veremos ensegui..q.. #. efiniión e l integrl ole en reintos otos más generles Si en lugr el retángulo se tiene un ominio oto A, se onsier un retángulo ulquier que onteng A y l funión uilir: f(,y) si (,y) A g(,y) si (,y) A y efinimos: f ( y, ) y : gy (, ) y (. 5) A Se irá f integrle sore A si lo es g sore y sí l integrión ole está estlei pr funiones f(,y) en ulquier reinto regulr pero oto. Ejemplos Aunque proeimiento seguio pr efinir l integrl ole es priniplmente teório, en l práti, pr lulr un integrl ole, se pli l integrión por seiones que estuimos en el siguiente prto. No ostnte, en los siguientes ejemplos se luln ls integrles oles plino iretmente l efiniión: Ejemplo.-: Si f(,y) K te., lulr su integrl ole sore un retángulo ulquier [, ] [, ], plino l efiniión (.-). Soluión: Si P es un prtiión e etermin por os prtiiones P y P e [, ] y [, ] respetivmente, omo se hn esrito ntes, se tiene que m ij M ij K en too suretángulo ij, e mner que ls sums superior e inferior e iemnn resultn: S(f; P) i j M ij i y j K [( ) + ( ) + + ( n- )][(y ) + (y y ) + + ( y m- )] K ( ) + ( ) + + ( n ) ( y ) + ( y y ) + + ( y m ) K( )( ) s(f; P) Es nálogo on l sum inferior, por l nturlez e l funión integrno f, e mner e ls proimiones por eeso y por efeto e l integrl en reli oinien y n el vlor e l mism: f (, y ) y K y K ( ) ( ) #. Ejemplo.-: Mism uestión si f(,y) g() h(y) es el prouto e os funiones ontinus, l primer funión sólo e y l segun, sólo e y. Aplíquese el resulto pr integrr f(,y) y en [, ] [, ]. Soluión: Se ej omo ejeriio ompror que

4 .4 Cálulo II ( )( ) hgy ( ) ( )y h ( ) gy ( )y (.-6) Téngse en uent, pr ello, que M ij será el prouto el máimo e h en [ i, i ] por el e g en [y j, y j ]; y que suee lgo nálogo on m ij. Se pueen otener entones S(f, P) y s(f, P) y otener sus límites omo integrles e ls funiones h y g en los orresponientes intervlos [, ] y [, ] respetivmente. e este moo, lo plimos l so onreto plnteo: ( )( ) yy yy yy #. 6 ) Cálulo e l integrl ole por iterión El resulto sore integrión iter se orrespone on el élere Teorem e Fuini. En síntesis el resulto reue el prolem e lulr l integrl (. ) l e lulr otrs integrles e iemnn e imensión menor, ptno onvenientemente los límites e integrión e ésts l esripión nlíti el reinto e integrión A. Integrión iter sore retángulos plnos Comenzmos on ls integrles oles sore retángulos, uy interpretión geométri es un so prtiulr el métoo lásio e integrión por seiones, y esrito por Euoo (siglo IV. C.) y perfetmente mnejo por Arquímees (87. C.). L Físi y l Geometrí, por otr prte, suelen mnejr ls iverss integrles que neesitn meinte lo que llmn elementos ifereniles, un e uys versiones puee verse en este teorem. El elemento iferenil e un integrl es un representión genéri e los sumnos que n l integrl en el límite, lo que solí reflejrse esriieno en vez e ó y en lugr e y. Por ejemplo el elemento iferenil e l integrl ole, según l efiniión (. ), es f(,y)y: es un representión el pequeño A(y)y volumen que, en el límite, port punto l sum totl, que es l integrl. Muhos rzonmientos se hen plusiles rgumentno on los elementos ifereniles. Se f : y, ontinu en [, ] [, ]. esemos lulr l integrl f ( y, )y. L ie e este métoo es utilizr el elemento iferenil el volumen que se ilustr en l figur. junt: el áre e l figur.- seión proui por y [, ] multipli por l ltur iferenil y. Intuitivmente está lro que l sum e los infinitos elementos e es form el volumen uso. Más onretmente: Pr y [, ], se onsier l seión el volumen uso on el plno ooreno orresponiente iho y. enotemos A(y) el áre e ih seión, uyo vlor se puee esriir fáilmente meinte l integrl e iemnn uniimensionl: A(y) f( y, ) pues, on y fijo, l e l seión A(y) vrí ese hst. El elemento iferenil el volumen, sugerio en l figur nterior, viene o por A(y)y, pr y. L sum e toos ellos uno y vrí entre y viene por: vol. Ay ( )y f( y, ) y (. 6) Un rgumento nálogo se otiene si prtimos e un [, ] fijo y relizmos l seión por su plno ooreno onstnte. En ese so se onsier l seión A() por: A() f ( y, )y, y el elemento e volumen A(), e mner que el volumen resultrá: y En esto onsiste funmentlmente el rzonmiento e Arquímees pr euir su fórmul el volumen e l esfer.

5 CÁLCULO II Cpítulo - Integrles múltiples.5 vol. A( ) f( y, )y (. 7) Ls os integrles nis e (. 6 y 7) se onoen omo integrles iters y l téni e integrión se llm por iterión. L emostrión riguros e ls fórmuls otenis ee mnejr ls prtiiones y tomr el límite orresponiente, lo que ejmos omo ejeriio. El resulto se enuni omo sigue: Teorem e Fuini [. 5]: Se f : y se un retángulo [, ] [, ]. Consieremos ls fmilis e funiones : ϕ (y) f(,y), [, ]: un funión e y pr, efini en [, ] ϕ y () f(,y), y [, ]: un funión e pr y, efini en [, ] Entones, si f es integrle en, ls os funiones umplen: y se verifi: (Teorem Fuini) ϕ y () es integrle en [, ] pr y e [, ] y ϕ (y) es integrle en [, ] pr e [, ] y f ( y, )y f( y, ) y φ y ( ) A( y) f( y, ) φ ( y)y A( ) f(, y)y f( y, )y (. 8) Ejemplos e integrión iter El teorem nterior proporion os proeimientos e efetur un integrl ole, llmos "por iterión". C un e ls os integrles se enomin integrl iter y se istinguen en el oren e integrión: l primer integr primero respeto e y sigue integrno el resulto respeto e y; l segun lo he en el oren ontrio. A ontinuión se ilustrn mos on los siguientes ejemplos: Ejemplo. : Clulr l integrl e f(,y) + y sore el uro [, ] [, ]. iujr el volumen que se h lulo. Soluión: Por el primer oren e integrión tenremos: ( + y ) y ( + y ) y [,] [,] ( ) ( ) ( y y ) + y y + y y + + Por el seguno oren e integrión se otiene priori el mismo resulto por l simetrí e l funión y el retángulo sore el que se integr. figur.-4 Vemos hor un ejemplo en que el ominio e integrión no es un retángulo pr ver ómo se pli en l práti (.-8): Ejemplo.-4: Clulr ( + y ) y sieno el triángulo omprenio entre los ejes y l ret que ps por los puntos (, ) y (, ) y plir los os órenes e integrión iter. figur.- 5 {(, y) /, y Soluión: Primero eemos esriir eumente el ominio e integrión,, pr lo ul se neesitn ls euiones e sus fronters: l porión e fronter sore los ejes son senills: {y ; } y { ; y }; l ret oliu tiene peniente y ps por (,), luego su euión es: (y ) ( ) y ( y). A ontinuión mos os esripiones posiles e pr integrr: {(, y) / y, y} (y vrí entre onstntes) } ( vrí entre onstes.) C un e ls esripiones es útil pr uno e los órenes e integrión. Con l primer esripión se integr en el primer oren, es eir, primero respeto y errno respeto y:

6 .6 Cálulo II ( ) ( ) y ( ) ( ) y + y y + y y + y y ( y ) + ( y ) y y 8 ( ( y + y y ) + ( y + y ) y ) y ( ) 4 5 ( ) 8 y y y y y y 4y + y y + y En el otro oren se tiene en uent l segun esripión e, integrno primero respeto e y y errno respeto e, y proue el mismo resulto: se ej verifirlo omo ejeriio, sieno interesnte que el lumno ompre si los os órenes se opern on el mismo trjo o hy ventj en proeer en uno e los os órenes frente l otro. #. En reli, puee her ventj en utilizr uno e los os órenes, omo prue el siguiente so: Ejemplo.-5: Clulr l práol y. πy sen y Soluión: Pr integrr primero respeto e, eemos integrr y, sieno l porión el plno XY ompreni entre l úi y y π π primero respeto e y ee integrrse y sen y respeto e y. Esto último pree más ireto, sí que esriimos el onjunto (figur junt), epresno entre os onstntes: y sí: {(,y) /, y } πy πy ysen y ysen y 4 π π 4 π y y 5 sen y y os π π ( os π+ os(π )) π π ( os(π )) 5 5 ( sen(π ) π 5 5π ) π ( 5 ) sen y respeto, mientrs que si integrmos π figur.- 6 #. ) Propiees e ls integrles oles Ls propiees más utilizs e l integrl múltiple son similres ls que tiene en el so uniimensionl. Se resumen ontinuión: (. 9) lineli: α,β tes. (α f( y, ) + β gy (, ))y α f+ β g itivi: Si es un esomposiión e sin solpmientos, entones: f( y, )y f+ f (. ) monotoní: Si f, g son funiones eslres integrles sore un ominio, entones (,y) : f(,y) g(,y) f( y, )y gy (, )y (. ) tringulr: Pr ulquier funión integrle f sore un ominio se verifi: f(,y) y f(,y) y (. ) Junto ests propiees ásis que se emuestrn fáilmente prtir e l efiniión (. ), tiene stnte uso l generlizión el teorem el vlor meio (T.V.M.) integrles oles: Teorem e vlor meio [. 6]: Se un ominio 4 en sore el que un funión f es ontinu. Entones eiste un punto ξ (ξ, ξ ) en tl que f(,y)y f(ξ,ξ ), (. ) one es el áre e (áre en, será volumen en, y, en generl, mei). Al vlor f(ξ,ξ ) se le onoe omo promeio integrl e f en, y es el vlor promeio e un mgnitu istriui en. Por eso vees se esrie (. ) en l form: 4 omino, o se, el ierre topológio e un ierto oneo. L hipótesis e oneión es esenil en el teorem.

7 CÁLCULO II Cpítulo - Integrles múltiples.7 f( y, )y f (ξ,ξ ) (. ) emostrión: Es un onseueni el teorem e onservión e l oneión, que no proremos. #. Finlmente y estmos en oniión e pror l integrili e ls funiones ontinus trozos: Teorem [. 7]: Si f es ot en el ominio n y eiste un esomposiión e en suominios sin solpmientos 5, e l form k, tl que f es ontinu en i pr i,,,k, entones f es integrle sore, y l integrl se puee lulr meinte l itivi (. ). emostrión: Es un senill onseueni e l propie e itivi respeto el ominio e integrión, o se, (.-): st esomponer el ominio siguieno l urv en que se proue l isontinui e f. #. ) Cmio e vriles En osiones es ventjoso epresr el reinto e integrión, o l funión integrno e un integrl múltiple en otrs vriles uilires on el fin e simplifir los álulos. Vemos primero el so más senillo e importnte en ls pliiones integrles oles: Cmios oorens polres en el plno Consiermos en primer lugr l integrl f( y, )y se simplifin l epresrlos en ls oorens polres el plno, o se, l sustituir:. Supongmos que, o ien el integrno o ien ρos θ g( ρθ, ), o ien: (,y) _g(ρ,θ) (g y ρ sen θ g( ρθ, ) (ρ,θ), g (ρ,θ)) (. 4) Entones es posile efetur ests sustituiones en l integrl pr eplotr l simplifiión. En efeto, onsieremos, por ejemplo, el írulo {(,y): +y r }, pr fijr ies. ee esriirse, pr integrr en rtesins (primero respeto y, por ejemplo), en l form: π θ r ρ _g figur. 7 {(,y) : r r, r y r }, y ρ ρθ mientrs que en oorens polres el mismo se esrie simplemente por {(ρ,θ) : ρ r, θ π}, o se, un "retángulo" [, r] [, π] pr ls vriles (ρ,θ) (es eir, en unos ejes ortogonles que eslen ls vriles (ρ,θ) l mrgen e ls (,y), ver figur. 7) Osérvese que este retángulo no es otr os que el onjunto e puntos (ρ,θ) uy imgen por l pliión vetoril _g proporionn el írulo originl, es eir, _g (). Osérvese tmién que, slvo en el origen, l funión vetoril _g es inyetiv, pues su joino es ( y, ) (ρ,θ) osθ senθ ρsenθ ρosθ ρ, Por su prte, el integrno vrirá l sustituir en l form f(,y) f(ρosθ, ρsenθ) f[_g(ρ,θ)] f _gea(ρ,θ) (. 5) (. 6) Finlmente el elemento iferenil y es el elemento e áre epreso en ls oorens originles. Se entiene por ello el áre enerr entre los puntos (,y), (+,y), (, y+ y), (+, y+ y) uno los, y 5 Puee mitirse puntos e fronter omún entre os prtes ontigus e l esomposiión e, siempre que l mei o áre e l prte omún se nul.

8 .8 Cálulo II, lo que se ini esriieno, y. Epresr el elemento e áre en ls nuevs vriles es eterminr l mei en (o se, el áre pln) e l porión e r por los utro puntos nálogos (ρ,θ),(ρ+ ρ,θ),(ρ,θ+ θ),(ρ+ ρ,θ+ θ) (ver figur. 7). iho áre vle ρρθ Oservemos que l epresión nlíti resultnte h sio: y (,y) ρθ ρρθ (ρ,θ) (. 7) lo que es un resulto generl uno se mi ese rtesins otrs vriles urvilínes. En sum, l trnsformión e l integrl originl es: f( y, )y f(ρosθ,ρsenθ)ρρθ (. 8) g ( ) Y est fórmul e mio e vriles l poemos utilizr onvenieni pr efetur integrles oles. Ejemplo.-8: Clulr el volumen e l esfer meinte un integrl ole efetu por mio e vriles oorens polres. Soluión: Tenieno en unt l euión rtesin e l esfer e rio entr en el origen O, es eir; + y + z se eue que eemos integrr sore el írulo {(,y) / + y } l funión z f(,y) y y multiplir por el resulto (pues integrremos entre el plno y el hemisferio positivo). Así tenremos vol. y y Si mimos oorens polres el plno XY, se tenrá: mio: { ρosθ, y ρsenθ ; y ρρθ ; f(,y) luego: vol ρ ρ ρ θ ρ ρρθ π 4π ρ }; {(ρ,θ) / <ρ, θ<π} ( π )( θ ( ρ) ρ ) ( ρ) 4 4π π Ejemplo. 7: Clulr el volumen el ono reto, e rio r y ltur h meinte un integrl ole en oorens polres. Soluión: Se ej omo ejeriio. esult π #. rh Cmios e vriles más generles en integrles oles #. En el plno l fórmul (.-8) se generliz en los siguientes términos: Teorem [. 8]: Cmio e vriles en integrles oles l integrl f ( y, )y sore un ominio regulr en, supongmos que se quiere efetur un mio ls nuevs vriles (u,v) que se relionn on ls (,y) meinte reliones e trnsformión s por un funión vetoril _g en l form: Suponremos _g e lse en _g () y on joino g : g( uv, ) tl que: ( uv, ) ( y, ) y g( uv, ) ( y, ) ( uv, ). Entones se puee esriir: (. 9) ( y, ) f( y, )y f guv (, ) uv (. ) g ( ) ( uv, ) one se tom el móulo el joino en l integrl, en previsión e los sos en que el eterminnte pue ser negtivo. emostrión: No l remos, unque puee verse l emostrión riguros en l iliogrfí reomen. #. Un ejemplo pr mostrr l utili e usr vees un mio más generl que el mio oorens polres es el siguiente:

9 CÁLCULO II Cpítulo - Integrles múltiples.9 Ejemplo.-8: Hllr +, sieno el prlelogrmo elimito entre ls rets y, y +, y ( y ) y, y, usno previmente un mio e vriles que trnsforme el prlelogrmo en un retángulo e los prlelos los ejes. (Ejeriio e l hoj e Prolems el pítulo) A v v F Soluión: i) El prlelogrmo que eterminn ls utro rets 4 tiene por vérties los puntos A(,), B(, ), C(, ), y (, ). Pr integrr iretmente, eerímos esriir el ominio en tres trmos: {(,y) /, y } {(,y) /, y +} {(,y) / 4, y +}. Pero esto se simplifirá on el proeimiento oreno en el enunio. figur.-8 Con un vértie en el origen, el prlelogrmo en reli puee eterminrse meinte los os vetores AB v e + e y A v e e (AC es l igonl el prlelogrmo y, por tnto, es l sum e los os señlos). Busmos un trnsformión e oorens, F, que en reli trnsforme esos vetores omo sugiere l figur, es eir, tl que F(v ) e y F(v ) e, pr iertos prámetros,, que luego justremos onvenieni. Lo más senillo es usr un pliión linel, etermin por un mtriz α α α α, l que eigimos que trnsforme los v omo queremos, o se: α α i α α Esto permite euir: α α α α Así, tenemos l pliión linel: (u,v) F(,y) y otenemos tmién su invers _g F u u u v y y v v Poemos elegir hor vlores pr los prámetros y, omo por ejemplo:,, on lo ul l pliión linel _g us tenrá mtriz y que sí: g (u,v) u + v ; y g (u,v) u + v ii) Ahor poemos efetur el mio e vriles en l integrl F(v ) F(v ) + ( y ) y, pr lo ul: ) se sustituyen ls reliones el mio nteriores en el integrno y resultrá: (v) 9v. ( y, ) ) el elemento iferenil e áre en XY se trnsform en: y ( uv, ) uv uv : osérvese que el joino e un pliión linel e este tipo es el eterminnte e su propi mtriz. ) el nuevo ominio e integrión será _g () F() [, ] [, ] [, ] [, ] iii) Finlmente efetumos l integrl on el mio e vriles plio: ( )( ) ( ) ( + y) y () 9 9 v uv u v v v #. e) Ejeriios sore integrles oles Pr ompletr l seión se proponen los siguientes ejeriios: Ejemplo.-9: Clulr y sieno {(,y) :, e y }, en los os órenes e integrión. e Ejemplo.-: l integrl iter integrión. f ( y, ) y, iujr el reinto e integrión y mir el oren e Ejemplo.-: Clulr l integrl ole i) A triángulo e vérties (,), (,) y (,). ii) A {(,y): + y } iii) A {(,y):, y, + y, y } yy en los siguientes sos: A

10 . Cálulo II iv) A {(,y):, y, + y, y } v) A {(,y): + (y ) } Ejemplo.-: l integrl y y f ( y, ) oren e integrión. (Propuesto en emen e Cálulo II, junio 9)., iujr el reinto sore el que está plnte y mir el y Soluión: i) L figur.-9 junt muestr ryo el reinto enerro entre ls urvs {y, y } y l ret {y }: se ejn los etlles e euirlo omo ejeriio. ii) Al integrr en el otro oren tomrse los vlores e entre onstnte y los límites e ls y eigen esomponer el ominio en unión e os suominios: el primero,, ontenrá ls entre ½ y y ls y entre y ; y el seguno,, ontenrá ls entre y y ls y entre y. iii) Pr epresr l integrl iter resultnte eerá plirse l propie e itivi (.-) y sumr ls os integrles sore y. Los etlles omo ejeriio. #. figur.-9 Ejemplo.-: l integrl + f( y, )y, iujr el reinto y mir el oren e integrión. ( ) Ejemplo.-4: Clulr por mio oorens polres l integrl yy, sieno el ominio e integrión: {(,y) :, y, + y, + y } (e l Práti )