Transformaciones y simetría

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1 LECCIÓN CONDENSADA 7.1 Trnsformiones y simetrí En est leión Conoerás tres tipos e trnsformiones rígis: trslión, rotión, y reflexión Usrás ptty pper pr moelr l reflexión Aprenerás ómo ientifir figurs on simetrí e rotión o simetrí e reflexión En tu liro, lee tentmente el texto que viene ntes e l investigión. Aontinuión se muestr un resumen e lgunos e los puntos lves. 1. Un trnsformión que re un imgen que es ongruente on l figur originl se llm un trnsformión rígi, o isometrí. Tres tipos e trnsformiones rígis son trslión, rotión, y reflexión. 2. Un trnsformión que mi el tmño o l form e un figur es un trnsformión no rígi.. Un trslión esliz l figur lo lrgo e un tryetori ret, movieno punto l mism istni en l mism ireión. Puees esriir un trslión usno un vetor e trslión, que espeifi tnto l istni omo l ireión. 4. Un rotión gir un figur lreeor e un punto fijo, rotno punto el mismo número e gros. Puees esriir un rotión no el punto entrl, el número e gros, y l ireión (en el sentio e ls mneills el reloj o en el sentio opuesto). Cuno no se espeifi un ireión, se supone que l rotión se en el sentio opuesto ls mneills el reloj. 5. Un reflexión volte un figur sore un ret, reno el reflejo exto e l figur. Puees esriir un reflexión espeifino l ret e reflexión. Investigión: L propie ási e un reflexión Sigue los Psos 1 y 2 en tu liro pr rer un figur y su imgen reflej. Después, iuj unos segmentos que onetn vértie on su punto e imgen. Mie los ángulos en los que los segmentos intersen l ret e reflexión. Qué enontrste? L ret e reflexión ivie segmento onetor en os segmentos más pequeños. Qué relión hy entre ls longitues e los segmentos más pequeños? Us tus esurimientos pr ompletr est onjetur. Ret e reflexíon Conjetur e l ret e reflexión L ret e reflexión es l e too segmento que une un punto e l figur originl on su imgen. C-68 (ontinú) Disovering Geometry Conense Lessons in Spnish CHAPTER Key Curriulum Press

2 Leión 7.1 Trnsformiones y simetrí (ontinuión) Lee el texto restnte e est leión. A ontinuión se muestr un resumen e lgunos e los puntos lves. 1. Un figur que puee reflejrse sore un ret, e mner que l imgen resultnte oini on l originl, tiene simetrí e reflexión. L ret e reflexión se llm un ret e simetrí. Un figur puee tener más e un ret e simetrí. 2. Un figur que puee rotrse menos que un giro ompleto lreeor e un punto, e mner que l imgen rot oini on l originl, tiene simetrí e rotión o simetrí e punto. Si l imgen oinie on l figur originl n vees urnte un giro ompleto, entones se ie que l figur tiene simetrí e rotión e oren n (n-fol rottionl symmetry). EJEMPLO Desrie tos ls simetrís e un triángulo equilátero. Soluión Un triángulo equilátero tiene tres simetrís e reflexión. Un ret e reflexión ps por vértie y el punto meio el lo opuesto. Un triángulo equilátero tiene tres simetrís e rotión (esto es, tiene un simetrí e rotión e oren ). Puee rotrse 120, 240, y 60 lreeor e su entro, y oiniirá onsigo mismo CHAPTER 7 Disovering Geometry Conense Lessons in Spnish 2004 Key Curriulum Press

3 LECCIÓN CONDENSADA 7.2 Propiees e ls isometrís En est leión Usrás ls regls e pres orenos pr trnsformr los polígonos en el plno e oorens Aprenerás ls regls e pres orenos que orresponen iverss isometrís Desurirás ómo eterminr l tryetori mínim e un punto un ret y otro punto que esté en el mismo lo e l ret Puees usr un regl e pres orenos pr trnsformr figurs en el plno e oorens. Un regl e pres orenos esrie l form en que punto e un figur originl se reui pr rer un imgen. El Ejemplo A e tu liro ilustr que l regl (x, y) (x 2, y ) es un trslión que mueve punto e un figur hi l ereh 2 unies y hi jo unies. Lee el Ejemplo A tentmente. En generl, l regl (x, y) (x + h, y + k) es un trslión e h unies horizontlmente y k unies vertilmente. Investigión 1: Trnsformiones sore un plno e oorens En est investigión, explorrás utro regls e pres orenos. Sigue los Psos 1 y 2 en tu liro. Diuj tu polígono originl en el Curnte I, II, ó IV. (Aquí hy lgunos ejemplos en los que el polígono originl se ui en el Curnte III.) Usno tus iujos y lgo e ptty pper, etermin si trnsformión es un reflexión, un trslión, o un rotión. Ientifi ls rets e reflexión y los entros y ángulos e rotión. Ahor, onsier los ejemplos. En gráfi, l figur sóli en el Curnte III es l originl, y l figur punte es l imgen. (Not: L ret y = x se h ñio l últim gráfi.) Determin ómo se h trnsformo l figur originl pr rer l imgen. Otienes los mismos resultos que otuviste pr tu polígono? y y y (x, y) ( x, y) y x y x x x x (x, y) (x, y) (x, y) ( x, y) (x, y) (y, x) (ontinú) Disovering Geometry Conense Lessons in Spnish CHAPTER Key Curriulum Press

4 Leión 7.2 Propiees e ls isometrís (ontinuión) Us tus esurimientos pr ompletr l Conjetur e ls trnsformiones oorens en tu liro. Ahor volverás visitr l geometrí e l sl e illr. Reuer que uno un ol rue sin girr hi un n, el ángulo e sli es ongruente on el ángulo e entr. Investigión 2: Enontrr un tryetori mínim Sigue los Psos 1 4 e l investigión en tu liro. Después, esol el ppel y iuj AB. Oserv que AB ps trvés el punto C. Mie l longitu e l tryetori e A B. Mie l longitu e l tryetori e os prtes e A C B. Dees enontrr que ls longitues e ls tryetoris son igules. L tryetori e A C B es l tryetori más ort, o l tryetori mínim, e A l n B. Pr ver por qué, esoge ulquier otro punto D sore l n. L tryetori e A D B es l mism longitu que l tryetori e A D B. AB es más ort que l tryetori e A D B ( por qué?), por lo que tmién es más ort que l tryetori e A D B. Como AB es e l mism longitu que l tryetori e A C B, l tryetori e A C B es más ort que l tryetori e A D B. A ontinuión se muestr este rgumento en símolos. AD DB AD DB B AB AD DB B C AB AD DB AB AC CB A D AC CB AD DB Complet est onjetur. Conjetur e l tryetori mínim Si los puntos A y B están e un lo e l ret, entones l tryetori mínim el punto A l ret l punto B se enuentr reflejno el punto sore l ret, iujno el segmento, espués iujno los segmentos AC y, one el punto C es el punto e interseión el segmento y l ret. C-70 Tus esurimientos en l investigión te muestrn que, si quieres pegrle un ol ese el punto A, pr que se reote ontr l n y pse por el punto B, ees visulizr el punto B reflejo sore l n y espués puntr l imgen reflej. En el Ejemplo B e tu liro se pli lo que preniste en l Investigión 2 pr resolver un prolem sore el golfito. Lee ese ejemplo tentmente. 94 CHAPTER 7 Disovering Geometry Conense Lessons in Spnish 2004 Key Curriulum Press

5 LECCIÓN CONDENSADA 7. Composiiones e trnsformiones En est leión Enontrrás l trnsformión simple equivlente l omposiión e os trsliones Enontrrás l trnsformión simple equivlente l omposiión e ls reflexiones sore os rets prlels Enontrrás l trnsformión simple equivlente l omposiión e ls reflexiones sore os rets que se intersen Cuno plis un trnsformión un figur y luego plis otr trnsformión su imgen, l trnsformión resultnte se llm un omposiión e trnsformiones. En el ejemplo e tu liro, un figur es trsl por un regl, y luego su imgen es trsl por un regl iferente. L omposiión e ls os trsliones es equivlente un trslión simple. Lee este ejemplo tentmente y segúrte e que lo omprenes. Investigión 1: Reflexiones sore os rets prlels Sigue los Psos 1 4 pr reflejr un figur sore un ret y espués reflejr l imgen sore un segun ret, prlel l primer. Qué tipo e trnsformión llevrí l figur originl l imgen finl? (Sugereni: Cómo se ompr l orientión e l imgen finl on l orientión e l originl?) Us un ompás o ptty pper pr omprr l istni entre ls rets prlels on l istni entre un punto en l figur originl y el punto orresponiente en l imgen finl. Us tus esurimientos pr ompletr est onjetur. Conjetur e ls reflexiones sore rets prlels Un omposiión e os reflexiones sore os rets prlels es equivlente un simple. Aemás, l istni ese ulquier punto su segun imgen, jo ls os reflexiones, es l istni entre ls rets prlels. C-71 Compr ls istnis. El siguiente ejemplo es el Ejeriio en tu liro. (ontinú) Disovering Geometry Conense Lessons in Spnish CHAPTER Key Curriulum Press

6 Leión 7. Composiiones e trnsformiones (ontinuión) EJEMPLO Ls rets m y n son prlels y están seprs por 10 m.. El punto A está 6 m e l ret m y 16 m e l ret n. El punto A se reflej sore l ret m, y espués su imgen, A, se reflej sore l ret n pr rer un segun imgen, el punto A. Qué es l istni entre el punto A y el punto A? A 6 m m 10 m n. Qué suee si A se reflej sore n, y espués su imgen se reflej sore m? Enuentr l nuev imgen y istni. Soluión. Según l Conjetur e ls reflexiones sore rets prlels, l istni entre A y A es 20 m, el ole e l istni entre ls rets. Un iujo verifirá esto.. Según l Conjetur e ls reflexiones sore rets prlels, l istni entre A y A es 20 m. Un iujo verifirá esto. A 6 m 6 m 4 m 4 m A 10 m 20 m m n A A 20 m 26 m A 6 m 10 m 16 m m n A Investigión 2: Reflexiones sore os rets que se intersen Sigue los Psos 1 4 pr reflejr un figur sore un ret y espués reflejr l imgen sore un segun ret que interse l primer. Diuj os semirrets que omienen en el punto e interseión e ls os rets y que psen por los puntos orresponientes e l figur originl y su segun imgen. Qué trnsformión simple llevrí l figur originl l imgen finl? Dees her enontro que ls os reflexiones son equivlentes un rotión simple. Us un trnsportor pr omprr el ángulo e rotión (es eir, el ángulo reo por ls os semirrets) on el ángulo guo formo por ls rets que se intersen. Us tus esurimientos pr ompletr est onjetur. y x Compr x e y. Conjetur e ls reflexiones sore rets que se intersen Un omposiión e os reflexiones sore un pr e rets que se intersen es equivlente un simple. El ángulo e es el ángulo guo entre el pr e rets e reflexión que se intersen. C-72 Existen muhs otrs forms e ominr ls trnsformiones. Por ejemplo, l omposiión e un trslión y un reflexión se llm reflexión e eslizmiento. En l págin 76 e tu liro se muestrn ejemplos e l reflexión e eslizmiento. 96 CHAPTER 7 Disovering Geometry Conense Lessons in Spnish 2004 Key Curriulum Press

7 LECCIÓN CONDENSADA 7.4 Teseliones on polígonos regulres En est leión Conoerás ls tres teseliones regulres Desurirás tos ls teseliones semirregulres posiles Un rreglo e forms que ure ompletmente un plno sin hueos o trslpes se llm teselión. Lee el texto en tu liro que preee l investigión. He quí un resumen e lgunos e los puntos priniples. 1. Pr que ls forms reen un teselión, sus ángulos, l omorse lreeor e un punto, een tener meis que sumen extmente Un teselión que us sólo un form se llm un teselión monoher.. Un teselión monoher e polígonos regulres ongruentes se llm un teselión regulr. Los únios polígonos que ren un teselión regulr son los triángulos equiláteros, los uros, y los hexágonos regulres. (Éstos son los polígonos regulres uys meis ngulres son ftores e 60.) 4. Cuno ls misms ominiones e os o más polígonos regulres se juntn en el mismo oren en vértie e un teselión, se llm teselión semirregulr. 5. Puees esriir un teselión no su oren e vérties o su nomre numério. Pr rle nomre un teselión, enumer el número e los e form, en oren según vys vnzno lreeor e un vértie. Por ejemplo, vértie e l teselión quí expuest está roeo por un uro (4 los), un hexágono (6 los), y un oeágono (12 los). Así pues, el nomre numério pr est teselión es Investigión: Ls teseliones semirregulres Existen oho iferentes teseliones semirregulres. En tu liro se muestrn tres (4.8.8, , y.12.12). En est investigión, enontrrás ls otrs ino. Ls ino son tos ompuests por ominiones e triángulos, uros, y hexágonos. Neesitrás triángulos, uros, y hexágonos, y se e un onjunto e loques e ptrones, o trzos o opios y reortos el onjunto siguiente. Si ispones e softwre e geometrí, puees usrlo en est investigión (ontinú) Disovering Geometry Conense Lessons in Spnish CHAPTER Key Curriulum Press

8 Leión 7.4 Teseliones on polígonos regulres (ontinuión) Primero, us ominiones e os polígonos que puen usrse pr rer un teselión semirregulr. Comienz enontrno ls ominiones e meis e ángulos que sumen 60. Por ejemplo, omo , pueen rreglrse utro triángulos y un hexágono lreeor e un vértie. Trt e enontrr un mner e omor ls forms en que el ptrón pue ontinurse inefinimente. (Reuer que los polígonos een unirse en el mismo oren en vértie.) He quí l teselión, rotul on su nomre numério....6 Dees enontrr utro teseliones semirregulres que puen formrse on os polígonos iferentes. Diuj un y rotúll on su nomre numério. Ahor us ominiones e tres polígonos que puen usrse pr rer un teselión semirregulr. Nuevmente, primero enuentr ls ominiones e meis e ángulos que sumen 60, y espués intent her un teselión. Dees enontrr un teselión semirregulr que pue formrse on tres polígonos iferentes. Diújl y rotúll on su nomre numério. Lee el texto restnte e est leión. A ontinuión se resumen los puntos lves. 1. Ls tres teseliones regulres y ls oho teseliones semirregulres se llmn ls teseliones rquimeins. 2. Ls teseliones regulres y semirregulres tmién se llmn ls teseliones 1-uniformes, porque toos los vérties son iéntios. Un teselión on os tipos e vérties se llm 2-uniforme, un teselión on tres tipos e vérties se llm -uniforme, et. (Ve los ejemplos ilustros en tu liro.) 98 CHAPTER 7 Disovering Geometry Conense Lessons in Spnish 2004 Key Curriulum Press

9 LECCIÓN CONDENSADA 7.5 Teseliones on polígonos no regulres En est leión Determinrás si toos los triángulos pueen omorse en teseliones Determinrás si toos los uriláteros pueen omorse en teseliones Busrás lgunos ejemplos e teseliones pentgonles En l Leión 7.4, investigste ls teseliones forms prtir e unos polígonos regulres. Ahor, intentrás rer uns teseliones prtir e unos polígonos no regulres. Investigión 1: Toos los triángulos pueen omorse en teseliones? Sigue los psos e Mking Congruent Tringles (her tríngulos ongruentes) en l págin 84 e tu liro, pr rer y rotulr 12 triángulos eslenos ongruentes. Trt e formr un teselión usno los triángulos. He quí un ejemplo. Oserv tu teselión y l teselión siguiente. Dees enontrr que, en mos sos, ángulo e os vees lreeor e punto vértie. L sum e ls meis e los ángulos e un triángulo es 180. Como ángulo e os vees lreeor e punto, l sum e ls meis e los ángulos lreeor e punto es 2(180 ), ó 60. Como viste en l Leión 7.4, ést es l sum e los ángulos que roen vértie en ulquier teselión. Crees que porís rer un teselión que use un triángulo isóseles? Inténtlo y ve qué suee. Tus esurimientos en est investigión onuen l siguiente onjetur. Conjetur e los triángulos en teselión Culquier triángulo rerá un teselión monoher. C-7 Tú ses que los uros y los retángulos pueen urir un plno, y prolemente pues visulizr un teseliones on prlelogrmos. Culquier urilátero puee omorse en teselión? En l siguiente investigión, explorrás est uestión. (ontinú) Disovering Geometry Conense Lessons in Spnish CHAPTER Key Curriulum Press

10 Leión 7.5 Teseliones on polígonos no regulres (ontinuión) Investigión 2: Toos los uriláteros pueen omorse en teseliones? Cre 12 uriláteros ongruentes (ni prlelogrmos ni trpeios), y rotul los ángulos orresponientes en urilátero,,, y. Trt e formr un teselión usno los uriláteros. He quí un ejemplo. Mir tu teselión y l teselión mostr quí. Dees enontrr que, en mos sos, ángulo e un vez lreeor e punto el vértie. Esto tiene sentio, porque l sum e ls meis e los ángulos e un urilátero es 60. Tus esurimientos llevn l siguiente onjetur. Conjetur e los uriláteros en teselión Culquier urilátero rerá un teselión monoher. C-74 Tú ses que un pentágono regulr no se omorá en teselión. Sin emrgo, es posile rer teseliones prtir e otros tipos e pentágonos. En ls págins 85 y 86 e tu liro, se muestrn lgunos ejemplos. Hst hor, se hn mostro 14 tipos e pentágonos que pueen omorse en teseliones. En l tuli no se se si existen más. En el siguiente ejemplo, rerás un teselión pentgonl. Este ejemplo es el Ejeriio 2 en tu liro. EJEMPLO Proue un teselión pentgonl reno el ul e l teselión semirregulr expuest quí. Soluión Reuer que el ul se re onetno los entros e los polígonos que roen punto e vértie. Aquí está el resulto. 100 CHAPTER 7 Disovering Geometry Conense Lessons in Spnish 2004 Key Curriulum Press