Lección 3. Cálculo vectorial. 3. El teorema de Green.

Transcripción

1 GRAO E INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO 0. MATEMÁTIAS II. PTO. E MATEMÁTIA APLIAA II Lección. álculo vectoril.. El teorem de Green. En est sección estudimos el teorem de Green, que relcion l integrl de líne de un cmpo plno en un curv del plno con l integrl doble de su rotcionl en l región que encierr l curv. El teorem de Green pr regiones simplemente cones. onsideremos un región pln que es simultánemente X -proyectble e Y -proyectble. Se F(, y) = ( P(, y), Q(, y) ) un cmpo vectoril con verivds prciles continus. enotemos por l curv fronter de l región y supongmos que está formd por rcos regulres. Vmos clculr l integrl de líne F d = Pd + Qdy. Pr ello, descomponemos Entonces F d = F d F d +. ( ) ( ) F(, y) = P(, y),0 + 0, Q(, y) = F(, y) + F (, y). omenzmos clculndo F d. = Puesto que l re- : (, y) : b, y ( ) y y ( ), siendo gión es X -proyectble podemos escribir { } y = y ( ) e y ( ) = y dos funciones con derivs continus en el intervlo [ b, ]. Vmos prmetrizr los cutro rcos de curv que componen l curv : : [, b] ( ) = (, y ( )), ( ) (, y ( )), : y [ y ( b), y ( b)] ( y) ( b, y), ( y) (0,), b y ( ) (, y ( )), y y y y y ( ) (0,). = = = : [, ] ( ) = (, ( )), = : [ ( ), ( )] ( ) = (, ), y = Observemos que ls prmetrizciones y tienen l orientción decud mientrs que ls prmetrizciones y tienen orientción opuest y, por tnto, debemos tener cuiddo l usrls pr clculr ls correspondientes integrles. Además tenemos que F( ( )) ( ) = ( P(, y( )),0) (, y ( )) = P(, y( )), F( ( )) ( ) = ( P( b, y),0) (0,) = 0, F ( ( )) ( ) = ( Py (, ( )),0) (, y ( )) = Py (, ( )), F( ( )) ( ) = ( P(, y),0) (0,) = 0. Entonces b b b ( ) F d= Py (, ( )) d Py (, ( )) d= Py (, ( )) Py (, ( )) d b y ( ) = Py(, y) dy d = Py(, y) ddy. y ( ) Análogmente, usndo hor que l región es Y -proyectble, podemos obtener que F d = Q (, y) ddy.

2 GRAO E INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO 0. MATEMÁTIAS II. PTO. E MATEMÁTIA APLIAA II Lección. álculo vectoril. y que se conoce como En consecuenci, obtenemos l iguldd Pd + Qdy = ( Q P ) ddy, fórmul de Green pr l región. En generl, el teorem de Green estblece l iguldd nterior, es decir, bjo cierts condiciones que debe cumplir l región, donde l curv es l fronter de dich región. Vemos cules son ests condiciones. OBSERVAIÓN. Pr l vlidez de l iguldd se necesitn dos tipos de hipótesis. En primer lugr, hipótesis sobre P y Q que grnticen l eistenci de ls integrles que precen. Hbitulmente se supone que P y Q tienen derivds prciles continus. En segundo lugr hy que imponer condiciones de tipo geométrico sobre el recinto y su curv fronter, concretmente supondremos que es un curv de Jordn (o se, cerrd y simple) formd por rcos regulres. Puede demostrrse (y no es nd elementl unque se intuitivmente muy clro) que tod curv de Jordn descompone el plno en dos conjuntos coneos y disjuntos que tienen l curv como fronter común. Uno de dichos conjuntos no es cotdo y se llm región eterior. El otro sí es cotdo y se llm región interior, est región interior junto con su fronter será l región cotd que representremos por. Finlmente, hy otro detlle que debemos tener en cuent en el enuncido del teorem de Green, l orientción de l curv debe ser l orientción positiv; es decir, debe ser recorrid en sentido contrrio ls gujs del reloj. Esto quiere decir que l prmetrizción considerd debe recorrer l curv dejndo l izquierd l región interior. Nos conformremos con est formulción intuitiv. TEOREMA (GREEN). Se un curv de Jordn formd por rcos regulres recorrid en sentido positivo. Sen P y Q dos cmpos esclres con derivds prciles continus en l región cotd cuy fronter es. y Entonces se verific que ( Q P ) da = Pd + Qdy. y EJEMPLO. Se l elipse de ecución + = y consideremos el cmpo F(, y) = ( y, ). b Vmos comprobr, pr l curv y el cmpo F, l iguldd que estblece el teorem de Green. L curv se puede prmetrizr por ls funciones () t = cost e yt () = bsent con t [0, ]. En este cso tenemos que Py (, ) = yy Qy (, ) =, con lo que se verific Q(, y) Py(, y) =. Entonces tenemos, por un prte, que (denotndo por el interior de l elipse) Y por otr prte tenemos que ( Q Py) da = ddy = áre( ) = b. Pd + Qdy = ( bsen t( sen t) + cos t( bcos t)) dt = ( bsen t + bcos t) dt = b. 0 0 En generl, plicndo el teorem de Green l cmpo vectoril F(, y) = ( y, ), obtenemos que dy yd = ddy = áre( ),

3 GRAO E INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO 0. MATEMÁTIAS II. PTO. E MATEMÁTIA APLIAA II Lección. álculo vectoril. lo que nos permite clculr el áre de un recinto plno medinte un integrl de líne en su contorno. OROLARIO. Se un curv de Jordn formd por rcos regulres y se l región cotd cuy fronter es. Entonces se tiene que áre( ) = dy yd. EJEMPLO. Usndo el teorem de Green, vmos clculr l siguiente integrl de líne ( cos + ) ( sen + ) e y y d e y y dy Bst clculr entonces l integrl en el rco de l lemnisct dd por l ecución polr r = cos( θ ), con θ 0,. Un prmetrizción del rco de lemnisct está dd por : θ 0, ( θ) = ( cos( θ) cos θ, cos( θ) sen θ). Si echmos un vistzo l prmetrizción de l curv, observmos que será complicdo integrr directmente este cmpo en l lemnisct. Por esto, intentremos clculr est integrl usndo el teorem de Green. Llmemos F(, y) = ( e cos y+ y, ( e sen y+ y) ) l cmpo vectoril que queremos integrr. Es fácil comprobr que pr el cmpo F se verific que Q Py = y. Ahor considermos el segmento rectilíneo que une el origen de coordends con el punto (,0). Llmemos este rco de curv y observemos, puesto que en este rco y = 0, que F(,0) = ( e,0), luego se verific que F d = e d= e. L curv : = es cerrd y podemos plicr el teorem de Green l cmpo F en el interior de est curv, que llmremos. El teorem de 0 Green estblece que ( Q Py) ddy = F d = F d + F d = F d + e, lue- F d = Q P ddy + e = yddy + e. go ( y) yddy. Pr ello relizremos un cmbio coordends polres. Entonces rcos cos( θ ) cos( θ ) = θ y rsenθ = cos( θ ) cosθsenθ ( r dθ cosθsenθcos ( θ) dθ yddy = = rcosθ rsenθrdr dθ = cosθsenθ r dr dθ Finlmente tenemos que = = = F d = + e. El teorem de Green pr regiones múltiplemente cones. Observ que no podemos plicr el

4 GRAO E INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO 0. MATEMÁTIAS II. PTO. E MATEMÁTIA APLIAA II Lección. álculo vectoril. y teorem de Green pr clculr l integrl d + dy, siendo un curv regulr + y + y y que rodee l origen de coordends porque ls funciones Py (, ): = y Qy (, ): = no + y + y son diferencibles en el origen. Necesitmos estudir l vlidez del teorem de Green en otrs regiones más generles. Ahor etenderemos el teorem de Green regiones con gujeros. El nombre que reciben estos conjuntos es el de región múltiplemente cone. e form precis, tenemos l siguiente EFINIIÓN. Se dice que un conjunto coneo U es simplemente coneo si pr tod curv de Jordn contenid en U, l región cotd V cuy fronter es verific V U. Gráficmente, un conjunto simplemente coneo es un conjunto que no tiene gujeros. Se dice que un conjunto es múltiplemente coneo si es coneo pero no es simplemente coneo. Si queremos etender el teorem de Green pr este tipo de regiones, l integrl de líne sobre l fronter eterior que prece debemos ñdir integrles lo lrgo de curvs que íslen los gujeros. Por simplicidd, enunciremos el teorem pr el cso de un recinto con un solo gujero. TEOREMA (GREEN). Se U un conjunto coneo con un gujero V, cuy fronter eterior es un curv de Jordn formd por rcos regulres y su fronter interior es un curv de Jordn, formd por rcos regulres. Supongmos que P y Q son dos cmpos esclres con derivds prciles continus en U V. Entonces se verific que ( y ) Q P da = Pd + Qdy Pd + Qdy, U V donde ls dos curvs y son recorrids en sentido positivo. EM. Observemos l siguiente figur y dividmos l región U V = tl como se muestr en ell. L fronter de (que denotremos por ) está formd por los rcos, L, y L. Igulmente, l fronter de (que denotremos por ) está formd por los rcos, L, y L, slvo que hor los rcos L y L se recorren en sentido opuesto l nterior. Entonces, plicndo simultánemente el teorem de Green en ls regiones y se verific l siguiente cden de igulddes que estblece el resultdo. L L ( y) ( y) ( y ) Q P ddy = Q P ddy + Q P ddy = Pd + Qdy + Pd + Qdy U V = Pd + Qdy + Pd + Qdy + Pd + Qdy Pd + Qdy + Pd + Qdy Pd + Qdy Pd + Qdy Pd + Qdy L L = Pd + Qdy Pd + Qdy.

5 GRAO E INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO 0. MATEMÁTIAS II. PTO. E MATEMÁTIA APLIAA II Lección. álculo vectoril. OROLARIO. Sen P y Q dos cmpos esclres con derivds prciles continus en un conjunto coneo Q U tles que y contenids en U, que no se cortn y tles que = P en U. Sen y dos curvs de Jordn regulres trozos, rode completmente. Supongmos que l región nulr comprendid entre y se qued contenid en U. Entonces se tiene si mbs se recorren en el mismo sentido. Pd + Qdy = Pd + Qdy EJEMPLO. Vmos clculr l integrl de líne y d + dy en un curv + y + y que rode l origen de coordends. omo hemos comentdo nteriormente, podemos plicr directmente el teorem de Green en el interior de l curv. Pr clculr l integrl considerremos un circunferenci de rdio pequeño como pr que esté contenid en. Observemos que podemos plicr el teorem de Green en l región comprendid entre ests dos curvs. omo se verific que Q P = 0 en todo punto distinto del origen llegmos que y y y d + dy = d + dy. + y + y + y + y Pr clculr est últim integrl considermos l prmetrizción t t r t r t siendo r > 0 suficientemente pequeño. Entonces : [0, ] ( ) = ( cos, sen ), y cos sen r t r t y y 0 r r d + dy = ( r sen t) + r cost dt = álculo vectoril en el plno. El teorem de Green dmite vris interpretciones y tiene vris consecuencis que fectn diferentes mners de considerr ls derivds de los cmpos vectoriles. Este conjunto de interpretciones y fórmuls se conoce como cálculo vectoril en el plno. Se F = ( P, Q): U un cmpo vectoril con derivds prciles continus en U y supongmos que es un curv de Jordn regulr cuy región interior está contenid en U, de form que podemos plicr el teorem de Green. Se : t [, b] ( t): = ( ( t), y( t) ) un prmetrizción de que l recorre en sentido positivo. En cd punto P= ( ( t), y de l curv eisten el vector tngente unitrio T( P ) y el vector norml eterior unitrio NP ( ) ddos, ( ( t), y ( y ( t), respectivmente, por T( P) = y N( P) =. En ls condiciones dds y con ( ( t), y ( ( t), y l notción introducid, l fórmul de Green puede reescribirse de ls siguientes forms: ) L form de Stokes del teorem de Green: 5

6 GRAO E INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO 0. MATEMÁTIAS II. PTO. E MATEMÁTIA APLIAA II Lección. álculo vectoril. ( y ) rot Fddy = Q P ddy = Pd + Qdy = F T ds. ) L form de Guss del teorem de Green: ( y ) div Fddy = P + Q da = Qd + Pdy = F N ds. Pr obtener est últim fórmul consideremos el cmpo Gy (, ) : = ( Qy (, ), Py (, )), con lo que rot G = div F. Entonces t () = ( t (), yt ()) div( F) da = rot( G) ddy = G d = t b b b b = ( Qt ( (), yt ()) () t + Pt ( (), yt ()) y ()) t dt = ( Pt ( (), yt ()), Qt ( (), yt ())) ( y (), t ()) t dt = Ft ( ( )) Nt ( ) ( t) dt= F Nds. TEOREMA (FÓRMULA E INTEGRAIÓN POR PARTES). Se un curv regulr contenid en un conjunto U del plno y denotemos por l región interior l curv. Sen f : U un cmpo esclr y F : U un cmpo vectoril, mbos con derivds prciles continus en U. Entonces f div Fddy = f F N ds F f ddy. EM. Sbemos que ( ) f F N ds = div( ff) ddy = f div F + F f ddy = f div Fddy + F f ddy. e quí sigue l fórmul que queremos probr. EJERIIO. Se el seminillo contenido en el semiplno superior entre ls circunferencis + y = y + y =. Se l fronter del seminillo. lcul l integrl donde se recorre en sentido positivo. y d + ydy EJERIIO. Se g un cmpo esclr con derivds prciles segunds continus en. emuestr que g N ds = ( g + g yy ) ddy donde N es el cmpo de vectores normles unitrios eteriores l curv. lculndo mbs integrles, comprueb que se verific l iguldd dd ntes en el cso prticulr en que es l circunferenci unidd y gy (, ) = + + y. 6

7 GRAO E INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO 0. MATEMÁTIAS II. PTO. E MATEMÁTIA APLIAA II Lección. álculo vectoril. EJERIIO. omprueb que se d l iguldd estblecid por l form de Guss del teorem de Green en los siguientes csos. () F(, y) = (,), en el cudrdo de vértices (0,0), (,0), (,) y (0,). () F(, y) = ( y, + y ), en el rectángulo de vértices (0,0), (0,), (, ) y (, 0). () F(, y) = ( + y ) ( y, ), en el nillo 0 < + y b. EJERIIO. onsideremos l región pln dd por lcul su áre de ls siguientes forms: { } = (, y) :0 y, + y. () lculndo (sin hcer cmbios de vribles) l integrl ddy. () lculndo l integrl nterior; hciendo un cmbio coordends polres. () Aplicndo el teorem de Green l cmpo vectoril F y y y y (, ) = ( +, ). EJERIIO 5. Us el teorem de Green pr clculr ( y + 9+ ) d + ( 5 + e ) y dy, siendo l circunferenci centrd en el origen y de rdio orientd positivmente. 7