BASES EN ESPACIOS DE BANACH Y CRITERIO DE ESTABILIDAD DE PALEY-WIENER

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1 An. Arm. Teor. Op. Vol. 1, No. 1, 15 5 ISSN c 01 Centro de Análisis Mtemático / Venezuel. Análisis Armónico y Teorí de Operdores BASES EN ESPACIOS DE BANACH Y CRITERIO DE ESTABILIDAD DE PALEY-WIENER ARNALDO DE LA BARRERA Resumen. L intención de este trbjo es describir, de form breve, lgunos resultdos referentes bses de Schuder en espcios de Bnch, sucesiones de Bessel y bses de Riesz en espcios de Hilbert. Además se present el criterio de estbilidd pr bses de Schuder en espcios de Bnch, ddo por Pley y Wiener. Abstrct. The purpose of this note is to describe, in simple wy, some results concerning Schuder bsis on Bnch spces, Bessel sequenes nd Riesz bses on Hilbert spces. Also the stbility criterium for Schuder bses on Bnch spces, given by Pley nd Wiener, is presented. 1. Introducción. En culquier espcio vectoril de dimensión finit existe el concepto de bse lgebric, o simplemente bse y en este cso son equivlentes tods ls topologís, con ls que es un espcio vectoril loclmente convexo. En un espcio vectoril de dimensión infinit, l noción de bse lgebric no tiene relción con l topologí. Es por eso, que existen diversos intentos de generlizción de ls bses lgebrics bses en espcios de dimensión infinit, en prticulr espcios de Bnch infinitodimensionles. Entre ls bses que hn resultdo ser de un myor plicbilidd se encuentrn ls bses de Schuder. Este trbjo tiene como objetivos el introducir l lector ls bses de Schuder en espcios de Bnch, ls sucesiones de Bessel, ls bses de Riesz en espcios de Hilbert y l criterio de estbilidd de Pley-Wiener. Este trbjo comienz con un sección dedicd lguns nociones y resultdos referentes bses de Schuder en espcios de Bnch. Pr el cso generl de los espcios de Bnch no se presentn ls demostrciones, ésts pueden conseguirse en el libro de Lindenstruss y Tzfriri [3]. Se hce especil énfsis en el cso de los espcios de Hilbert, pr los cules se presentn ls demostrciones de l myorí de los resultdos que se enuncin. Recibido por los editores de febrero 01 y ceptdo 4 de bril Mthemtics Subject Clssifiction. Primrio 46B15; Secundrios 46C05. Plbrs clves. bses de Schuder, sucesiones de Bessel, bses de Riesz, equivlenci, estbilidd.

2 16 ARNALDO DE LA BARRERA. Bses de Schuder y sucesiones básics en espcios de Bnch En est sección se introduce el concepto de bse de Schuder de un espcio de Bnch y l noción correspondiente de sucesión básic. Pr más detlles de este tem se recomiend ver [1,, 3]. Slvo que se indique lo contrrio (X, ) o simplemente X denotrá un espcio de Bnch. Si {x n } X, por spn{x n } se denotrá l espcio vectoril generdo por {x n } y por spn{x n } l espcio vectoril cerrdo generdo por {x n }. Definición.1. Un sucesión {x n } en X es un bse de Schuder de X si pr cd vector x X existe un únic sucesión de esclres { n } tl que x = n x n, donde l convergenci de l serie es con respecto. Definición.. Se {x n } X, se dice que {x n } es un sucesión básic cundo es bse de Schuder pr spn{x n }. Un espcio X con un bse de Schuder {x n } puede ser considerdo como un espcio de sucesiones identificndo cd x = nx n con l únic sucesión de coeficientes { n }. Es importnte notr que pr describir un bse de Schuder hy que definir los vectores de l bse no sólo como un conjunto, sino como un sucesión ordend. Definición.3. Se {x n } X, se dice que {x n } es complet o totl cundo spn{x n } = X. Es decir, cundo spn{x n } es denso en X. El espcio dul topológico de un espcio normdo X, se denot por X, y está formdo por todos los funcionles lineles y cotdos definidos en X. Dd un bse de Schuder {x n } pr X, se definen los funcionles coordendos x n en X medinte x n(x) = n donde x = ix i. Además se define l n-ésim proyección P n : X spn{x n } por n n P n (x) = x i (x)x i = i x i. Usndo el teorem de l plicción biert se puede demostrr el siguiente resultdo, ver [] y [3, Prop.1...]. Proposición.4. Se {x n } un bse de Schuder pr X. Sen P n ls proyecciones nturles y x n los funcionles coordendos socidos l bse, entonces P n y x n son continuos. Además sup P n <. n El número k = sup n P n que prece en el resultdo nterior recibe el nombre de constnte bse de l bse {x n } y se dice que {x n } es un sucesión básic con constnte k. En el cso que l constnte básic es igul 1 se dice que l bse es monóton.

3 BASES Y CRITERIO DE PALEY-WIENER 17 Como n i x i = P n ) n+1 i x i P n i x i, ( n+1 un bse es monóton cundo pr tod sucesión de esclres { n }, l sucesión de números { n ix i } n 1 es no decreciente. Dd un bse de Schuder {x n } de X, se puede psr un norm equivlente en X pr l cul l bse dd es monóton, ver [3, Sec.1..]. Ejemplo.5. Se e n = (0,..., 0, 1, 0,...) donde 1 se encuentr en el n-ésimo lugr. Si 1 p < entonces l sucesión de los vectores unitrios {e n } n 1 es un bse de Schuder pr los espcios l p, conocid como l bse cnónic. Ést es un bse monóton pr l p. Proposición.6. (Ver [] y [3, Prop.1..3.]) Se {x n } un sucesión de vectores en X. Entonces {x n } es un bse de Schuder pr X si y sólo si se cumplen ls tres condiciones siguientes: (i) x n 0 pr todo n. (ii) Existe un constnte k tl que n m i x i k i x i. pr tod sucesión finit de esclres { i } m y pr todo n < m. (iii) spn{x n } = X. Como consecuenci de este resultdo se tiene que {x n } es un sucesión básic si y sólo si stisfce l condición (ii) de l proposición nterior. Teorem.7 (Bnch). [3, Teorem 1..5.] Todo espcio de Bnch de dimensión infinit contiene un sucesión básic. Definición.8. Se {x n } X, se dice que {x n } es mínim cundo x j spn{x i } i j pr todo j N. Ejemplo.9. Se {e n } un bse ortonorml pr un espcio de Hilbert H de dimensión infinit y seprble. Se g n = e n + e n+1. Entonces {g n } es mínim y complet. Un vez que se sbe que un espcio de Bnch tiene un bse de Schuder es nturl preguntrse si ést es únic. Pr estudir esto en detlle, se introduce l noción de equivlenci de bses. En lo que sigue (X, X ) y (Y, Y ), o simplemente X y Y, son espcios de Bnch. Definición.10. Sen {x n }, {y n }, sucesiones básics en X y Y respectivmente. Se dice que {x n }, {y n } son equivlentes si pr tod sucesión de esclres { n }, se tiene que l serie ix i converge si y sólo si l serie iy i converge. Usndo el teorem del gráfico cerrdo se puede demostrr el siguiente resultdo.

4 18 ARNALDO DE LA BARRERA Teorem.11. [1, Teorem 1.3.] Sen {x n } y {y n } sucesiones básics en X y Y respectivmente. Se tiene que {x n } e {y n } son equivlentes si y sólo si existe un isomorfismo ψ : spn{x n } spn{y n } tl que ψ(x n ) = y n. Corolrio.1. [1, Corolrio 1.3.4] Sen {x n } y {y n } sucesiones básics en X y Y respectivmente. Se tiene que {x n } y {y n } son equivlentes si y sólo si existe un constnte c, con 0 < c <, tl que pr tod sucesión de esclres { n }, distint de cero pr un cntidd finit de términos, se tiene que c 1 i y i i x i c i y i Y Y X En este cso se dice que {x n } y {y n } son c-equivlentes. Observción.13. () Si {x n } es un sucesión básic y si existe lgun sucesión {y n } que stisfce c 1 i y i i x i c i y i Y Y X entonces {y n } tmbién es un sucesión básic equivlente {x n }. (b) Si {x n } es un sucesión básic con constnte k, y si {y n } stisfce l desiguldd nterior, entonces {y n } tiene constnte bse lo sumo c k. En efecto, de cuerdo l desiguldd nterior, se tiene que n n m i y i c i x i ck i x i c Y X X m k i y i Y Ejemplo.14. con m n y c, k > 0 (1) Un sucesión básic {x n } pr un espcio de Bnch X es equivlente l bse usul pr lp si y sólo si ( ) 1 ( p c 1 i p ) 1 p i x i c i X p pr lgun constnte c > 0 y pr culquier sucesión de esclres { n }, distint de cero pr un cntidd finit de términos. () Culquier bse ortonorml en un espcio de Hilbert H seprble es 1- equivlente (c = 1) l bse cnónic de l. Usndo l noción de equivlenci, el problem de l unicidd se puede reformulr. Sin embrgo, si existen ls bses de Schuder, unque se identifiquen ls que son equivlentes, nunc son únics. Teorem.15 (ver [5] y [3]). Se X un espcio de Bnch infinito dimensionl con un bse de Schuder. Entonces existe un cntidd infinit no numerble de bses normlizds en X que no son mutumente equivlentes.

5 BASES Y CRITERIO DE PALEY-WIENER 19 Ddo un subespcio cerrdo M de un espcio normdo X, se dice que M es complementdo en X si existe otro subespcio cerrdo N de X tl que X es sum direct de M y N esto se denot por X = M N y signific que M N = {0} y X = M + N. Además se cumple que X/M es isomorfo N. Equivlentemente, M es complementdo en X si M es el rngo de un proyección linel continu P definid en X. Teorem.16 (El principio de perturbción pequeñ, ver []). Se {x n } un sucesión básic normlizd en X con constnte de bse k, y supóngse que {y n } X stisfce x n y n = δ (1) (i) Si kδ < 1, entonces {y n } es un sucesión básic equivlente {x n }. (ii) Si spn{x n } es complementdo por un proyección cotd P : X X y si 8kδ P < 1 entonces spn{y n } tmbién es complementdo en X. 3. Estbilidd de bses en espcios de Bnch y teorem de Pley-Wiener El criterio fundmentl de estbilidd, e históricmente el primero, se debe Pley y Wiener [4]. Este se bs en el hecho elementl de que un operdor linel cotdo T sobre un espcio de Bnch es invertible cundo I T < 1. Teorem 3.1 (Pley-Wiener). Se {x n } un bse de Schuder pr X, y supóngse que {y n } es un sucesión de elementos en X tl que N c n (x n y n ) λ N c n x n pr lgun constnte λ, con 0 λ < 1 y pr culquier sucesión de esclres {c n }. Entonces {y n } es un bse de Schuder pr X equivlente {x n }. Demostrción. Por hipótesis se tiene que si l serie c nx n es convergente, entonces l serie c n(x n y n ) es convergente. Se define l plicción T : X X medinte ( ) T c n x n = c n (x n y n ). Se tiene que T es linel y cotd, demás T λ < 1. Luego el operdor I T es invertible. Como (I T )(x n ) = y n pr todo n, se sigue el resultdo.

6 0 ARNALDO DE LA BARRERA 4. Sucesiones de Bessel en espcios de Hilbert En lo que sigue H denotrá un espcio de Hilbert seprble e infinito dimensionl, con producto interno,. Definición 4.1. Un sucesión {x n } H se llm sucesión de Bessel si pr todo h H se tiene h, x n < +. Observción 4.. Si {x n } es un sucesión de Bessel, entonces l serie n x n es convergente pr = { n } l (N) y existe un constnte B > 0 tl que n x n B n pr todo l (N). L constnte B recibe el nombre de cot de Bessel pr l sucesión y viene dd por B = sup n x n : l (N) = 1 Proposición 4.3. [6] Si {x n } H es un sucesión de Bessel, entonces existe un constnte B tl que h, x n B h pr todo h H. Proposición 4.4. Se {x n } H un sucesión. Se tiene que {x n } es un sucesión de Bessel con cot B, si y sólo si l desiguldd n x n B n se cumple pr todo = { n } l (N). Demostrción. Sen {x n } sucesión de Bessel y = { n } l (N). Se tiene que h, x n < + pr todo h H. Se h o = n x n H.

7 BASES Y CRITERIO DE PALEY-WIENER 1 Por l desiguldd de Cuchy-Schwrtz, se tiene que h o, h o = h o, n x n = n h o, x n ( ) ( ) n h o, x n. Por otr prte por l Proposición 4.3 se tiene que existe B > 0 tl que h o, x n B h o. Luego, 4 ( ) n x n = h o, h o B n n x n. Esto implic que ( ) n x n B n, { donde B = sup } nx n : l (N) = 1. Pr el recíproco, se {x n } H un sucesión tl que ( ) n x n B n, pr tod sucesión de esclres = { n } l (N). Se h o = n x n H. Por l desiguldd de Cuchy-Schwrtz se tiene n h o, x n = h 0, n x n h 0 n x n. Luego n h o, x n ( ) h 0 B n. Considerndo l sucesión n = h o, x n y sums prciles en l desiguldd nterior, se obtiene ( ) h o, x n B h 0 < + y sí {x n } es un sucesión de Bessel con cot B.

8 ARNALDO DE LA BARRERA Ejemplo 4.5. Se t [0, 1], se g n : [0, 1] R dd por g n (t) = t n. L sucesión {g 0, g 1, g,...} form un sucesión de Bessel en L [0, 1]. En efecto, sen f L ([0, 1]) y donde n 0. Entonces luego Por otro ldo c n = 1 0 c n = 1 0 t n f(t)dt = f, g n t n f(t)dt = f, g n f g n. g n = 1 0 t n dt = 1 n + 1, Por lo tnto ( ) 1 c n f g n = f n + 1 f 1 n = π 6 f. c n < + pr tod f L [0, 1]. Ahor se estimrá l cot de Bessel, B, pr est sucesión. Se n 0 pr n = 0, 1,... se tiene que n g n = n g n, m g m = n m g n, g m = m=0 π m=0 0 m=0 1 n m t n t m dt = n, m=0 n m m + n + 1 donde se h utilizdo l desiguldd de Hilbert (ver [6, págin 161]) m=0 n m m + n + 1 π n si n 0 pr n 0. Luego B = sup n g n : l (N) = 1 π.

9 BASES Y CRITERIO DE PALEY-WIENER 3 5. Bses de Riesz en espcios de Hilbert Definición 5.1. Un sucesión {x n } H es un bse de Riesz pr H si ) {x n } es totl en H, esto es H = spn{x n }. b) Existen constntes A, B > 0, A B tles que A n n x n B n si = { n } l (N). Definición 5.. Ddos dos productos internos sobre un mismo espcio vectoril, se dice que son equivlentes cundo genern norms equivlentes. Proposición 5.3. Se {x n } un sucesión en H, ls siguientes firmciones son equivlentes: (i) {x n } es un bse de Riesz pr H. (ii) Existen un operdor linel, cotdo e invertible T : H H y un bse ortonorml {e n } pr H tl que T (e n ) = x n pr todo n N. (iii) Existe un producto interior, 1 sobre el espcio linel H, equivlente l producto interior sobre H, tl que {x n } es un bse ortonorml pr (H,, 1 ). Demostrción. (i) (ii) Se {x n } un bse de Riesz pr H, entonces se tiene que () {x n } es totl en H. (b) Existen constntes A, B > 0, B A tles que A n n x n B n pr todo = { n } l (N). Por otr prte se tiene que todo espcio de Hilbert seprble tiene un bse ortonorml numerble. Se {e n } un bse ortonorml pr H, de l identidd de Prsevl sigue que A n e n n x n B n e n. Se T : H H el operdor ddo por ( ) T n e n = n x n donde { n } es un sucesión de esclres. De quí sigue que T es un operdor linel, biyectivo, cotdo, con inverso cotdo y que T e n = x n, pr todo n N. (ii) (iii)

10 4 ARNALDO DE LA BARRERA Por hipótesis existe un operdor linel cotdo T : H H, invertible y con inverso cotdo, y existe un bse ortonorml {e n } de H tl que T (e n ) = x n pr todo n N. Se define un nuevo producto interior x, y 1 sobre H de l siguiente form x, y 1 = T 1 x, T 1 y. Se 1 l norm inducid por este nuevo producto. Como T y T 1 son cotdos se tiene que 1 y son equivlentes y por lo tnto los productos, 1 y, son equivlentes. Finlmente x i, x j 1 = Φx i, Φx j = e i, e j = δ ij y sí {x n } es un bse ortonorml pr el producto, 1. (iii) (i) Como {x n } es un bse ortonorml pr, 1, que induce un norm equivlente l de (H,, ), se tiene que {x n } es totl. Además, por l identidd de Prsevl, se tiene que n x n = n. 1 Como y 1 son equivlentes, se cumple que existen constntes M y m positivs tles que m n x n n x n M n x n, 1 1 es decir m n n x n M n. 6. Estbilidd de bses en espcios de Hilbert y teorem de Pley -Wiener L estructur de espcios de Hilbert permite reformulr el Teorem 3.1 de l siguiente mner. Teorem 6.1 (Criterio de Pley-Wiener). Se {e n } un bse ortonorml pr un espcio de Hilbert H y se {z n } H un sucesión que stisfce ( ) 1/ c n (e n z n ) λ c n pr lgun constnte λ, con 0 λ < 1 y pr tod sucesión de esclres {c n }. Entonces {z n } es un bse de Riesz pr H. A continución se present un resultdo de Kdec que permitirá presentr un ejemplo de un bse de Riesz.

11 BASES Y CRITERIO DE PALEY-WIENER 5 Teorem 6. (Teorem 1/4 de Kdec, ver [6]). Si {λ n } es un sucesión de números reles pr l cul se cumple λ n n l < 1 4 pr todo n N. Entonces L sucesión { e } iλ nt stisfce el criterio de Pley Wiener y por tnto form un bse de Riesz pr L [ π, π]. Referencis [1] F. Albic nd N. J. Klton. Topics in Bnch spce theory. Springer, New York, 006. Citdo en págin(s) 16, 18 [] N. L. Crotheres. A Short course on Bnch Spce Theory. Deprtment of Mthemtics nd sttics, Bowling Green stte University, Summer, 000. Citdo en págin(s) 16, 17, 19 [3] J. Lindenstruss, L. Tzfriri. Clssicl Bnch Spces I. Springer Verlg, Citdo en págin(s) 15, 16, 17, 18 [4] R. Pley, N. Wiener. Fourier trnsforms in the complex domin. Am. Mth. Soc. Colloq. Publ. Vol. 19. Am. Mth. Soc., New York, Citdo en págin(s) 19 [5] A. Pelczynski, A. Singer. On non-equivlent bses nd conditionl bses in Bnch spces. Stud. Mth. 5, 5-5 (1964). Citdo en págin(s) 18 [6] R. M. Young. An introduction to Nonhrmonic Fourier Series. Acdemic Press, New York, Citdo en págin(s) 0,, 5 Universidd de Pmplon. A. De L Brrer, Universidd de Pmplon, Colombi. e-mil: brrer1994@gmil.com