Problemas resueltos. Parte teórica. Y esto es justamente el resultado obtenido en primer lugar pero de manera algebraica. Atención a lo siguiente!

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Adolfo Bustos Ortiz de Zárate
hace 6 años
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Productos Notles I Atención lo siguiente! Si nos piden multiplicr: ( + )( + ) otendremos: ( + )( + ) = + + + o se: ( + ) = + + Lo nterior, es un resultdo otenido lgericmente l multiplicr dos inomios.

1 Productos Notles I Atención lo siguiente! Si nos piden multiplicr: ( + )( + ) otendremos: ( + )( + ) = o se: ( + ) = + + Lo nterior, es un resultdo otenido lgericmente l multiplicr dos inomios. Sin emrgo, no es l únic mner de otenerlo. Existe l mner GEOMÉTRICA. Oserv esto: Áre = Áre = Ahor, juntemos los cudrdos por un de sus esquins y formemos imginrimente un cudrdo myor: Y esto es justmente el resultdo otenido en primer lugr pero de mner lgeric. A l iguldd hlld, se le denomin BINOMIO AL CUADRADO, siendo uno de los tntos PRODUCTOS NOTABLES que existen. Productos Notles Prte teóric Son multiplicciones de polinomios de form conocid cuyo resultdo se puede recordr fácilmente sin necesidd de efectur l propiedd distriutiv de l multiplición. Principles Productos Notles 1. Binomio l cudrdo ( + ) = + + ( - ) = - +. Diferenci de cudrdos 3. Binomio l cuo ( + )( - ) = - ( + ) 3 = ( + ) ( + ) 3 = ( - ) Existen muchísimos Productos Notles más, pero hoy veremos únicmente los tres y menciondos. Áre = ( + ) Prolems resueltos Sin emrgo el áre de ese cudrdo myor, puede ser otenid medinte l sum de ls áres que están en él: 1. Reducir: A = (x - ) + (x + ) desrrollndo cd uno de los inomios: A = x - x() + + x + x() + A = x - 4x x + 4x = reconociendo términos semejntes: A = x Efectur: ( 1 )( 1 ) ( + ) = + + plicndo: ( + )( - ) = - ( 1 )( 1 ) = 1 = 1 - = 8 1 AÑO

2 3. Efectur: ( + )( - )( + )( ) efectundo de dos en dos: ( + )( - )( + )( ) ( - )( + )( ) ( 4-4 )( ) Efectur: (x + 6) - (x + )(x - ) - (x + 1) + (- x ) (x) + (x)(6)+ 6 - [x - ] - [x + x(1) + 1 ] + (-x ) 4x + 4x x (x + 4x + 144) - x 4x + 4x x x - 4x x grupmos términos semejntes: (4x x x x ) (4x 4x) ( ) finlmente es Reducir: [x - xy + y - (x - y) ] + x( - x) + x(x - ) desrollndo y efectundo: [x - xy+ y - (x - xy + y )] + x - x + x - x [x xy y x xy y ] x x x x Finlmente el resultdo es: 7. (x + 6)(x - 6) = 8. (x + 1)(x - 1) = 9. Reducir: (x + 1) + (x - 1) ) x - ) x + c) x d) e) 1.Efectur: (x + 3) - (x - 3) ) 1x ) 6x c) - 6x d) x + 18 e) 11.Efectur: (4x + 5)(4x - 5) + 5 ) 4x ) 16x c) 8x d) 1x e) x 1.Efectur: (x + 3)(x - 3) + (7 + x)(7 - x) ) 4 ) 49 c) x d) x e) x Bloque II 1. Reducir: (x + y) - (x - y) ) 4xy ) xy c) 8xy d) 4y + x e). Efectur: (x + 1)(x - 1) + (3 + x)(x - 3) ) 5(x - 1) ) 5(x + 1) c) 5(x + ) d) 5(x - ) e) 3. Efectur: (x + 4) - (x + 1) - 6x ) 5 ) 1 c) 15 d) e) 5 4. Clculr: (x 1) (x 6) 8x Bloque I Prolems pr l clse ) ) 4 c) 6 d) 8 e) 1 Desrrollr cd uno de ls siguientes expresiones: 1. (x + ) =. (x - 7) = 3. (x + 3) = 4. (x + 5) 3 = 5. Clculr: (8 x)(8 x) (x 6)(x 6) 3 ) 1 ) 9 c) 8 d) 7 e) 5 6. Reducir: (x 13)(13 x) (1 x)(x 1) ) 3 ) 4 c) 5 d) 6 e) 7 5. (x - ) 3 = 6. (x + 4)(x - 4) = 7. Efectur: (x + )(x - ) + (x + 3)(3 - x) ) 1 ) c) 3

3 5 x 8. Reducir: (x 1) (x ) (x 3) (x 4) 5. Si: ( + ) = 4, entonces: ) 1 ) c) 3 ) > ) < c) = d) = e) = 9. Reducir: 3 (x 6) (x 3) 6x ) 1 ) c) 3 d) 4 e) - 1. Simplificr: 6. Efectur: ( x c x c )( x c x c ) ) c ) c c) 3c d) 4c e) 5c 3 ( 19 1).( 19 1) (1 1 )( 1 1) 7. Efectur: ( + 1)( - 1)( + 1)( 4 + 1) ) - ) - 3 c) 1 d) e) 3 ) ) 4-1 c) d) e) 8-1 Bloque III 1. Efectur: (5x + 6)(5x - 6) Desrrollr: ) 5x ) d) - 5x e) c) 5x ) ) 1 c) 4 d) 8 e) 16. Reducir: (x + 6) - (x - 6) ) 6x ) 1x c) 4x d) 48x e) 5x 3. Reducir: 4(x - y) + 4(xy) - 4(x + y ) ) ) 1 c) d) 3 e) 4 4. Reducir: (x + 1)(x - 1) + (1 + 3x)(1-3x) ) ) - 4x c) 4x d) 5x e) - 5x 9. Si: + = 4 = 1 hllr: + ) 14 ) 13 c) 1 d) 11 e) 1 1.Desrrollr: ( + ) 4 - ( - ) 4 ) 8( + ) ) 4( + ) c) ( + ) d) ( + ) e) ( + ) Autoevlución 1. Indicr verddero (V) o flso (F) según correspond: I. (x - 3) = x + 6x - 9 II. (x + y)(y - x) = x - y III. (x + 1) - (x - 1) = 4x 3. Efectur: (x - y) - 4x - y ) - 4xy ) xy c) - xy d) 4xy e) ) V F V ) F V V c) F F V d) V V F e) V F F 4. Clculr: ( 13 1)( 13 1) ( 5 1)( 5 1). Reducir: (5 + x)(x - 5) - x d) 8 e) 1 ) ) 4 c) 6 ) 5 ) - x c) - x 5. Reducir: (x + 1) - (x - 1) + 4x d) - 5 e) x - 5 ) ) x c) 4x d) 6x e) 8x

4 NOTAS CURIOSAS Como hrás visto, los dos primeros Productos Notles, están referidos l inomio ( + ) elevdo l cudrdo () y l cuo (3). Sin emrgo, este mismo inomio fectdo los exponentes 4; 5; 6;...; etc., seguirá siendo un Producto notle cuyo desrrollo tmién será escrito medinte un fórmul, pero clro, un tnto más complej. Memorizr fórmuls de este tipo puede resultr muy trjoso, sí que oserv el siguiente método práctico llmdo TRIÁNGULO DE TARTAGLIA. OJO: los números otenidos por ls flechs, corresponden l sum de los números Estos son los coeficientes de ( + ) superiores Estos son los coeficientes de ( + ) Estos son los coeficientes de ( + ) 4 3 De est mner, si queremos clculr el desrrollo de ( + ) 5, tommos l últim fil del triángulo: ( + ) 5 = OJO: Not que l vrile "" empiez con el exponente del inomio y luego v decreciendo de 1 en 1. OJO: Oserv que l vrile "" empiez con el exponente "" y luego v creciendo de 1 en 1 hst llegr l exponente del inomio (5). Y hor... crees que pueds desrrollr: ( + ) 6?... Inténtlo!

5 Productos Notles II Recordndo el cpítulo nterior, hoy relizremos lgo muy similr. Oserv el siguiente producto lgerico: ( + )( - ) = = - Ahor veámoslo desde el punto de vist geométrico: Áre = Si queremos clculr: - Agregmos ls siguientes: Término común (x + )( + ) = x + ( + )x + Trinomio l cudrdo: (x + y + z) = x + y + z + (xy + yz + xz) Identiddes de Legendre: ( + ) + ( - ) = ( + ) ( + ) - ( - ) = 4 Al resolver los ejercicios, plic ls fórmuls con mucho cuiddo. Un error en lgún signo, o en lgún coeficiente, o en un exponente, determinrí un respuest erróne. No te preocupes si en los primeros intentos los resultdos stisfctorios sen pocos; ten presente que pr resolver ejercicios mtemáticos se requiere de pcienci y much persevernci. Áre =... Tú puedes hcerlo!! Prolems resueltos - 1. Reducir: A = (x + )(x + 4) - (x - 7)(x - 4) - efectundo cd uno se tiene: A = x + 6x (x - 11x + 8) A = x + 6x x + 11x reduciendo términos semejntes: A = 17x = El áre del rectángulo otenido es: ( + )( - ) L diferenci de áres es: - (corresponde l primer cudrdo). Entonces: ( + )( - ) = - ; que es el resultdo requerido. Prte teóric A ls fórmuls y conocids como: Binomio l cudrdo ( + ) = + +. Desrrollr: (x - ) 3 recordndo: ( - ) 3 = (x - ) 3 = x 3-3x () + 3(x)() - () 3 = x 3-6x + 1x Efectur: (x 6) (x 4)(x 8) x x(6) 6 [x 1x 3] Binomio l cuo ( + ) 3 = ( + ) x 1x 36 x 1x 3 reduciendo términos semejntes: Diferenci de cudrdos ( + )( - ) = AÑO

6 4. Reducir: (x - 4x - 1) - (x - 4x - ) - (x - 4x +4) hcemos el cmio: x - 4x = y (y - 1) - (y - ) - (y + 4) desrrollndo cd uno se tiene: y - y(1) [y - y() + ] - (y + 4) y - y (y - 4y + 4) - y - 8 y - y y + 4y y - 8 grupndo términos semejntes: (y y ) ( y 4y y) (1 4 8) 11 el resultdo es: Reducir: ( + ) 3 - ( - ) 3 desrrollndo cd uno se tiene: ( ) - ( ) 11.Reducir: (x + 4)(x - 4) - x ) 16 ) - 16 c) - d) e) 1.Simplificr: (x + 3)(x + 4) - (x + 1)(x + 6) ) 6 ) 1 c) - 6 d) - 1 e) Bloque II 1. Simplificr: (x + 5) - (x + 6)(x + 4) ) 1 ) c) 3. Clculr: (n + )(n + 7) - (n + 3)(n - 3) - 3 ) n ) 7n c) 3n d) 9n e) 3. Reducir: (x )(x 8) (x 5) 1 ) 1 ) c) 3 eliminmos los préntesis: 4. Simplificr: (x 3) (x )(x 4) reduciendo términos semejntes: ) 1 ) c) 3 5. Reducir: ( + 1)( - )( - 1)( + ) Prolems resueltos Bloque I Desrroll cd uno de los siguientes productos notles: 1. (x + 5)(x + 3) =. (x + 7)(x + 1) = 3. (m + 5)(m - ) = 4. (m + )(m - 6) 5. (x + 5) = 6. (3x - ) = 7. (5x + 3y) = 8. (x + 3)(x - m) = 9. (m + )( - m) = 1.(3x + 5)(5-3x) = ) ) c) d) e) 6. Clculr el áre de l siguiente figur: x - 11 x + 7 ) x + 4x + 77 ) x - 4x - 77 c) x + 4x - 77 d) x - 4x + 77 e) 1 7. Determinr el áre del siguiente rectángulo: x + 3 x + 1 ) x + 6x + 3 ) 4x + 6x + 3 c) 4x + 3x + 6 d) x + 3x + 6 e) 3

7 8. Clculr l sum de áres de ls regiones somreds:. Reducir: (m + n) - (m - n) + (m - n) - m - 4n 9 - x x + 3 ) ) n c) m d) mn e) m + n 9 + x x Efectur: ( 3 5 )( 3 5 ) ) 81 + x ) x + 6x + 9 c) 6x + 81 d) x - 6x + 9 e) 6x Clculr l sum de áres de ls regiones somreds: ) ) 3 c) 6 d) e) 3 4. Desrrollr: (y + 5) x x + 4 ) y y + 76y + 15 ) y y + 74y + 15 c) y y + 75y + 15 d) y y + 75y + 15 e) y x - x Efectur: E = ( ) 1 - ( + 1) ; IN ) ) 1 c) d) 3 e) 4 ) x ) 3x c) 4x d) 5x e) 6x 1.Clculr l sum de áres de ls regiones somreds. 3 - x 6. Si: x - y = 8, clculr: (x - 3y) - 4y(y - x) + 8 ) 64 ) 7 c) 1 d) 9 e) Reducir: M = (x + ) - ( - x) + (x - 4) - x - 16 ) ) c) x d) 4x e) x + x Efectur: E = (x + y + 3)(x + y - 3) x + 5 ) x + xy + y - 9 ) xy - 9 c) x + xy + y - 6x + 9 d) x - xy - y - 9 e) x + y + 9 x - 3 x + 5 x Efectur: E = ; si: ; > ) ) c) 4 d) - 4 e) ) x - 55 ) x + 55 c) x + 55 d) x - 55 e) 3 Bloque III 1. Efectur: ( + 5) - ( + 4)( + 6) 1.Simplificr: E = ( + ) 3 + 3( + ) ( - ) + 3( + )( - ) + ( - ) 3 ) 8 3 ) 8 c) 6 3 d) e) 8 ) 1 ) c) 3

8 Autoevlución 1. Reducir: (x + 1) - x 4. Simplificr: (x + 5)(x - ) - x ) 1 ) x + 1 c) - 1 ) 3x ) - 1 c) 3x - 1 d) - x + 1 e) x + 1 d) 3x +1 e) - 1-3x. Simplificr: (x + 5)(x + ) + ( + x)( - x) ) 7(x + 1) ) 7(x + 14) c) 7(x + ) d) 7x - 14 e) 7x Reducir: (x + 5) - (x + 3)(x + 7) ) 1 ) c) 3 5. Clculr el áre de l región somred: m - m + 1 ) m - m + 8 ) m - 8m - c) m + 8m + d) m + 8m - e) m + m - 8 NOTAS CURIOSAS Aprovechndo el hecho de que los dos últimos tems los hemos dedicdo Productos Notles y en especil l BINOMIO AL CUADRADO, te contré lgo más sore este importntísimo tem. * El mtemático inglés Sir Isc Newton, l estudir el TRIÁNGULO DE TARTAGLIA (oserv ls nots curioss del cpítulo nterior) y gregrle lgunos resultdos mtemáticos, otuvo el desrrollo de l fórmul de: ( + ) n ; n IN Es decir un inomio elevdo culquier exponente: 1; ; 3; 4;... etc. * Un mtemático peruno, relizó un grn hzñ l superr el trjo hecho por Newton. Fue FEDERICO VILLAREAL, quien desrrolló l fórmul pr un polinomio elevdo determindo exponente; sí, l fórmul de Newton (llmd BINOMIO DE NEWTON) er un cso prticulr del fmoso: POLINOMIO DE VILLARREAL = [ k ] n ; k, n IN

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