Guía de álgebra básica para alumnos de nuevo ingreso. Academia de ciencias básicas
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- Sandra Contreras Peralta
- hace 6 años
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1 Guí de álgebr básic pr lumnos de nuevo ingreso Acdemi de ciencis básics
2 ÁLGEBRA Álgebr es l rm de l Mtemátic que emple números, letrs signos pr poder hcer referenci múltiples operciones ritmétics. El término tiene su origen en el ltín lgebr, el cul, su vez, proviene de un vocblo árbe que se trduce l espñol como reducción o cotejo. El Álgebr se centr en ls relciones, estructurs cntiddes; sirve pr llevr cbo operciones ritmétics (sum, rest, multiplicción, división pero que, diferenci de l ritmétic, se vle tmbién de símbolos (, b,,,,, en lugr de únicmente utilizr números. Esto permite formulr lees generles hcer referenci números desconocidos (incógnits, lo que posibilit el desrrollo de ecuciones el nálisis correspondiente su resolución. SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS Polinomio Un polinomio es un epresión lgebric de l form: ( Donde: es un número nturl es l vrible son constntes o coeficientes
3 Término lgebrico Ls prtes que se sumn o restn en un polinomio, se denominn términos. Un término (lgebrico es un conjunto de números letrs que se relcionn entre sí por medio de l multiplicción división. Ejemplos: L epresión 6 tiene términos. L epresión 6 ( tiene términos. 8 Un término semejnte es quél que tiene el mismo fctor literl con los mismos eponentes sólo difieren en el coeficiente. Ejemplos: 5 son semejntes. z 5 z son semejntes. Un polinomio es un sum finit de términos lgebricos en ls que tods ls vribles tienen eponentes enteros no negtivos, donde los denomindores no incluen vribles. vrible,. L epresión 6 es un ejemplo de un polinomio con un L epresión es un ejemplo de un polinomio con dos vribles,.
4 Ls epresiones, no son polinomiles, que los eponentes de ls vribles no son enteros no negtivos. L epresión no es un polinomio que el denomindor inclue un vrible. Grdo de un término lgebrico El grdo de un término con eponentes enteros no negtivos es l sum de los eponentes de ls vribles. Ls constntes distints de cero tienen grdo 0, l término 0 no se le sign grdo. Ejemplos: Término de grdo 6 Término de grdo 9 Grdo de un polinomio El grdo de un polinomio elevd l vrible de referenci. ( es el mor eponente l que se encuentr Ejemplos: ( Polinomio de Primer grdo ( Polinomio de Tercer grdo ( 5 Polinomio de Tercer grdo con respecto ( 5 Polinomio de Quinto grdo con respecto
5 Pr llevr cbo operciones con polinomios se utilizn lgoritmos semejntes l ritmétic l correct plicción de ls lees de los eponentes ud determinr el resultdo. Lees de eponentes De un mner simple se puede decir que: En l sum rest, se reliz l operción correspondiente con los coeficientes de los términos lgebricos (tomndo en cuent los signos se conservn los mismos eponentes. En l multiplicción, se reliz l operción correspondiente con los coeficientes de los términos lgebricos (tomndo en cuent los signos se sumn los eponentes. En l división, se reliz l operción correspondiente con los coeficientes de los términos lgebricos (tomndo en cuent los signos se restn los eponentes. Sum Algebric con Polinomios L sum de polinomios sólo se reliz con términos semejntes. Pr sumr dos o más polinomios podemos colocr unos debjo de los otros, de tl modo que los términos semejntes queden en column, pr fcilitr l reducción de éstos, seprdos unos de otros con sus respectivos signos. 5
6 Ejemplo: Hllr l sum de los polinomios 8. Primero, los polinomios se ordenn de tl mner que los términos semejntes coincidn en columns. Se efectú l sum Resultdo Otros ejemplos:
7 z 11z z 7z 6 z z Rest Algebric con Polinomios Al igul que l sum, l rest sólo se reliz con términos semejntes. Pr efectur l rest de dos polinomios result importnte identificr el minuendo el sustrendo, pr posteriormente relizr l reducción de términos. Ejemplo: Al polinomio ( restrle el polinomio (. En este cso ( represent el minuendo ( el sustrendo. Pr efectur l operción de un form simple, l sustrendo se le cmbi el signo ( se comodn los polinomios en form verticl pr relizr ls operciones entre los términos semejntes. Resultdo 7
8 Otros ejemplos: De ( restr ( De ( restr ( De ( 11 restr ( De ( 1 restr (
9 De ( 5 restr ( De ( 5 restr ( Multiplicción o Producto Algebrico con Polinomios L multiplicción de dos polinomios se llev cbo como un operción ritmétic con números nturles teniendo en cuent l le de signos, reducción de términos semejntes lees de los eponentes. Ejemplo: Pr relizr l multiplicción, se escriben los polinomios en form esclond los términos se ordenn los polinomios respecto su eponente en form scendente o descendente, según conveng. 5 9
10 Se multiplic el primer término del polinomio de bjo por cd uno de los términos del polinomio de rrib. 5 5 ( A continución se multiplic el segundo término del polinomio de bjo por cd uno de los términos del polinomio de rrib los resultdos se colocn debjo de sus respectivos términos semejntes del primer resultdo. 5 ( ( ( ( Se repite el pso nterior pr cd uno de los términos siguientes (si es que eiste. 5 (5 5 (5 10 (5( Por último, se simplific Resultdo 10
11 Otros ejemplos: Relizr l operción ( 5 ( Relizr l operción ( 5 ( Relizr l operción ( 6 9 (
12 Relizr l operción ( 6 ( Relizr l operción ( 6 ( Relizr l operción (5 6 (
13 1 División Algebric con Polinomios Antes de eplicr este tem, se muestrn unos ejemplos de división de un polinomio entre un monomio. Ejemplos: L división entre polinomios, se reliz siguiendo un serie de psos, de cuerdo ls regls ritmétics. A continución se detll el procedimiento pr relizr est operción. Ejemplo: Dividir ( 8 (. Se ordenn los términos del dividendo del divisor según conveng con respecto los eponentes. Se colocn los polinomios con en l división con números reles. 8
14 Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor pr obtener el primer término del cociente. 8 Se multiplic el cociente obtenido por cd término del divisor, cmbiándoles de signo los productos obtenidos colocndo los términos semejntes debjo del minuendo pr relizr l reducción Continumos el proceso hst que el grdo del residuo se menor que el grdo que el divisor Residuo Por consiguiente, el resultdo del cociente es: 1
15 Otros ejemplos: Relizr l operción: Residuo Relizr l operción: Residuo Relizr l operción: Residuo 15
16 Relizr l operción: Residuo Relizr l operción: Residuo 16
17 Relizr l operción: Residuo Relizr l operción: Residuo En este cso, l división es inect, el residuo es diferente de cero. L operción conclue hst hí debido que el residuo es de menor grdo que el divisor. Por consiguiente, el resultdo se puede escribir en l form: 5 17
18 Relizr l operción: Residuo Por consiguiente, el resultdo es: 1 EJERCICIOS Clcul ls siguientes sums: 1. ( (. (7 ( 5. ( 9 ( (5 6 ( (8 7 9 ( ( 6 5 ( ( ( ( 6 5 ( (5 7 ( (5 7 ( 18
19 11. ( 5 ( 1. ( ( 7 1. ( 7 ( ( 6 ( ( 1 ( ( 1 ( ( 5 6 (8 18. ( 7 (5 19. ( ( 8 0. (8 5 ( 7 5 Clcul ls siguientes rests 1. (5 ( 7. ( ( 11. ( 7 ( (5 6 ( (8 7 9 ( ( 6 8 ( (7 8 6 ( ( ( (5 ( ( ( (1 5 1 ( (8 1 ( ( 5 1 ( 1 1. ( 1 ( ( 1 ( 16. ( 5 6 ( 6 19
20 17. ( 5 1 ( ( 1 ( ( 5 6 (8 0. ( 5 ( Clcul ls siguientes multiplicciones 1. ( 5 ( 7. ( 6 9( 1. ( 6 9( 1. ( 7 ( ( 7 ( 5 6. ( 6 ( 6 7. ( 6 ( 8. ( ( 9. ( ( ( 1(5 11. ( ( 1. ( ( 1. ( 7( 1. ( 1( ( 7( ( 1(5 17. ( ( 18. ( ( ( 5( ( 5 ( 0
21 Clcul ls siguientes divisiones Sen los siguientes polinomios: A = 1 B = 1 C = 9 1 D = Clcul ls siguientes sums: A + B b C + D c A + C d B + D e A + B + C f A + C + D. Clcul ls siguientes rests A B b C D c A D d B C e A B D f B D C 1
22 . Clcul ls siguientes multiplicciones A B b B C c A D d C D e A B C f B C D. Clcul ls siguientes divisiones B / A b A / B c C / A d D / B e C / D f D / C PRODUCTOS NOTABLES Sbemos que se llm producto l resultdo de un multiplicción. Tmbién sbemos que los vlores que se multiplicn se llmn fctores. Se llm productos notbles ciertos productos que cumplen regls fijs cuo resultdo puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificr l multiplicción. Su plicción simplific sistemtiz l resolución de muchs multiplicciones hbitules. Cd producto notble corresponde un fórmul de fctorizción. Por ejemplo, l fctorizción de un diferenci de cudrdos perfectos es un producto de dos binomios conjugdos, recíprocmente. Binomio l cudrdo El cudrdo de l sum de dos cntiddes es igul l cudrdo de l primer cntidd, más el duplo de l primer cntidd multiplicd por l segund, más el cudrdo de l segund cntidd.
23 El cudrdo de l diferenci de dos cntiddes es igul l cudrdo de l primer cntidd, menos el doble de l primer cntidd multiplicd por l segund, más el cudrdo de l segund cntidd. De otr mner: ( ( Ejemplos: ( ( ( 6 9 ( ( (( 1 9 ( (( ( (( ( 5 ( ( (5 ( Binomio l cubo Dos términos elevdos l cubo, se puede epresr de l siguiente mner: ( ( L regl de ests operciones es l siguiente: 1. Cubo del primer término. Triple del primer término l cudrdo por el segundo término.. Triple del primer término por el cudrdo del segundo término.. Cubo del segundo término.
24 Ejemplos: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Trinomio l cudrdo Un trinomio l cudrdo present tres términos los cules están elevdos l cudrdo (. ( Pr resolver este tipo de operciones se epresn ls siguientes regls: 1. Cudrdo del primer término.. Cudrdo del segundo término. Cudrdo del tercer término.. Doble del primer término por el segundo término. 5. Doble del primer término por el tercer término. 6. Doble del segundo término por el tercer término. Ejemplo: ( 1 ( ( 1 ( ( ( 1 ( 1 1 1
25 Binomios conjugdos Los binomios conjugdos son quellos que poseen los mismos términos pero uno de ellos difiere en el signo. Por ejemplo: ( es conjugdo de (. El producto de l sum por l diferenci de dos cntiddes es igul l cudrdo de l primer cntidd, menos el cudrdo de l segund. De otr mner: ( ( Ejemplos: (5 6 (5 6 (5 ( ( ( ( ( ( ( El siguiente cudro muestr los productos notbles vistos ( se gregn otros cutro con su epresión lgebric que lo represent. Producto notble Epresión lgebric ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 5
26 EJERCICIOS Resuelve los siguientes productos notbles: Binomio l cudrdo 1. (. (. (. ( 5. ( ( 7 7. ( 8. ( ( ( ( 1. ( 1. (5 1. (8 15. ( (8 17. ( 18. (5 Binomio l cubo 1. (. (. (. ( 5. ( 6. ( ( ( ( ( ( 1. ( 1. ( 1. ( 15. ( 16. ( 17. ( 18. ( 6
27 Trinomio l cudrdo 1. ( 5. (. (. ( 1 5. ( 1 6. ( 7. ( (8 6 Binomios conjugdos 1. ( (. ( (. ( (. (9 8 ( ( 5 ( 5 6. ( 10 ( ( 5 ( 5 8. ( 7 5 ( ( 7 ( ( ( ( ( 1. ( ( 1. (5 (5 1. (5 (5 15. ( 8 (8 16. (6 (6 17. ( ( 18. (5 10(5 10 7
28 Fctor DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL (FACTORIZACIÓN Se llmn fctores de un epresión lgebric ls epresiones que multiplicds entre sí dn como resultdo l epresión inicil. Si multiplico por ( se obtiene: ( Es decir, ( son fctores de Fctorizción L fctorizción es l operción opuest l multiplicción. Fctorizr un epresión signific escribirl como un producto de otrs epresiones. Por ejemplo, un multiplicción serí de l siguiente mner: 5 ( ( 6 ( fctorizción: Lo contrrio los productos de ests multiplicciones se conoce como ( ( 6 ( 5 8
29 Eisten diferentes métodos pr fctorizr epresiones lgebrics. Ls más empleds se presentn continución. Fctorizción por fctor común Pr fctorizr un epresión lgebric por el método del fctor común, se busc el máimo común divisor de los coeficientes l prte literl común con el menor eponente, de cuerdo lo siguiente: 1. Se observ si l epresión lgebric cuent con un término común, en el cso de ls letrs se tomn ls literles comunes con menor eponente, en el cso de los números se obtiene el máimo común divisor, de est mner obtenemos el término o fctor común recordndo que este deberá ser diferente uno.. Un vez encontrndo el término común se busc el otro fctor el cul es el resultdo de l división de l epresión entre el término común.. Se estblece con dichos fctores l fctorizción. Ejemplos: Descomponer o fctorizr l epresión. Los tres términos tienen el fctor común. Se escribe el fctor común como coeficiente de los resultdos de dividir cd uno de los términos entre el fctor común. Estos resultdos se encierrn dentro de un préntesis seprdos por sus correspondientes signos: 9
30 Otros ejemplos: Fctorizr l epresión Fctorizr l epresión ( Fctorizr l epresión. 5 6 (1 Fctorizr l epresión ( 5 ( 5 ( 5 5 ( 5 Alguns veces el fctor común es un binomio. Ejemplo: Fctoriz: (5 6 (5 6 El fctor común es 5 6. Al fctorizr se obtiene: (5 6 (5 6 (5 6 ( Tmbién se puede plicr l fctorizción por fctor común por grupmiento, se trt de etrer un doble fctor común. Ejemplo: Fctoriz: p b p q b q Se etre fctor común p de los primeros términos q de los últimos: p ( b q ( b Se fctoriz de nuevo: ( b ( p q 0
31 1 Otros ejemplos: Fctoriz: ( ( b b b b Fctoriz: ( ( ( ( 6 Fctoriz: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Fctorizción de un Diferenci de cudrdos Pr fctorizr un diferenci de cudrdos perfectos, se etre l ríz cudrd de cd término se formn binomios conjugdos como se muestr en seguid: Ejemplos: 7 ( 7 ( 9 1 (1 1 (1 1 1 ( ( 16 9 Igules Diferentes, h que buscr otr combinción Otr opción:
32 7 ( 7 ( ( 1( 1 81 ( 9 ( e (10 1 e (10 1 e n 8 = n n Fctorizción por cudrdo perfecto Ejemplos: ( [( ][( ] ( ( 5 [( ( 5][( ( 5] [ 5][ 5] [ 5][ 5] 16( 196( [( 1( ][( 1( ] [ 1 1 ][ 1 1 ] [18 10 ][ ] [18 10 ][18 10 ] ( 9( [( 7( ][( 7( ]
33 Fctorizción del trinomio de l form + b + c Los trinomios de l form b c son quellos que cumplen ls condiciones siguientes: El coeficiente del primer término es 1. El primer término es un letr culquier elevd l cudrdo. El segundo término tiene l mism letr que el primero con eponente 1 su coeficiente es un cntidd culquier positiv o negtiv. El tercer término es independiente de l letr que prece en el 1 términos es un cntidd culquier, positiv o negtiv. Regl práctic pr fctorizr un trinomio de l form + b + c 1. El trinomio se descompone en dos fctores binomios cuo primer término es, o se l ríz cudrd del primer término del trinomio.. En el primer fctor, después de se escribe el signo del segundo término del trinomio, en el segundo fctor, después de se escribe el signo que result de multiplicr el signo del término por el signo del er término del trinomio.. Si los dos fctores binomios tienen en medio signos igules se buscn dos números cu sum se el vlor bsoluto del segundo término del trinomio cuo producto se el vlor bsoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.. Si los dos fctores binomios tienen en medio signos distintos se buscn dos números cu diferenci se el vlor bsoluto del segundo término del trinomio cuo producto se el vlor bsoluto del tercer término del trinomio. El mor de estos números es el segundo término del primer binomio, el menor, el segundo término del segundo binomio.
34 Ejemplos: Fctorizr: 5 6 Se descompone en dos binomios, cuo primer término es l ríz cudrd de, o se. 5 6 ( ( En el primer binomio después de se pone el signo + porque el segundo término del trinomio tiene signo +. En el segundo binomio, después de se escribe el signo que result de multiplicr el signo del segundo término por el del tercer término (+ (+ = ( ( Como en estos binomios tenemos signos igules, se buscn dos números cu sum se 5 cuo producto se 6. Estos números son. 5 6 ( ( Fctorizr: 7 1 Se descompone en dos binomios, cuo primer término es l ríz cudrd de, o se. 7 1 ( ( En el primer binomio después de se pone el signo porque el segundo término del trinomio tiene signo. En el segundo binomio, después de se escribe el signo que result de multiplicr el signo del segundo término por el del tercer término ( (+ = 7 1 ( ( Como en estos binomios tenemos signos igules, se buscn dos números cu sum se 7 cuo producto se 1. Estos números son. 7 1 ( (
35 Vemos un cso especil: Fctorizr: 1 Primero se hlln fctores del primer término, es decir ( ( : Después se hlln los divisores de 1, los cules pueden ser: ( 6 ( o ( 6 (, ( ( o ( (, ( 1 ( o ( 1 (. Se eligen los que l sumr el resultdo se, es decir, 6. 1 ( 6 ( Otros ejemplos: Fctoriz: ( 5 ( 1 Fctoriz: ( 1 ( 5 Fctoriz: ( 8 ( 7 5
36 Fctorizción del trinomio de l form + b + c Cundo el coeficiente del término cudrático es diferente de 1, se procede de l siguiente mner: Ejemplo: Fctorizr: 11 5 Se multiplic el coeficiente del término cudrático por cd término del trinomio, dejndo l multiplicción del término linel epresd de l mner b (, se divide entre este mismo coeficiente. ( ( ( 10 Se descompone el trinomio en dos fctores binomios cuo primer término será l ríz cudrd del término cudrático, que serí. ( ( El signo del primer binomio será el mismo signo que teng el término linel el signo del segundo binomio será el producto de los signos del término linel por el término independiente. ( ( Se buscn números que multiplicdos den el término independiente ( 10 sumdos (si los signos puestos en los binomios son igules o restdos (si los signos puestos en los binomios son diferentes den el coeficiente b, ( 11. El número mor se coloc en el primer binomio si los signos son diferentes. Si son igules como en este cso, no import el orden. Se simplific. ( 10 ( 1 ( 5 ( 1 6
37 EJERCICIOS Fctoriz ls siguientes epresiones lgebrics por el método decudo: 1. 5m n 70m.. 9 1b+ 15 b b b+ 6b5 b + 8 b+ b m n + 8n n 6n m + 1m p 0q z 6z 1z. 9 5b. b b. b 5b b 15b z 10z 7. b b 6 8. m 8bp bm 1p b 8b m 19m c 11cd d 7. 6 b b 8. h 5h m 6mn m 8 n z z
38 z z 8 b c z n n n b n b 9 81 Bibliogrfí Sugerid Allen, R. (008. Álgebr Intermedi (7ª Ed.. Méico, D.F., Méico: Person Bldor, A. (1997. Álgebr. Méico, D.F., Méico: Compñí Culturl Editor Distribuidor de Tetos Americnos, S.A. Crreño, X. (00. Álgebr (ª Ed.. Méico, D.F., Méico: Arrn Spiegel Murr R.(007. Álgebr Superior (ª Ed. Méico, D.F., Méico: Serie Schum Zill Dennis G. (001. Álgebr trigonometrí (ª Ed.. Mc Grw Hill Méico, D.F., Méico: 8
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