MATEMÁTICAS I COLEGIO DE BACHILLERES FASCÍCULO 2. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO:EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

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1 COLEGIO DE BACHILLERES MATEMÁTICAS I FASCÍCULO. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO:EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Autores: Ros M. Espejel Mendoz Mrio Luis Flores Fuentes Rolndo Pous Villlpndo Pedro Romo Altmirno M. Estel Ruiz Hernández Andrés Sos Estrd

2 CO LEG IO D E BACHILLER ES Colbordores: Jun Pérez Rodriguez Olivi Hernández Romero Eloís Poot Grjles Asesorí Pedgógic Dor M. Mireles Alvrdo Revisión de Contenido José Luis Pérez Coss Joel Díz Gudrrm Diseño Editoril Leonel Bello Cuevs Jvier Drío Cruz Ortiz

3 Í N D I C E INTRODUCCIÓN CAPÍTULO. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. PROPÓSITO. TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRÁICA. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRÁICAS.. Reducción de Términos Semejntes.. Adición y Sustrcción de Polinomios.. Multiplicción de Polinomios.. División de Polinomios RECAPITULACIÓN ACTIVIDADES INTEGRALES AUTOEVALUACIÓN CAPÍTULO. LENGUAJE ALGEBRÁICO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES. PROPÓSITO. PRODUCTOS NOTABLES.. Productos de Dos Binomios con Término Común.. Productos de Dos Binomios Conjugdos.. El Cudrdo de un Binomios.. El Cubo de un Binomio..5 El Binomio de Newton

4 .. FACTORIZACIÓN.. Fctorizción por Fctor Común.. Fctorizción por Agrupción de Términos.. Fctorizción de un Trimonio Cudrdo Perfecto.. Fctorizción de un Diferenci de Cudrdos..5 Fctorizción de un Sum de Cubos..6 Fctorizción de un Diferenci de Cubos..7 Fctorizción de los Trinomios de l Form ² +b + c y ² + b + c. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.. Epresiones Algebrics Rcionles.. Operciones con Epresiones Algebrics Rcionles RECAPITULACIÓN ACTIVIDADES INTEGRALES AUTOEVALUACIÓN RECAPITULACIÓN GENERAL ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN AUTOEVALUACIÓN ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN GLOSARIO BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

5 I N T R O D U C C I Ó N Son muchs y muy diverss ls ctividdes del ser humno en ls que es suficiente usr procedimientos ritméticos pr resolver problems; sin embrgo, son tmbién muchs en ls que éstos no bstn. A prtir de este fscículo veremos otro tipo de ejemplos más específicos y estudiremos procedimientos más generles pr resolver problems. El método lgebríco, de hecho presente en tod l mtemátic puesto que l solución de grn número de problems requieren del cálculo lgebríco. El álgebr tiene su propio lenguje, el lenguje lgebríco, por medio del cul se puede obtener epresiones generles que pueden operrse y plicrse en muchs y muy vrids situciones prticulres. Aunque en el fscículo uno estudiste lgunos elementos de este método lgebríco y su importnci, pr este fscículo estudirás l opertividd de ls epresiones lgebráics, utilizndo los conocimientos que tienes sobre epresiones y operciones ritmétics y retomndo problems sobre este tem, pr que pueds mnejr ejemplos y des solución problems. 5

6 El siguiente esquem indic los tems y subtems que estudirás y l vinculción que eiste entre ellos. FASCÍCULO OPERATIVIDAD EN EL ÁLGEBRA CAPÍTULO OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS CAPÍTULO LENGUAJE ALGEBRAÍCO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRQAICAS 6

7 C A P Í T U L O OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.. Reducción de Términos Semejntes.. Adición y Sustrcción de Polinomios.. Multiplicción de Polinomios.. División de Polinomios 7

8 P R O P Ó S I T O Al finlizr el estudio de este fscículo conocerás con myor detlle l terminologí que se emple en álgebr, sí como l notción que se us comúnmente, grcis l cul podrás operr con ls epresiones lgebrics. QUÉ APRENDERÁS? Diversos métodos pr resolver problems, demás conocer ls ventjs del método consistente en estblecer modelos lgebricos pr l soluciónde problems. CÓMO LO APRENDERÁS? A trvés de l elborción de operciones lgebrics tl como; l sum, l sustrcción, multiplicción y división de polinomios, plicndo ls propieddes de los números reles y ls leyes de los eponentes. PARA QUÉ TE VA A SERVIR? Pr encontrr l solución de ecuciones que te yudrán resolver un grn número de problems dirios. 9

9 CAPÍTULO. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA. En el fscículo estudiste diversos métodos pr resolver problems, demás de conocer ls ventjs del método consistente en estblecer modelos lgebricos pr l solución de los problems, modelos que hs empledo, unque no les llmrs sí; por ejemplo: l fórmul que se utiliz pr clculr el áre de un triángulo. A = bh Si conocemos l medid b de l bse y l medid h de l ltur de un triángulo y queremos obtener su áre, sustituimos en l fórmul ls letrs por los dtos númericos. Así, si l bse mide metros y l ltur 8, el áre del triángulo es: A = (m) ( 8m) = 8m Otros ejemplos que hs visto son los siguientes: f =m A = r = Vf - Vo t Ests igulddes, que epresn ciertos fenómenos o Leyes de l Físic y l Geometrí, son epresiones lgebrics de ls que iniciremos su estudio, pues ésts nos permitirán operr de un mner fluid y se fcilitrá con ello l resolución de problems Como ejemplo de epresiones lgebrics tenemos:

10 ) + b c) 8 - y e) 6 b) + 6y - z d) 6 5 f) A ls letrs, que en ls epresiones lgebrics representn números reles culesquier, se le llmn literles. Si en un epresión lgebric se sustituyen ls literles por números reles y se efectún ls operciones indicds, se obtiene como resultdo un número rel, llmdo vlor numérico de l epresión pr esos vlores. En los csos en que ls literles prezcn en el denomindor hy que tener cuiddo de que el vlor del denomindor se distinto de cero l efectur l sustitución. Cundo se trte de rices, se debe tener cuiddo de que l sustituir ls literles por números no resulten ríces pres de números negtivos, porque sus resultdos no son números reles. Observ el siguiente ejemplo: Ejemplo: Clculr el vlos numérico de l epresión lgebric 5 Pr los siguientes vlores de : ) = 7; b) =, y c) = -5. Solución: ) Al sustituir por 7 obtenemos: = = 6

11 b) Si sustituimos por result: c) Si = -5, obtenemos: ? Mientrs por un prte 8 no es un número rel, por otr no es posible dividirlo entre cero; por lo tnto, si tom el vlor de -5, l epresión no simboliz un número rel. Cundo en un epresión lgebric prece únicmente l operción de multiplicción de números y potencis positivs enters de ls literles, ést recibe el nombre de término, como se muestr continución: b y z,,,. 5 Ahor revisremos los elementos que conformn un término, pr lo cul tomremos el ejemplo de l epresión b 5 Como y sbes, un término es el producto de dos o más fctores (los fctores son elementos de l multiplicción). En este cso los fctores son:, y b 5.

12 Al fctor numérico se le conoce como coeficiente numérico del término y se costumbr escribirlo l principio del término. fctor numérico 5, b fctores literles coeficiente numérico Por otr prte, cd uno de los fctores es coeficiente del producto de los otros. Así: b 5 es coeficiente de es coeficiente de b 5 5 Entonces podemos decir un fctor es un número, un letr o l combinción de números y letrs que indicn cunts veces entr l literl como sumndo. Al producto de los fctores literles se le llm prte literl del término. coeficiente numérico 5 b prte literl Un fctor literl está compuesto por bse y eponente. En el siguiente cudro se muestr l bse y el eponente de los fctores literles de 5 b. Fctor literl Bse Eponente b 5 b 5

13 Cómo se puede determinr el grdo de un término lgebrico? Recuerd que indic un producto de cutro fctores igules y b 5 un producto de cinco fctores igules: b 5 bbbbb Observ que en el ejemplo nterior signific multiplicción y que no se us el signo de pr no confundir con l literl que en lguns epresiones se utiliz. Qué producto indicrí X 8? Otro elemento del término es el signo (positivo o negtivo), que corresponde l signo del coeficiente numérico. Así, si tenemos que en l epresión su signo es positivo y en l epresión 6 y el signo es negtivo, puedes observr que en los csos con signo positivo no se costumbr notr éste. Otro elemento es el grdo de un término, el cul puede ser bsoluto o en relción un literl. El grdo bsoluto de un término es l sum de los eponentes de ls literles o vribles, de hí tenemos que: Término Grdo bsoluto del término 5y y 6 y 6 n n 9 y n Observ que el eponente no se escribe, demás de que el término 7 y es de grdo 6 por l sum de los eponentes (+) de los fctores literles. Por otro ldo, el grdo de un término con respecto un literl corresponde su eponente, es decir, en 7 y el grdo del término con respecto es y con respecto y es. 5

14 Con el propósito de comprender los conceptos vistos se present el siguiente cudro: Término Coeficiente númerico Fctores literles Grdo bsoluto Grdo respecto Grdo respecto y 5 y - y y y 7 y - y 6 y y ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Al clsificr los elementos de cd un de ls epresiones siguientes se cometieron errores, encuéntrlos. 5 y coeficiente -5 bse, y eponente, coeficiente no tiene; bse eponente 6 coeficiente 6 bse eponente no tiene y coeficiente bse eponente, En ls epresiones lgebrics los términos están seprdos los signos de más (+) o menos(-). ) 5 Est epresión tiene tres términos : 5 ; ;. ) 9m n Est epresión tiene dos terminos: 9 m ; n. ) 5 Est epresión tiene un término: 5. 6

15 Como puedes ver, ests epresiones lgebrics están compuests por un término o l sum de dos o más términos. A este tipo de epresiones se les llm monomios o polinomios según se el cso. A los polinomios los podemos clsificr según el número de términos que contengn. Si un epresión lgebric tiene un término se le llm monomio, si tiene dos, binomio; si tiene tres términos, trinomio, y sí consecutivmente. Observ los siguentes ejemplos: Epresiones Algebrics Clsificcion ) y 6y binomio ) 6 binomio ) 6b 6 trinomio ) 6y monomio 5) 6y y 8 polinomio Los polinomios, como los términos, tiene grdo, que puede ser grdo del polinomio o grdo con respecto l vrible. Así, en el ejemplo 5 y 6y el grdo del polinonio es seis (6), que corresponde l grdo del término de myor grdo, en este cso 6y 5. El grdo del polinomio respecto es dos y que corresponde l myor eponente de es vrible en el polinomio y - 6y 5 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Reliz ls siguientes ctividdes:. De los siguientes términos señl l prte literl, el coeficiente numérico y el grdo bsoluto del término. ) y 5 b) b c) y d) 7

16 Término Coeficiente numérico Prte literl Grdo bsoluto ) y y 5. Clsific los polinomios por su número de términos y señl su grdo bsoluto y con respecto un vrible. ) 6 5 b) 8 y y 6 y 8 c) 6 d) yy e) 8 f) 6 Epresión Algebric Clsificción por el núm. de términos Grdo bsoluto Grdo con respecto ) trinomio EXPLICACIÓN INTEGRADORA Hst el momento hemos visto que en el lenguje lgebrico se utilizn letrs pr representr números reles y que ls epresiones lgebrics están conformds por un serie de elementos tles como: TERMINO, COEFICIENTE, LITERAL, EXPONENETE, GRADO y que se clsificn en MONOMIO (un término), en BINOMIO (dos términos), TRINOMIO (tres términos) y POLINOMIO (cundo son dos o más términos). 8

17 EXPRESIONES ALGEBRAICAS UN TÉRMINO DOS O MÁS TÉRMINOS MONOMIO BONOMIO, TRINOMIO, POLINOMIO COEFICIENTE NUMÉRICO LITERALES EXPONENTES GRADO ABSOLUTO GRADO CON RESPECTO A UNA LITERAL 9

18 . OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS En este tem estudirás ls epresiones lgebrics como el elemento de ls operciones mtemátics, por ejemplo, l Adición y Sustrcción de polinomios, l Multiplicción de Polinomios sí como, l División de polinomios, pr lo cul se considern ls propieddes y condiciones que se estblecieron en el tem nterior... REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Como en el tem nterior prendiste distinguir cuáles epresiones lgebrics son términos y que elementos constituyen estos últimos, hor operrás con ellos. En el estudio de ls Mtemátics se encuentrn con frecuenci epresiones como,,. Representmos por un segmento de longitud, por un cudrdo de ldo, y por un cubo de rist como se ve en l siguiente figur: Fig. De cuerdo con l interpretción nterior, cuáles de ls siguientes sums crees que pueden epresrse como un solo término?: ) + ; b) + ; c) + 5; d) 6- Pr sber cuándo podemos reducir l sum de dos o más términos un solo término necesitmos observr su conformción. Recuerd cuáles son los componentes de un término? Consider l epresión - y eponentes - y prte literl coefieciente numérico literles 0

19 Anlicemos los términos de cd uno de los siguientes grupos: ) - ; Estos dos términos tienen l mism prte literl, es decir, ls literles y sus respectivos eponentes son igules. b) 5 ; -. Ls prtes literles de estos términos son diferentes un cundo se trt de l mism literl porque tienen diferentes eponentes: c) y, - y Los dos términos tienen l mism prte literl. d).. 05 y,. y, -.5 y. Únicmente los dos primeros términos coinciden en l prte literl y que por l propiedd conmuttiv. y = y. e) m, -5m n, m, m n, m. Aquí tienen l mism prte literl el primero, el tercero y el quinto y por otr prte, el segundo y el curto términos. Hemos encontrdo que lgunos términos coinciden en su prte literl. Éstos reciben el nombre de términos semejntes y su importnci es muy grnde en l simplificción de epresiones lgebrics. Por lo tnto términos semejntes son dos o más términos cuys prtes literles son igules.

20 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Identific los terminos semejntes en cd uno de los siguientes incisos. ) y, -y, y, - y. b) v, v, -v, 5v *. c) r, r, r, -r en donde =.59 En epresiones como V, V los números y son subíndices. Se usn pr indicr que V es l velocidd de un móvil y V l del otro. Ls epresiones lgebrics son un conjunto de número y/o letrs que representn números reles; por lo tnto cumplen con tods ls propieddes conmuttiv y socitiv de l dición y de l multiplicción, y l distributiv de l multiplicción con respecto l dición, puede etenderse más de dos sumndos o fctores según se el cso, esto es: ) L sum o el producto de un número finito de números reles no es fectdo por l form en que se ordenen o socien. por ejemplo: [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + c + b+ d + f + e = + b + c+ d + e+ f = + b+ c+ d + e+ f. ) El producto de un número rel, por l sum de un número finito de números reles, es igul l sum de los productos de, por cd uno de los sumndos. Por ejemplo: b+ c+ d+ e = b+ c+ d+ e. ( ) L más sencill de ls operciones con epresiones lgebrics es l sum de términos semejntes. Se costumbr llmr est operción reducción de términos semejntes, y l form de llevrl cbo se observ en los siguientes ejemplos: ) Reducir los términos

21 Solución: =. Este resultdo se obtuvo l plicr l propiedd distributiv de l multiplicción con respecto l dición en su modlidd +b=(+b) nuestro ejemplo, como vemos en seguid: ( ) = 8+ 6 =. Observ que hemos sumdo los coeficientes numéricos de los términos dejndo intct l prte literl. ) Simplificr l epresión 8y - 7y Solución: 8y - 7y = (8-7) y = y = y ) Simplificr l epresión b + 7b -b Solución: ( ) b + 7b - b = b =-b =-b Recuerd que -() = - pr todo número rel. Vemos otros ejemplos en donde no todos los términos son semejntes. Simplificr l siguiente epresión: ) b + b. Solución: Est sum no se puede reducir porque los términos no son semejntes. Recuerd l interpretción geométric que le dimos, y, en l que l primer se represent un líne mientrs que l segund se refiere un superficie. ) +b-+b. Trt de identificr qué propiedd utilizrís ntes de ver l solución.

22 Solución: Aquí conmutmos y socimos los términos semejntes: +b-+b=(-)+(b+b) =(-)+(+)b =0+b = 0+b =b. ) 6.5h +.5k +6-.7h +.k Solución: 6.5h +.5k h +.k = (6.5h -.7h) + (.5k +.k) + 6 = ( )h + (.5 +.)k + 6 =.8h + 5.9k + 6. Con l práctic puedes suprimir lgunos psos del proceso, como se ve en los siguientes ejemplos: ) ) E+D-F-E+D-F=-E+5D-F. 5 = + + Un de ls finliddes del prendizje de ls operciones con epresiones lgebrics es el llegr resolver diversos problems que se presentn cotidinmente o en lgunos csos relciondos con diferentes ciencis. Por el elemento únicmente llevremos cbo uno de los psos que se siguen en l resolución de esos problems: l obtención de l epresión lgebric pr un ciert cntidd. Observ los siguientes ejemplo: ) Escribe l epresión lgebric que se utiliz pr obtener el perímetro de un triángulo tl que, uno de sus ldos mide uniddes, otro de éste y el tercero l mitd 5 del primero. Solución: El perímetro solicitdo es 0. ) Epresr lgebricmente el precio totl de un pntlón cuyo precio es pesos más el 0% del IVA.

23 Solución: El 0% de es 0., sí que el precio totl del pntlón es +0.=(+0.)=. Observ que l epresión. es el precio con el IVA incluido, de culquier rtículo de precio. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Resuelve los siguientes ejercicios:. Identific los términos semejntes en los siguientes incisos. ).8c, 5. c,. c, -c. -mv mv mv -mv b) 5. c), y -y 5y. Simplific ls siguientes epresiones demás de reducir los términos semejntes. ) + y - y + y b) + b+ b+ b c) 7-8 b+ b + 8 b+ b + 8b d) b+ b - b- b - b e) b + b + b + b -b -b f) 8 + 6b- b+ 9b 5

24 RECUERDA: El estudio de ls epresiones lgebrics como elementos de ls diferentes operciones mtemátics, se hce tomndo en cuent en todo momento ls propieddes y condiciones estblecids en el tem nterior. Esto es muy comprensible, porque ls letrs únicmente simbolizn vlores, y en consecuenci, los cálculos mtemáticos plicdos esos símbolos se hcen con los vlores del coeficiente y del eponente de los términos en ls epresiones lgebrics... ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS En l solución de problems como el siguiente se observ l utilidd de denominr procedimientos pr resolver operciones con polinomios. Se tiene un mes rectngulr l que se dese poner como dorno en l orill cint metálic. Si ls dimensiones de l mes son ls que muestr l siguiente figur. Cuál es l cntidd de cint que se us? y+5 - y+5 - Fig. Pr determinr l cntidd de cint usr, necesitmos resolver operciones con polinomios. A prtir de este momento llmremos polinomio epresiones lgebrics como: 0, 7, (monomios); 5y - 7, -y + (bonomios); 6yz 8w (trinomio), los cules podemos escribir en form generl como: n n P ( ) n n... o, con n Z, n 0 y R 6

25 de lo que concluimos que y 7 + no son polinomios. Ahor vmos inicir con ls operciones básics de dición y sustrcción de polinomios. En vist de que ls literles de ls epresiones lgebrics representn números reles, los polinomios representn numeros reles, por lo que en ls operciones con ellos se plicn ls propieddes de los números reles. Pr hcer más fácil el trbjo con polinomios es conveniente ordenrlos y se de form creciente decreciente, de est mener: P ( ) 86 P ( ) 6 8 En form decreciente es l mner más utilizd. P ( ) 8 6 En form creciente. P ( ) 9 P ( ) = En form decreciente, que es l mner más utilizd términos gregdos P( ) = En form creciente Pr ilustrr el proceso que se emple pr sumr polinomios, utilizndo ls propieddes de los números reles, observ los siguientes ejemplos: Sumr los monomios 5 y (-9 ) = 5-9 = ( 5-9) por propiedd distributiv. =-. Observ que pr sumr monomios simplemente se reducen términos semejntes. Ejemplos: Pr resolver l sum de los polinomios 7

26 ( 87 6 ) ( 7), se relizn los siguientes psos:. ordenr en form decreciente los eponentes de los términos de cd polinomio. ( 7 6 8) ( 7) por conmuttividd.. Hcer que los polinomios sen completos. ( ) ( 0 0 7). Agrupr los términos semejntes ( 7 0 ) ( 0 0 ) ( 6 ) ( 87) ( 0) por propiedd socitiv y conmuttiv.. Redicir términos semejntes: Así el resultdo de l sum de los polinomios originles qued de l siguiente mner: ( ) +( ) = Observ que los términos cuyo coeficiente es cero no se escriben Ejemplo: Efectú l sum de los polinomios ( y + 5 y + 9y + 8) + (y y) Observ que en estos polinomios lgunos términos tienen dos literles pero l form de resolver est sum es igul: ( y + 5 y + 9y + 8) + (-0 y+y +7) Notste que los polinomios hn sido ordendos con respecto l literl en form decreciente? ( y - 0 y) + (5 y +0 y ) + (9 y + y ) + (8+7) = -6 y + 5 y + y + 5 Por lo tnto: ( y +5 y + 9 y + 8) + (y y) = -6 y + 5 y + y + 5 8

27 Ejemplo: Sum los polinomios 7 5. Observ que los coeficientes son rcionles, sin embrgo, en éste ejemplo el procedimiento es el mismo: ) b) c) 0 X 0 5 d) Por lo tnto: 5 7 = 5 5 Ejemplo: Sum los polinomios y y y y y y y En este ejemplo se tienen coeficientes rcionles y dos literles; sin embrgo, el procedimiento pr sumr es igul y y y y y y y 5 9 ; 5 9

28 y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Por lo tnto: y y y y y y y y y y y Por lo tnto en l sum de tres o más polinomios que incluyen dos o más literles se emple el mismo procedimiento. Pr restr polinomios se debe recordr que por definición -b=+(-b). Esto signific que en l rest de números reles l minuendo se le sum el inverso ditivo del sustrendo. - b sustrendo minuendo Por lo consiguiente, es importnte que identifiques el inverso ditivo de culquier polinomio. Recuerds cómo se loclizn en l rect numéric los inversos ditivos de los números reles?. Polinomios 6 Inverso ditivo 6 6 y y y y y y 6y y y 6y 8 y 6y 8 0

29 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Ahor puedes relizr l sustrcción de polinomios. Resuelve ls siguientes operciones: El procedimiento ritmético que utilizste pr relizr l operción nterior se utiliz pr restr polinomios; por ejemplo, pr restr los polinomios se obtiene el inverso ditivo del sustrendo. sustrendo inverso ditivo Un vez obtenido éste se procede efectur l sum de polinomios, plicndo el procedimiento decudo Observ que en l sustrcción de polinomios lo que relmente se hce es sumr l minuendo, el inverso ditivo del polinomio correspondiente l sustrendo. Si en l solución de l siguiente sustrcción de los polinomios se obtiene como resultdo - +, se estrí cometiendo un error, reliz en tu cuderno l operción, Cuál es el error?

30 Rest los siguientes polinomios: ) 7y 8y 5y 6y 6y 5 y. 7y 8y 5y 6 y 6y 5 y. inverso ditivo del sustrendo ordenndo los polinomios: 8y 7y5y 6 6y y y 5. b) completndo los polinomios: c) 0y 8y 7y 5y 66y y y 0y 5 Agrupndo términos semejntes: d) 0y 6y 8y y 7y y 5y 0y 65 Scndo fctor común: y y y y. e) Efectundo operciones: 7y8y 5y 6 y6y 5y 6y 5y y5y. f) Otr mner de resolver ls diciones y sustrcciones de polinomios es colocándolos en form verticl, unque se debe cuidr que en l mism column queden los términos semejntes. Ejemplo: Sum de polinomios: 8 7y

31 Ejemplo: Si se tiene l sustrcción: Recuerd que en l sustrcción, l minuendo se le sum el inverso ditivo del sustrendo, por lo que se le cmbi de signo todos y cd uno de los términos del sustrendo y se sumn los polinomios Ejemplo: Reliz l operción de : Ejemplo: Rest los polinomios: 7y 8y 5y 6y 6y 5y 0y 8y 7y 5y 6 + 6y y y0y5 6y 5y y5y Cundo se relizn operciones de dición y sustrcción es necesrio trbjr, en lgunos csos, con signos de grupción, por lo que continución te presentmos lgunos ejemplos tomndo en cuent ls siguientes regls:

32 REGLAS: Pr suprimir signos de grupción precedidos del signo (+) se dej el signo que teng cd término que se hlle dentro de él. Pr suprimir signos de grupción precedidos del signo (-) se cmbi el signo cd término que se hlle dentro de él. Ejemplo: 6b 8b. Recuerd que pr restr se sum el inverso ditivo. Se inici con l eliminción del signo de grupción que contiene menor número de términos. (Préntesis.) 6b 8b. Se continú con el signo de grupción que contiene menor número de términos, después de los préntesis. (Corchete.) 6b 8b. Después se plic el procedimiento pr l solución de l dición y l sustrcción de polinomios: 68b Así, el resultdo de suprimir signos de grupción es: 6b 8b b Ejemplo: 5 y y Al plicr el mismo procedimiento, obtenemos: 5 y y 5 y y 5 y y 5 y y 6 y

33 Ahor retomemos el problem de l mes rectngulr. Recordemos que ls dimensiones de est mes son - y y+5. Como y sbes el perímetro es l sum de los ldos de l figur, por lo tnto hy que obtener l sum de los polinomios. y 5 y 5 y 5 y 5. Con lo que l hcer l dición tenemos: = y 5 y 5 = y 5 5 = 6 y L epresión lgebric que represent l cint metálic utilizr es 6 y ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Resuelve ls siguientes operciones: ) b) c) b 5 d) y 8 y 5y y 9 e) 8 5 y y y y y f) 6 5

34 .. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Como y se tiene conocimiento de los polinomios y en prticulr se prendió l form de sumrlos, iniciremos hor el estudio de l multiplicción de polinomios. Pr efectur el producto de polinomios hremos uso de ls operciones de los números reles. Empezremos nuestro estudio con l multiplicción de dos potencis de l mism bse: Ejemplo: Multiplicr por. Solución: fctores fctores es decir, 5 : fctores fctores 5 fctores Se observ en el ejemplo que se hn sumdo los eponentes. Ejemplo: Multiplic m por. Solución: m. m fctores fctores m+ fctores..., es decir,... m. En generl, si es un número rel distinto de cero y m y n son números enteros no negtivos, entonces: m m fctores n n fctores......, es decir, m n m n. m+n fctores 6

35 Esto nos conduce lo que llmmos l primer ley de los eponentes, l cul se enunci de l siguiente mner: El producto de dos potencis de l mism bse, es igul l bse elevd l sum de sus eponentes. Ejemplo: Multiplicr y y y y Cómo multiplicrís 5 por? Observ que en este ejemplo hcemos uso de ls propieddes socitiv y conmuttiv del producto Sustituimos ls fctores 5 y por su producto, es decir: 5 0 ; Ejemplos: m 5m ( 5) m 0m :, ; ; 7y 8y 7 8 yy 56y 56y b 6b 6 b b 8b 8b

36 Ejemplo: L siguiente figur represent l cubiert de un mes. m m fig. El áre de l figur se obtiene trvés de un multiplicción de monomios, es decir, A=(m)(m)=8m. Se observ en el ejemplo, que l solución result ser otro monomio en el cul h cmbido no sólo el coeficiente, l epresión de l vrible (concretmente, su eponente) y el grdo del monomio, sino tmbién su crcterístic esencil y que l multiplicr longitudes se obtienen superficies. Esto nos muestr que l multiplicción de epresiones lgebrics produce cmbios importntes; por ejemplo, l multiplicr un potenci por un tiempo, se obtiene trbjo; si se multiplic un ms por un celerción, se obtiene fuerz, etc. De est mner, se puede comprender mejor el crácter de l multiplicción lgebric y su importnci. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Medinte ls propieddes de los números reles, ls leyes de los eponentes y l regl de los signos se h obtenido el producto de monomios. En los ejercicios que se dn continución deberás obtener el producto de monomios con l plicción de ls propieddes y leyes correspondientes. Indic como en los ejemplos plntedos cuáles propieddes o regls utilizste. ) (8mn)(m ) p 6) p ) (-6 y)(y) n n n 7) y y y ) (-5b)(- b) m m 8) y y ) ( y z 6 )( y z )(5yz) 9) 5 5) (-6 yz)( yz ) 0) 8m n m n 7 7 8

37 Sbemos que el áre de un figur como l siguiente, se obtiene por medio de un multiplicción de los monomios. Determin cuál es el monomio resultnte de l región sombred. y y y fig. ) Monomio resultnte del cudro myor:. b) Monomio resultnte del cudro menor:. c) Monomio resultnte de l región sombred:. Un vez que te hz fmilirizdo con potencis de l mism bse, determinremos l potenci de otr potenci Ejemplo: ( ) 5 =, y por l primer ley de los eponentes: 5 Fctores 5 Sumndos ( ) 5 = ++++ = 0, Se observ en el ejemplo que se hn multiplicdo los eponentes. Ejemplo: (b ) n = b b...b ; n fctores n sumndos (b ) n = b , esto es, (b ) n = b n 9

38 En generl, si es un número rel distinto de cero y m y n son números enteros positivos entonces. ( m ) n = m m m... m ; n fctores n sumndos ( m ) n = m+m+m+...+m Por lo tnto, ( m ) n = m n. Esto nos conduce l que llmremos segund ley de los eponentes: L potenci de otr potenci de l mism bse, es igul l bse elevd l producto de los eponentes. Ejemplo: ( ) = ; fctores sumndos ( ) = ++ = 6, es decir, ( ) = 6. Observ que se hn multiplicdo los eponentes. El siguiente ejemplo nos servirá pr mostrr cómo obtener el producto de monomios. Ejemplo: Multiplicr (5 ) por (). (5 ) () Al plicr l segund ley de los eponentes se obtiene: (5 ) () = (5 6 )( ). 0

39 Por l propiedd conmuttiv de l multiplicción cmbimos el orden de los fctores 5 6 y socimos de diferente mner. (5 ) () = (5 )( 6 ). Efectumos operciones: (5 ) = 500. es decir, (5 ) () = 500 ( 6 ). Por l primer ley de los eponentes, se tiene: 500( 6 ) = 500( 6+ )= ; por lo tnto. (5 ) () = ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Obten los siguientes productos: ) ( ) () b) (-8 )( ) c) (-6 5 ) (-) d) (y 5 )(-6y ) A continución determinremos l potenci de un producto. Ejemplo: ( b) 5 = ( b) ( b) ( b) ( b) ( b). 5 fctores Al continur los fctores y socir de diferente mner: ( b) 5 = ( ) (b b b b b). 5 fctores 5 fctores es decir, ( b) 5 = 5 b 5.

40 Ejemplo: (y) n = (y) (y) (y)... (y) n fctores Al conmutr los fctores y socir de diferente mner: (y) n =(... ) (y y y y... y). n fctores n fctores (y) n = n y n En generl, si y b son dos números reles y m es un número entero positivo, entonces: ( b) m =(b)(b)...(b) m fctores =... b b b... b m fctores m fctores ( b) m = m b m L potenci de un producto es igul l producto de cd uno de los fctores elevdos l mism potenci. Ejemplo: ) (y) m = m y m b) ( ) = = 9 6 =. c) ( b ) = b = 6 b 9. d) (5 ) = 5 = 5 6. L ley nterior tmbién podemos utilizrl pr obtener el producto de un monomio; por ejemplo: Multiplicr ( ) por (5b).

41 Por l tercer ley de los eponentes, se tiene: ( ) (5b) = ( )(5 b ). Por l propiedd conmuttiv, combinmos el orden de los fctores, 5,,b socimos de diferente mner: y ( ) (5b) = ( 5 )( b ). Efectumos el producto y se tiene: ( ) (5b) = (5)( b ) ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Obtener el producto de los siguientes monomios. ) (-) (b) c) (y 5 ) ( y ) 5 e) (- b 5 ) (- b ) b) ( b ) ( b) d) (m n) (-8y ) f ) -( y ) 5 ( y) A continución se determinrá l form de elevr un frcción un eponente. Pr ello vemos el siguiente ejemplo: y y y. y Asocido: fctores y y = y y y y y. Se observ en el ejemplo que tnto el numerdor, como el denomindor y se elevn l eponente. En generl, si y b son dos números enteros diferentes de cero y m es un número entero positivo entonces:

42 m b b b b b b b m fctores m fctores es decir, b m b m m Esto nos conduce l curt ley de los eponentes l cul se enunci de l siguiente mner: Pr elevr un frcción un eponente, tnto el numerdor como el denomindor se elevn dicho eponente. Ejemplos: ) y 5 5 y 5 b) 6 b b b c) b b 6 9 d) b 5 5 b 0 Ahor trtremos l división de potencis de l mism bse distint de cero. El cociente de dos potencis de l mism bse distint de cero, present tres csos, los cules dependen de que el eponente del dividendo (numerdor) se myor, igul o menor que el del divisor (denomindor), es decir. m n mn si m n si m n si m n. n m

43 Primer cso: Ejemplo: m n mn simn 8 8 ó ; ; m fctores m n mn n fctores Por lo tnto, m n mn si m>n, lo cul nos muestr el primer cso de l quint ley de los eponentes. Ejemplos: ) c) b) m m 8 m 8 5 m d) y y y y Ahor, obtengmos el producto de monomios. Ejemplos: Multiplicr y y 5

44 Pr l ley de los eponentes se tiene: 6 6 y y 6 y 6 y, Por l propiedd conmuttiv se cmbi el orden de los fctores 6,,, y es decir, y y 6 y Se sustituyen los fctores 6 y por su producto, esto es: Por lo tnto: 6 y y y y y ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Obtén el producto de los siguientes monomios plicndo ls propieddes de los números reles y ls leyes de los eponentes. Justific l respuest. 8 ) d) 7 b) 5 c b ) 8 8b 5 5 e) f)

45 Segundo cso m n si m = n. Aquí el cociente es igul uno y que un cntidd dividid entre sí mism d l unidd. Ejemplo:. En generl, si es un número rel diferente de cero y m y n son números enteros no negtivos, entonces: m fctores m n, y que m = n. n fctores es decir, m m, lo cul demuestr el segundo cso de l quint ley de los eponentes. Ejemplos: m ) m, 8 b), 8 c n 5 ) n, 5 0 d ) b b. 0 En el tercer cso de l quint ley de los eponentes, m, donde mn. n n m Ejemplo: Ejemplo:

46 En generl, si es un número rel diferente de cero y m y n números enteros no negtivos en donde m<n, entonces: m fctores m n n fctores m fctores. n m m fctores n-m fctores m es decir, eponentes. n n m si mn, que es el tercer cso de l quint propiedd de los Ejemplos: Ejemplo: Ejemplo:

47 En generl, si es un número rel diferente de cero y m y n números enteros no negtivos en donde m<n, entonces: m fctores m n n fctores m fctores. n m m fctores n-m fctores m es decir, eponentes. n n m si mn, que es el tercer cso de l quint propiedd de los Ejemplos: 9

48 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Resuelve los siguientes ejercicios y justific tu respuest: ) b) m m y c) y 6 5 b d) 5 5 b Tmbién se puede obtener el producto de monomios l plicr est ley. Ejemplo: Multiplic Al plicr el tercer cso de l quint ley de los eponentes: 50

49 Simplific los siguientes monomios: ) 5 5 c) y y 5 b) 6 d) b b Un vez que te hs fmilirizdo con ls leyes de los eponentes, hor estudiremos los eponentes cero. Hemos definido y ls potencis con eponentes enteros positivos y obtenido leyes pr operr con ells. Necesitmos hor dr un interpretción ls potencis con eponentes cero y negtivos que nos permit hcer etensivs ells ls leyes y estblecids. Eponente cero L interpretción que se le d 0 (siendo 0), deberá hcer ciert l iguldd. 0 n 0 n n. l cul se h obtenido l etender l primer ley de los eponentes. Entonces =, porque es el número que multiplicdo por n nos d un producto igul n. (Recuerd que el elemento neutro de l multiplicción es el.) Con bse en el rzonmiento nterior se h convenido que: o = pr 0 l epresión crece de significdo pr = 0. Eponentes negtivos. El significdo que se le sign -n, en donde n es un número positivo y o, deberá ser congruente con l etensión que desemos hcer de l primer ley de los eponentes, esto es, tendrá que hcer verdder l iguldd. n n nn, 0 5

50 puesto que n n ; entonces: n debe ser el inverso multiplicdor de n, es decir, n ; n ceptndo entonces pr n n el significdo siguiente: ; pr 0 y, n entero positivo. n Ejemplo: simplificr y escribir sin eponentes cero o negtivos 5 y Solución: 5 y 5 y 5 y ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Simplific y escribe sin eponentes cero o negtivos ls siguientes epresiones: ) d) 0 yz b) 6 yz 5 0 y e) y y c) 0y 5 5bc f ) 5bc 5 Hy otrs propieddes que se usn con frecuenci y que pueden estblecerse en form sencill prtir de ls definiciones de eponentes negtivos y de ls leyes de los eponentes. 5

51 5 Cso Ejemplo: b b 5 5 pero 5 5 b b Por lo tnto b b 5 5. En generl, si y b son números reles y, m y n son enteros, entonces (ecluid l división entre cero): b b n m m n. Cso Ejemplo: b b Pero b b b b

52 5 Por lo tnto b b b En generl, sí y b son números reles culesquier y, m y n son enteros, entonces (ecluid l división entre cero): b b n n Simplific y epres los resultdos. Emple solo eponentes positivos. y ) 6 y y y ; Pero y y y y Simplific y escribe ls respuests. Utiliz sólo eponentes positivos. y y b b ) ) c b d y ) ) 5 5 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

53 Un vez que nos hemos fmilirizdo con l multiplicción de monomios, resultrá más fácil, l utilizr pr ello l propiedd distributiv, obtener el producto de un monomio por un polinomio. Ejemplo. ) Multiplicr m por. Al plicr l propiedd distributiv, se tiene: m m m Pero, b)5 m m y m m, Medinte l propiedd distributiv se obtiene: por lo que m m m Al usr ls propieddes conmuttiv y socitiv obtenemos: Efectundo operciones: Tmbién se pueden omitir los psos intermedios y operr de l siguiente mner: ) Multiplicr y por y y 5y ; y y y 5 y y y 5 y 5 b ) y y 8 y y 6 y 6 y 6 y

54 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Multiplic los polinomios siguientes. En los cinco primeros omite los psos intermedios y en los siguientes indic ls propieddes y leyes que plicste pr llegr l producto: p q q p ) 8 n n 5n 6 f) y y 7 b) b c 8d c) bcd b c d g) m 5m n 6m n h) 5 m d) b e) 5 6 y y 0 i) y y y j) b b 8 b Veremos hor cómo multiplicr polinomios. Ejemplo: Multiplicr ( + ) por ( + 5 ) Medinte l propiedd distributiv: Al reducir términos semejntes, se tiene: Este mismo producto se puede resolver de l siguiente mner: 5 5, usndo l propiedd distributiv del primer fctor respecto l segundo. 56

55 Al plicr nuevmente l propiedd distributiv, se tiene: ; y l reducir términos semejntes, obtenemos: En l resolución de los siguientes ejemplos veremos que se hn omitido lgunos psos intermedios. ) y y y y yyy y yy y Tmbién se puede resolver sí: y y y y y y y y y y y A veces, l multiplicr polinomios de este tipo se costumbr ordenrlos en columns y cd término de polinomios se multiplic por todos y cd uno de los del otro polinomio, disponiendo los productos prciles de mner que queden en column los términos semejntes; este procedimiento es nálogo l de l multiplicción de números epresdos en form deciml. 57

56 Ejemplo: Multiplic 5 6 por 5 Al ordenr los polinomios en columns y seguir el procedimiento indicdo, se tiene: Pr multiplicr polinomios como éste y y y culquier de los procedimientos siguientes., se puede utilizr y y y y y y yy yy y yy y yy yy y yy y Observ que de estos dos procedimientos el más práctico es el primero, unque en ls dos forms se lleg l mism solución. 58

57 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN De ls siguientes multiplicciones, resuelve ls cinco primers siguiendo los psos correspondientes. Enunci ls propieddes y leyes plicds, ls siguientes cinco en form brevid y l últims ordenándols en columns: ) b b b b) y y y y c) y d) y y e) 5 f) g) m n m m n mn n h) y y y i) 5 j) y k) l) 8 m) y y m n) y o) b b b P) Pr obtener productos de polinomios con coeficientes rcionles simplemente, cómo en los csos nteriores, se plic l propiedd distributiv de l multiplicción y l regl de los signos. 59

58 Ejemplo: Multiplic por b. 5 b 5 Por l propiedd conmuttiv se cmbi el orden de los fctores b y 5 se soci de diferente mner, esto es: b b. 5 5 Al utilizr los propieddes descrits: 5 b b. 5 0 Se simplific el coeficiente, esto es: 0 5 b b 5 5 Ejemplo: Multiplicr 5 5 por Al plicr l propiedd distributiv, se tiene: 5 5 Por ls propieddes conmuttivs y socitivs se obtiene:

59 6 Ejemplo: Multiplicr b b por b Por l propiedd distributiv, tenemos: b b b b b b b b b b b b b b b Por lo tnto, b b b b b b El mismo polinomio se puede resolver en otr form: b b b b b b b b Aplic nuevmente l propiedd distributiv y termin el proceso. Ahor resuelve el producto y complet el orden de los polinomios en columns. b b b 9 6 b b b

60 6 Determin el producto en ls siguientes epresiones con coeficientes rcionles, en los cutro primeros deberás seguir todos los psos indicndo ls propieddes que utilizste. Los siguientes cutro ejercicios los resolverás ordenndo los polinomios en columns y los últimos cutro resolverás, plicndo l propiedd distributiv. y por y b y y y c b y d e f ) ) ) ) ) ) g i j k y y y l m m n ) ) ) ) ) h) DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Un vez fmilirizdos con ls operciones de sumr y multiplicr polinomios, result fácil determinr l mner de obtener el cociente de ellos. Pr dividir polinomios, es necesrio recordr l ley de los signos, l de los coeficientes pr l multiplicción; simismo el lgoritmo, que comúnmente utilizs pr dividir ritméticmente. Empecemos nuestro estudio con l división de polinomios. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

61 Ejemplo: Dividir 5 entre Psos seguir: ) Se dispone l operción en form de frcción (dividiendo entre divisor), es decir 5 dividendo divisor b) Se seprn los términos y l plicr ls leyes de los eponentes se obtiene: 5 5 Cómo puedes comprobr l división de polinomios? Ejemplo: Dividir 0 b c 0 entre b c Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo nterior se tiene: 0 b c 0 b c 0 b c 0 b c 5bc Ejemplo: Dividir 5 6 y z entre 0yz Siguiendo los psos nteriores: 5 y z 0yz 6 5 y z 0 y z 6 Simplificndo. 5 y z 0yz 6 yz 8 6

62 Ejemplo: Dividir 0bc 5 entre b. 5 0bc 5b c. b Aquí se observ que cundo en el dividendo hy un literl que no eiste en el divisor, en este cso l letr c, dich letr prece en el coeficiente. Lo mismo ocurre si c se cuestion en el divisor con eponente cero y que tendrímos: c 0 c 0 c c c. Ejemplo: Dividir m n p bc entre 5b c. bc. 5b c m n p m n p b c 5 Form de comprobr l división de monomios. Pr comprobr un división de monomios se multiplic el cociente por el divisor, el resultdo debe ser el dividendo: Ejemplo: 6 6 Por que 6

63 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Obtén el cociente en cd un de ls siguientes divisiones. En ls cinco primers determin los psos que se siguen, tl como se hizo en los ejemplos y los restntes en form simplificd, pero comprobndo l solución. ) 5 entre 6y 8 5 h) 6 b c entre bc 6 b) 0 entre 5 y 6 i) y z entre y z 6 c) 8 b c entre b c 5 8 n k j) b c entre y c d) 08 b c entre 0 b 0 5 k) 0 y entre y 5 e) 5 y entre 5 y 5 l) 5 y entre 5 y 5 5 f) y z entre y z m) b c entre 6 b c g) 5 9 y m entre m 0 n) y z entre z División de un polinomio entre un monomio Aquí se utiliz l propiedd distributiv pr epresr el cociente de un polinomio y un monomio como sum de frcciones, como en polinomios, o como un sum de un polinomio y un o más frcciones, es decir, b c c b c 65

64 Ejemplo: ) Dividir entre 5 Aplicndo l propiedd distributiv se obtiene: b ) m m m6 c) m m m m 6 m m m m m m m Como sbemos, l comprobción de l división se obtiene l multiplicr el cociente por el divisor. Comprobremos por medio de un multiplicción el primero de los csos nteriores. En el inciso. Si multiplicmos el cociente dividendo: 5 por el divisor 5, obtenemos el , que es el dividendo. ) Comprueb en los incisos b y c 66

65 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN ) Procediendo como en el ejemplo, encuentr el cociente en cd un de ls siguientes divisiones y compruéblo. Dividir: ) y 5 entre b) 5b 6 b entre 5 c) 6m 8m n 0mn entre m m m m m m d) 5 6 entre e) 8m m 0m n 0m n m n entre m 5 f) 5m y z 0y z 0 y z entre 5y z n n 5 n g) y z 9 y z y z entre yz Obtención del cociente de un polinomio entre otro polinomio. L división de polinomios se puede efectur de l mism mner que l división ritmétic, con grndes números, usndo el lgoritmo de Euclides; por ejemplo, ddos los números 6 y, obtengmos el cociente por medio del lgoritmo citdo, es decir, (6 entre d, como por es igul 6, el residuo prcil es 7). (Ahor, 7 entre d 7 como 7 por es igul 6 y el residuo prcil es ). 67

66 Comprobción. Por lo tnto 6 = 7 +, El dividendo es igul divisor por cociente más residuo. Ahor se obtendrá el cociente de polinomios plicndo el lgoritmo de Euclides. Pr empezr dividir un polinomio entre otro, se disponen los términos del dividendo y divisor en orden decreciente respecto l grdo de un literl. Se termin el proceso de división cundo el grdo del residuo, en un vrible es menor que el del divisor o cundo el residuo es cero. Ejemplo: Dividir 6 entre Psos seguir; ) Se divide el primer término del dividiendo entre el primer término del divisor. 6 6 ) Se multiplic este primer término del cociente por el divisor y se escribe el inverso ditivo de su producto ) Se sum el dividendo con el polinomio obtenido ) Se divide el primer término de est sum entre el primer término del divisor

67 5) Se multiplic el segundo término del cociente por el divisor y se escribe el inverso ditivo de este producto ) Pr terminr, summos Por lo tnto, el resultdo de l división es: - residuo ó Y l comprobción es: 6. Dividendo igul divisor por cociente más residuo. Ejemplo: Dividir entre, sin mencionr los psos del lgoritmo. Se disponen los términos del dividendo y del divisor en orden decreciente y como en el dividendo flt el término se debe dejr un lugr pr este término

68 Por lo tnto el resultdo es: - + Residuo -0 ó 0 Y l comprobción es: - - = (+) ( - + ) + (-0) ACTIVIDAD DE REGULACIÓN ) Aplic el lgoritmo de Euclides sin mencionr los psos y resuelve ls siguientes divisiones de polinomios: ) 6n n 5 entre n 5 b) entre c) b b 0b b 9 entre b b d) entre 6 e) 8 entre División de monomios entre monomios con coeficientes rcionles. Ejemplo: Dividir 5, entre esto es: 5. 70

69 Ahor vmos multiplicr el dividendo por el inverso multiplictivo del divisor. El inverso multiplictivo de es. Por lo tnto, Por ls leyes de los eponentes, se tiene: 5 5. División de polinomios entre monomios con coeficientes rcionles. Se puede proceder del mismo modo que en el cmpo de los números rcionles; por ejemplo: Dividir y entre. 8 Se multiplic el dividendo por el inverso multiplictivo del divisor. y 8 Ahor se plic l propiedd distributiv de l multiplicción. 6 9 y. 6 Simplificndo términos, se obtiene: 9y. 6 Por lo tnto, 9 y y

70 Comprobción: Se multiplic el divisor por el cociente, pr obtener el dividendo, esto es: 9 8 y y y 8 y (dividendo = divisor por cociente). ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Procede como en los ejemplos nteriores y divide los siguientes polinomios. Comprueb l solución: ) ) ) ) 8 7 entre b 5 5 b 5 y z entre y z b b entre b 8 5 y y y entre y 5) b c 5 entre bc 7 Pr dividir polinomios entre polinomios con coeficientes rcionles se plic el lgoritmo de Euclides. Ejemplo: Dividir 8 y y entre y

71 Psos que se siguen:. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. 8 y y y Se multiplic el primer término del cociente por el divisor y se escribe el inverso ditivo de ese producto. 8 y y y y 5. Se sum el dividendo con el polinomio obtenido. 8 y y y y 5 y y 9 5. Se divide el primer término de est sum entre el primer término del divisor. y 8 y y y y 5 y y 9 5 7

72 5. Se multiplic el segundo término del cociente por el divisor y se escribe el inverso ditivo de este producto. 6. Sumndo los dos polinomios. y 8 y y y y 5 y y 9 5 y y 9 5 y 8 y y y y 5 y y 9 5 y y Por lo tnto el resultdo de l división es: y Y l comprobción es: 8 y y y y Compruéblo desrrollndo el producto. 7

73 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Efectú ls operciones siguientes desrrollndo los psos propuestos. 5 ) b b entre b b b) y y y entre y 6 8 EXPLICACIÓN INTEGRADORA Hst quí estudimos: L sum de polinomios: Se obtiene por ls sums prciles de los términos semejntes, cuyos resultdos se escriben continución del otro con sus respectivos signos. Sustrcción de polinomios: Pr restr dos polinomios se sum l polinomio minuendo el inverso ditivo o recíproco del polinomio sustrendo. Multiplicción de polinomios: El producto de dos polinomio se obtiene multiplicndo cd término de un polinomio por todos los términos del otro polinomio, luego se reducen los términos semejntes. División de polinomios: Pr dividir dos polinomios se ordenn los polinomios del dividendo y el divisor en orden decreciente. Con respecto l mism literl y se plic el lgoritmo de Euclides. 75

74 RECAPITULACION En este prtdo encontrrás un síntesis de los tems y subtems que estudiste lo lrgo del cpítulo. EXPRESIONES ALGEBRAICAS - y + = TÉRMINO TÉRMINO COEFICIENTE NUMÉRICO FACTORES LITERALES GRADO ABSOL. GRADO X GRADO Y - y - y 5 FACTORIZACIÓN MONOMIO POLINOMIOS BINOMIO TRINOMIO POLINOMIO - y + = OPERACIONES SUMA SUSTRACCION MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN En el esquem que revisste se desglosó un epresión lgebric pr que ubiques cd uno de los elementos que hs plicdo en los problems que se plnteron dentro de cd uno de los tems. 5 Ahor resuelve l siguiente operción lgebric 76

75 ACTIVIDADES INTEGRALES Con el fin de que conozcs el nivel de tu prendizje reliz ls siguientes ctividdes y si tienes lgun dud revis los tems que estudiste en este cpítulo. ) Encuentr un epresión lgebric pr ls siguientes cntiddes. ) El perímetro de un rectángulo de lrgo y ncho y. b) El áre de un prlelepípedo con ls siguientes dimensiones: Lrgo, ncho b, ltur c. c) L cntidd de dinero que totlizn n billetes de 50,000 pesos. d) L cntidd de dinero que totlizn m billetes de pesos y n billetes de 0,000 pesos. e) L cntidd cobrr por un disco que costb pesos si el vendedor ofrece un descuento de 0%.. Con tus propis plbrs escribe los psos seguir pr resolver diciones y sustrcciones de polinomios.. Medinte ls propieddes de los números reles, ls leyes de los eponentes y l regl de los signos, hs obtenido los métodos pr multiplicr y dividir polinomios, de tl mner que los ejercicios que se te proponen continución, te servirán pr refirmr tu prendizje. Resuélvelos e indic los propieddes y regls que utilices. 77

76 ) 6 5 b b b) b 5 5 c) y z y m n m 8 d) y yz z y e) y z n 5 f) b c b c bc 5 g) b n 5 h) y y 7 i) 5 b b c j y z y z y ) 8 k) y y 5 8 l) m) 6y 5 y y n) 0 y

77 Aplic el lgoritmo de Euclides pr resolvr ls siguientes divisiones con polinomios. 6 0 entre o) 7 9 entre p) n n n 5 q) entre r) y y y entre y 6 s) m n m n m entre m n t) b b entre b u) y y y entre y y v y y y y y 6 6 ) entre w) b b b entre b

78 AUTOEVALUACIÓN En este prtdo encontrrás ls respuests de ls Actividdes Integrles; compr tus respuests y si en lgun no llegste l mismo resultdo, verifícl y en cso necesrio vuelve revisr el tem.. ) y y y b) El áre de un prlelepípedo es l sum de ls áres de sus crs: b b bc bc c c b bc c. c b c) n d) m n e) El descuento es 0., entonces l cntidd cobrr por el disco es: Si entendiste est prte del tem hbrás observdo l necesidd de seguir un serie de psos pr resolver en form decud ls operciones de dición o sustrcción de polinomios, sin que los psos requiern un orden fijo, sino más bien l hbilidd que tengs en el mnejo de ls epresiones lgebrics. En l relizción de ls ctividdes de consolidción, debiste considerr que: Los polinomios se ordenn en form decreciente. Hcer que los polinomios sen completos. Agrupr los términos semejntes (verticl u horizontl). 80

79 Sumr o sustrer los coeficientes. En l sustrcción, se debe obtener el inverso ditivo del sustrendo.. Obtener el producto y el cociente de polinomios son operciones que requieren de l plicción de ls propieddes y leyes que permiten encontrr l solución desed. Los resultdos de los ejercicios propuestos en ls ctividdes de consolidción son los siguientes: 8